4.最值问题-【超级备考】2026年中考数学培优拔高练

培优拔高练 最值问题 ”类型1定弦定角有隐圆 1.(2021·广东)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=3.点D为平面上的一个动点，∠ADB=45°，则线段 CD长度的最小值为 <解题思路> 根据∠ADB=45°，AB=2,作△ABD的外接圆O,连接OC,当O,D,C三，点共线时，CD的值最小.将问题转 化为点圆最值.可证得△AOB为等腰直角三角形，用锐角三角函数求出OB,OA的长.作OE⊥BC于点E, 则易证得△OBE也为等腰直角三角形，求出OE,BE的长，再由勾股定理可求得OC的长.最后根据CD最 小值为OC一OD计算结果即可. 2.(2024·东莞三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=6√3，D为平面内一点，连接AD,CD, ∠ADC=30°，连接BD,则线段BD的最小值为 、类型2定点定长有隐圆 3(2020·广东)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧酊住位于梯子正 中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面 内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M,N分别在射线BA,BC上，MN长度始终保 持不变，MN=4,E为MN的中点，点D到BA,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程 B 中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 <解题思路> 根据∠ABC=90°，E为MN的中点，MN=4,由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到BE=2,B为定 点，作以点B为圆心，BE长为半径的圆，再根据圆外一点到圆上点的最小值，连接BD,当B,E,D三点共线 时，DE取得最小值 4.(2024·河南)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作 AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为 ,最小值为 第4题图 第5题图 5.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,∠ABC=120°，BH为∠ABC内部的任意一条射线（∠CBH不等于 60),点C关于BH的对称点为C',直线AC与BH交于点F,连接CC,CF,则△CCF面积的最大值是 6 选择、填空题培优拔高练 ”类型3垂线段最短 6.(2025·山东)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8.点P为边AC 0 上异于点A的一点，以PA,PB为邻边作□PAQB,则线段PQ的最小值是 <解题思路> 记平行四边形对角线交于点M,由平行四边形的性质得PQ=2PM,M为定，点，P为线段AC上的动，点，根据 垂线段最短，过点M作MN⊥AC于点N,则PM的最小值为MN的长.最后利用相似的性质，求出MN的 长，即可求出PQ的最小值. 7.(2025·德州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2√3，P是BC边上一动点，连接AP, 把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ,连接CQ,则线段CQ的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.√3 ”类型4 将军饮马问题 8.(2025·绥化)如图，在菱形ABCD中，AB=4,对角线BD=4V3,点P是边CD的中点，点 M是对角线BD上的一个动点，连接PM,CM.则PM十CM的最小值是 <解题思路> 根据轴对称的性质和菱形的性质，作点P和，点P关于BD对称，连接CP,则PM十CM的最小值即为CP的长。 9.(2025·南充)如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A,OD交⊙O于点C,AE⊥OD于点E,交⊙O于点F, F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点.若CD=4,则PE+PF的最小值是 A.4 B.27 C.6 D.43 D 第9题图 第10题图 10.(2025·内江)如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=2W2,点D,E,F分别是边BC,AB,AC上的动 点，则△DEF周长的最小值是 ”类型5胡不归问题 11.如图，在△ABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个 动点，则CD+5BD的最小值是 5 D A.25 B.4√5 C.53 D.10 B <解题思路> 由amA=2可得sn∠ABE=号，连点D作DH LAB于点H,则DiH=号BD,推由CD+停BD-CD叶 5 DH,由垂线段最短即可解决问题， 7 培优拔高练 12.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2.若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 ”类型6阿氏圆问题 13.(2025·黑龙江)如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7,BC=9,点M是△ABC内部一点，连接AM, BM,CM若CM=3,则AM+号BM的最小值为 第13题图 第14题图 <解题思路> 在BC上取点G,使CG=1,构造出△MCGD△BCM,得MG=专BM,再根据两点之间，线段最短得出当点 M在AG上时，AM+号BM取得最小值. 14,如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+2PC的最小值为 ”类型7瓜豆问题 15.(2022·广州)如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转 60得到线段BP,连接PP',CP'.当点P落在边BC上时，∠PP'C的度数为 ;当线段CP的长度 最小时，∠PP'C的度数为 <解题思路> 由题意可知，点P是主动点，点P是从动点，点P在线段上运动，点P也一定在直线轨迹上运动.以AB为 边向右作等边△ABE,连接EP'.证△ABP≌△EBP',推出，点P在射线EP'上运动. 16.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为 边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为 8AA-9-2= 3 “点品的坐标是(9号） AA=AB=BC=AC=号， AA2∥C2B, .△BCD2△BAA2, -器 2 - 3 解得CD=专 BD=BG-CD=青音-8 Sa=品D·G=××号- “点B的坐标是(2,2点的坐标是(9，号) B-√9-2)+(2)-要 3 点B1的坐标是(2,2)，点B的坐标是(0,3)， ∴.BB,=√(0-2)2+(3-2)7=5. BD_3 3 BB 5_3 BD82'BB252' 9 3 盘器 又.四边形OA1BC1和四边形A1A2B2C2均为正方形， .BC∥x轴，BC2∥x轴， ∴.BC1∥BC2, ∴.∠BB1C=∠B1B2C2, △BBDO△BBD,且相似比为号 ÷-(号) S△D ∴当Sn=号时5n=号×（号）=8-（号）广 同理可证△BBD,∽△B,B,D,且相似比为号， 剥5aa(号)广×（号）》-（号）广-（号）》 =5(号)-(号)。 故答案为：（号） 参考答案 12.(1,-1)解析：A(1,一1)，AA2⊥x轴， .点A2的横坐标为1，即2=1. 把西=1代入将为=}=1 .A2(1,1). ,AA⊥y轴， 点A的纵坐标为1，即=1. 把=1代入y=一x,得1=一x,即x=一1， .∴.A(-1,1). ,AA⊥x轴， .点A4的横坐标为一1，即x4=一1. 起=1代入y=得=-1 .A(-1,-1). .AA⊥y轴， 点A的纵坐标为一1，即为=-1， 把y%=一1代入y=一x,得一1=一，即x5=1, .A(1,-1), 观察可得，每4个，点为一个循环周期， .2025÷4=506…1, ∴.点A225的坐标与点A1的坐标相同， .点A22s的坐标为(1，-1). 故答案为：(1，一1). 最值问题 1.5一2解析：如图，作△ABD的外 接圆O(因求CD最小值，故圆心O在 AB的右侧)，连接O℃， 当O,D,C三点共线时，CD的值 最小. .∠ADB=45°，AO=BO, .∠AOB=90°， .△AOB为等腰直角三角形， ∴A0-0-要AB=E. 作OE⊥BC于点E,则∠BEO=90°， .∠OBA=45°，∠ABC=90°， .∠OBE=45°， △OBE为等腰直角三角形. i0E=BE=号OB=1, .CE=BC-BE=3-1=2. 在Rt△OEC中，OC=1OE+CE=√/1+2=5. 当O,D,C三，点共线时，CD的长度最小， 为CD=OC-OD=5-2. 故答案为：5-√2】 2.2、13-4解析：如图，作△ADC的外接圆⊙I,连接IA,IC, 第74页 ID,IB,过点I作IH⊥CB于点H. .∠A1C=2∠ADC=60°，1A =IC, △ACI是等边三角形， .IA=IC=ID=4,∠ACI=60°. ∠ACB=90°， .∠ICH=30°， H=2CI=2.CH=C1=25. 2 CB=6v3, ∴.BH=BC-CH=4W/3, ∴.IB=NIP+B开=√22+(4v3)2=2/13, ∴.BD≥IB-ID=2/I3-4, .BD的最小值为2、：13一4， 故答案为：2√13-4. 3.25一2解析：如图，连接BE,BD. 由题意得BD=2十4=25， A ,∠MBN=90°，MN=4,E为MN M形 的中点， BE-=号MN=2, E 点E的运动轨迹是以点B为圆 B 心，2为半径的孤， 当，点E落在线段BD上时，DE的值最小， ,DE的最小值为25-2.（也可以用DE≥BD-BE,即DE ≥25-2确定最小值) 故答案为：2w5一2. 4.22+122-1解析：BE⊥AE, ∴∠BEA=90°， ∴点E是在以AB为直径的圆上运动. CD=1,且CD是绕点C旋转， 点D是在以C为圆心，1为半径的圆上运动. ∠ACB=90°，CA=CB=3, .∴.AB=2AC=3/2. .当cos∠BAE最大时，AE最大，当cOs∠BAE最小时，AE 最小 ①如图1，连接CE,当AE与⊙C相切于点D,且D在△ABC 内部时，∠BAE最小，AE最大， :∠ADC=∠CDE=90°， ∴.AD=√/AC-CD=2泛. .AC=AC. .∠CEA=∠CBA=45°， ..DE=CD=1, 此时AE=2W√2十1，即AE的最大值为2、2+1， 参考答案 图1 图2 ②如图2，连接CE,当AE与⊙C相切于点D,且D在△ABC 外部时，∠BAE最大，AE最小 同理可得AD=22,DE=1, 此时AE=2,2-1,即AE的最小值为22-1， 故答案为：2泛+1；22-1. 5.4v3解析：如图，连接BC 由轴对称的性质可知BC= BC,CF=CF, .AB=BC=BC'=2, ∴点A,C,C在以点B为圆心，2 为半径的圆上 ∠ABC=120°， .∠ACC=120°， .∠FCC=180°-120°=60°. CF=CF. △CCF是等边三角形， ,要使△CCF面积的最大，只需CC最大即可， ∴当CC是圆的直径时，△CCF面积的最大， .CC=4, “△CCF面积的最大值为号×4×4×sin60”=43。 故答案为：4v3. 6.4.8解析：如图，设AB与PQ交于点M,过，点M作MN⊥ AP于，点V, ..∠ANM=∠ABC=90°， ,∠MAN=∠CAB. '.△AMNc△ACB, M 器兴 ,∠ABC=90°，AB=6,BC=8, .AC=V√AB+BC=10. ,四边形PAQB是平行四边形， AM-=号AB=3,PQ=2PM, ..MN3 8101 .MN=2.4. 第75页 .'PM≥MN, ∴.PQ2MN=4.8, PQ的最小值是4.8. 故答案为：4.8. 7.D解析：如图，在AB上取一点E,使AE=AC=23,连接 PE,过点E作EF⊥BC于，点F,由旋转的性质知AQ=AP, ∠PAQ=60. :∠ABC=30°，∠ACB=90°， .∠EAC=60°， ∴.∠PAQ=∠EAC, .∠CAQ=∠EAP, .△CAQ2△EAP(SAS). ∴.CQ=EP. 要使CQ最小，则EP最小，而点E是定点，点P是BC上的 动点， 当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小， 即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF的长， 在Rt△ACB中，∠ABC=30°，AC-23, .AB=43. AE-AC-2V3. ..BE=AB-AE=2V3. 在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2x3, ∴EF=2BE=5, 故线段CQ长度的最小值是√5. 故选：D 8.2,3解析：如图，连接AC,交BD于点N,作点P和，点P关 于BD对称，连接CP',MP',易得点P在AD上，MP=MP, .CM+PM=CM+P'M≥CP', D .CM十PM的最小值为CP 的长 ,四边形ABCD是菱形，AB= 4,点P为CD的中点， 点P是AD的中点，AD=AB=CD=4,AC⊥BD, :DP=号AD=2, BD=43, :.BN=DN=2V3. nN-器4-号 21 .∠DCN=60°. 又.AD=CD. .△ADC是等边三角形， ∴.CP'⊥AD, .Cp'=√CD-DP=√42-22=23， .PM+CM的最小值为23. 参考答案 故答案为：23. 9.C解析：如图，延长DO交⊙O于点M,连接PM,PF, OF.PE, 'AE⊥OD于点E,交⊙O于点F,F为D 孤BC的中点， ∴.AC=CF=BF ∴.∠AOC=∠COF=∠BOF. B :∠AOC+∠COF+∠BOF=180, ∴.∠AOC=∠COF=∠BOF=60°， ,∴.∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF, 点F关于AB的对称，点为点M, ∴.PM=PF, '.PE+PF=PE+PMC≥EM 当E,P,M三，点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长， :∠AOC=60°，AD⊥AB, ∴.∠D=30°， .∴.OD=2OA. CD=4, '.OD=OC+4=2OA=2OC,解得OC=4, .∴.O0C=OA=OM=4. .'AF⊥OC,∠AOC=60°， ∴.∠OAE=30°， 0E=20A=2. ∴.PE+PF的最小值EM=OE+OM=2+4=6. 故选：C 10.2解析：如图，作点D关于AB,AC的对称，点N,M,连 接AM,AN,EN,FM,MN,AD, .△DEF周长为DE十EF+ FD=NE+EF+FMC≥MN, 当N,E,F,M四点共线时取 得最小值 ·点N,M是点D关于AB, AC的对称，点， D ∴.∠NAE=∠EAD,∠FAD=∠FAM,AN=AD=AM. 又.'∠BAC=∠EAD+∠FAD=45°， ∴.∠NAM=∠NAE+∠EAD+∠FAD+∠FAM=9O°， △AMN是等腰直角三角形， ∴.MN=2AN=2AD. ,.当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小. 又/B=60°，AB=22, 当AD1C时AD=AB·sm60=22×号=6， ∴.△DEF周长最小为2AD=2X6=2√/3， 故答案为：23. 11.B解析：如图，作DH⊥AB于点H,CM⊥AB于点M. 第76页 BE⊥AC, .∠AEB=90. mA-E-=2。 H ∴.设AE=a,则BE=2a. .AB=AE2+BE, .102=a2+(2a)2, 解得a=25或-25（舍去）， ∴.AE=25,BE=2a=4V5. .'AB=AC,BE⊥AC,CMAB, ∴.CM=BE=45. :∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA=90, ∴s∠DBH器铝-9， 0-9m, ÷CD+5BD=CD+DH. 5 .'CD十DHCM, CD+要034有， CD叶要D的最小值为45。 故选：B 12.6解析：如图，作，点A关于BC的对称点A',AA'交BC于 点H,连接A'D,过点D作DE⊥AC于点E,则∠BHA =90°， :∠BAC=90°，∠B=60°，AB =2, .∠C=30°，∠BAH=30°， B ∴BH=2AB=1,AH= D 号AB=E,∠CAH=60 A 在Rt△CDE中，DE=2CD,即2DE=CD 点A与点A'关于BC对称， ..AA'-2AH-23,AD-AD, ..AD+DE-A'D+DE. 当A',D,E在同一直线上时，AD十DE的最小值等于 A'E的长， 此时，在R△AAE中，AE=m60·AM=罗×2=3 AD十DE的最小值为3， 即2AD+CD的最小值为2(AD+DE)=6, 故答案为：6. 13.52解析：如图，在BC上取点G,使CG=1,连接AG,MG .'BC=9,CM=3, 参考答案 隔仪 又：∠MCG=∠MCB, M ∴.△MCGP△BCM, 湖-照g CG MG-=号BM, :AM+3BM=AM+MCG≥AG. ,AG=1AC+CG=172+1平=52， ∴.AM+号BMC5v2, 即当点M在AG上时，AM叶号BM取得最小值，为5反. 故答案为：52 14.5解析：如图，在BC上截取BE=1,连接BP,PE,DE. ,正方形ABCD的边长为4，⊙B的 A 半径为2， 'BC=CD=4,BP=2, .EC=3. E ..BP_BE 1 ·BC=BP2∠PBC=∠PBE, ∴.△PBE∽△CBP, 器 iPEPC. PD+PC-PD+PE>DE. ,当点DP,E三，点共线时，PD十PE有最小值，即PD十 名PC有最小值，为DE的长， “PD叶号PC的最小值为DE=VDC+CE=5. 故答案为：5 15.120°75°解析：如图1，以AB为边向右作等边△ABE,连 接EP',则∠ABE=60°，BA=BE. 由旋转的性质，得BP=BP,∠PBP=60°=∠ABE, ∴∠ABP=∠EBP', △BPP是等边三角形， ∴.∠BP'P=60° 在△ABP和△EBP'中， (BA=BE, 图1 ∠ABP=∠EBP', BP=BP'. ∴△ABP≌△EBP'(SAS), ∴.∠BAP=∠BEP'=90°， 第77页 点P在射线EP'上运动， 如图2，设EP交BC于点O, 当点P落在BC上时，点P A 与O重合，此时∠POC= 180°-60°=120°，即∠PP'C C.E =120°. B 当CP'⊥EP'时，CP'的长最 0、 小，此时∠EBO=∠OCP =30°， 图2 ÷B0-=20B.0P'-20 ÷EP=B0+0P=20B+20C-2BC .BC=2AB. .'.EP'=AB=EB, △EBP是等腰直角三角形， ∠EBP'=∠EP'B=45°， .∠BPC=45°+90°=135°， ∴∠PPC=∠BP'C-∠BP'P=135°-60°=75. 故答案为：120°；75. 16号解析：由题意可知，点下是主动点，点G是从动点，点F 在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动， 如图，将△EFB绕点E顺时针旋转A D 60°，使EF与EG重合，得到△EFB ≌△EGH, GM. .BE=HE=1,∠BEH=60°，∠EHG =∠EBF=90°， ∴△EBH为等边三角形，点G在垂直 于HE的直线HN上. 作CM⊥HN,则CM即为CG的最小值 作EP⊥CM,可知四边形HEPM为矩形， .∠HEP=90°，MP=HE=1, .∠CEP=180°-60°-90°=30°， “CP-=号BC=2(EC-BE)=, :.CM=MP+CP=1+立=2： 35 故答案为：之 图形变换 1./10 2号解析：如图，过点A作AF1BC于点F,过点A作AHL DE于点H,则∠AFB=∠AHE=90° .AB=AC, .∠B=∠C, 根据折叠的性质可知，∠B =∠E,AF=AH,AB=AE,B D .∠E=∠C 参考答案 在△AFB和△AHE中， (∠AFB=∠AHE, ∠B=∠E, AB-AE, .△AFB≌△AHE(AAS), .'BF=EH. 设CG=a,则AG=3a, ..AB=AC=AE=4a. 在R△ABF中，tanB=A"=3, BF=4 BF=专AR 由勾股定理，得BF十AF=AB, 即（号AF）+AF=(4a), 解得AF=号a或AF=号a(合去. AH=AF-号a,BF=EH-总， 在Rt△AGH中，GH=VAG-AF=√(3a)-(号a)】 =号a EG=EH-GH=16。-9a=7 F5a-5a=5a. :∠AGE=∠DGC,∠E=∠C, .△AEGp△DCG, 7 部恶脚光 3a=5a DG=1 7, .SA-EG_49 S△xDG75 故答案为：75 49 3.3或9解析：如图，作点C关于直线EF的对称点P,PC交 直线EF于点G,延长PE交AC于点H,当点P在AC上 方时 在矩形ABCD中，∠D=90°，∠CAD= G 60°， .∠ACD=30°， D .AC=2AD=12,CD=3AD=63, H ,点E是边CD的中点. CE=2CD=33. ,点P是点C关于直线EF的对称，点， .PE=CE=3,3,∠EGC=∠EGP=90°. :PE⊥AC,即PH⊥AC, 第78页