专题12 概率相关解答题分类训练（5种类型40道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题12 概率相关解答题分类训练 （5种类型40道） 考点01 判断游戏是否公平 考点02 转盘相关概率问题 考点03 设计规则 考点04 几何概率 考点05 统计与概率综合 考点01 判断游戏是否公平 1．将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（这三张卡片除数字外无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张，记该卡片上的数字为，组成数对． (1)请用树状图或列表法列出数对所有可能出现的结果； (2)甲、乙两人按上述要求各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢，你认为这样公平吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏的公平性以及概率等，涉及有放回抽取的随机试验，通过列举所有可能的结果来分析事件发生的概率． （1）列出所有可能的数对，使用列表法均可； （2）比较甲赢（数字之和为奇数）与乙赢（数字之和为偶数）的概率是否相等．若概率相等则公平，否则不公平． 【详解】（1）解： 1 2 3 1 2 3 （2）不公平，理由如下： 数字之和为奇数的概率为，数字之和为偶数的概率为， 所以这个游戏不公平． 2．小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？ 【答案】不公平，见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平．要想让这个游戏公平：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 【详解】解：这个游戏不公平，因为当小光掷到1时，小明掷到哪个面都比他大，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平． 可以这样修改：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 3．“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)公平，理由见解析． 【分析】此题考查了游戏公平性、列表法与树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，再由概率公式求解即可； （2）求出甲同学获胜的概率和乙同学获胜的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种， ∴丙同学获胜的概率； （2）这个游戏对三人公平，理由如下： 由（1）可知，丙同学获胜的概率为，甲同学获胜的结果有3种，乙同学获胜的结果有3种， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率＝丙同学获胜的概率， ∴这个游戏对三人公平． 4．如图是一副扑克牌中的3张牌，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．爸爸先从中抽出一张，榕榕从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．如果两个人的获胜概率相同，我们说游戏是公平的．请借助树状图或列表法来判断这个游戏是否公平． 【答案】公平 【分析】本题考查树状图法求概率，利用概率解决游戏公平性，根据题意，画出树状图，求出两人获胜的概率，进行判断即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 共6种等可能的结果，其中榕榕获胜的情况有3种，爸爸获胜的情况有3种； ∴（榕榕获胜）（爸爸获胜）． ∴这个游戏是公平的． 5．行酒令是汉族民间风俗之一，是一种有中国特色的酒文化，大家轮流说诗词、联语或其他游戏，明朝唐之淳在《忆吴越风景》中写道“旋折藕花行酒令，细书蕉叶送诗筒”．行酒令中有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、喊虫、以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”） (1)若张三已经决定喊“虎”，那么李四获胜的概率为___________； (2)判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查利用概率公式求概率，利用树状图或列表求概率，熟练掌握根据题意画出树状图或列表是解题的关键． （1）张三喊出“虎”，李四可能喊出“虎”、“棒”、“鸡”、“虫”四种情况，其中“虎棒”， 李四胜，利用概率公式求概率即可； （2）用，，，分别表示老虎，棒子，鸡，虫，画出树状图，分别计算出张三和李四获胜的概率，即可解答． 【详解】（1）解：张三喊出“虎”，李四可能喊出“虎”、“棒”、“鸡”、“虫”四种情况， 其中“虎棒”， 李四胜， ∴张三喊出“虎”, 李四取胜的概率为， 故答案为：； （2）解：游戏公平，理由如下： 用，，，分别表示老虎，棒子，鸡，虫， 画树状图如下： 共种等可能的情况，其中张三获胜的有、、、，共种， 则张三获胜的概率是， 其中李四获胜的有、、、，共种， 则李四获胜的概率是， 则张三、李四获胜的概率相等， 所以游戏公平． 6．在一个不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字，0，1，2．从袋中任意摸出一小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球． (1)请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果； (2)若规定：如果摸出的两个小球上的数字之和是正数，那么小明赢；如果摸出的两个小球上的数字之和是负数，那么小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)12种 (2)不公平，见解析 【分析】本题考查列表法求概率，利用概率判断游戏公平性： （1）列表法表示出可能出现的所有结果即可； （2）求出小明和小亮各自赢的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：可能出现的结果列表如下：       第一次第二次 0 1 2 0 1 2 ∴共有12种结果； （2）不公平，理由如下： 由（1）知摸出的两个小球上的数字之和为正数的可能一共有6种，摸出的两个小球上的数字之和为负数的可能一共有4种， 小明赢的概率为；而小亮赢的概率为， ∵ ∴游戏不公平． 7．四张除正面数字外其余都相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．游戏规定：随机抽取一张卡片，记下数字后背面朝上放回，洗匀后再抽取一张，将第一次、第二次抽取的卡片上的数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，若组成的两位数不超过32，则小贝胜；反之，小晶胜． (1)用列表法或画树状图法求恰好得到数22的概率． (2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了游戏公平性的判断，解题的关键是根据题意正确列出表格． （1）列表可得总共有种结果，其中得到数字的有种，根据概率公式即可得到答案； （2）利用列表列出所有的情况，可知总共有种可能出现的情况，而两位数不超过的有种，超过的有种，即可以求出小贝和小晶获胜的概率，进而判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：（1）列表如下： 第二次第一次 2 2 3 6 2 22 22 23 26 2 22 22 23 26 3 32 32 33 36 6 62 62 63 66 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好得到数的结果有种， 恰好得到数的概率是． （2）解：这个游戏不公平．理由如下： 由（1）中的表格可知，共有16种等可能的结果，其中组成的两位数不超过的有种，超过的有种， ∴小贝胜出的概率是，小晶胜出的概率是， ∵ 这个游戏不公平． 8．在全市中学生足球联赛半决赛中，红星中学队与阳光中学队争夺决赛名额．为决定优先发球权，裁判设计规则如下：准备两个不透明箱子，箱中放标有数字，，的三张卡片，箱中放标有数字，的两张卡片．红星中学队从箱中随机抽取一张卡片，记抽到卡片上的数字为；阳光中学队从箱中随机抽取一张卡片，记抽到卡片上的数字为．若与的和为奇数，则红星中学队获得优先发球权；否则由阳光中学队获得优先发球权． (1)请用列表法或者画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)请问裁判设计的规则公平吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)共有种等可能的结果总数，即，，，，， (2)裁判设计的规则公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断， （1）画树状图列出所有等可能结果； （2）游戏是否公平，关键要看游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等； 解题的关键是掌握：判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平；概率的计算公式：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：画树状图如图： 共有种等可能的结果总数，即，，，，，； （2）由（1）可知，共有种等可能的结果，其中，，数字的和为奇数，则红星中学队获得优先发球权的结果有种；，，数字的和为偶数，则阳光中学队获得优先发球权的结果有种， ∴（与的和为奇数）， （与的和为偶数）， ∴（与的和为奇数）（与的和为偶数）， ∴裁判设计的规则公平． 考点02 转盘相关概率问题 9．端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种，利用概率公式可得答案． （2）结合概率公式可得转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，由此画图即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种， ∴付款时不打折的概率是； 故答案为； （2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，所以所画图形如图所示： 10．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 11．某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．掌握几何概率的求法是解本题的关键． （1）求出字母所在的区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． （2）求出中奖区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：区域对应“一等奖”， 设顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”为事件， 由图知字母所在的区域的圆心角度数为， 则， 答：顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”的概率为． （2）解：设顾客转动一次转盘，中奖为事件， 则， 答：顾客转动一次转盘，其中奖的概率为． 12．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 【答案】 【分析】此题考查概率的计算公式，先确定情况数及总结果数，根据概率公式计算即可 【详解】 解：甲顾客购物120元，他有转转盘的机会， 整个圆周被分成了20份，共有20种等可能结果， 红色、黄色或绿色区域的份数之和为9份， 所以获得购物券的概率为：． 13．某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 【详解】（1）解：∵共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； （2）∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份， 如图： 14．如图，游乐场一个转盘被等分成12个扇形．其中有部分扇形标注了颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针指向某个扇形区域内为转动一次转盘（如果指针指在等分线上，则重新转动转盘）． (1)请在没有标注颜色的扇形上标注扇形颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，其余部分为黄色； (2)商家规定：任何人都可以参与（1）中的这个转动转盘游戏，但必须遵循以下规则：每人每次转一次转盘，若指针落在红色区域，参与者给商家5元；若指针落在白色区域，商家奖励参与者2元；若指针落在黄色区域，商家奖励参与者3元．你认为商家设置的这个转盘游戏会亏本吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)商家不会亏本，理由见解析 【分析】本题考查了概率在转盘抽奖中的应用，熟练掌握事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示是解题的关键． （1）根据事件的概率可以用部分区域的面积和整个区域的面积的比来表示，分别求得红色、白色、黄色的小的扇形个数即可； （2）设有人参与，当指针落在红色区域，商家的收益为，同理可得当指针落在其它两种颜色区域时，商家需要付出多少，再和收益比较即可得到结论． 【详解】（1）解：转盘被等分成12个小扇形． 若要使指针落在红色区域的概率为，，因此，有6个小的扇形是红色的； 指针落在白色区域的概率为，， 因此，有4个小的扇形是白色的； 指针落在黄色区域的概率为，， 因此，有2个小的扇形是黄色的． 如图所示即为所求： （2）解：从概率的角度，商家不会亏本，理由如下： 设有人参与，则有， 指针落在红色区域的概率为，商家的收益为； 指针落在白色区域的概率为，商家需要付出； 指针落在黄色区域的概率为，商家需要付出； 商家的最终收益为：． 所以，商家不会亏本． 15．如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； (2)若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏公平 【分析】本题考查的是求简单事件的概率，游戏公平性的判断． （1）根据偶数可能的次数除以总次数即可； （2）列表求出所有的可能情况，再分别求出两人获胜的概率，最后比较大小即可． 【详解】（1）解：1，3，5，6，8数字中，偶数有2个， ∴小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 和 1 3 5 6 8 2 3 5 7 8 10 4 5 7 9 10 12 7 8 10 12 13 15 9 10 12 14 15 17 ∴共有种结果，其中数字之和大于10有8种，小于10有8种，等于10有4种， ∴小明获胜概率为，小丁获胜概率为， ∴该游戏公平． 16．如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜（答案不唯一，设计方案正确即可） 【分析】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键． （1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答； （2）先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可． 【详解】（1）解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是． 故答案为：． （2）解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平； 设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜． 考点03 设计规则 17．为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 【答案】(1) (2)设计方法见解析 【分析】本题考查了几何概率，掌握概率计算方法是解题的关键． （）用环保购物袋所在扇形的圆心角度数除以即可求解； （）根据概率求出各奖项所在扇形圆心角的度数，进而画出设计方法即可； 【详解】（1）解：环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴他转到环保购物袋的概率是， 故答案为：； （2）解：∵抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ， ∴环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为， 环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴谢谢参与所在扇形的圆心角度数为， ∴设计方法如图所示： 18．（1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率． （2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解； （2）根据(1)中的概率设计合理的方案即可． 【详解】解：（1）列表如下：        转盘① 转盘② 黄 红 蓝 黑 黄 （黄，黄） （红，黄） （蓝，黄） （黑，黄） 黄 （黄，黄） （红，黄） （蓝，黄） （黑，黄） 红 （黄，红） （红，红） （蓝，红） （黑，红） 共有12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“都落在黄色区域”（记为事件A）的结果有3种，即（黄，黄）、（黄，黄）， 所以． （2）游戏可以设计为：在一个不透明的袋子中装入除颜色外均相同的六个小球，其中五个红球、一个黄球，每次随机摸出一个球，恰为黄球． 19．如图是一个被等分成6份的转盘，你能否在转盘上涂上颜色，使得自由转动的转盘满足以下条件： ①转盘停止后，指针落在红色和黄色区域的概率相等； ②转盘停止后，指针落在蓝色区域的概率大于落在红色区域的概率． 请你设计方案满足上述两个条件． 【答案】1份红色区域，1份黄色区域，4份蓝色区域 【分析】根据几何概率计算公式，面积占比即为所求几何概率，红色区域所占面积与黄色区域所占面积相等且蓝色区域所占面积大于红色区域所占面积相等即可. 【详解】解：要满足P(指针落在红色区域)＝P(指针落在黄色区域)，P(指针落在蓝色区域)＞P(指针落在红色区域)，则只要使转盘中红色区域和黄色区域的份数相同，同时蓝色区域的份数大于红色区域的份数即可，所以应为1份红色区域，1份黄色区域，4份蓝色区域． 如图： 【点睛】本题考查了几何概率的计算公式，面积占比即几何概率． 20．小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛在一定距离外向大圆内掷小石子，若掷中阴影，则小红胜，否则小明胜，未掷入圆内不算，你来当裁判． （1）你认为游戏公平吗？为什么？ （2）游戏结束，小明边走边想，“能否用频率估计概率的方法来估算非规则图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题． 【答案】（1）不公平；（2）详见解析 【分析】（1）由大圆的面积减去小圆的面积求出阴影部分的面积，用阴影部分面积除以大圆面积求出小红获胜的概率，由小圆的面积除以大圆面积求出小明获胜的概率，即可判断游戏公平与否； （2）设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来,如正方形，向正方形里面投石子，分别确定落在不同区域的次数，然后用落在不规则图形里面的次数除以总次数乘以面积即可求得面积． 【详解】解：（1）不公平．因为，即小红胜的概率为，小明胜的概率为，所以游戏布不公平． （2）能用频率估计概率的试验方法估算非规则图形的面积．设计方案如下： ①设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来，如正方形，其面积为，如图所示． ②向正方形内掷小石子，做大量重复试验，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入非规则图形内． ③设非规则图形的面积为，用频率估计概率，即频率概率（掷入非规则图形内）， 故， 所以．（合理即可） 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 21．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1)这个游戏不公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【详解】（1）解：游戏方案不公平，理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． （2）解：当拿出一个白球时，其他不变，同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； 或放进一个蓝球，其他不变，则同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； ∴游戏就公平了． 22．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 【答案】不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则不公平． 设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜． 这样的规则是公平的，理由如下： 由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则公平． 23．某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案：①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则：①若取出的是黄球，则获得奖品A； ②若取出的是白球，则获得奖品B． (1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”与“获得奖品”的概率分别是多少？ (2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品A”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． 【答案】(1)“获得奖品A”的概率为，“获得奖品”的概率为 (2)见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有1种，取出的是白球的结果有8种，利用概率公式可得答案； （2）根据题意设计一个新的摸球方案与获奖规则即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有1种，取出的是白球的结果有8种， ∴该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率为，“获得奖品”的概率为； （2）解：新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球，2个白球中先随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再随机摸取一个小球． 获奖规则：若取出的两个球都是黄球，则获得奖品A，否则获得奖品B． 此时列表如下： 黄 白 白 黄 （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，黄） （白，白） （白，白） 共有9种等可能的结果，其中取出的两个球都是黄球的结果有1种， ∴“获得奖品A”的概率为，“获得奖品B”的概率为． 24．五一小长假，某商场征集促销活动方案，小明根据数学课本第75页的知识，建议商场设计一个抽奖活动． 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，像图那样涂上颜色．商场规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．    (1)某顾客购物后获得了一次转动转盘的机会，求他获得50元购物券的概率是多少． (2)商场为了吸引顾客，决定增大顾客的获奖概率，使得顾客转动一次转盘获得购物券的概率为0.5，那么商场需要再给________个扇形涂上颜色． (3)为了增加活动的趣味性，商场还做了一个大型的质地均匀的骰子，骰子的六个面上标数字1到6．顾客获得抽奖机会时，可以选择转转盘或者掷骰子，如果转转盘和掷骰子获奖概率都是0.5，请你帮忙设计一个掷骰子的获奖规则． 【答案】(1) (2)3 (3)答案不唯一 【分析】本题考查了概率公式，已知概率求数量，游戏的公平性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）根据概率求数量的公式列式计算，即可作答． （3）根据游戏的公平性，以及概率求数量的公式进行作答即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：∵将转盘等分成20个扇形，且指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券， ∴获得50元购物券的概率． （2）解：∵商场为了吸引顾客，决定增大顾客的获奖概率，使得顾客转动一次转盘获得购物券的概率为0.5，且目前有7个扇形是有颜色的， ∴， 那么商场需要再给3个扇形涂上颜色； 故答案为：3 （3）解：∵为了增加活动的趣味性，商场还做了一个大型的质地均匀的骰子，骰子的六个面上标数字1到6．顾客获得抽奖机会时，可以选择转转盘或者掷骰子，如果转转盘和掷骰子获奖概率都是0.5，且数字1到6中偶数的有这三个情况， ∴掷骰子正面向上的数字为偶数，则可以获奖，满足． 考点04 几何概率 25．2025年山西省森林草原防灭火综合演练技能比武在忻州市举行，活动中，通过防火调度平台实现远程精准指挥，运用无人机巡护预警，并借助智慧林草平台系统辅助指挥，演练还展示了无人机、机器狗、机器人与地面部队协同作战等手段，有效提升了灭火效率．小悦是一名森林消防爱好者，受活动启发她制作了如图所示的转盘，转盘分为三个全等的菱形区域，每个区域上印有一个森林防火图案．固定指针，转动转盘，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转）． (1)若转动转盘一次，记指针停在区域A的概率为，指针停在区域B的概率为，则______．（填“>”“＝”或“<”） (2)若转动转盘两次，请利用列表或画树状图的方法，求指针两次指向的图案不同的概率． 【答案】(1)= (2) 【分析】本题考查几何概率和用列表法或者画树状图法求概率，掌握列表或者树状图的用法与概率的计算公式是解题关键． （1）落在对应区域的概率等于对应区域的面积除以整个图形的面积，因此比较区域A和区域B的面积即可； （2）将表格或者树状图绘制好后，根据表格或者树状图来计算概率． 【详解】（1）解：∵三个菱形区域都全等， ∴， 故答案为：=． （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有9种可能结果，其中两次指向不同图案的有6种， ∴指针两次指向的图案不同的概率为． 26．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)概率不发生变化，阴影部分概率的公式为 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是掌握简单概率公式． （1）利用简单概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出图形即可； （3）根据简单概率公式判断即可． 【详解】（1）解：大正方形包含的小正方形个数为（个） 图①阴影部分的正方形个数为8个， 投中纸板上阴影部分的概率为； 图②阴影部分可以看作是矩形的对角线和小正方形的对角线构成的三角形， 每一个阴影三角形的面积等于的矩形面积的一半，即为2个小正方形的面积， 图②阴影部分的正方形个数为个， 投中纸板上阴影部分的概率为； （2）解：涂色如下： （3）解：概率不发生变化， 阴影部分概率的公式为． 27．小张和小李参加了一个有奖掷飞镖的游戏．游戏规则如下：从两个图形靶（图形靶一是正方形，图形靶二是菱形，所有扇形所在的圆都是半径为1的等圆，且相邻的圆都相切）中任选一个进行飞镖投掷，命中阴影部分就可以获得奖品．小张选择了图形靶一，小李选择了图形靶二．通过计算回答：谁更有可能获得奖品？ 【答案】小张更有可能获得奖品，理由见解析 【分析】本题考查了几何概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键； 根据概率公式分别计算出小张和小李获奖的概率并比较大小即可． 【详解】解：由题意可知，两个图形靶的边长都是． 图形靶一：， ． 图形靶二：， ． ， 即（小张获得奖品）（小李获得奖品）， ∴小张更有可能获得奖品． 28．如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． (1)这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． (3)请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 【答案】(1)是，4，见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是几何概率，概率公式，求出黑色方格在整个地板砖中所占面积的比值是本题的关键． （1）根据轴对称图形的定义即可求解； （2）先求出阴影区域在整个地板砖中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论； （3）根据概率的求解得出答案． 【详解】（1）解：这个图形是轴对称图形，它有4 条对称轴，它的对称轴如图中虚线所示： ， 故答案为：是，4； （2）正方形的面积平均分成16份，阴影部分占4份， 所以停在阴影区域的概率为； （3）如袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中一个红色，三个绿色，充分摇匀后从中随机摸出一个小球是红球的概率．（答案不唯一）． 29．（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3）乙获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查几何概率的求法，掌握正方形面积和阴影部分面积的计算方法是解题关键． （1）用阴影部分的面积除以总面积即可； （2）用阴影部分的面积除以总面积即可； （3）分别求出两人获胜的概率即可解答． 【详解】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率：； （2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： 由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 30．向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形除颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 【答案】(1) (2)还要涂黑2个小正三角形，图见解析 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． （1）求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答； （2）利用（1）中求法得出答案即可． 【详解】（1）解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是， 所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于． 故答案为：． （2）解：要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，则阴影区域的小正三角形的数量为个， 即还要涂黑2个小正三角形， 如图所示（答案不唯一）： 31．在网格图中，每个方格除颜色外都相同，其中4个方格为黑色，余下方格为白色．    (1)涂黑3个白色方格，使整个网格图为轴对称图形（考虑颜色）； (2)在（1）的轴对称网格图中任取1个方格，恰好是黑色方格的概率是多少？ (3)在（1）的轴对称网格图中，再涂黑若干个白色方格，能否使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5？ 【答案】(1)见详解 (2) (3)0.5 【分析】（1）根据轴对称图形的性质涂黑即可，答案不唯一； （2）根据概率公式计算即可； （3）根据概率公式计算出白色的数量不为整数，即可判断出答案． 【详解】（1）如图所示：   （答案不唯一）； （2）图中共有25个方格，黑色的有7个， 任取1个方格，恰好是黑色方格的概率是； （3）若能使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5， 则白色的方格为个， 故不能再涂黑若干个白色方格，使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5． 【点睛】此题考查了概率公式和轴对称图形，利用概率相应的面积与总面积之比求出是解题关键． 32．如图的正六边形地面上，标有编号、、、的4个小三角形地面是空地，另外2个小三角形地面是草坪，除此以外小三角形地面完全相同． (1)一只飞行的麻雀，将随意落在图中的地面上，问麻雀落在草坪上的概率是______； (2)现从4个小三角形空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取和两个小三角形空地种植草坪的概率是多少？（用树形图或列表法求解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意，画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：麻雀落在草坪上的概率， 故答案为：． （2）解：根据题意画出树状图如图所示： 由图可知，一共有12种情况，刚好选取和两个小三角形空地的情况有2种， ∴刚好选取和两个小三角形空地的概率． 考点05 统计与概率综合 33．3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能参加一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． (1)本次调查抽取的总人数是________人． (2)扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为________． (3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)200 (2)72 (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，求圆心角，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数； （2）用A组的人数除以总人数，再乘以即可求出该组扇形的圆心角度数； （3）利用画树状图法求解即可． 【详解】（1）解：依题意，本次调查总人数为（人）； （2）解：依题意，， ∴扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为； （3）解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 34．如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种： A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料 根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)这个班级有______名同学；扇形统计图中B所对应扇形的圆心角是_____度． (2)为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，则恰好抽到2名女生的概率是______． (3)若该校有2000名学生，估计每天饮用碳酸饮料的学生数量． 【答案】(1)， (2) (3)名 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图、平均数的应用、运用列表法求概率，利用样本估计总体等知识点，能够熟练地通过统计图得到的信息是解题关键． （1）利用B组的数据可求总人数，然后用乘以B组学生所占的百分比即可解答； （2）运用列表法求概率即可． （3）由2000乘以每天饮用碳酸饮料的人数百分比即可． 【详解】（1）解：总人数为：（人）， 扇形统计图中B所对应扇形的圆心角为． （2）解：根据题意列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 男2男1 女1男1 女2男1 女3男1 男2 男1男2 女1男2 女2男2 女3男2 女1 男1女1 男2女1 女2女1 女3女1 女2 男1女2 男2女2 女1女2 女3女2 女3 男1女3 男2女3 女1女3 女2女3 由列表可知共有20种等可能结果，其中2名女生的结果数为6，则恰好抽到两名女生的． （3）解：该校有2000名学生，则估计每天饮用碳酸饮料的有（名） 答：估计每天饮用碳酸饮料的学生数量为名． 35．结合书香校园阅读活动，金堂在全县中小学推广普及中华经典诵读，让孩子们掌握国学经典作品“读、诵、吟”等基本方法，培养中华经典诵读活动的爱好者、传播者，营造浓郁的文化氛围．2025年9月某初中学校开展了国学经典诵读活动，何老师对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题： (1)在扇形统计图中，求获得二等奖部分所占的圆心角的度数； (2)获得一等奖的同学中有1名来自七年级，其余来自八年级，何老师准备从一等奖中的同学中任选两人参加县级国学经典诵读大赛，请用列表或画树状图的方法求所选出的两人中既有七年级又有八年级同学的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查扇形统计图与条形统计图的综合运用、古典概型概率计算，掌握 “扇形统计图圆心角计算公式、列举法求概率的步骤” 是解题的关键． （1）解题时先通过扇形统计图中已知数据求总人数，进而计算二等奖对应的圆心角度数；再求一等奖人数， （2）用列表法列举任选两人的所有等可能结果，结合概率公式求解目标事件概率． 【详解】（1）解：总人数：（人） ； （2）解：获得一等奖的同学人数：（人） 列表如下：       一 二 七 七 由上表可知，共12种等可能结果，其中恰好选出的两人中既有七年级又有八年级同学的有6种结果， P（既有七年级又有八年级同学）． 36．第十五届全运会落幕，湖南正式接过会旗，全运会进入“湖南周期”，体育湘军在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．某校响应湖南省中小学生全员文体活动号召，学生对全运会湖南优势项目表现出浓厚兴趣．为精准开展校园体育活动，学校体育组针对4类全运会湖南热门优势项目A、B、C、D开展调查，随机抽取部分学生统计，绘制成两幅不完整的统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： (1)这次抽取的学生总人数为___________人；扇形统计图中 B 类项目所占圆心角为___________度； (2)补全条形统计图； (3)学校从关注热度较高的学生中选拔出4名“校园体育推广员”，其中3人关注A类项目，1人关注B类项目，现从这4人中随机选择2人在校体育节开幕式上分享运动心得，请用列表法求出恰好抽到关注A、B两类项目各 1人的概率． 【答案】(1)200，108 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了统计图表的综合运用、概率的计算，解题的关键是从图表中提取有效信息，利用统计量的关系和列举法求解． （1）通过D类的人数与占比求总人数，再由B类人数与总人数的比求圆心角； （2）计算B类人数后补全条形图； （3）画树状图列举所有可能结果，计算符合条件的概率． 【详解】（1）解：总人数：由D类人数40人，占比20%，得人； B类人数：人， B类圆心角：． 故答案为：200；108． （2）解：B类人数为60人，在条形图中B类对应的高度画为60，如图． （3）解：画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用两类项目各1人的结果有6种， 恰好抽到使用两类项目各1人的概率为． 37．2025年11月9日，十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地联合举行，点燃了全国人民运动的激情．我校抽样调查评选出了学生比较喜爱的球类运动分别是以下四类：A（篮球），B（羽毛球），C（乒乓球），D（足球）．如图是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图． (1)本次统计的总份数为 份，补全条形统计图； (2)扇形统计图中B类所对应的圆心角度数为 ； (3)本次调查比较喜爱的球类运动C（乒乓球）类中有4位同学是乒乓球明星樊振东的粉丝，其中2名男生，2名女生，从这四人中随机抽选两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名性别相同的学生的概率． 【答案】(1)；见解析 (2) (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键； （1）用条形统计图中的份数除以扇形统计图中的百分比可得本次统计的总份数；用本次统计的总份数分别减去，，类的份数，可得条形统计图中类的份数，补全条形统计图即可； （2）用乘以类的份数所占的百分比，即可得出答案； （3）列树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到两名性别相同的学生的结果数，再利用概率公式可得出答案； 【详解】（1）解：本次统计的总份数为（份）； 条形统计图中类为（份）； 补全条形统计图如下： 故答案为：； （2）解：扇形统计图中类所对应的圆心角度数为 故答案为：； （3）解：根据题意，画树状图为： 由树状图知，共有种等可能的结果，其中两名性别相同的学生结果数为， 所以恰好抽到两名性别相同的学生的概率为. 38．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用，，，表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有________人，所对应扇形的圆心角是________，并补全条形统计图； (2)依次将优秀、良好、及格、不及格学生的书写成绩记为分、分、分、分，则抽取这部分学生的书写成绩的众数是________分，中位数是________分，平均数是________分； (3)若该校共有学生人，估计书写能力等级为的学生约有________人； (4)等级有名女生和名男生，现在从这人中随机抽取人参加书法比赛，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的人恰好是名男生和名女生的概率． 【答案】(1)，，见解析 (2)，， (3) (4) 【分析】本题主要考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、数据的集中趋势（众数、中位数、平均数）、用样本估计总体、概率的计算．熟练掌握统计量的计算方法、统计图表的信息提取、概率的列举法是解题的关键． （1）通过“良好”的人数和占比求总人数，用的人数占比乘得圆心角，再补全条形图． （2）据数据找出现次数最多的数（众数），排序后取中间数（中位数），用加权平均计算平均数． （3）用的人数占比乘全校总人数估算人数． （4）用树状图列出所有可能结果，再计算符合条件的概率． 【详解】（1）解：总人数：（人）， 的圆心角：， 良好的人数：（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：由（1）得所有数据中，有个，个，个，个， 众数：； 中位数：排序后第、个数均为，故中位数为 平均数：； （3）解：等级为的学生约有（人）； （4）解：画出树状图如下： 共有种等可能情况，其中被抽取的人恰好是名男生和名女生的有种情况， 被抽取的人恰好是名男生和名女生的概率为． 39．作为湖南省最具有影响力的足球赛事，2025年“湘超”联赛激战正酣．为普及本土足球文化，某中学对全校学生关于“湘超”联赛的了解程度进行了一次抽样调查，将调查结果划分为4个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的学生人数为_____； (2)补全条形统计图； (3)求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； (4)在这次调查中，九年级（1）班共有4名学生对“湘超”联赛非常了解，4名学生中有2名男生和2名女生，班主任决定从这4名学生中随机选出2名学生参加学校的足球分享活动，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查条形图与扇形统计图，圆心角，画树状图求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）用A的人数除以A的百分比，即可解答； （2）求出C的人数，即可补全条形图； （3）求出C所占总数的百分比，再乘以即可； （4）画出树状图，得到共有12种等可能性结果，其中一男一女的情况有8种，即可解答． 【详解】（1）解：（人）． 故答案为：50． （2）（人）， ∴等级C有8人， 补全条形统计图如图 （3）． 答：扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角为． （4）画树状图，如图 共有12种等可能结果，其中一男一女的情况有8种， ∴所选2名学生恰好是1男1女的概率为． 40．某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校个班中随机抽取了个班（用表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）； (2)请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中班作品数量所对应的圆心角度数______； (3)如果全班征集的作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率． 【答案】(1)抽样调查 (2)补图见解析， (3) 【分析】（）根据题意即可求解； （）利用班的作品数及百分比求出总的作品数，进而求出班的作品数，可补充完整条形统计图，再用乘以班的作品数的占比可求出班作品数量所对应的圆心角度数； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，数据的收集，用树状图或列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 【详解】（1）解：杨老师采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）解：∵， ∴班的作品数为， ∴补充完整条形统计图如下： 班作品数量所对应的圆心角度数为， 故答案为：； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中恰好选取的两名学生性别不同的结果有种， ∴恰好选取的两名学生性别不同的概率为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 概率相关解答题分类训练 （5种类型40道） 考点01 判断游戏是否公平 考点02 转盘相关概率问题 考点03 设计规则 考点04 几何概率 考点05 统计与概率综合 考点01 判断游戏是否公平 1．将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（这三张卡片除数字外无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张，记该卡片上的数字为，组成数对． (1)请用树状图或列表法列出数对所有可能出现的结果； (2)甲、乙两人按上述要求各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢，你认为这样公平吗？请说明理由． 2．小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？ 3．“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 4．如图是一副扑克牌中的3张牌，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．爸爸先从中抽出一张，榕榕从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．如果两个人的获胜概率相同，我们说游戏是公平的．请借助树状图或列表法来判断这个游戏是否公平． 5．行酒令是汉族民间风俗之一，是一种有中国特色的酒文化，大家轮流说诗词、联语或其他游戏，明朝唐之淳在《忆吴越风景》中写道“旋折藕花行酒令，细书蕉叶送诗筒”．行酒令中有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、喊虫、以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”） (1)若张三已经决定喊“虎”，那么李四获胜的概率为___________； (2)判断这个游戏是否公平，并说明理由． 6．在一个不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字，0，1，2．从袋中任意摸出一小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球． (1)请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果； (2)若规定：如果摸出的两个小球上的数字之和是正数，那么小明赢；如果摸出的两个小球上的数字之和是负数，那么小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由． 7．四张除正面数字外其余都相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．游戏规定：随机抽取一张卡片，记下数字后背面朝上放回，洗匀后再抽取一张，将第一次、第二次抽取的卡片上的数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，若组成的两位数不超过32，则小贝胜；反之，小晶胜． (1)用列表法或画树状图法求恰好得到数22的概率． (2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 8．在全市中学生足球联赛半决赛中，红星中学队与阳光中学队争夺决赛名额．为决定优先发球权，裁判设计规则如下：准备两个不透明箱子，箱中放标有数字，，的三张卡片，箱中放标有数字，的两张卡片．红星中学队从箱中随机抽取一张卡片，记抽到卡片上的数字为；阳光中学队从箱中随机抽取一张卡片，记抽到卡片上的数字为．若与的和为奇数，则红星中学队获得优先发球权；否则由阳光中学队获得优先发球权． (1)请用列表法或者画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)请问裁判设计的规则公平吗？请通过计算说明理由． 考点02 转盘相关概率问题 9．端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 10．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 11．某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 12．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 13．某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 14．如图，游乐场一个转盘被等分成12个扇形．其中有部分扇形标注了颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针指向某个扇形区域内为转动一次转盘（如果指针指在等分线上，则重新转动转盘）． (1)请在没有标注颜色的扇形上标注扇形颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，其余部分为黄色； (2)商家规定：任何人都可以参与（1）中的这个转动转盘游戏，但必须遵循以下规则：每人每次转一次转盘，若指针落在红色区域，参与者给商家5元；若指针落在白色区域，商家奖励参与者2元；若指针落在黄色区域，商家奖励参与者3元．你认为商家设置的这个转盘游戏会亏本吗？请说明理由． 15．如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； (2)若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 16．如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 考点03 设计规则 17．为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 18．（1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率． （2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案． 19．如图是一个被等分成6份的转盘，你能否在转盘上涂上颜色，使得自由转动的转盘满足以下条件： ①转盘停止后，指针落在红色和黄色区域的概率相等； ②转盘停止后，指针落在蓝色区域的概率大于落在红色区域的概率． 请你设计方案满足上述两个条件． 20．小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛在一定距离外向大圆内掷小石子，若掷中阴影，则小红胜，否则小明胜，未掷入圆内不算，你来当裁判． （1）你认为游戏公平吗？为什么？ （2）游戏结束，小明边走边想，“能否用频率估计概率的方法来估算非规则图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题． 21．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 22．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 23．某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案：①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则：①若取出的是黄球，则获得奖品A； ②若取出的是白球，则获得奖品B． (1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”与“获得奖品”的概率分别是多少？ (2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品A”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． 24．五一小长假，某商场征集促销活动方案，小明根据数学课本第75页的知识，建议商场设计一个抽奖活动． 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，像图那样涂上颜色．商场规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．    (1)某顾客购物后获得了一次转动转盘的机会，求他获得50元购物券的概率是多少． (2)商场为了吸引顾客，决定增大顾客的获奖概率，使得顾客转动一次转盘获得购物券的概率为0.5，那么商场需要再给________个扇形涂上颜色． (3)为了增加活动的趣味性，商场还做了一个大型的质地均匀的骰子，骰子的六个面上标数字1到6．顾客获得抽奖机会时，可以选择转转盘或者掷骰子，如果转转盘和掷骰子获奖概率都是0.5，请你帮忙设计一个掷骰子的获奖规则． 考点04 几何概率 25．2025年山西省森林草原防灭火综合演练技能比武在忻州市举行，活动中，通过防火调度平台实现远程精准指挥，运用无人机巡护预警，并借助智慧林草平台系统辅助指挥，演练还展示了无人机、机器狗、机器人与地面部队协同作战等手段，有效提升了灭火效率．小悦是一名森林消防爱好者，受活动启发她制作了如图所示的转盘，转盘分为三个全等的菱形区域，每个区域上印有一个森林防火图案．固定指针，转动转盘，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转）． (1)若转动转盘一次，记指针停在区域A的概率为，指针停在区域B的概率为，则______．（填“>”“＝”或“<”） (2)若转动转盘两次，请利用列表或画树状图的方法，求指针两次指向的图案不同的概率． 26．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 27．小张和小李参加了一个有奖掷飞镖的游戏．游戏规则如下：从两个图形靶（图形靶一是正方形，图形靶二是菱形，所有扇形所在的圆都是半径为1的等圆，且相邻的圆都相切）中任选一个进行飞镖投掷，命中阴影部分就可以获得奖品．小张选择了图形靶一，小李选择了图形靶二．通过计算回答：谁更有可能获得奖品？ 28．如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． (1)这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． (3)请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 29．（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 30．向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形除颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 31．在网格图中，每个方格除颜色外都相同，其中4个方格为黑色，余下方格为白色．    (1)涂黑3个白色方格，使整个网格图为轴对称图形（考虑颜色）； (2)在（1）的轴对称网格图中任取1个方格，恰好是黑色方格的概率是多少？ (3)在（1）的轴对称网格图中，再涂黑若干个白色方格，能否使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5？ 32．如图的正六边形地面上，标有编号、、、的4个小三角形地面是空地，另外2个小三角形地面是草坪，除此以外小三角形地面完全相同． (1)一只飞行的麻雀，将随意落在图中的地面上，问麻雀落在草坪上的概率是______； (2)现从4个小三角形空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取和两个小三角形空地种植草坪的概率是多少？（用树形图或列表法求解） 考点05 统计与概率综合 33．3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能参加一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． (1)本次调查抽取的总人数是________人． (2)扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为________． (3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 34．如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种： A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料 根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)这个班级有______名同学；扇形统计图中B所对应扇形的圆心角是_____度． (2)为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，则恰好抽到2名女生的概率是______． (3)若该校有2000名学生，估计每天饮用碳酸饮料的学生数量． 35．结合书香校园阅读活动，金堂在全县中小学推广普及中华经典诵读，让孩子们掌握国学经典作品“读、诵、吟”等基本方法，培养中华经典诵读活动的爱好者、传播者，营造浓郁的文化氛围．2025年9月某初中学校开展了国学经典诵读活动，何老师对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题： (1)在扇形统计图中，求获得二等奖部分所占的圆心角的度数； (2)获得一等奖的同学中有1名来自七年级，其余来自八年级，何老师准备从一等奖中的同学中任选两人参加县级国学经典诵读大赛，请用列表或画树状图的方法求所选出的两人中既有七年级又有八年级同学的概率． 36．第十五届全运会落幕，湖南正式接过会旗，全运会进入“湖南周期”，体育湘军在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．某校响应湖南省中小学生全员文体活动号召，学生对全运会湖南优势项目表现出浓厚兴趣．为精准开展校园体育活动，学校体育组针对4类全运会湖南热门优势项目A、B、C、D开展调查，随机抽取部分学生统计，绘制成两幅不完整的统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： (1)这次抽取的学生总人数为___________人；扇形统计图中 B 类项目所占圆心角为___________度； (2)补全条形统计图； (3)学校从关注热度较高的学生中选拔出4名“校园体育推广员”，其中3人关注A类项目，1人关注B类项目，现从这4人中随机选择2人在校体育节开幕式上分享运动心得，请用列表法求出恰好抽到关注A、B两类项目各 1人的概率． 37．2025年11月9日，十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地联合举行，点燃了全国人民运动的激情．我校抽样调查评选出了学生比较喜爱的球类运动分别是以下四类：A（篮球），B（羽毛球），C（乒乓球），D（足球）．如图是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图． (1)本次统计的总份数为 份，补全条形统计图； (2)扇形统计图中B类所对应的圆心角度数为 ； (3)本次调查比较喜爱的球类运动C（乒乓球）类中有4位同学是乒乓球明星樊振东的粉丝，其中2名男生，2名女生，从这四人中随机抽选两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名性别相同的学生的概率． 38．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用，，，表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有________人，所对应扇形的圆心角是________，并补全条形统计图； (2)依次将优秀、良好、及格、不及格学生的书写成绩记为分、分、分、分，则抽取这部分学生的书写成绩的众数是________分，中位数是________分，平均数是________分； (3)若该校共有学生人，估计书写能力等级为的学生约有________人； (4)等级有名女生和名男生，现在从这人中随机抽取人参加书法比赛，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的人恰好是名男生和名女生的概率． 39．作为湖南省最具有影响力的足球赛事，2025年“湘超”联赛激战正酣．为普及本土足球文化，某中学对全校学生关于“湘超”联赛的了解程度进行了一次抽样调查，将调查结果划分为4个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的学生人数为_____； (2)补全条形统计图； (3)求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； (4)在这次调查中，九年级（1）班共有4名学生对“湘超”联赛非常了解，4名学生中有2名男生和2名女生，班主任决定从这4名学生中随机选出2名学生参加学校的足球分享活动，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 40．某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校个班中随机抽取了个班（用表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）； (2)请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中班作品数量所对应的圆心角度数______； (3)如果全班征集的作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $