3.函数图象综合题-【超级备考】2026年中考数学培优拔高练

选择、填空题培优拔高练 函数图象综合题 ”类型1根据信息得函数图象 1.(2018·广东)如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点 D.设△PAD的面积为y,点P的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为 <解题思路> 设菱形的高为h,即是一个定值，根据，点P的运动路径分为点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利 用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，即可得出答案， 2.(2025·齐齐哈尔)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动， 运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l,在点E的运动过程中，垂线l扫过菱形（阴影部分）的面积为y, 点E运动的路程为x(x>O).下列图象能反映y与x之间函数关系的是 83 85 83 6√3 63 63 63 23 23 2W5 2ws 0 468x 4683 468 68 3 类型2 已知函数图象得信息 3.(2023·深圳)如图1，在Rt△ABC中，动点P从点A运动到点B再到点C后停止，速度为2个单位长度s, 其中BP长与运动时间t(单位：s)的关系如图2，则AC的长为 () A.156 2 B./427 C.17 D.5√3 BP的长 A 15 S/cm2 10 11.5* 10t/s 图 图2 图1 图2 第3题图 第4题图 <解题思路> 根据图象可知t=0时，点P与，点A重合，得到AB=15,进而求出点P从点A运动到点B所需的时间，进而 得到，点P从，点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可.解决问题时要关注 特殊点、特殊位置，如拐，点，最值，点 4.(2025·湖北)如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm,AB=ncm.动点P,Q均以1cm/s的速度从点C同 时出发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动.当点Q运动到点A时，两点都停止 运动.△PCQ的面积S(单位：cm)与运动时间t(单位：s)的关系如图2所示. (1)m= ;(2)n= 3 培优拔高练 5.(2025·眉山)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，CD=√2，动点P在Rt△ABC的边上沿C→ B>A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的 运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时，如图 2,S是关于t的二次函数.在3个时刻t,t2,t(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF 18 的面积均相等.下列4个结论：①当t=1时，S=3;②点P在线段BA上时，S= 2t2一16t+34:③AD=4v2:④t1十t2=4.其中正确结论的个数为 6 A.1个 B.2个 E C.3个 D.4个 0 4 图1 图2 ”类型3二次函数的图象与系数 6.(2025·济南)已知二次函数y=ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是（一1，n),且经过(1,0）， (0,m)两点，3<m<4.有下列结论：①关于x的一元二次方程a.x2十bx十c一n十1=0(a≠0)有两个不相等的 实数根：②当x>-1时y的值随x值的增大而减小：③-号<a<-1,④4a一26+c>0:⑤对于任意实数t, 总有(t+1)(at一a十b)≤0.以上结论正确的有 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 <解题思路> 灵活运用数形结合思想是解题的关键，根据拋物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交，点判定系数符号及运 用图中标示的特殊点，借助转化思想解决问题， 7.(2025·宜宾)如图，O是坐标原点，已知二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象与x轴交于A,C两点，与y 轴交于点B,顶点为D,对称轴为x=-2.其中A2,0.B00.且-3<<-2.以下结论：①a灰>0：@号< b<1;③△ACD是钝角三角形；④若方程a.x2+(b-2)x十c=0的两根为x1,x2(x1<x2),则一2<x1<4-2 7,6<x2<4十27.其中正确结论有 () D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ”类型4函数图象与特殊几何图形 8.(2025·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，点A,B都在双曲线y=(k≠0)上，且点A 在点B的右侧，点A的横坐标为-1，∠AOB=∠ABO=45°，则k的值为 ( ) A.2 B.15 2 C.5-1 D.-5+1 2 2 <解题思路> 过点A作MN∥x轴，交y轴于点N,作BM⊥MV,垂足为M,先证明△BMA≌△ANO(AAS),利用全等三 角形的性质得到点B的坐标，根据反比例函数图象上，点的坐标特征解答即可 4 选择、填空题培优拔高练 9.(2024·赤峰)如图，正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=一x2十4上，点D在y轴 上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),是下列结论正确的是 A.m+n=1 B.m-n=1 C.m=1 D.=1 ”类型5函数图象与点的坐标规律 10.(2018·广东)如图，已知等边△0A,B,顶点A,在双曲线y=3(x>0)上，点B,的坐标为(2,0).过点B,作 B1A2∥OA1交双曲线于点A2,过点A2作A2B2∥A1B交x轴于点B2,得到第二个等边△BA2B2;过点B2作 B2A3∥B1A交双曲线于点A3,过点A作AB3∥A,B,交x轴于点B3,得到第三个等边△B2AB3:以此类 推，…，则点B的坐标为 B1 B2 B3 <解题思路> 根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上，点的坐标特征分别求出点B2,B,B,的坐标，得出规律，进而 求出，点B的坐标 11.(2025·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，直线y=一 1 x十3交x轴于点A,交y轴于点B.四边形 OA1B1C,A1A2B2C2,A2ABC3,A3ABC4,…都是正方形，顶点A1,A2,A3,A4,…都在x轴上，顶点B1, B,B,B.…都在直线=x十3上，连接BA1,BA,BABA…分别交CB,CB,CA,CB… 于点D1,D2,D3,D4,….设△BBD1,△B1B2D2,△B2BD3,△B3BD4,…的面积分别为S1,S2,S3,S4,…, 则S2025= C B D B3 D.C B D 0 A A2 A3 AA 12(2025·山东)如图，取直线y=-x上一点A(),①过点A作x轴的垂线，交双曲线y=于点 A2(x2,y2);②过点A作y轴的垂线，交直线y=一x于点A3(x3,y);如此循环进行下去.按照上面的操作， 若点A,的坐标为(1，一1)，则点A22s的坐标是 5培优拔高练答案 选择、填空题培优拔高练 面积问题 规律探究问题 1.A2.53.10 1.a+8b2.21 4.B解析：如图，连接OC, 3(52） 解析：在△ABC中，AC=BC,CD⊥AB于 BC是⊙O的切线，OC为半径， 点D,AB=DC=2, .OC⊥BC, 0 ∴.AD=BD=1,∠ACD=∠BCD, .∠OCB=90°， ∴.∠COD+∠OBC=90°. ∴.AC=BC=√12+22=w5. 又：∠ABE=90°，即∠ABC+∠OBC=90°， ,以，点B为圆心，DB的长为半径画孤，交BC于点E, ∴.∠ABC=∠COD,∠A+∠E=90°. ∴.BE1=BD=1, DE是⊙O的直径， ..CE=BC-BE=5-1. ∴.∠DCE=90°，即∠OCE+∠OCD=90. :以点C为圆心，CE的长为半径画孤，交CD于点D, .OC=OE, .CD,=CE=5-1. ∠E=∠OCE, :DF⊥DC交AC于点F1, ∴∠E+∠OCD=90°. .AD∥DF, 又./A十∠E=90°， △CD,F△CDA, ,∴.∠A=∠OCD 器5-是唧5平-g 在△ABC和△COD中， 2 1 5 ∠A=∠OCD, D..CF-55 2 ∠ABC=∠COD, 以，点F为圆心，FD的长为半径画孤，交AC于点F, AC=CD, DF=FF=5-1 '.△ABC≌△COD(AAS) 2 .S△A=S△0. ∴.CF2=CF-FF2=3-5. .EO=DO, :以，点C为圆心，CF2的长为半径画孤，交DC于点D2, Sam=5ae=25ae, .CD2=CF2=3-5 D2E2⊥DC,交BC于点E2, ∴∠CDF=∠CD,E=90°. 即△ABC和△CDE的面积之比为1：2. 又·∠FCD,=∠ECD2, 故选：B. △CD2E2∽△CDFi, 5.86.D 品。- 5-15-1' 函数图象综合题 2 1.B DE=(). 2.A解析：当，点E在AB上时，如图1， ∠A=60°，l⊥AD, 同显可得D,R-(5)广D,E-(52)）…, .∴.∠AEF=30°， R的长为() AF-AE- 2x, 故答案为：（⑤） 图 参考答案第70页 :∠PDA=∠BCA=90°，∠A=∠A, .△ADP∽△ACB, ∴此时图象为开口向上的抛物线的 一部分，排除C,D选项； 船畏名 =4=2 当点E在BC上且l与AD相交时， ∴AP=AB, 作BH⊥AD,如图2， .BE=x-4. 点P为AB的中点， F D ∠A=60°，BH⊥AD, .AB=2BP=12. ∴.∠ABH=30°， 图2 故答案为：12. AH=号AB=2.BH=号AB=23. 5.B解析：在Rt△PCD中，CD=2,PC=t, 则当点P在BC上时，S=PD=+2, 小y=Sam十Se6图H=2X2X2y3+23(x-4)=2,3x 当S=6时，十2=6， 6√3， 解得t=2(负值已舍去)， 此时图象为直线一部分； 即BC=2. 当点E在BC上且1与CD相交时，如图3， 当t=1时，S=1十2=3，故①正确： 在菱形ABCD中，AB=BC=AD= 当点P在AB上时，由图象可知拋物线顶，点为(4,2)，且过点 4,BC∥AD,∠C=∠A=60°， B (2,6), ∴l⊥BC,CE=AB+BC-x=8 则可设抛物线的表达式为S=a(t一4)2+2(a≠0)， 一x, 将点(2,6)代入，得6=a(2-4)2+2, ∴.EF=CE·tan60°=3(8-x), 解得a=1, Ssm=2CE·EF 则抛物线的表达式为S=(1一4)十2=t一8t+18(218), 图3 故②错误： =2808-) 当S=18时，t2-8t+18=18, (8-x, 解得t=0(舍去)或8， 2 则AB=8-2=6, ∴y=S发形AMD一S△EF ∴.AC=V√AB-BC=162-22=4/2, -AD.BH( ∴.AD=4V2-V2=3、2,故③错误； =x25-9g- 如图，画出S=t+2(0≤t≤2)， 从两个函数表达式看，两个函数图象的 18 =-5x+85x-243, 开口方向，开口大小相同， 2 若存在3个时刻41,2，(L1<2<)对 ∴此时图象为开口向下的抛物线的一部分，排除B选项. 应的正方形DPEF的面积均相等， 故选：A 则从图象看，，2关于直线1=2对称， 3.C 4.(1)8(2)12 则号十6)=2， 21 解析：(1)观察图象可知，当t=4时，点P与点B重合， 即t十t2=4,故④正确。 ,动，点P,Q均以1cms的速度从点C同时出发， 故选：B. 4 ∴.CB=CP=CQ=4cm. 6.A解析：二次函数y=ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0)图 .∠C=90°， 象的顶点坐标是(-1，n),且经过(1,0)，(0，m)两，点，3<m ∴m=2CP.0Q=合×4X4=8 1 <4, 故答案为：8 .抛物线开口向下，对称轴为直线x=一1， (2)由图象可知，当t=10时，S=10,此时CQ=10,BP=10 .u0,抛物线与x抽的交点为(1,0)和（一3,0）， BC=6, 图象如图所示，令y=n一1，即把直线y=n向下平移一个单 如图，过点P作PD⊥AC于点D,则∠PDA=90°， 位长度， :S=2CQ·PD=X10·PD 再结合函数图象可知a.x2十bx十c=n一1(a≠0)有两个不相 =10, 等的实数根， ∴.PD=2. 故a,x2十bx十c一n十1=0(a≠0)有两个不相等的实数根，故 D Q ①正确，符合题意 参考答案第71页 抛物线开口向下，对 得y=4a-2b+c. 称轴为直线x=一1， 将a=十rc=-3动代入，得y .当x>-1时，y的值 一4b, 随x值的增大而减小， ∴.ED=4b 故②正确，符合题意： 抛物线与x轴的交点 对称轴为直线x=一2，A(2,0), ∴.AE=4 为(1,0)和(-3,0)， .二次函数为y=a(x 5m∠CD-RE-华-b, 1)(x+3)=a(x2+2.x ∴.∠CAD45° 3)=a.z2+2a.x-3a, 由题意得CD=AD, ,∴.m=-3a, .∠ACD=∠CAD45°， 3<m<4, ∠ADC>90°， .3<-3a<4, ∴.△ACD是钝角三角形，故③正确： 解得-手<a<-1,故③正确，特合题意： 结合函数图象可知，当x=-2时，y=4a-2b十c>0,故④正 确，符合题意； =号时a==日=-3动=-2。 ,对称轴为直线x=一 b =-1, 22、4 ·方程ar+(b-2)x十c=0转化为 -3x-2=0, 2a ∴.b=2a 解得x=4士27； ∴.(t+1)(at-a+b)=(t+1)(at-a+2a) 当=1时a=中=6=一3动=-3， =a(t+1)(1+1) =a(t十1)2. ∴方程ar十一-2x十(=0转化为子r--3=0, ,a<0,(1+1)2≥0， 解得x=一2或6. ,∴.a(t十1)0，故⑤正确，符合题意 ,方程a.x2十(b-2)x十c=0的两根为x,2(x<x2), 综上所述，①②③④⑤正确， .一2<x<4一2v7,6<2<4十27，故④正确. 故选：A 综上所述，其中正确结论有3个. 7.C解析：，抛物线开口向上， 故选：C ∴.a>0. 8.D解析：如图，过点A作MN∥x轴，交y轴于点N,作BM :对称轴为直线=一=-2，即=4如 ⊥MN,垂足为M,则∠M=∠ANO=90°， ∴∠MBA+∠MAB=90°. ∴.b>0. :∠AOB=∠ABO=45, 抛物线与y轴交于负半轴， ∴.AB=AO,∠BAO=90°， ∴.c0, ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴.abc<0,故①错误； ∠MAB+∠NAO=90°， :对称轴为直线x= b=-2 2a ∴∠MBA=∠NAO. a= 在△BMA和△ANO中， ∠MBA=∠NAO, A(2,0)在抛物线上， ∠BMA=∠ANO, ∴.4a+2b+c=0, AB-OA. ∴.b+2b+c=0, .∴.△BMA≌△ANO(AAS). ∴.c=-3b. .∴.BM=AN,AM=ON. -3<c<-2, “点A的横坐标为一1，点A在双曲线y=上， x 一3<30<-2，解得3<61，故②正确) .A(-1,-k),AN=BM=1, 如图，设抛物线对称轴与x轴交于点E, ..ON=AM=-k, 将x=-2代入y=a.x2十bx十c, .B(-1十k,-k-1), 参考答案第72页 “点B在双询线y=乡上， ∴.(22十b)·3b=3, ∴.k=(一1+k)(一k-1)=1-k, 解得b=一2十3或b=一V2-3(舍去)， 整理，得2十k一1=0， .OB3=OB2+2B2D=2W/2-22+2w3=23, 解得=二1西（会去）或=1与西】 .点B的坐标为(2w3,0): 2 2 同理可得点B的坐标为(2,4,0)，即(4,0)： 故选：D. 以此类推， 9.B解析：如图，分别过，点A和点C作y轴的垂线，垂足分别 ∴点Bn的坐标为(2,0)， 为M,N,则∠CND=∠DMA=90°， ∴，点B的坐标为(26,0). A,C两点的横坐标分别为m,n, ∴点A的坐标为(m,一m十4)，点C 故答案为：(26,0)。 的坐标为(n,-+4), (号) 解析：当x=0时，y=一 2x+3=3, .AM=m,MO=-m2+4,CN=n, 点B的坐标是(0,3)， N0=-m2+4. :四边形ABCD是正方形， :点B在直线y=一 2x+3上. ∴.AD=CD,∠ADC=90, ∴.∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°， “设点A的坐标是(a一之十3）。 ∴.∠CDN=∠DAM 则点A的坐标是(，0)，点C的坐标是(0-21十3 在△CDN和△DAM中， ,四边形OABC是正方形， I∠CVD=∠DMA, ∴.OA=AB1,OA1∥CB1, ∠CDN=∠DAM, 1 CD=DA, x=-2十3， ∴.△CDN≌△DAM(AAS), 解得=2， ∴.DM=CN=n,DN=AM=m, ∴点B的坐标是(2,2)， ∴.MN=DM什DN=m+n. 正方形OAB,C的边长为2， 又：MN=NO-MO=m2-i, ..OC=0A=AB=BC=2, m2-=m十， .BC=BO-OC1=3-2=1. 即(m+n)(m-n)=m+n. OA∥C1B, m>1>0, ∴△BC1D1△BOA1, ∴.m十1≠0， ·BC_CD ∴.m-n=1. ·BOOA' 故选：B -c0 2, 10.(26,0)解析：如图，作AC⊥x轴于点C,设BC=a,则 解得CD=号， A2C=3a,OC=OB+BC=2+a,A2(2+a,3a). BD=BC-CD=2-号=告 4 “点A在双曲线y=B(> YA x 0)上 SD=- BD·G=×号X1=号 ； .(2+a)·5a=3, A2 A3 AA 设点月的坐标为(-分十3)， 解得a=2-1或a=-√20 B CBDB3 -1(舍去)， 则点A的坐标是(，0)，点C的坐标是(2，-号十3) ∴.OB=OB1+2BC=2+2/2-2=22, AA2=2-2. 点B2的坐标为(2泛，0)： 四边形A1A2B2C2是正方形， 作AD⊥x轴于点D,设B,D=b,则AD=3b, ∴.AA2=B2A2,A1A2∥C2B2, 1 OD=OB2+B2D=2/2+b,A(22+b,w3b). 小x,-2=-2m+3, :点A在双曲线y=(>0)上， x 解得=9。 参考答案第73页 :AA-9-2=合 12.(1,一1)解析：A(1,-1),AA⊥x轴， 3 点A的横坐标为1，即2=1. 点品的坐标是（得，号） 把=1代入1将为==1 ∴AA=AB=B.C=AC=专 .A(1,1). AA⊥y轴 ∴.点A的纵坐标为1，即为=1. AA2∥CB, 把=1代入y=一x,得1=一x,即x=-1, .△BCD△BAA2, A(-1,1). 架-器 AA⊥x轴， .点A4的横坐标为一1，即x=一1. ,3_CD2 .2 起=-1代入得=片=-1 4 3 A(-1,-1). 解得CD=号， :AA⊥y轴， 点A的纵坐标为一1，即=一1， B.D:-B.C:-C:D:--4-8 39=9 把为=一1代入y=一x,得-1=一，即x=1, ∴5n=合DBG=×8×号- .A(1,-1). :点B的坐标是(2,2，点B的坐标是（侣，号）。 观察可得，每4个点为一个循环周期， .2025÷4=506…1, 8(9-2+(2)-2, .,点A225的坐标与，点A1的坐标相同， 3 ,点B的坐标是(2,2)，点B的坐标是(0,3)， ∴，点A22s的坐标为(1，一1). 故答案为：(1，一1). ∴.BB1=(0-2)2+(3-2)=5」 最值问题 3 3 BB 1.5一2解析：如图，作△ABD的外 9 3 接圆O(因求CD最小值，故圆心O在 品脸 AB的右侧)，连接OC, 当O,D,C三点共线时，CD的值 又，四边形OA1B,C1和四边形AAB2C2均为正方形， 最小 .BC∥x轴，BC∥x轴， .∠ADB=45°，AO=BO, ∴.BC∥BC2, ∴∠AOB=90, ∴.∠BBC=∠BB2C2, ∴.△AOB为等腰直角三角形， ∴△BB,D,D△BBD,且相似比为号， A0-0=号AB=VE :SBB= ). 作OELBC于点E,则∠BEO=90°， ∠OBA=45°，∠ABC=90°， ∴.当S△n 号时，5n=号×（号）广=》-（号）广 .∠OBE=45°， .△OBE为等腰直角三角形 同理可证△BBD,∽△B,B,D,且相似比为号、 0E=BE=号oB=1. .CE=BC-BE=3-1=2. 则s-(导)×（号）广=-（号）-（号）》 在Rt△OEC中，OC=OE+CE=V1?+2=5. 当O,D,C三，点共线时，CD的长度最小， 为CD=OC-OD=5-√2. 故答案为：5-√2. 故答案为：（号） 2.2、13-4解析：如图，作△ADC的外接圆⊙I,连接IA,IC, 参考答案第74页