专题14 全等证明不同判定方法分类训练（7种类型42道）（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期湘教版2024

专题14 全等证明不同判定方法分类训练 （7种类型42道） 考点01 “SSS”证明全等 考点02 “SAS”证明全等 考点03 “ASA”证明全等 考点04 “AAS”证明全等 考点05 “HL”证明全等 考点06 添加条件证明全等 考点07 灵活选用方法证明全等 考点01 “SSS”证明全等 1．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 2．如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)求证：． 3．如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 4．如图，已知，．求证：． 5．如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 6．已知：如图，，．求证： 考点02 “SAS”证明全等 7．如图，点，，，在同一直线上，，，；求证：． 8．如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接，分别交，于点，，，，．求证：． 9．如图，点、在上，，，．试说明：． 10．如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 11．已知：如图，，，．求证：． 12．如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，并且，，．求证：． 考点03 “ASA”证明全等 13．如图，已知，，，求证：． 14．如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 15．如图，在中，，垂足为D，E为上一点，分别交和的延长线于点F，G，． (1)求证：； (2)若，求和的大小． 16．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．如图，点E在上，与交于点F，，，求证：． 18．已知：如图，，，点E、F在线段上，且，请说明的理由． 考点04 “AAS”证明全等 19．如图．点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且． (1)求证：≌； (2)若，求的长． 20．如图，在中，，，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 21．如图，，，．求证． 22．如图，点B、C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，已知，且．求证：． 23．如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 24．如图，在中，，，点是内部一点，连接，作，，垂足分别为点，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的面积． 考点05 “HL”证明全等 25．已知：如图，，垂足分别为点B、E，，，求证：． 26．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 27．如图，在中，P是的中点，于点D，于点E，且，求证：是等腰三角形． 28．如图，在中，，E是上一点，且，连接并延长交于点F，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并证明． 29．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 30．如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点07 灵活选用方法证明全等 31．在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，，与相交于点F．若_____，求证：． 32．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“”使的条件有______（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 33．如图，已知点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，请添加一个你认为正确的条件并完成证明． 解：我添加的条件是________． 理由如下： 34．如图，，，______，求证：． (1)请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是______，并证明； (2)在（1）的条件下，，，求的长． 35．如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：___________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 36．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 考点07 灵活选用方法证明全等 37．为测量某一水池两端A,B之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端A、B之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接并延长到两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： (1)以上两位同学方案可行的是_______的方案； (2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由； (3)请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 38．如图，以下三个关系：①；②；③．请从这三个关系中，选取其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的一种组合方式并进行证明． 已知： 求证： 39．如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 40．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．请写出你选择的一个真命题加以证明． 已知： 求证： 证明： 41．如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 42．如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 全等证明不同判定方法分类训练 （7种类型42道） 考点01 “SSS”证明全等 考点02 “SAS”证明全等 考点03 “ASA”证明全等 考点04 “AAS”证明全等 考点05 “HL”证明全等 考点06 添加条件证明全等 考点07 灵活选用方法证明全等 考点01 “SSS”证明全等 1．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）根据直接证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ． 在与中，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 3．如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的“边边边”判定定理，通过等式性质得出是解题的关键． 与全等，由，依据等式性质两边加上可得，利用“边边边”判定定理即可证明． 【详解】解：与全等，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∴． 4．如图，已知，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定（SSS），运用了直接判定的方法，解题关键是识别公共边，找全条件证明． 【详解】证明：∵在和中， ∴（） 5．如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ∴． 6．已知：如图，，．求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．根据定理即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 考点02 “SAS”证明全等 7．如图，点，，，在同一直线上，，，；求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，平行线的性质定理． 根据平行得到，然后可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 8．如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接，分别交，于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，熟练运用上述性质是解题的关键． 根据得到，再利用得到，即可证明； 【详解】证明：， ． ， ， 即， 在和中， ， ． 9．如图，点、在上，，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 根据得出，得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：， ． ， ，   即． 在和中， ， ． 10．如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据题意可得，由垂线的定义可得，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 11．已知：如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 先由线段和得到，再由平行线的性质得到，再结合已知条件即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12．如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，并且，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定．先由，点B，F，C，E在同一直线上，得出，再利用“”证明． 【详解】证明：∵，点B，F，C，E在同一直线上， ∴，即， 在和中， ， ∴． 考点03 “ASA”证明全等 13．如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 14．如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由得，进而由即可求证； （）根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明平分； （3）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：， ， ， ， 平分； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 15．如图，在中，，垂足为D，E为上一点，分别交和的延长线于点F，G，． (1)求证：； (2)若，求和的大小． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，关键在于熟练的利用三角形全等的判定定理； （1）根据题意利用角边角判定定理，证明即可； （2）若，再证明，即可计算的度数 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 16．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． （1）可直接利用证明； （2）根据三角形全等的性质可以得到，再由，利用线段之间作差可得． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ； （2）解：， ， ， ． 17．如图，点E在上，与交于点F，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角的和差，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据角的和差得出，根据三角形的内角和定理得出，然后利用证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中，，， 根据三角形内角和为，可得， 在和中， ， ∴． 18．已知：如图，，，点E、F在线段上，且，请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据平行线的性质可得，然后利用证明，即可解答． 【详解】解：， ， 在和中， ， ． 考点04 “AAS”证明全等 19．如图．点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且． (1)求证：≌； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ． （2）， ， ， ， 的长为4． 20．如图，在中，，，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）根据条件可以得出，进而得出； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：，， ， ． ∵， ， ． 在和中， ， ； （2）解：， ，， ∵， ． 21．如图，，，．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由题意得，推出即可； 【详解】证明：， ， ． 在和中 ． 22．如图，点B、C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，已知，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形外角的性质、全等三角形的判定，熟练掌握三角形外角的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 先证明，，然后根据可证． 【详解】证明：∵∠1是的一个外角， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴． 23．如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， （1）用直接证明全等即可； （2）根据全等得出，再根据线段和差计算得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ． 24．如图，在中，，，点是内部一点，连接，作，，垂足分别为点，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意易证得，，利用的判定方法证明即可； （2）由（1）的全等三角形的性质得到、，进而得到，根据三角形的面积公式进行解答即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接，如图； ， ， ，， ，， ． 考点05 “HL”证明全等 25．已知：如图，，垂足分别为点B、E，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，根据等角对等边，得到，利用证明，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 26．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得； （2）证明，结合（1）可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．如图，在中，P是的中点，于点D，于点E，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意得到，再证明，得到即可求证． 【详解】解：∵， ∴， ∵P是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 28．如图，在中，，E是上一点，且，连接并延长交于点F，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和全等三角形的判定，证明全等三角形是解题的关键． （1）首先根据得到两个直角三角形，再结合两个边相等即可得到两个直角三角形全等； （2）在（1）的基础上，利用全等三角形得到对应角相等，再结合三角形内角和定理，即可得到，即为与的位置关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角． （1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到； （2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和与差，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用全等三角形判定定理证明即可； （2）设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得，， 设， ∵， ∴， 解得 ∴的长为． 考点07 灵活选用方法证明全等 31．在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，，与相交于点F．若_____，求证：． 【答案】①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是关键．若选择条件①，根据“边角边”证明，即可得到结论；若选择条件②，根据“角边角”证明，即可得到结论；若选择条件③，连接，先证明，得到，再根据“角边角”证明，即可得到结论． 【详解】解：选择条件①的证明： 在和中， ， ， ； 选择条件②的证明： 在和中， ； 选择条件③的证明：连接， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 32．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“”使的条件有______（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用全等三角形的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：①已知，，且为公共边，根据全等三角形判定定理“”，可以判定； ②已知，，，但“”不能判定两个三角形全等； ③已知，，，根据全等三角形判定定理“”，可以判定 ； ④，，，“”不能判定两个三角形全等； 故答案为：①． （2）证明：选条件①时， 在和中， ， ∴； 选条件③时， 在和中， ， ∴． 33．如图，已知点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，请添加一个你认为正确的条件并完成证明． 解：我添加的条件是________． 理由如下： 【答案】或或（答案不唯一）；证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．要判定，已知，，具备了两组边对应相等，故添加，利用可证全等．（也可添加其它条件）． 【详解】解：若添加条件：， ∵，， ∴； 若添加条件：， ∵，， ∴； 若添加条件：， 则， 即， ∵，， ∴． 34．如图，，，______，求证：． (1)请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是______，并证明； (2)在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】(1)（或），证明见解析 (2)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握或． （1）由平行线的性质推出，由，，得到，判定；或者平行线的性质推出，由得，得，可判定； （2）由（1）知，即可求出 【详解】（1）解 ：选择，理由如下： ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 或选择，理由如下： ， ， ∵，， 而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：（或） （2）解：由（1）知， ， 35．如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：___________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①或②，证明见详解 【分析】本题考查添加条件后使两个三角形全等、两条直线平行的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 添加①，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证； 添加②，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证． 【详解】解：添加①， 证明：， ， ， 在与中， ， ， ； 或添加②， 证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 36．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，理由见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 【详解】（1）解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ，即， 在和中， ． 考点07 灵活选用方法证明全等 37．为测量某一水池两端A,B之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端A、B之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接并延长到两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： (1)以上两位同学方案可行的是_______的方案； (2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由； (3)请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 【答案】(1)小涵 (2)理由见解析 (3)使，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解本题的关键． （1）根据已知条件分析即可得可行方案； （2）根据全等三角形的判定与性质可得小涵同学的方案可行； （3）使，利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵小涵的方案可以证明，即，而小宇的方案不能证明， ∴小涵同学方案可行， 故答案为：小涵． （2）解：小涵同学方案可行，理由如下， 在和中， ， ∴， ∴，故小涵同学方案可行． （3）解：使，理由如下， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 38．如图，以下三个关系：①；②；③．请从这三个关系中，选取其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的一种组合方式并进行证明． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，分条件：已知①②，求证：③；条件：①③，求证：②两种情况，证明，即可得出结论． 【详解】解：已知：①②， 求证：③； 证明：在和中， ， ∴， ∴； 已知：①③， 求证：②； 证明：在和中， ， ∴， ∴． 39．如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 【答案】①③、②；见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形的HL）是解题的关键． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选的补充条件是①③，结论是②，证明即可. 【详解】证明：， ，即 在与中 . 40．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．请写出你选择的一个真命题加以证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：若选择①③作为条件，②作为结论，则有： 已知：如图，在和中，，． 求证：． 证明：在和中， ， ∴， ∴． 若选择①②作为条件，③作为结论，是一个假命题，无法证明； 若选择②③作为条件，①作为结论，则有： 已知：如图，在和中，，． 求证：． 证明：在和中， ， ∴， ∴． 41．如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题是一道开放性试题，需要把所有可能出现的情况都考虑到，证明全等三角形的方法有：、、、，本题共有四种情况，、、、均可以作为命题的结论，当或作结论时，其余三个条件的位置关系是不能证明三角形全等，所以不能得到真命题，只有把、作为结论时，得到的是真命题． 【详解】情况一、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ； 情况二、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ． 42．如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或②或③ (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， （1）添加①或②或③均可证明全等； （2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等． 【详解】（1）解：选择①或②或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $