专题09 一元二次方程应用题分类训练2（传播围栏道路销售水电费5种类型40道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题09 一元二次方程应用题分类训练2 （传播围栏道路销售水电费5种类型40道） 考点01 传播问题 考点02 几何相关围栏问题 考点03 几何相关道路问题 考点04 销售利润 考点05 水费与电费 考点01 传播问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)经过第三轮传染一共有512人感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 根据题意列式计算即可． 【详解】（1）每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）根据题意得：人， 答：经过第三轮传染一共有512人感染． 2．某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】(1) (2)会超过 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． （2）解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 3．化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 4．某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 5．小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【答案】小华邀请了10名同学转发 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传播规则，结合经过两轮转发后共有111个人参与了小华创意作品的转发活动，即可得出关于x的一元二次方程求解． 【详解】解：设小华邀请了x名同学转发， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小华邀请了10名同学转发． 6．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】(1)甲和乙 (2)丙的说法不正确 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据每一个人每周能够号召个人参加列出代数式求解即可得； （2）根据题意建立方程，解方程，结合为正整数求解即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 又∵是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 7．有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 【答案】(1) (2)医院至少需要设置167个重症病房 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据在每轮传染中平均1个人传染了x个人，列出代数式即可； （2）先根据两轮传染后，有100人患上流感，列出方程求出的值，进而求出三轮传染后的总人数，设医院需要设置y个重症病房，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第一轮被传染的人数为x，第二轮被传染的人数是， 两轮传染后，患上流感的人数为． （2）由题意，得， 解得（舍去），， 经过第三轮传染后，患上流感的人数为． 设医院需要设置y个重症病房，则设置个普通病房． 由题意，得， 解得， 为正整数， ， ∴医院至少需要设置167个重症病房． 8．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 考点02 几何相关围栏问题 9．“谁知盘中餐、粒粒皆辛苦．”某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成、围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． (1)若要使围成矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽； (2)该校想要围成一个面积为的矩形试验田，请判断这一想法能否实现？说明理由． 【答案】(1)养鸡场的长为，宽为 (2)不能实现，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，根据养鸡场的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）假设这一想法能实现，设，则，根据养鸡场的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可得出假设不成立，即这一想法不能实现． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：养鸡场的长为，宽为； （2）解：这一想法不能实现，理由如下： 假设这一想法能实现，设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去， 假设不成立， 即这一想法不能实现． 10．如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米．若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； 【答案】栅栏的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设，根据题意列出方程，进而根据墙长28米，即可求解． 【详解】解：设，根据题意得， ． 解得：． ∵， ∴． ∴，即的长为米． 答：栅栏的长为米． 11．如图，某农场要利用一面墙（墙长为50米）建蔬菜实验田，用120米的围栏围成总面积为800平方米的三个大小、形状完全相同的矩形实验田，种植三种不同蔬菜，求实验田的边长各为多少米？ 【答案】米，米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设的长度为米，则的长度为米，然后根据矩形的面积公式列出方程，结合题意舍掉不合适的结果即可． 【详解】解：设米，则米，得 解得 又墙长为50米， ， 米，米． 12．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米． (1)________米（用含的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (3)矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 【答案】(1) (2)篱笆的长为10米； (3)矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式． （1）设篱笆长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）根据矩形围栏面积为270平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【详解】（1）解：设栅栏长为x米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴米， 故答案为：； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （3）解：不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到270平方米． 13．某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形的面积都等于矩形面积的，设长为． (1)请直接写出：____________； (2)当矩形的面积为时，求的长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点， （1）由已知得出，进而即可得解； （2）用x表示出，然后根据题得出x的取值范围和列出方程，求解即可 熟练掌握找准等量关系，正确列出元一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）∵矩形与矩形的面积都等于矩形面积的， ∴ ∴ ， ∴， 故答案为：； （2）∵， ，依题意，得， ， ， ， 依题意，得，解得， ， ， 的长为． 14．如图，利用一面长为20米的墙，用总长度34米的木栏围成一个中间隔开的矩形围栏，且留如图所示的两个1米宽的小门，设木栏长为x米． (1)_________米（用含x的代数式表示）： (2)若矩形围栏的面积为96平方米，求木栏的长度． 【答案】(1) (2)木栏的长度为米 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设木栏长为x米， 由题意可得：米； （2）解：由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故木栏的长度为米． 15．教育部联合共青团中央、全国少工委印发《关于加强中小学劳动教育的意见》．为了更好的落实文件精神，丰台区某校八年级学生到北京农机试验站学农教育基地进行了为期一周的学农活动．在基地，学生们进行了翻地整地、菜苗移植、认识蔬菜、制作香皂等活动．在参观牛舍的过程中，同学们发现工作人员为了保护小牛，给每头小牛盖了专门的牛舍．如图所示，整个小牛舍区域是长20 m，宽6 m的矩形，其中每一个小牛舍是一面靠墙，其余三面用围栏围成的矩形．为了照顾小牛方便，工作人员在每个小牛舍周围留着等宽的小路，如果每个小牛舍的面积是12.5 m2，请求出小路的宽．(设小路的宽为x m) 【答案】小路的宽为1 m 【分析】设小路的宽为xm（x＜6），则6间小牛舍可合成长（20-5x）m、宽（6-x）m的矩形，根据矩形的面积公式结合6间小牛舍的总面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设小路的宽为x m(x＜6)，则6间小牛舍可合成长(20－5x)m、宽(6－x)m的矩形， 根据题意得(20－5x)(6－x)＝12.5×6， 解得x1＝1，x2＝9(不合题意，舍去)． 答：小路的宽为1 m. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．如图，学校要搭建一个矩形车棚，一边靠墙，在与墙正对的一面开了两个门．已知每个门宽度都是米，三边围栏材料的总长为米．    (1)如果要使车棚的面积为平方米，且尽量使靠墙的边长一些，那么垂直墙的一边长度应为多少米？ (2)这个车棚的面积能否达到平方米？ 【答案】(1)垂直墙的一边长度应为米 (2)这个车棚的面积不能达到平方米 【分析】（1）设垂直墙的一边长为米，根据题意列方程解方程即可； （2）假设能使车棚的面积达到平方米，设这时垂直墙的一边长为米，根据题意列方程解方程即可． 【详解】（1）解：设垂直墙的一边长为米，则依题意，得 ， 整理，得， 解这个方程，得 ，， ∵尽量使靠墙的边长一些，即尽量使垂直墙的一边小一些， ∴应取． 答：垂直墙的一边长度应为米； （2）解：假设能使车棚的面积达到平方米，设这时垂直墙的一边长为米，则依题意，得 ， 整理，得， ∵， ∴该方程没有实数解，即在实数范围内，不存在一个值，使矩形的面积为平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确题目中的数量关系和等量关系是解题的关键． 考点03 几何相关道路问题 17．某小区计划在一块长，宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．求道路的宽． 【答案】道路的宽为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出方程是解题的关键． 设道路的宽为，再根据题意列出一元二次方程求解，然后确定符合实际的解即可解答． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意可得： ，…… 解得，（舍）． 答：道路的宽为． 18．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为； （2）解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为． 19．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】(1)6m (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 20．如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为米，剩余部分为绿化． (1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含的代数式表示）． (2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度． 【答案】(1)， (2)1米 【分析】（1）道路①根据长方形的面积公式求解即可，道路②利用平移，可转化为道路①求解； （2）设道路的宽x米，则余下部分可合成长为m，宽为m的长方形，根据草坪的面积为551平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）解∶道路①的面积为平方米，道路②的面积为平方米 （2）解：根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去） 答：道路的宽度为1米． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 21．有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口、、、、、的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度． 【答案】2米 【分析】设入口的边的长度为米，根据题意列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设入口的边的长度为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（舍）， 即道路出入口的边的长度为米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意正确列方程即可得到答案． 22．某校准备在一块长为米，宽为米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为米． (1)花园内的小路面积为______平方米用含的代数式表示． (2)若草坪面积为平方米时，求这时道路宽度的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由亭子边长是小路宽度的倍，可得出亭子边长是米，利用花园内的小路面积小路的长度小路的宽度，即可用含的代数式表示出花园内的小路面积； （2）利用草坪的面积长方形花园的面积小路的面积亭子的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：小路宽度为米，亭子边长是小路宽度的倍， 亭子边长是米， 花园内的小路面积为平方米， 故答案为：； （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：这时道路宽度的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出花园内的小路面积；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形场地上修建两横两竖通道，其中横、竖通道的宽度比为3：2．其余部分种植花草，若通道所占面积是整个场地面积的． （1）求横、竖通道的宽度各为多少？ （2）若修建1平方米道路需投资750元， 种植花草1平方米需投资250元．求修建共需投资多少钱？ 【答案】（1）横3m，竖2m；（2）268000元． 【分析】（1）设竖通道的宽为2xm，则横通道的宽为3xm，除通道外部分场地可拼成长（30-4x）m、宽（20-6x）m的长方形，根据长方形的面积公式结合通道所占面积是整个场地面积 的，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据总投资=道路面积×1m2道路造价+草地面积×种植1m2花草费用，即可求出结论． 【详解】解：（1）设竖通道的宽为2xm，则横通道的宽为3xm． 根据题意得：（30-4x）（20-6x）=30×20×（1-）， 整理得：6x2-65x+59=0， 解得：x1=1，x2=（不合题意，舍去）， ∴2x=2，3x=3． 答：横通道宽3m，竖通道宽2m． （2）30×20××750+30×20×（1-）×250， =177 000+91000， =268000（元）． 答：此次修建需要投资268000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据总价=单价×数量，求出总投资钱数． 24．（1）如图1，在一块宽为12m，长为20m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为180m2，求道路的宽； （2）现在对该矩形区域进行改造，如图2，在正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形面积的，求道路的宽． 【答案】（1）道路宽为2m；（2）道路的宽为1m． 【分析】（1）设道路宽为xm，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了(20-x)( 12-x) m2，进而即可列出方程，求出答案； （2）设道路的宽为ym，则正方形边长为4y，根据道路与观赏亭的面积之和是矩形面积的，列方程求解即可． 【详解】解：（1）设道路宽为xm， 根据题意得：(20-x)( 12-x)=180 解得：x1=30（舍去），x2=2 答：道路宽为2m； （2）设道路的宽为ym， 则可列方程：y(12-4y)+y(20-4y)+16y2=×20×12， 即：y2+4y-5=0， 解得：y1=1，y2=-5（舍去）， 答：道路的宽为1m． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 考点04 销售利润 25．某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)销售单价定为元/时，每天的销售利润为元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数，一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和一元二次方程是解题的关键， （1）根据题意利用待定系数法即可求函数解析式； （2）根据每天的销售利润为元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每天获得的利润需要达到元，列出方程，再根据，即可得到结论． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴， 解得， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价元，且不高于元/销售， ∴， ∴每天的销售利润为． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为元/时，每天的销售利润为元． （3）解：不能，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴销售该商品每天获得的利润不能达到元． 26．某菜农在11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜．当天就可以按6元的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损耗，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨元（储藏时间不超过10天，且储藏若干天后一次性售出）． (1)若该菜农要将这批黄瓜储藏x天后一次性出售，则x天后这批黄瓜的销售单价为________元，销售量是________．（均用含x的代数式表示） (2)若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏多少天后出售？ 【答案】(1)； (2)该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏5天后出售 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．找出等量关系列出方程即可得到答案． （1）由原来的销售价格加上涨价部分的价格可得实际销售价格，由原来的销售量减去降低的销售量可得实际的销售量． （2）利用实际销售价乘以实际的销售量再减去成本等于利润建立方程求解即可． 【详解】（1）解：该菜农要将这批黄瓜储藏x天后一次性出售，则x天后这批黄瓜的销售单价为元，销售量是． （2）解：由题意得，， 整理，得， 解得，，， 因为储藏时间不超过10天，所以不符合题意，舍去． 答：若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏5天后出售． 27．年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段；在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台扫地机器人的进货价为元．调查发现，当每台的销售价为元时，平均每天能售出台；而当每台扫地机器人的销售价每降低元时，平均每天就能多售出台．设每台扫地机器人的销售价降低元． (1)这种扫地机器人平均每天的销售量为________台；（用含的代数式表示） (2)该商场要想使这种扫地机器人平均每天的销售利润达到元，则每台扫地机器人的销售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)每台扫地机器人的销售价应降低元或元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据销售利润销售量每台利润列方程． (1)根据每台的销售价为元时，平均每天能售出台；而当每台扫地机器人的销售价每降低元时，平均每天就能多售出台，列出表示销售量的代数式； (2)根据销售利润销售量每台利润，可列方程，解方程即可求出应降低的价格． 【详解】（1）解：由题意得，销售价每降低1元，销量增加 台， 当销售价降低元时，销量增加 台， 故平均每天的销售量为 台， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每台扫地机器人的销售价应降低元或元． 28．第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销． 信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表： 每周销量 80个 每个盈利 16元 市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个 问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列方程求解是关键．设每件玩具应降价x元，则此款玩具的销售利润为元，销量为个，即可列方程求解． 【详解】解：设每件玩具应降价元， 由题意，得， 解，得， 答：每件玩具应降价4元． 29．为深入学习习近平总书记在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上的重要讲话精神，打造“大思政课”品牌．某校举行宣讲活动，活动结束后校园书店准备购进一些爱国主义教育图书，10月份以每套50元的价格购进800套，当月以单价80元销售，售出了200套．11月如果单价不变，预计仍可售出200套，书店老板为增加销售量，决定降价销售，根据学生意向调查，单价每降低1元，可多售出10套，但最低单价应高于购进的价格；11月结束后，书店对剩余的这种图书一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设在11月清仓前图书单价降低元． (1)填表：（不需化简） 时间 10月 11月 清仓时 单价（元） 80 ______ 40 销售量（套） 200 ______ ______ (2)如果书店希望通过销售这批图书获利9000元，那么11月的单价应定为多少元？ 【答案】(1)，， (2)11月的单价应是70元 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程； （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列一元二次方程，并求解即可； 【详解】（1）解：设在11月清仓前图书单价降低元， 11月单价为：元， 11月销售量为：套， 清仓时销售量为：套； 故答案为：，，． （2）解：由题知：， 整理：， 解得， 元； 答：11月得单价应是70元． 30．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲，乙两种头盔进行销售，用元购进甲种头盔，用元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.2倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个． (1)求购进甲，乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为元/个时，月销售量为个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 【答案】(1)甲种头盔的购进单价为30元/个，乙种头盔的购进单价为36元/个 (2)甲种头盔的售价应上涨10元/个 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设甲种头盔的购进单价为元/个，则乙种头盔的购进单价为元/个，根据乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个列出方程，解方程并检验即可； （2）设甲种头盔的售价应上涨元/个，根据甲种头盔的月销售利润达到元列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种头盔的购进单价为元/个，则乙种头盔的购进单价为元/个， 则 解得，， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 答：甲种头盔的购进单价为30元/个，乙种头盔的购进单价为36元/个； （2）设甲种头盔的售价应上涨元/个， 根据题意可得，， 解得 尽可能让顾客得到实惠，取， 答：甲种头盔的售价应上涨10元/个． 31．某电子器件厂生产一种电脑显卡，2022年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2023年、2024年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，成本逐年降低，2024年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个． (1)求2023、2024这两年此类电脑显卡出厂价平均每年下降的百分率； (2)2024年某电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡（不计其他成本），以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，该电脑城决定降价销售．经市场调研发现，每个电脑显卡的单价每降低5元，每天可多售出10个，如果该电脑城想要每天通过销售此类电脑显卡盈利1150元，则每个电脑显卡的单价应降低多少元？ 【答案】(1)10% (2)降低15元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题关键． （1）设平均每年下降的百分率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每个电脑显卡的单价应降低y元，则每个电脑显卡的销售利润为元，平均每天可销售个，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设平均每年下降的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合为了尽快减少库存的题意，舍去）． 答：平均每年下降的百分率为10%． （2）解：设每个电脑显卡的单价应降低y元， 则每个电脑显卡的销售利润为元，平均每天可销售个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，销售量为个； 当时，销售量为个。因为，所以不合题意，舍去． 答：每个电脑显卡的单价应降低15元． 32．2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应为每件元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率为，利用该电商平台2025年11月份吉祥物一月的销售量该电商平台2025年9月份吉祥物一月的销售量（月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得， 整理得， 解得， 又∵要尽量减少库存， ∴取， 答：售价应为每件元． 考点05 水费与电费 33．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可； （2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可． 【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨， 1．6×140＝224＜264， 所以需加收:(元)， 即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40， 又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100； （2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x； 当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100． 即y 用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键． 34．为节约用水、保护水资源，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过吨时，超过部分每吨加收环境保护费元．下图反映了每月收取的水费元与每月用水量吨之间的函数关系的图象．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 四月 35 五月 80 151 （1）求出m的值； （2）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据单价=总价÷数量求出不超过m吨时水费的单价，结合五月的用水量及水费钱数，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据四月的用水量及水费钱数，即可确定m值,； （2）根据总价=单价×数量，即可求出y与x之间的函数关系式． 【详解】（1）由函数图象可知，不超过m吨时，水费为：元/吨， 根据五月份用水量得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）可得，当时，， 当时，， ∴关系式为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）由五月的用水量及水费钱数，列出关于m的一元二次方程；（2）根据总价=单价×数量，求出y与x之间的函数关系式． 35．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析; 【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可； 【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 36．已知某市去年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图所示． （1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式； （2）若某企业去年10月份的水费为620元，求该企业去年10月份的用水量； （3）为鼓励企业节约用水，该市自今年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按去年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元，若某企业今年3月份的水费和污水处理费共600元，求该企业该月的用水量． 【答案】（1）y关于x的函数关系式是y=6x﹣100；（2）该企业去年10月份的用水量为120吨．（3）该企业今年3月份的用水量是100吨． 【分析】（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，代入（50，200）、（60，260）两点求得解析式即可； （2）把y=620代入（1）求得答案即可； （3）利用水费+污水处理费=600元，列出方程解决问题， 【详解】（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b， ∵直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260）， ∴，解得. ∴y关于x的函数关系式是y=6x﹣100. （2）由图可知，当y=620时，x＞50， ∴6x﹣100=620，解得x=120． 答：该企业2013年10月份的用水量为120吨． （3）由题意得，， 化简得x2+40x﹣14000=0 解得：x1=100，x2=﹣140（不合题意，舍去）． 答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨． 【点睛】此题考查一次函数的运用，一元二次方程和一元一次方程的运用，注意理解题意，结合图象，根据实际选择合理的方法解答． 37．为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． (1)该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过的用水量为　　　吨，超过部分应交水费　　　元（用含x的式子表示）． (2)如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该x吨是多少？ 【答案】(1)， (2)60吨 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． （1）根据题意列式即可； （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）依题意得：超过的用水量为吨， ∴超过部分应交水费元， 故答案为：，； （2）解：根据表格提供的数据，可以知道， 由题意得， 解得， ， ， 答：该x吨是60吨． 38．为鼓励市民节约用电，小亮家所在地区规定：每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这户居民这个月只需交元电费；如果超过度，则这个月除了仍要交元的电费以外，超过的部分还要按每度元交电费．已知小亮家月份用电度，交电费元；月份用电度，交电费元． （1）请直接写出小亮家月份超过度部分的用电量（用含的代数式表示）； （2）求的值． 【答案】（1）度．（2）的值为． 【分析】（1）根据题意可知，小亮家2月份超过a度部分的用电量为（80-a）度. （2）根据题意可得等量关系，2月份的电费=15+超过a度部分的用电量×超出部分每度多交的钱数，即可得出一元二次方程，解出取最大值即可. 【详解】解：（1）根据题意得：小亮家月份超过度部分的用电量为度． （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 又， 舍去． 答：的值为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确找出等量关系是解题的关键. 39．某厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月该户只要交10元用电费，如果超过A度，则这个月仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费. （1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的度，则超过部分应交费________元.（用含A的式子表示）； （2）下表是这户居民3月，4月的用电情况和交费情况. 月份 用电量（度） 交电费总数（元） 3月 80 25 4月 45 10 根据上表的数据，求该厂规定的A是多少？ 【答案】解：（1）（2）A =50 【详解】（1）根据题意应为； （2）3月应缴费为10+=25 解得A=30或A=50 因为用电45千瓦时没有超过A 所以A=50 40．为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元． （1）求a的值； （2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？ 【答案】（1）50（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时． 【详解】解：（1）根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得， ，即． 解得a=30或a=50． 由4月份用电45千瓦时，交电费20元，得，a≥45． ∴a=50． （2）设月用电量为x千瓦时，交电费y元．则 ∵5月份交电费45元，∴5月份用电量超过50千瓦时． ∴45=20＋0.5（x－50），解得x=100． （1）根据3月份用电80千瓦时，交电费35元列出方程求解，结合4月份用电45千瓦时，交电费20元，确定a的范围，从而得出结果． （2）列出电费y元与用电量x千瓦时的函数关系式，根据5月份交电费45元，代入即可． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元二次方程应用题分类训练2 （传播围栏道路销售水电费5种类型40道） 考点01 传播问题 考点02 几何相关围栏问题 考点03 几何相关道路问题 考点04 销售利润 考点05 水费与电费 考点01 传播问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 2．某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 3．化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 4．某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 5．小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 6．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 7．有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 8．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 考点02 几何相关围栏问题 9．“谁知盘中餐、粒粒皆辛苦．”某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成、围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． (1)若要使围成矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽； (2)该校想要围成一个面积为的矩形试验田，请判断这一想法能否实现？说明理由． 10．如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米．若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； 11．如图，某农场要利用一面墙（墙长为50米）建蔬菜实验田，用120米的围栏围成总面积为800平方米的三个大小、形状完全相同的矩形实验田，种植三种不同蔬菜，求实验田的边长各为多少米？ 12．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米． (1)________米（用含的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (3)矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 13．某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形的面积都等于矩形面积的，设长为． (1)请直接写出：____________； (2)当矩形的面积为时，求的长是多少？ 14．如图，利用一面长为20米的墙，用总长度34米的木栏围成一个中间隔开的矩形围栏，且留如图所示的两个1米宽的小门，设木栏长为x米． (1)_________米（用含x的代数式表示）： (2)若矩形围栏的面积为96平方米，求木栏的长度． 15．教育部联合共青团中央、全国少工委印发《关于加强中小学劳动教育的意见》．为了更好的落实文件精神，丰台区某校八年级学生到北京农机试验站学农教育基地进行了为期一周的学农活动．在基地，学生们进行了翻地整地、菜苗移植、认识蔬菜、制作香皂等活动．在参观牛舍的过程中，同学们发现工作人员为了保护小牛，给每头小牛盖了专门的牛舍．如图所示，整个小牛舍区域是长20 m，宽6 m的矩形，其中每一个小牛舍是一面靠墙，其余三面用围栏围成的矩形．为了照顾小牛方便，工作人员在每个小牛舍周围留着等宽的小路，如果每个小牛舍的面积是12.5 m2，请求出小路的宽．(设小路的宽为x m) 16．如图，学校要搭建一个矩形车棚，一边靠墙，在与墙正对的一面开了两个门．已知每个门宽度都是米，三边围栏材料的总长为米．    (1)如果要使车棚的面积为平方米，且尽量使靠墙的边长一些，那么垂直墙的一边长度应为多少米？ (2)这个车棚的面积能否达到平方米？ 考点03 几何相关道路问题 17．某小区计划在一块长，宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．求道路的宽． 18．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 19．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 20．如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为米，剩余部分为绿化． (1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含的代数式表示）． (2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度． 21．有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口、、、、、的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度． 22．某校准备在一块长为米，宽为米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为米． (1)花园内的小路面积为______平方米用含的代数式表示． (2)若草坪面积为平方米时，求这时道路宽度的值． 23．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形场地上修建两横两竖通道，其中横、竖通道的宽度比为3：2．其余部分种植花草，若通道所占面积是整个场地面积的． （1）求横、竖通道的宽度各为多少？ （2）若修建1平方米道路需投资750元， 种植花草1平方米需投资250元．求修建共需投资多少钱？ 24．（1）如图1，在一块宽为12m，长为20m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为180m2，求道路的宽； （2）现在对该矩形区域进行改造，如图2，在正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形面积的，求道路的宽． 考点04 销售利润 25．某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 26．某菜农在11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜．当天就可以按6元的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损耗，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨元（储藏时间不超过10天，且储藏若干天后一次性售出）． (1)若该菜农要将这批黄瓜储藏x天后一次性出售，则x天后这批黄瓜的销售单价为________元，销售量是________．（均用含x的代数式表示） (2)若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏多少天后出售？ 27．年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段；在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台扫地机器人的进货价为元．调查发现，当每台的销售价为元时，平均每天能售出台；而当每台扫地机器人的销售价每降低元时，平均每天就能多售出台．设每台扫地机器人的销售价降低元． (1)这种扫地机器人平均每天的销售量为________台；（用含的代数式表示） (2)该商场要想使这种扫地机器人平均每天的销售利润达到元，则每台扫地机器人的销售价应降低多少元？ 28．第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销． 信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表： 每周销量 80个 每个盈利 16元 市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个 问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？ 29．为深入学习习近平总书记在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上的重要讲话精神，打造“大思政课”品牌．某校举行宣讲活动，活动结束后校园书店准备购进一些爱国主义教育图书，10月份以每套50元的价格购进800套，当月以单价80元销售，售出了200套．11月如果单价不变，预计仍可售出200套，书店老板为增加销售量，决定降价销售，根据学生意向调查，单价每降低1元，可多售出10套，但最低单价应高于购进的价格；11月结束后，书店对剩余的这种图书一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设在11月清仓前图书单价降低元． (1)填表：（不需化简） 时间 10月 11月 清仓时 单价（元） 80 ______ 40 销售量（套） 200 ______ ______ (2)如果书店希望通过销售这批图书获利9000元，那么11月的单价应定为多少元？ 30．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲，乙两种头盔进行销售，用元购进甲种头盔，用元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.2倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个． (1)求购进甲，乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为元/个时，月销售量为个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 31．某电子器件厂生产一种电脑显卡，2022年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2023年、2024年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，成本逐年降低，2024年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个． (1)求2023、2024这两年此类电脑显卡出厂价平均每年下降的百分率； (2)2024年某电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡（不计其他成本），以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，该电脑城决定降价销售．经市场调研发现，每个电脑显卡的单价每降低5元，每天可多售出10个，如果该电脑城想要每天通过销售此类电脑显卡盈利1150元，则每个电脑显卡的单价应降低多少元？ 32．2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 考点05 水费与电费 33．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 34．为节约用水、保护水资源，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过吨时，超过部分每吨加收环境保护费元．下图反映了每月收取的水费元与每月用水量吨之间的函数关系的图象．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 四月 35 五月 80 151 （1）求出m的值； （2）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 35．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 36．已知某市去年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图所示． （1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式； （2）若某企业去年10月份的水费为620元，求该企业去年10月份的用水量； （3）为鼓励企业节约用水，该市自今年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按去年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元，若某企业今年3月份的水费和污水处理费共600元，求该企业该月的用水量． 37．为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． (1)该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过的用水量为　　　吨，超过部分应交水费　　　元（用含x的式子表示）． (2)如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该x吨是多少？ 38．为鼓励市民节约用电，小亮家所在地区规定：每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这户居民这个月只需交元电费；如果超过度，则这个月除了仍要交元的电费以外，超过的部分还要按每度元交电费．已知小亮家月份用电度，交电费元；月份用电度，交电费元． （1）请直接写出小亮家月份超过度部分的用电量（用含的代数式表示）； （2）求的值． 39．某厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月该户只要交10元用电费，如果超过A度，则这个月仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费. （1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的度，则超过部分应交费________元.（用含A的式子表示）； （2）下表是这户居民3月，4月的用电情况和交费情况. 月份 用电量（度） 交电费总数（元） 3月 80 25 4月 45 10 根据上表的数据，求该厂规定的A是多少？ 40．为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元． （1）求a的值； （2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？ 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $