第06讲 函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值（思维导图+2大知识点+7大题型+过关测试）讲义-2025-2026学年高一上学期期末数学必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义通过思维导图与知识点梳理系统构建函数性质单元体系，涵盖单调性、奇偶性及最大（小）值核心内容，以框架图呈现定义、证明步骤与结论，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于题型归纳与“举一反三”设计，包含已知单调性求参数范围、单调性奇偶性综合问题等七类题型，结合例题与变式题培养数学思维与推理能力，过关测试助力分层提升，支持学生自主复习与教师精准教学实施。

第06讲 函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、单调性与最大（小）值 4 知识点2、奇偶性 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：已知单调性求参数范围 6 题型二：比较大小 6 题型三：已知奇偶性求参数 7 题型四：中值模型 7 题型五：最大值与最小值问题 8 题型六：利用性质解函数不等式问题 9 题型七：单调性、奇偶性的综合问题 10 05 过关测试 12 知识点1、单调性与最大（小）值 （1）增函数 设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. （2）减函数 设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. （3）单调性、单调区间、单调函数 如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间. 如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数. （4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下： ①设值：设，且 ； ②作差： ； ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底； ④判断符号，得出函数的单调性. （5）函数的最大值与最小值 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足: （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么我们称M是函数的最大值. ②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足: （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么我们称是函数的最小值. 知识点2、奇偶性 （1）偶函数 设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 关于偶函数有下面的结论： ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件； ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立； ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. （2）奇函数 设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 关于奇函数有下面的结论： ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件； ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立； ③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点； ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. 题型一：已知单调性求参数范围 【例1】（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·期中）若函数在上是单调递增函数，则的取值集合是（    ）. A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·河南信阳·期中）函数，满足对、且，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型二：比较大小 【例2】（25-26高一上·广东·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高一上·重庆渝中·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·江苏·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（ ） A． B． C． D． 题型三：已知奇偶性求参数 【例3】（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式3-1】（25-26高一上·安徽·期中）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【变式3-2】（2025·山东·三模）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型四：中值模型 【例4】（25-26高一上·山东泰安·期中）设函数在区间的最大值为M，最小值为m，则 ． 【变式4-1】（25-26高一上·宁夏石嘴山·期中）已知，若正实数满足，则的最小值是 【变式4-2】（24-25高一上·贵州遵义·期中）若函数，则 ． 【变式4-3】（24-25高一上·江西吉安·期中）已知函数，则 ． 【变式4-4】（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则 . 题型五：最大值与最小值问题 【例5】（25-26高一上·重庆·月考）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 【变式5-1】（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知函数 (1)若为偶函数，求在上的值域； (2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围； (3)当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围． 【变式5-2】（25-26高一上·四川自贡·期中）已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论． 【变式5-3】（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，， (1)用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减． (2)当时，写出的单调区间． (3)若在上为单调函数，求的取值范围． (4)求函数的最大值与最小值之差． 题型六：利用性质解函数不等式问题 【例6】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式． 【变式6-1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【变式6-2】（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【变式6-3】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的定义域为，满足：对，都有，当时，，且． (1)求的值，并证明是奇函数； (2)证明：是上的减函数； (3)解关于的不等式． 题型七：单调性、奇偶性的综合问题 【例7】（25-26高一上·重庆·月考）已知定义在上的奇函数，且． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于实数的不等式 (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 【变式7-1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若对任意，不等式恒成立，求k的取值范围. 【变式7-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【变式7-3】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对任意的，都有，求m的取值范围． 1．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（   ） A．3 B．4 C．－5 D．－1 2．（20-21高一上·江苏南京·月考）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川成都·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致为（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一上·山东烟台·期末）对于函数，下列描述正确的是（   ） A．在定义域内单调递增 B．在定义域内单调递减 C．值域是 D．图像是中心对称图形 10．（多选题）（25-26高一上·广西·期中）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．为上的减函数 D．在上的最大值为6 11．（多选题）（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数对于一切实数、都有，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．是增函数 D． 12．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 13．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是 ． 14．（25-26高一上·云南昭通·期中）若幂函数为偶函数，则 . 15．（25-26高一上·重庆江北·期中）定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是 . 16．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知． (1)求的值域； (2)设，若，，使得，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·全国·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足. (1)求； (2)当时，判断和的大小关系. 18．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数为奇函数，且不为常函数. (1)求的值； (2)若，用定义法证明：在上单调递减； (3)若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知函数． (1)求的零点； (2)若函数是偶函数，且当时，，求的解析式； (3)判断在定义域上的单调性，并用定义法证明． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、单调性与最大（小）值 4 知识点2、奇偶性 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：已知单调性求参数范围 6 题型二：比较大小 8 题型三：已知奇偶性求参数 10 题型四：中值模型 11 题型五：最大值与最小值问题 13 题型六：利用性质解函数不等式问题 17 题型七：单调性、奇偶性的综合问题 21 05 过关测试 27 知识点1、单调性与最大（小）值 （1）增函数 设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. （2）减函数 设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. （3）单调性、单调区间、单调函数 如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间. 如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数. （4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下： ①设值：设，且 ； ②作差： ； ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底； ④判断符号，得出函数的单调性. （5）函数的最大值与最小值 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足: （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么我们称M是函数的最大值. ②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足: （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么我们称是函数的最小值. 知识点2、奇偶性 （1）偶函数 设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 关于偶函数有下面的结论： ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件； ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立； ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. （2）奇函数 设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 关于奇函数有下面的结论： ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件； ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立； ③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点； ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. 题型一：已知单调性求参数范围 【例1】（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·期中）若函数在上是单调递增函数，则的取值集合是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，当时，， 又函数在上是单调递增函数，则，即； 当，， 由函数在上单调递增可知，，解得， 综上所述，， 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·河南信阳·期中）函数，满足对、且，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设，由，可得， 所以函数在上为减函数， 依题意得， 解得，所以. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】二次函数的对称轴为， 若二次函数在区间上单调递增，有，可得. 若函数单调递增，有. 若函数在上单调递增， 有，可得. 故选：A. 题型二：比较大小 【例2】（25-26高一上·广东·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为偶函数，，， 当时，是增函数，又， 所以，即. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数是偶函数，所以，所以函数关于直线对称， 又因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增， 又因为，所以， 又因为，所以，所以. 故选：C. 【变式2-2】（22-23高一上·重庆渝中·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为关于中心对称， 所以对称中心是，即是奇函数，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以，即. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一上·江苏·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，. 对于A：因为，在上单调递增，所以，故A错误； 对于B：因为，在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为，在上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为正负不知， 所以大小关系不定，故D错误； 故选：C. 题型三：已知奇偶性求参数 【例3】（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】令，解得， 定义域为， ，即恒成立， ，化简得， 解得. 故选：D 【变式3-1】（25-26高一上·安徽·期中）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因是定义域上的奇函数， 所以，得， 经验证时，是奇函数，故. 故选：C 【变式3-2】（2025·山东·三模）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 是奇函数， ， ，. 故选：B. 题型四：中值模型 【例4】（25-26高一上·山东泰安·期中）设函数在区间的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4050 【解析】， 令， 则当时，，， 又，即为奇函数， 则，由题意得，故， 故答案为：4050． 【变式4-1】（25-26高一上·宁夏石嘴山·期中）已知，若正实数满足，则的最小值是 【答案】8 【解析】因为的定义域为，且，所以为奇函数， 又因为，所以， 因为单调递增，所以，即， ， 当且仅当，即时，取最小值8. 故答案为：8. 【变式4-2】（24-25高一上·贵州遵义·期中）若函数，则 ． 【答案】4049 【解析】令，显然， 即为奇函数，所以，则的图像关于中心对称， 则，又， 故 . 故答案为：4049 【变式4-3】（24-25高一上·江西吉安·期中）已知函数，则 ． 【答案】4 【解析】令，则； 因，即满足， 又 ，知是上的奇函数； 则. 故答案为：4. 【变式4-4】（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则 . 【答案】4050 【解析】， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 题型五：最大值与最小值问题 【例5】（25-26高一上·重庆·月考）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 【解析】（1）偶函数，理由如下： 由题意得，则， 所以的定义域为，关于原点对称， 由， 则， 所以是偶函数. （2）因为， 因为，又因为，则， ①当时，为增函数，此时，故的值域为， ②当时，为减函数，此时，故的值域为. 综上所述，当时，故的值域为. 当时，的值域为. （3）由题意， 设，因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 所以时，， 所以在区间上的最小值为，且对称轴为，开口向上， ①当，即时，此时在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值为，不符合题意，故舍去； ②当，即时，此时在区间上单调递减， 在上单调递增，则时，有最小值为，解得（负值舍去），符合题意； ③当，即时，此时在区间上单调递减， 所以当时，最小值为，解得舍去. 综上所述，的值为. 【变式5-1】（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知函数 (1)若为偶函数，求在上的值域； (2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围； (3)当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数为偶函数， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以当时，. 即所求函数的值域为． （2）因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为， 又函数在上单调递减，所以． 所以实数的取值范围为. （3）由题意，当时，的图象恒在直线的上方， 所以在区间上恒成立，即， 等价于恒成立， 因为（当且仅当即时取等号）. 所以. 所以实数的取值范围为． 【变式5-2】（25-26高一上·四川自贡·期中）已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论． 【解析】（1）由的图象过点，得， 又， 联立解得：，， 函数的解析式为； （2）由（1）得， ，， 所以当且仅当时，， 所以； （3）函数在上是减函数．证明如下： 设， 则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数． 【变式5-3】（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，， (1)用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减． (2)当时，写出的单调区间． (3)若在上为单调函数，求的取值范围． (4)求函数的最大值与最小值之差． 【解析】（1）当时，． 设是区间上任意两个实数，且， 则，于是， 由函数单调性的定义可知，函数在区间上单调递减． （2）当时， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为． （3） 由，得或． 由题意得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为在上为单调函数，所以在上为增函数， 所以，即的取值范围是． （4）由，得， 即． 当时，，则； 当时，，则，解得且． 综上，的取值范围是，即的最大值为2，最小值为． 故的最大值与最小值之差为5． 题型六：利用性质解函数不等式问题 【例6】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式． 【解析】（1）由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，则， 此时满足题意，所以， （2）由（1）得，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数. （3）因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足，解得， 所以不等式的解集为. 【变式6-1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【解析】（1）由题意，则， 此时， 则，即为奇函数，满足题意， 所以. （2）在上单调递减，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，，， 故，即， 所以在上单调递减. （3）由， 则， 由（2）知，在上单调递减， 所以，则，即， 当时，不等式为，解得； 当时，，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 当时，，解得或； 当时，，解得； 当时，，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式6-2】（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，故， 又因为，则， 此时，，则， 所以函数为奇函数，满足题意， 故函数的解析式为. （2）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增． （3）因为函数为奇函数， 由，则， 由（2）知，函数在上单调递增， 则，解得， 所以不等式的解集为. 【变式6-3】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的定义域为，满足：对，都有，当时，，且． (1)求的值，并证明是奇函数； (2)证明：是上的减函数； (3)解关于的不等式． 【解析】（1）令，得，所以． 令，得， 所以， 所以， 所以是奇函数． （2）设，且． 由 ， 因为，所以， 因为时，， 所以，即， 即，所以， 所以是上的减函数． （3）由， 得， 即， 即， 即 即． 因为，所以， 又，所以， 所以． 由（2）知，是上的减函数， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为． 题型七：单调性、奇偶性的综合问题 【例7】（25-26高一上·重庆·月考）已知定义在上的奇函数，且． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于实数的不等式 (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）为定义在上的奇函数， 故，即，故，， 又，故，解得， 在上单调递增，证明如下： ，任取，且， 故， 因为，且，所以，， 又，，所以， 故，所以在上单调递增； （2）为定义在上的奇函数， ， 又在上单调递增，故，解得， 故不等式的解集为； （3）令， 对，恒成立， 故只需， 其中在上单调递增，故， 若，则，满足； 若，在上单调递减， 故，故，解得或（舍去）； 若，在上单调递增， 故，故，解得或（舍去）； 综上，的取值范围是或或. 【变式7-1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若对任意，不等式恒成立，求k的取值范围. 【解析】（1）∵为定义域内的奇函数， ∴，即，解得， ∴， ∵，为奇函数，符合题意， ∴. （2）由（1）知：，是上的减函数.下面进行证明： 任取，且， 则 ， ∵为增函数，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是上的减函数. （3）∵为奇函数， 对任意，不等式恒成立可化为： ，即对任意恒成立. 又是上的减函数， ∴对任意恒成立，可化为： 对任意恒成立， 即对任意恒成立. 记，，只需， 由对勾函数的性质知在上单调递增， ∴， ∴，即k的取值范围是. 【变式7-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为是奇函数， 则其定义域关于原点对称，即， 则， 经验证，此时， 故满足题意； （2）函数在单调递增. 证明：，且， 则， 因为，所以，则， 所以， 即，所以， 函数在单调递增. （3）由题意得：， 由（2）知，在上单调递增，所以， 由，得对称轴方程为， ①当时，即时，， 解得，又， 故； ②当时，即时，， 解得，又， 所以； ③当时，即时，， 解得，又， 所以. 综上，实数的取值范围为. 法二：第（3）问也可转化为， 设， 即恒成立， 即转化为求当时m的取值范围. ，对称轴为， ①当时，即时，， 解得，又， 故； ②当时，即时，， 解得，又， 所以； ③当时，即时，， 解得，又， 所以. 综上，实数的取值范围为. 【变式7-3】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对任意的，都有，求m的取值范围． 【解析】（1）（1）由为奇函数，定义域为，可得， 即，解得， 此时，又， 满足为奇函数，所以． （2）函数在上单调递减，在上单调递增， ，且， 有， 当时， ，所以， 所以在上单调递增． 当时，， 所以，所以， 所以在上单调递减． （3）若对任意的，都有， 只需， 由（2）可知，又， 所以， 所以，解得，或， 即m的取值范围是． 1．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（   ） A．3 B．4 C．－5 D．－1 【答案】A 【解析】令，所以， 的定义域为，又因为，所以为奇函数. 由对数运算及的奇偶性可知, 因为，所以，所以，所以，所以. 故选：A 2．（20-21高一上·江苏南京·月考）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 4．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，满足函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，且， 所以当； 当；当；当 时，成立. 故选：D. 5．（25-26高一上·四川成都·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，且在上单调递增， 由幂函数和指数函数的单调性可知， 由对数函数单调性可知， 所以，故，即. 故选：D 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 结合图象只有D符合， 故选：D 7．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】有四个实根等价于与有三个或四个交点； 若有三个交点，则或；若有四个交点，则且； 作出大致图象如下图所示， 结合图象可知：， ，； 令，则， 由图象可知，，则，； ，， ， 若，则，整理可得：恒成立， ，，，解得：； 综上所述：； 当时，，， 即的取值范围为. 故选：D. 8．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 9．（多选题）（25-26高一上·山东烟台·期末）对于函数，下列描述正确的是（   ） A．在定义域内单调递增 B．在定义域内单调递减 C．值域是 D．图像是中心对称图形 【答案】ACD 【解析】， 对于A，B：因为，所以，所以函数的定义域为， 又因为单调递增，所以单调递增，所以单调递减， 所以单调递增，所以单调递增，故A正确，B错误； 对于C：又，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以的值域是，故C正确； 对于D： ， 所以函数图像关于点中心对称，故D正确； 故选：ACD 10．（多选题）（25-26高一上·广西·期中）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．为上的减函数 D．在上的最大值为6 【答案】ACD 【解析】取，则，所以，故A正确. 取，则， 所以对任意恒成立，所以为奇函数，故B不正确； 任取、且，则， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以. 故为上的减函数，故C正确； 因为函数为上的减函数，则在上的最大值为， 因为， 所以，故在上的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数对于一切实数、都有，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．是增函数 D． 【答案】AD 【解析】对于A，令，，则， 由时，得，，故A正确； 对于B，，则，故B错误． 对于C，设，则， ，，即， 又，，在上单调递减，故C错误； 对于D，令，则， 当时，，， ，对于任意，，D正确． 故选：AD 12．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 又对任意的，都有， 所以在上单调递增， 所以可等价为，即， 当时，不等式可化为，即， 令，则，由于，无解； 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得． 综上，关于的不等式的解集为． 故答案为： 13．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（25-26高一上·云南昭通·期中）若幂函数为偶函数，则 . 【答案】 【解析】因为为幂函数，则，解得或. 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，所以. 故答案为：. 15．（25-26高一上·重庆江北·期中）定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为定义在上的奇函数为减函数， 若，则， 所以，解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 16．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知． (1)求的值域； (2)设，若，，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）， ，，，，， 故的值域为． （2）由题意可知：， 由指数函数性质得在定义域内单调递增， 可知在定义域内单调递增，且，可得， 又因为，所以，可得． ①当时，，与题意矛盾，所以． ②当时，，则，解得． ③当时，，则，解得． 综上，或． 17．（25-26高一上·全国·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足. (1)求； (2)当时，判断和的大小关系. 【解析】（1）由题设可知，由于为偶函数，为奇函数， 则，联立，解得； （2）因为， 由，当且仅当时取等号，且 所以，即． 18．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数为奇函数，且不为常函数. (1)求的值； (2)若，用定义法证明：在上单调递减； (3)若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由为奇函数，则对定义域内的每一个都有， 所以，即，所以， 当时，函数为常函数，与已知矛盾， 所以. （2）由（1）知，， 任取，则， ，则，， ，即所以， 所以函数在上单调递减. （3）对任意的，， 即，得， 记函数，， 则函数在区间上单调递减， 函数在区间上的最大值为， ，因此，实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知函数． (1)求的零点； (2)若函数是偶函数，且当时，，求的解析式； (3)判断在定义域上的单调性，并用定义法证明． 【解析】（1）令，即，所以， 即，所以，解得，即的零点是. （2）当时，， 当时，，又函数是偶函数， 所以 综上，. （3）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 又，所以，所以，故， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $