精品解析：河南省鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期第三次段考（1月）数学试题

2027届高二上学期第三次段考·数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.05mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 27 3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点．则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 8. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 在轴上的截距为2 B. 与直线垂直 C. 与直线之间的距离为 D. 与圆相离 10. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为的等比数列 11. 在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角的正弦值范围是 C. 异面直线与间的距离为 D. 当时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知圆：（）与圆：（）外切，则______. 13. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 14. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 16. 已知为坐标原点，点，设圆的半径为2，圆心在直线：上. （1）若圆心也在直线：上，求圆的方程； （2）在（1）的条件下，求过点的圆的切线的方程； （3）若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围. 17. 在平面直角坐标系中，直线与曲线有且仅有一个公共点. （1）求的方程； （2）过的直线与另交于点，若，求的面积. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，,. Ⅰ求证：底面ABCD； Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小； Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 19. 如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． （1）写出的坐标； （2）证明：直线过定点； （3）、、、四点能否共圆？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二上学期第三次段考·数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.05mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】由直线，可得，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，其中，则，可得. 故选：B. 2. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据代入计算即可. 【详解】. 故选：C. 3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离计算． 【详解】抛物线的焦点坐标是，双曲线的渐近线方程是， 所求距离为． 故选：A． 4. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线垂直得出系数关系计算求参. 【详解】两直线垂直，，即解得． 故选：A. 5. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列项的性质计算求解即可. 【详解】因为等比数列中，若，则. 故选：C. 6. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点．则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建系，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】如图，以A为坐标原点，为轴所在直线，建立空间直角坐标系， 则， 因为点分别为的中点．则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 7. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 8. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 在轴上的截距为2 B. 与直线垂直 C. 与直线之间的距离为 D. 与圆相离 【答案】BC 【解析】 【分析】令，解得的值就是直线在轴上的截距为；直线的斜率为，直线的斜率为，由得到与直线垂直；易知与直线平行，利用两平行线间的距离公式求解；求出圆心到直线的距离得到与圆相交. 【详解】对于A，令，则，解得， 所以在轴上的截距为，A错误； 对于B，直线：的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与直线垂直，B正确； 对于C，易知与直线平行，所以它们之间的距离为，C正确； 对于D，因为圆心到直线的距离，所以与圆相交，D错误. 故选：BC. 10. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为的等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据等比数列的定义求解即可；对B，由A可得，进而可得；对C，根据等比数列的求和公式求解即可；对D，根据等比数列的定义判断即可. 【详解】对A，由题知，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故数列是首项为，公比为4的等比数列，故D错误． 故选：AB． 11. 在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角的正弦值范围是 C. 异面直线与间的距离为 D. 当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意得在三角形边界及其内部，以为坐标原点建立空间直角坐标系.用空间向量判断平面，即可得与平面的交点符合A选项；方法一：求出点到平面的距离，再根据线面角正弦值的定义即可求出其范围；方法二：用表示出，表示出直线与平面所成角的正弦值，结合的范围与二次函数性质求解即可判断B；用空间向量求解异面直线距离即可判断C；先得出点的轨迹是圆的一部分，再画出三角形求解出对应圆心角即可. 【详解】对A，由题可知，因为点在正方体内部，且，所以在三角形边界及其内部． 以为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系， ， ，，， 则，故平面， 则存在与平面的交点使得平面，故A正确； 对B，方法一：设点到平面的距离为，易知三角形为等边三角形，且边长为， 则，即，解得， 显然由图知点到内部的点（包括边界）距离最大值为，最小值为点到线段的垂线段距离， 则，即. 方法二：，， ，， 由于，则四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面 同理可得平面， 又因为平面，， 所以平面平面， 则取向量与共线为平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 由于在三角形边界及其内部，则， 令， ， 则对称轴，且开口向上，则由二次函数性质可得， 当时，， 则当时， 当时，， 则当时，， 则 ，故B错误； 对C，由题意可知，， 设，使得， ，令，解得， 设异面直线与的距离为， 则，故C正确； 对D，， 当时，，， 此时，即平面，则 ， 则，点的轨迹是为圆心，半径为的圆的部分， 由于，则为三角形的重心， 如图2，正三角形边长为，取中点，可得， 则，则， 则点的轨迹长度为，故D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知圆：（）与圆：（）外切，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由两圆外切进行求解． 【详解】圆：（）的圆心为，半径为， 圆：（）的圆心为，半径为， 因为圆外切，则. 故答案为：3 13. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 14. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）设出等比数列的公比，结合已知列出方程组，即可求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 设数列的公比为，则，解得，则， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以． 由，得，解得， 所以满足的正整数的值为10． 16. 已知为坐标原点，点，设圆的半径为2，圆心在直线：上. （1）若圆心也在直线：上，求圆的方程； （2）在（1）的条件下，求过点的圆的切线的方程； （3）若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）由圆心在两直线上，两方程联立求解得出圆心坐标，即可解出. （2）对直线就斜率是否存在讨论，再由切线到圆心的距离为半径求解即可. （3）将问题转化为两圆有交点，从而利用两圆位置关系列得相应不等式，求解即可. 【小问1详解】 联立，解得，即， 因为圆的半径为2，故圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）得， 当直线的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离为， 等于半径，恰与圆相切，故符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由圆心到直线的距离， 解得，所以切线方程为，即， 综上，切线的方程为和. 【小问3详解】 设圆心的坐标为，则圆的方程为， 设点，由，可得，所以点即在圆上， 又在圆：上，所以圆与圆有公共点， 所以，即①，② 由①解得，由②解得， 综上，圆心的横坐标的取值范围为. 17. 在平面直角坐标系中，直线与曲线有且仅有一个公共点. （1）求的方程； （2）过的直线与另交于点，若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将直线与曲线联立，由题意，求出p值，即可得答案. （2）根据（1）可求出A点坐标，即可求出的斜率，进而可得的斜率，代入公式，可得直线的方程，与抛物线联立，结合弦长公式，可得，根据两点间距离公式，可得，代入面积公式，即可得答案. 【小问1详解】 联立，得， 其中， 解得（舍）或， 故的方程为. 【小问2详解】 此时由可解得，而，故， 所以的斜率， 故的斜率，所以，即， 联立，可得，解得， 故， 而， 故的面积. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，,. Ⅰ求证：底面ABCD； Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小； Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】 Ⅰ∵四边形ABCD是菱形， ∴O为中点 又， ∴， 又， ∴底面 ⅡⅢ. 【解析】 【详解】试题分析： (Ⅰ) 由题意可得，从而可得底面ABCD． (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可得到所求的线面角．Ⅲ根据坐标法求解探索性问题，假设存在点M满足条件，并设且，求得点点M坐标后，根据与平面BDF的法向量垂直可得，从而得到符合题意的点M存在． 试题解析： Ⅰ略 Ⅱ解：由底面ABCD是菱形可得，又由Ⅰ可知． 建立如图所示的空间直角坐标系． 由是边长为2的等边三角形，，可得． 所以 ∴． 由已知可得， 设平面BDF的法向量为， 由，可得， 令，则． 设直线CP与平面BDF所成的角为， 则， 又， ∴． ∴直线CP与平面BDF所成角的大小为． Ⅲ解：假设存在点M满足条件，且， 则. 若使平面BDF，需且仅需且平面BDF， 由，解得符合题意． ∴在线段PB上存在一点M，使得平面BDF，且 19. 如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． （1）写出的坐标； （2）证明：直线过定点； （3）、、、四点能否共圆？请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）、、、四点不能共圆，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出、、的值，即可得出点的坐标； （2）由题可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，设点、，将该直线的方程与椭圆方程联立，由已知条件得出，结合韦达定理得出、所满足的关系式，化简直线的方程，即可求出直线所过定点的坐标； （3）求出线段、的中垂线的方程，将这两直线的方程联立，求出外心的横坐标，根据可得出结论. 【小问1详解】 在椭圆中，，， 则，故. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则点、重合，不合乎题意， 若直线的斜率为零，则该直线与轴重合，与题意矛盾， 故直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，设点、， 由，得， ， 由韦达定理可得，． 由，得， 又，故， 即， 则， 化简整理得，于是直线的方程为， 因此直线过点. 【小问3详解】 、、、四点不能共圆，事实上，总在的外接圆的内部．理由如下： 线段的垂直平分线方程为，即． 同理，线段的垂直平分线方程为． 联立上述两个方程，得的外心的横坐标为 ． 因，故， 所以，于是， 所以在的外接圆的内部，故、、、四点不能共圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $