第11讲 函数方程的综合问题（思维导图+3大知识点+10大题型+过关测试）讲义-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

该高中数学讲义通过思维导图和知识框架图系统构建函数方程综合问题的知识体系，梳理函数零点与方程解的关系、二分法步骤、函数模型应用等核心知识点，按“概念-定理-应用”逻辑呈现，突出零点存在定理等重难点及内在联系。 讲义亮点在于“题型归纳+分层变式”设计，如函数模型应用题型结合工艺品销售等实际问题，培养用数学语言表达现实世界的能力，已知零点个数求参数题型通过分类讨论发展数学思维。例题与变式题梯度分明，基础生掌握方法，优秀生深化探究，助力教师精准教学。

第11讲 函数方程的综合问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、 函数的零点与方程的解 4 知识点2、用二分法求方程的近似解 4 知识点3、 函数模型的应用 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：二分法的应用 6 题型二：函数模型的应用 7 题型三：已知零点个数求参数 11 题型四：等值线问题 14 题型五：零点的存在性定理 19 题型六：零点嵌套问题 20 题型七：函数嵌套问题 22 题型八：比较零点的大小 27 题型九：根据指对幂函数零点的分布求参数 29 题型十：函数与方程的综合应用 32 05 过关测试 37 知识点1、 函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以 方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点. （2）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 知识点2、用二分法求方程的近似解 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的中点. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）. 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解. 知识点3、 函数模型的应用 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等. 题型一：二分法的应用 【例1】（2025·高一·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 【变式1-1】（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则方程的解应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 【变式1-2】（2025·高一·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 【变式1-3】（2025·高一·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 题型二：函数模型的应用 【例2】（2025·高一·辽宁抚顺·期末）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【解析】（1）由题意，，可得， 则. （2）由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①不符合， 所以，选②， 则，可得，即， 综上，且定义域为 （3）由题意 所以 当， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元. 当在上单调递减， 此时最小值为元, 综上，的最小值是441元. 【变式2-1】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章x（万件），其它成本为（万元），且，经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完. (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）总收入：， 当时， 当时， 所以，2026年总利润为：； （2）当时， 当时，利润最大，最大为万元. 当时， 当且仅当，即：时，利润最大，最大为25万元. 因为，所以年产量为8万件时，利润最大，最大为25万元． 【变式2-2】（2025·高一·甘肃酒泉·期末）某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下： 实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示： t（月） 1 2 3 4 P（得分） 3 12 27 48 实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，． (1)根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式； (2)根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式； (3)若两个实验室均研发至第6个月． （i）用实验室A的模型预测性能得分； （ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分； （ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，） 【解析】（1）由时，，若，则，此时，不满足题意， 故，又当时，，所以， 当时，，所以， 此时，当时，，当时，，满足题意， 故； （2）由于用实验室的数据来求参数， 所以当时，，代入得：， 当时，，代入得：， 两式相减得：，代入可得：， 所以； （3）（i）实验室研发至第6个月，用实验室A的模型预测性能得分： 则，所以用实验室A的模型预测性能得分为分； （ⅱ）实验室研发至第6个月，用实验室B的模型预测性能得分： 则， 所以实验室B的模型预测性能得分约为分； 从技术发展的长期可持续性角度，我认为甲技术路线更优，因为尽管在第1个月时乙路线得分更高，但从第2个月起，甲路线的得分就反超并持续大幅领先，且二次函数的增长速度远快于对数函数，因此甲路线更优. 【变式2-3】（2025·高一·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【解析】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 题型三：已知零点个数求参数 【例3】（2025·高一·广东东莞·期中）如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求实数的取值范围； (3)若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可得，解得，故. （2）因为函数在定义域上为增函数， 由可得，解得， 故实数的取值范围是. （3）因为关于的方程存在实数解，即存在实数解， 结合图象可得，整理可得，解得或， 故实数的取值范围是. 【变式3-1】（2025·高一·宁夏固原·期中）已知函数 (1)求函数的零点； (2)若函数有两个零点，求的取值范围；（注:在给定的坐标系内画图） (3)若函数有四个零点，记的四个零点从左到右分别为，，，，求的取值范围． 【解析】（1）由，得，符合， 由，得，符合， 所以的零点为1和3； （2）作出的图象如下， 若有两个零点，即有两个解， 则函数与有两个交点，由图象可得或， 所以的取值范围为或； （3）由（2）若有四个零点，且四个零点从左到右分别为，，，， 则由二次函数图象对称性可知：， 由知，由得， 所以， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，所以， 所以． 【变式3-2】（2025·高一·上海浦东新·期中）函数. (1)若，求的解集； (2)若关于x的方程只有一个根，求a的值； (3)关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，由可得，解得， 故的解集为； （2）由可得，依题意，该方程只有一个实根， 当时，由方程，解得，方程只有1个解，符合题意； 当时，由，解得，符合题意. 综上，或1； （3）即，依题意，该不等式的解集为R， 当时，，解得，不合题意； 当时，需满足，可得. 综上，实数a的取值范围为. 【变式3-3】（2025·高一·广东中山·月考）已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)设函数的值域为区间，求； (3)函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围 【解析】（1）由，可得的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 为偶函数. （2）， 令，则， 又函数为增函数 ∴，即. （3）方法一： 令，， 则由， 即直线与对勾函数，有且仅有一个交点. 在平面直角坐标系中画出对勾函数， 易知当且仅当时，取到最小值4. 由图可知，当或当时，直线与对勾函数有且仅有一个交点， 故实数的取值范围为或 方法二： 令在区间上恰有一个零点， 即函数在上恰有一个零点. ①，即， (i)若，得方程，解得，符合题意； (ii)若，得方程，解得，不符合题意； ②当且零点在上时只需，即，解得； ③当零点为4时，只需，即，无解. 综上所述，实数的取值范围为或. 题型四：等值线问题 【例4】（2025·高一·重庆·期中）已知函数，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】有四个实根等价于与有三个或四个交点； 若有三个交点，则或；若有四个交点，则且； 作出大致图象如下图所示， 结合图象可知：， ，； 令，则， 由图象可知，，则，； ，， ， 若，则，整理可得：恒成立， ，，，解得：； 综上所述：； 当时，，， 即的取值范围为. 故选：D. 【变式4-1】（2025·高一·江苏淮安·期中）已知函数，若，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象关于直线对称， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 令，则函数的图象与直线有3个交点，其横坐标为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象，得，，， 由，得，因此， 所以的取值范围是. 故选：A 【变式4-2】（2025·高一·辽宁大连·期中）已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，作出函数的图象如下图所示： 设， 当时，， 由图象可知，，则，可得， 由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以， 因此，. 故选：A. 【变式4-3】（2025·高一·贵州遵义·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，在上单调递增，且值域为， 所以必有唯一解； 所以当时，有两个不同的根， 即有两个不同非正根，并设其两根为， 即，解得， 由，则，解得， 综上所述：的取值范围为，故B项正确. 故选：B. 【变式4-4】（2025·高一·云南曲靖·期末）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象， 关于的方程有四个不同的解， 可知与的图象有4个交点， 结合图象可得，且，即， 又因为，即， 可得，所以，即， 则， 因为在内单调递增，且，， 可知，即，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式4-5】（2025·高一·天津河北·期末）已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当时函数值为，当趋近于时，函数值趋于正无穷； 在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当趋近于0时趋近于，当趋近于时趋近于，如图所示： 由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图知：， 设为方程的两根，即的两根，即的两根， 则，设为方程的两根，即的两根， 则，因此， 由，得，即，则， 所以． 故选：A 题型五：零点的存在性定理 【例5】（2025·高一·天津·期末）已知函数的零点为，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数定义域为，与在均单调递增， 故在单调递增． ； ， 因且，故． 由函数单调递增且、，得零点所在区间为． 故选：C． 【变式5-1】（2025·高一·云南昭通·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.因为在上为增函数，且，， 所以的零点所在的区间为. 故选：C 【变式5-2】（2025·高一·江西吉安·期末）已知函数，则的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解析式知，则，故函数的定义域为， 而在上均单调递增， 所以在上单调递增，而， 所以的零点所在大致区间为. 故选：C 【变式5-3】（2025·高一·江苏淮安·期中）函数的零点所在的大致区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ， ， 所以函数的零点所在的大致区间是， 故选：D 题型六：零点嵌套问题 【例6】（2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【解析】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 【变式6-1】（2025·高三·福建漳州·月考）已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 【变式6-2】（2025·高一·广东广州·期中）已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，（时等号成立）， 当时，在单调递减且， 的图像如图所示， 令，，即， 由有个不等解知， 一根，另一根， 根据韦达定理，，， 则，，， 由，所以. 故选：B. 题型七：函数嵌套问题 【例7】（2025·高一·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，；当时，． 作函数的图象可得， 令，则． 当时，方程没有解， 当时，方程有一个解， 当时，方程有两个解， 当时，方程有三个解， 因为恰有个零点， 所以有两个根（不妨设）． 所以， 由韦达定理可得． 要使有个零点，则需满足． 设，则． 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C. 【变式7-1】（2025·高一·重庆·期末）已知函数，若函数在有8个不同零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，得， 解得或， 作出函数的图象如图所示： （1）当时，有无数个解，不符合； （2）当时，则方程无解， 因为函数在有8个不同零点， 所以方程在有8个不同的实根， 即函数与的图象在有8个不同的交点， 由图可知，，所以， （3）当时，则方程无解， 则方程在有8个不同的实根， 即函数，的图象在有8个不同的交点， 由图可知，，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D 【变式7-2】（2025·高三·江苏镇江·月考）已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为偶函数，且当时，， 所以的大致图象如题所示， 令，则方程化为， 结合图象可知当时，有4个不同的实根， 所以原问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实根， 令，则，解得， 即实数的取值范围为， 故选：A 【变式7-3】（2025·高一·四川德阳·期末）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则令 即有4个不同的实数根. 则要有两个解， 由图知，. ，得. 则. 令，得，则，，得，. 则. 故选：D. 【变式7-4】（2025·高三·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 则. 故选：C. 【变式7-5】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，由可得， 即，解得或， 当，即时，， 当，即时，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有两个交点， 又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可得，所以实数的取值范围是. 故选：B. 题型八：比较零点的大小 【例8】（2025·高一·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示． 由图象可知．故B正确. 故选:B． 【变式8-1】（2025·高二·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 【变式8-2】（2025·高一·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象， 如图所示，由图可知，. 故选：C. 【变式8-3】（2025·高一·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 题型九：根据指对幂函数零点的分布求参数 【例9】（2025·高二·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）． (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【解析】（1）若为奇函数，则， 即， ，，，解得：. （2）当时，，， ， 当时，，又在上单调递增， 当时，， 令，则方程在上有实根， 在上有实根，又在上单调递增， ，. 【变式9-1】（2025·高一·湖南·期末）已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 【解析】（1）把点带入解析式可得：，解得，， 故的解析式为. （2）函数有且只有一个零点方程有且只有一个零点， 因为，且的定义域为，所以为偶函数， 由可得，所以，即. 【变式9-2】（2025·高一·安徽芜湖·期末）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以原不等式可化为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若当时，关于的方程有且仅有一个实数解， 则方程有且仅有一个实数解， 所以有且仅有一个属于的实数解． 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，， 当趋向于0时，趋向于， 所以或，解得或或， 所以实数的取值范围是． 【变式9-3】（2025·高一·广东梅州·期末）已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数． (1)求在上的最值； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）依题意，， 的图象是开口向上， 以为对称轴的抛物线，则当时，取得最小值， 又函数单调递增，从而的最小值为，当时，取得最大值2， 从而的最大值为，即4． （2）因为    ①， 以代入，可得， 因为为奇函数，有：， 为偶函数，有：， 于是有       ②， 联立①和②，解得：，． （3）依题意， . 当，由在上单调递增可知，， 要使在上存在零点， 即要在存在零点， 又是开口向下的抛物线且， 则需或，解得， 所以满足题意的实数的取值范围为． 题型十：函数与方程的综合应用 【例10】（2025·高一·福建厦门·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足了，则称为“局部反比例对称函数”. (1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由； (2)已知函数是“局部反比例对称函数”，求的值； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数，则，令，即，，所以定义域内不存在实数，使，故函数不是“局部反比例对称函数”. （2）因为函数是“局部反比例对称函数”，所以，即，化简得，若等式成立，则，解得或，又因为，所以或. （3）函数，所以，因为是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，所以， 整理得，令，所以方程在上有解， 设，则其图象开口向上，对称轴为， 若，则函数在单调递增，所以，即，解得，故； 若，则函数在上有解，满足，即，解得，故； 综上所述，实数的取值范围为. 【变式10-1】（2025·高一·云南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 【解析】（1）由，① 得，② ②①，得， 所以. （2）由（1）得，由，得， 则，得或， ，. 由， 化简得，解得或. （3）由，得， 因为，，所以， 解得，所以的取值范围为. 【变式10-2】（2025·高一·山东德州·期中）给定，若存在实数，使得成立，则定义为的点，已知函数. (1)当时，求的点； (2)当，时，若在上存在两个相异的点，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 由，即，解得或. 所以当，时，的点为1和2. （2）当，时，， 由在上存在两个相异的点，可得在上有两个不同的实数解， 即得在上有两个不同的实数解. 令，则函数在上有两个零点， 故，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. （3）函数总存在两个相异的点，得方程，即恒有两个不等实根， 依题意，对任意的，总存在，使成立， 即对任意的，总存在，使成立，而恒成立， 于是存在，不等式成立， 而，从而得不等式 在上有解， 又二次函数开口向上，因此或， 即“或”或“或”. 则有或，所以的取值范围是. 【变式10-3】（2025·高一·重庆沙坪坝·期中）已知函数为奇函数，且． (1)求，并指出函数在的单调性（不用证明）； (2)若方程有四个不等实根， ①求实数m的取值范围； ②求的范围． 【解析】（1）函数为奇函数，，即，解得， 又，，解得， ， 设，， 当，则，，，即函数在是单调递增函数； 当，则，，，即函数在是单调递减函数， 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. （2）①令，则方程化为， 为奇函数，故图象关于原点对称， 又方程有四个不等实根， 有两个不等的实根，则， 又当时，，当且仅当，即时等号成立，， 为奇函数，故图象关于原点对称，当时，， ， 设，则，解得， 故实数m的取值范围为. ②结合①可知是的两个根，同时注意到， ，，其中， 同时，， 同理，由，可得， 原式 ，显然关于在上单调递增， . 1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：mL血液中酒精含量在mg之间为酒后驾车，mg及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每mL血液中的酒精含量上升到了mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20% 的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（    ）小时才能驾驶.（参考数据：） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【解析】想要在不违法的情况下驾驶汽车，则每血液中酒精含量小于， 即小时后，，则，两边取对数得， 即小时， 所以至少需要等待11个小时， 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏·期中）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 【答案】C 【解析】设每株多肉植物的售价为元，则每天销量为株， 每天的销售额为， ，即，解得， 每株这种多肉植物的最低售价为元，故C正确． 故选：C． 3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在定义域上单调递增，在内单调递增， 所以在定义域上单调递增， ，，，， 根据零点存在定理可知，函数的零点所在区间为． 故选：C 4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因有四个实数解，所以时方程有一个实数解，时方程有三个实数解. ①当时，由，即，因方程要有一个正实数解， 所以，即，方程有一正实数解. ②当时，由，即，显然方程有一个实数解. 所以有两负实数解，设为，由根与系数关系得 ，，得. 综上①②，得. 故选：D. 5．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若 ，即和同号或至少一个为零， 若或，则函数在端点有零点， 若和同号，函数可能在区间内穿过零点，例如： 由连续性，函数在内存在零点， 因此，不能保证没有零点，即条件不充分； 如果函数在 上没有零点，则对任意，有 ， 由于函数连续，若 和 异号（即 ）， 则由零点存在定理，存在 使得，与“没有零点”矛盾， 因此，没有零点时，和 必须同号（即），这蕴含， 故“没有零点”蕴含“”，即条件是必要的. 所以“”是“函数在区间上没有零点的必要不充分条件. 故选：B 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增，则在上至多一个零点， 又，， 根据零点存在定理知函数在区间内存在零点， 函数在上的零点个数为1，故B正确． 故选：B． 7．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 8．（25-26高一·全国·假期作业）已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，．若函数至少有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由知，是周期为2的周期函数，函数至少有6个零点等价于函数与的图象至少有6个交点． ①当时，画出函数与的部分图象如图所示．根据图象可得，即． ②当时，画出函数与的图象如图所示． 根据图象可得，即． 综上所述，实数a的取值范围是． 故选：A． 9．（多选题）（25-26高一上·山东烟台·期末）设函数，已知在有且仅有5个零点，下列结论正确的有（   ） A．在有且仅有2个零点 B．在有且仅有3个零点 C．在单调递增 D．的取值范围是 【答案】BCD 【解析】因为，所以， 因为在有且仅有5个零点，所以， 所以，解得，所以的取值范围是，故D正确； 令，可得， 所以，所以， 又，所以，所以， 当时，即， 所以可得或，所以在有且仅有2个零点， 当时，即， 可得或或，所以在有且仅有3个零点，故A错误； 令，得，所以， 所以，又，所以， 所以， 又因为，所以或或， 所以在有且仅有3个零点，故B正确； 因为，所以， 又因为，所以， 所以在单调递增，故C正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（   ） A．方程有两个解 B．若函数，则函数在上单调递增 C．与y=的图象关于对称 D．二分法求解方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 【答案】ACD 【解析】选项A，令函数与，如图所示， 因为函数与为单调递增函数， 且图象只有两个不同的交点， 所以方程有两个解，故A选项正确； 由函数， 当时，在单调递增， 当时，， 若，则函数在单调递减，故B选项不正确； 由与y=互为反函数，故两个函数图象关于对称， 故C选项正确； 令， 由函数与在上单调递增， 所以函数在上单调递增且图象连续， 又， 所以函数零点在区间上， 即方程的根落在区间上，故D选项正确； 故选：ACD. 11．（多选题）（21-22高一上·江西景德镇·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【解析】当时，为增函数，值域为. 当时，为增函数，值域为. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则此时，值域为. 作出函数的图象如下： 由函数恰有个零点，得恰有两个不等实数解， 即与有两个不同交点.由图象可知，当，或， 或时，满足条件，故AD正确. 故选：AD. 12．（25-26高一上·广东·期末）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 当时，；当时，； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 又时，，又时，， 要使函数有3个零点，则，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 13．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】作出函数的草图如下： 由图可知：当时，方程无解； 当时，方程有2个不同的实数解； 当时，方程有4个不同的实数解； 当时，方程有3个不同的实数解； 当时，方程有2个不同的实数解. 若关于的方程有8个不同的实数解， 则方程在上有两个不同的实数解. 所以. 故答案为： 14．（25-26高一上·四川成都·期中）已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要 年（最终结果四舍五入，参考数据：，） 【答案】 【解析】由题知，解得，所以， 由得， 因为，所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年. 故答案为： 15．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数和函数. (1)求方程的根的个数； (2)是否存在非负实数m，n，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由； (3)当时，求函数的最大值. 【解析】（1）方程的根的个数，即为函数的图象的交点个数， 在同一坐标系内作出的图象，如图： 观察图象，得函数的图象有唯一交点， 所以方程的根的个数是1. （2）依题意，函数， 假设存在非负实数，使得函数的定义域为，值域为， 而函数在上单调递增，则，即， 因此是方程的两个不等的非负实数根，解得， 所以当时，给定函数的定义域为，值域为. （3）依题意，， 由，得，令，函数， 当时，函数在上单调递增，则； 当时，则；当时，则； 当时，函数在上单调递减，则， 所以. 16．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； (2)若在上的最大值为4，求实数的值. 【解析】（1）由有两个不相等的正数解，即有两个不相等的正数解， 即方程有两个不相等的正数解， 设方程有两个不相等的正数解分别为和， 则满足 ，解得，所以实数的取值范围为. （2）因为的图象开口向上，且对称轴为， 又因为在上的最大值为， ①当时，即时，，解得，符合题意； ②当时，即时，，解得，符合题意， 综上可得，或，即实数的值为或. 17．（25-26高一上·重庆·月考）2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2025年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【解析】（1）由函数，得 ; （2）当时，，在处取最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当（千辆）时取等号，而，所以在千辆时取得最大值30万元. 18．（25-26高一上·北京·期中）二次函数满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求： (1)求的解析式； (2)在区间上，有零点，求的取值范围. (3)在区间上，函数的图像总在一次函数图像的上方，试确定实数的取值范围. 条件①：； 条件②：不等式的解集为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）因为二次函数满足，设. 选择条件①， ， 所以，. 选择条件②， ， 由题知：为方程的根， 所以，. （2）因为在区间上，有零点， 等价于，与有交点， ，，对称轴，， ，，所以. （3）区间上，函数的图像总在一次函数图像的上方， 等价于，恒成立， 即，恒成立，设， 当时，即时， 在为增函数，. 当时，即时， ， 解得，所以， 当时，即时， 在为减函数，. 综上：. 19．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数，． (1)当时，判断上的单调性并求函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； (3)若，，与有2个交点，求的取值范围. 【解析】（1）时，， 令，则 ， 由，则、， 故，即， 故在上单调递增，则的最小值为； （2），由对任意，恒成立， 则，即对任意恒成立， 又，故， 即实数的取值范围为； （3）当时，， 由时，，当且仅当时，等号成立， 故可作出与图象如下图： 由图可得，当时，与有2个交点. 20．（24-25高一上·青海·期中）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若方程有实根，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，则，令，则， 因为的对称轴为，图象开口向上， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又是增函数，由，得到，由，得到， 所以的减区间为，增区间为. （2）因为，令， 则方程有实根，即在上有解， 令，对称轴，图象开口向上， 因为，要使在上有解， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数方程的综合问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、 函数的零点与方程的解 4 知识点2、用二分法求方程的近似解 4 知识点3、 函数模型的应用 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：二分法的应用 6 题型二：函数模型的应用 6 题型三：已知零点个数求参数 8 题型四：等值线问题 9 题型五：零点的存在性定理 10 题型六：零点嵌套问题 11 题型七：函数嵌套问题 11 题型八：比较零点的大小 12 题型九：根据指对幂函数零点的分布求参数 13 题型十：函数与方程的综合应用 14 05 过关测试 16 知识点1、 函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以 方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点. （2）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 知识点2、用二分法求方程的近似解 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的中点. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）. 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解. 知识点3、 函数模型的应用 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等. 题型一：二分法的应用 【例1】（2025·高一·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高一·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高一·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 题型二：函数模型的应用 【例2】（2025·高一·辽宁抚顺·期末）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【变式2-1】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章x（万件），其它成本为（万元），且，经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完. (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式2-2】（2025·高一·甘肃酒泉·期末）某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下： 实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示： t（月） 1 2 3 4 P（得分） 3 12 27 48 实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，． (1)根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式； (2)根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式； (3)若两个实验室均研发至第6个月． （i）用实验室A的模型预测性能得分； （ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分； （ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，） 【变式2-3】（2025·高一·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 题型三：已知零点个数求参数 【例3】（2025·高一·广东东莞·期中）如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求实数的取值范围； (3)若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 【变式3-1】（2025·高一·宁夏固原·期中）已知函数 (1)求函数的零点； (2)若函数有两个零点，求的取值范围；（注:在给定的坐标系内画图） (3)若函数有四个零点，记的四个零点从左到右分别为，，，，求的取值范围． 【变式3-2】（2025·高一·上海浦东新·期中）函数. (1)若，求的解集； (2)若关于x的方程只有一个根，求a的值； (3)关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围. 【变式3-3】（2025·高一·广东中山·月考）已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)设函数的值域为区间，求； (3)函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围 题型四：等值线问题 【例4】（2025·高一·重庆·期中）已知函数，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高一·江苏淮安·期中）已知函数，若，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高一·辽宁大连·期中）已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·贵州遵义·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2025·高一·云南曲靖·期末）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2025·高一·天津河北·期末）已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：零点的存在性定理 【例5】（2025·高一·天津·期末）已知函数的零点为，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高一·云南昭通·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高一·江西吉安·期末）已知函数，则的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高一·江苏淮安·期中）函数的零点所在的大致区间是（   ） A． B． C． D． 题型六：零点嵌套问题 【例6】（2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【变式6-1】（2025·高三·福建漳州·月考）已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-2】（2025·高一·广东广州·期中）已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：函数嵌套问题 【例7】（2025·高一·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·高一·重庆·期末）已知函数，若函数在有8个不同零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高三·江苏镇江·月考）已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·高一·四川德阳·期末）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2025·高三·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-5】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型八：比较零点的大小 【例8】（2025·高一·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·高二·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·高一·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·高一·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型九：根据指对幂函数零点的分布求参数 【例9】（2025·高二·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）． (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【变式9-1】（2025·高一·湖南·期末）已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 【变式9-2】（2025·高一·安徽芜湖·期末）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围． 【变式9-3】（2025·高一·广东梅州·期末）已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数． (1)求在上的最值； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围． 题型十：函数与方程的综合应用 【例10】（2025·高一·福建厦门·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足了，则称为“局部反比例对称函数”. (1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由； (2)已知函数是“局部反比例对称函数”，求的值； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 【变式10-1】（2025·高一·云南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 【变式10-2】（2025·高一·山东德州·期中）给定，若存在实数，使得成立，则定义为的点，已知函数. (1)当时，求的点； (2)当，时，若在上存在两个相异的点，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数的取值范围. 【变式10-3】（2025·高一·重庆沙坪坝·期中）已知函数为奇函数，且． (1)求，并指出函数在的单调性（不用证明）； (2)若方程有四个不等实根， ①求实数m的取值范围； ②求的范围． 1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：mL血液中酒精含量在mg之间为酒后驾车，mg及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每mL血液中的酒精含量上升到了mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20% 的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（    ）小时才能驾驶.（参考数据：） A．11 B．10 C．9 D．8 2．（25-26高一上·江苏·期中）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一·全国·假期作业）已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，．若函数至少有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一上·山东烟台·期末）设函数，已知在有且仅有5个零点，下列结论正确的有（   ） A．在有且仅有2个零点 B．在有且仅有3个零点 C．在单调递增 D．的取值范围是 10．（多选题）（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（   ） A．方程有两个解 B．若函数，则函数在上单调递增 C．与y=的图象关于对称 D．二分法求解方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 11．（多选题）（21-22高一上·江西景德镇·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 12．（25-26高一上·广东·期末）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 13．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 14．（25-26高一上·四川成都·期中）已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要 年（最终结果四舍五入，参考数据：，） 15．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数和函数. (1)求方程的根的个数； (2)是否存在非负实数m，n，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由； (3)当时，求函数的最大值. 16．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； (2)若在上的最大值为4，求实数的值. 17．（25-26高一上·重庆·月考）2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2025年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 18．（25-26高一上·北京·期中）二次函数满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求： (1)求的解析式； (2)在区间上，有零点，求的取值范围. (3)在区间上，函数的图像总在一次函数图像的上方，试确定实数的取值范围. 条件①：； 条件②：不等式的解集为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 19．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数，． (1)当时，判断上的单调性并求函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； (3)若，，与有2个交点，求的取值范围. 20．（24-25高一上·青海·期中）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若方程有实根，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $