专题08方程与不等式（二元一次方程组）2025-2026学年苏科版数学七年级下册

该初中数学二元一次方程组单元复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖二元一次方程（定义、解）、方程组（定义、解、解法）、三元一次方程组及实际应用，清晰呈现概念、解法与应用的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础定义辨析（如判断二元一次方程）到综合应用（如生产配套问题），融入运算能力、模型意识等素养，例举“列方程组解购物问题”培养用数学语言表达现实世界，助力不同学生提升，支持教师精准教学。

一轮复习 二元一次方程组 一、二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 特别说明：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 二、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 特别说明： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 三、二元一次方程组的定义 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 特别说明：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组. 四、二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 特别说明： （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 五、二元一次方程组的解法 （1）代入法；（2）加减法. 六、三元一次方程组的解法 1、把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 2、三元一次方程组 由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 七、实际问题与二元一次方程组 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 一．二元一次方程的定义 1．（2025秋•西安月考）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x2+y＝3 B． C．2x＝3y﹣5 D．2x+3＝0 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：A、方程含有两个未知数，x的次数不为1，故不是二元一次方程，不符合题意； B、方程含有分式，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程含两个未知数且次数均为1，是整式方程，是二元一次方程，符合题意； D、方程只含一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键． 2．（2025秋•北林区校级期中）有下列方程：①xy＝2；②3x＝4y；③x2；④y2＝4x；⑤3y﹣1；⑥x+y﹣z＝1．其中二元一次方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二元一次方程的定义作答． 【解答】解：①xy＝2属于二元二次方程，故不符合题意； ②3x＝4y符合二元一次方程的定义，故符合题意； ③x2不是整式方程，故不符合题意； ④y2＝4x属于二元二次方程，故不符合题意； ⑤3y﹣1符合二元一次方程的定义，故符合题意； ⑥x+y﹣z＝1属于三元一次方程，故不符合题意． 故其中二元一次方程有2个． 故选：B． 【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 3．（2025秋•龙华区校级期中）如果5x3m﹣n﹣2yn﹣m+11＝0是二元一次方程，那么（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝2，n＝1 C．m＝3，n＝4 D．m＝﹣1，n＝2 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，据此列出关于m、n的方程组，解之可得． 【解答】解：∵5x3m﹣n﹣2yn﹣m+11＝0是二元一次方程， ∴， 解得， 故选：A． 【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 4．（2025秋•西安月考）已知方程2x|m|﹣1+（m+2）y＝2是二元一次方程，则m＝　2　 ． 【分析】根据二元一次方程的定义作答即可． 【解答】解；∵方程2x|m|﹣1+（m+2）y＝2是二元一次方程， ∴|m|﹣1＝1且m+2≠0， 解得m＝2或m＝﹣2且m≠﹣2， ∴m＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，绝对值，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键． 5．（2025秋•灞桥区校级月考）若（m+1）x+5y|m+2|＝2（3﹣m）是关于x，y的二元一次方程，则m的值是　﹣3　 ． 【分析】根据二元一次方程的定义得出|m+2|＝1，m+1≠0，即可求出m的值． 【解答】解：根据题意得|m+2|＝1，m+1≠0， 解得m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 6．（2025春•廊坊期末）已知3x3a+b﹣4ya+b+6＝5是关于x，y的二元一次方程． （1）求a，b的值； （2）化简：． 【分析】（1）根据二元一次方程的定义得出，再解方程即可； （2）根据a＝3，b＝﹣8代入求值即可． 【解答】解：（1）3x3a+b﹣4ya+b+6＝5是关于x，y的二元一次方程， 由二元一次方程的定义，可知未知数x，y的次数均为1， 即， 解得； （2）． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法，立方根，正确记忆进行是解题关键． 二．二元一次方程的解 7．（2025春•甘井子区期中）已知是方程2x﹣my＝5的一个解，则常数m的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据方程的解的定义把把代入方程2x﹣my＝5中即可求出m的值． 【解答】解：把代入方程2x﹣my＝5中，得2+2m＝5， 解得， 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟知方程的解的定义是解题的关键． 8．（2025春•衡阳校级期中）二元一次方程x+2y＝7的正整数解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】通过将方程变形，用y表示x，再根据x和y均为正整数确定y的可能取值，代入计算即可． 【解答】解：方程x+2y＝7，解得x＝7﹣2y． ∴当y＝1时，x＝7﹣2×1＝5； 当y＝2时，x＝7﹣2×2＝3； 当y＝3时，x＝7﹣2×3＝1． 故选：C． 【点评】本题考查求二元一次方程的正整数解，正确进行计算是解题关键． 9．（2025春•武城县期末）如果是方程3ax+2by＝20的解，a，b是正整数，则a+b的最大值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】首先将方程化简然后分三种情况讨论即可． 【解答】解：将方程组的解代入方程3ax+2by＝ 20中， 得到：3a×2+2b×1＝20，化简得：6a+2b＝20，两边同时除以2，得3a+b＝10，由于a，b为正整数，因此b＝10﹣3a＞0，即3a＜10，解得a3.33，故a的可能取值3为1、2、3， 当a＝1时，b＝10﹣3×1＝7，此时a+b＝1+7＝ 8， 当a＝2时，b＝10﹣3×2＝4，此时a+b＝2+4＝6， 当a＝3时，b＝10﹣3×3＝1，此时a+b＝3+1＝ 4， ∴a+b的最大值为8， 故答案选C． 【点评】本题主要考查二元一次方程的解的计算，正确进行计算和分类讨论是解题关键． 10．（2025秋•莲湖区月考）已知二元一次方程x﹣3y＝5，请写出该方程的一个整数解：　（答案不唯一）　 ．（只写一个） 【分析】将x＝2代入方程求得对应的y的值即可． 【解答】解：已知二元一次方程x﹣3y＝5， 当x＝2时， 2﹣3y＝5， 解得：y＝﹣1， 那么该方程的一个整数解为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 11．（2025•锡山区校级二模）已知是二元一次方程ax+by＝5的一个解，则a2+4ab+4b2的值是 　25　 ． 【分析】将已知解代入方程得到关于a和b的关系式，再通过观察所求代数式的结构特征，利用完全平方公式进行因式分解求值． 【解答】解：∵知是二元一次方程ax+by＝5的一个解， ∴将代入二元一次方程ax+by＝5， 得a+2b＝5． ∴a2+4ab+4b2＝（a+2b）2＝52＝25． 故答案为：25． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键． 12．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”．例如：ax+by＝c的交换系数方程为cx+by＝a或ax+cy＝b． （1）方程2x+3y＝4与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为　或　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值； （3）已知整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且（10m﹣t）x+2025y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（n+1）x+2025y＝2m+2的“交换系数方程”，求m的值． 【分析】（1）根据交换系数方程的定义建立方程组，利用加减消元法解方程组即可得； （2）根据交换系数方程的定义建立方程组，解方程组求出x，y的值，再代入方程mx+ny＝p可得m+n＝﹣p，n+p＝﹣m，据此计算即可得； （3）根据交换系数方程的定义求出方程（n+1）x+2025y＝2m+2的交换系数方程，再分两种情况讨论，对比方程的各系数，解方程组求出m，n，然后根据m，n为整数求解即可得． 【解答】解：（1）由条件可知组成的方程组为或， 解得或． 故答案为：或； （2）方程ax+by＝c与它的交换系数方程组成的方程组为①或②， 则方程组①的解为，当a+b+c＝0时，方程组①的解为， 方程组②的解为，当a+b+c＝0时，方程组②的解为， 由题意可知，将代入mx+ny＝p得：﹣m﹣n＝p， 所以m+n＝﹣p，n+p＝﹣m， 则（m+n）m﹣p（n+p）+2025 ＝﹣pm﹣p•（﹣m）+2025 ＝﹣pm+pm+2025 ＝2025． （3）方程（n+1）x+2025y＝2m+2的交换系数方程为（2m+2）x+2025y＝n+1或（n+1）x+（2m+2）y＝2025， ①当方程（n+1）x+2025y＝2m+2的交换系数方程为（2m+2）x+2025y＝n+1时， ∵（10m﹣t）x+2025y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（n+1）x+2025y＝2m+2的交换系数方程， ∴（10m﹣t）x+2025y＝m+t各系数与（2m+2）x+2025y＝n+1各系数相等， ∴， 解得， ∵t＜n＜8m， ∴， 解得6＜t＜22， ∴8＜t+2＜24， ∵为整数， ∴t+2＝16，即t＝14， ∴； ②当方程（n+1）x+2025y＝2m+2的交换系数方程为（n+1）x+（2m+2）y＝2025时， 由条件可知（10m﹣t）x+2025y＝m+t各系数与（n+1）x+（2m+2）y＝2025各系数相等， ∴2m+2＝2025， 解得，不是整数，不符合题意，舍去； 综上，m的值为2． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识，正确理解交换系数方程的定义是解题关键． 三．解二元一次方程 13．（2025春•锡山区校级月考）已知方程3x+4y＝6，用含x的式子表示y为（　　） A． B． C． D． 【分析】移项，再把y的系数化为1即可求解． 【解答】解：方程3x+4y＝6移项得，4y＝6﹣3x， 两边同时除以4得，， 故选：C． 【点评】本题考查了解二元一次方程，掌握等式的性质是解题的关键． 14．（2024秋•宁德期末）已知方程2x+y＝1，请用含x的式子表示y，得y＝　1﹣2x ． 【分析】将方程移项，得到y＝1﹣2x． 【解答】解：∵2x+y＝1， ∴y＝1﹣2x， 故答案为1﹣2x． 【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 15．（2025春•东台市期中）二元一次方程2x+3y＝18正整数解的个数是 　2　 个． 【分析】将x看作已知数表示出y，分别令x为正整数，确定出y为正整数，即为方程的正整数解． 【解答】解：方程2x+3y＝18，变形得：y6，当x＝3时，y＝4； 当x＝6时，y＝2． 故答案为：2． 【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，求出y． 16．（2021春•闵行区期末）方程2x+y＝5的正整数解为x＝2，y＝1　 或x＝1，y＝3　 ． 【分析】由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的x值从而代入方程得到相应的y值． 【解答】解：由已知方程2x+y＝5，移项得y＝5﹣2x， ∵x，y都是正整数，则有y＝5﹣2x＞0，又∵x＞0， ∴0＜x，又∵x为正整数，根据以上条件可知，合适的x值只能是x＝1、2， 代入方程得相应y＝3、1， ∴方程2x+y＝5的正整数解为x＝1，y＝3；x＝2，y＝1． 【点评】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值． 17．（2023春•集美区校级期中）已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝　72　 时，n取得最小值　5　 ． 【分析】先移项，用m表示出n，再根据n最小可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，再由m，n均为正整数即可得出符合条件的m、n的值． 【解答】解：移项得，n7575， ∵m、n为正整数， ∴75≥0， ∴m≥67.5， 若n取得最小值，则与75无限接近且m为正整数， ∴当m＝72时，n最小＝5． 【点评】本题考查的是解二元一次方程，解答此类题目时要注意此类方程属不定方程，由无数组解，要根据题意找出符合条件的未知数的对应值． 四．二元一次方程组的定义 18．（2025秋•光明区校级期中）下列不是二元一次方程组的是（　　） A．B．C．D． 【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可． 【解答】解：A、方程组中，第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，符合题意； B、方程组是二元一次方程组，不符合题意； C、方程组是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组是二元一次方程组，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟知由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组是解题的关键． 19．（2025秋•北林区校级期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A．B．C．D． 【分析】由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此逐项判断即可． 【解答】解：A中的xy的次数是2，不符合题意， B中含有3个未知数，不符合题意， C中的不是整式，不符合题意， D中方程组符合二元一次方程组的定义，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 20．（2025春•商水县校级月考）若是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　﹣1　 ． 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【解答】解：若是关于x，y的二元一次方程组， ∴， ∴解得：m＝±1，n＝3， ∵m≠1， ∴m＝﹣1， ∴mn＝（﹣1）3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 五．二元一次方程组的解 21．（2025秋•郑州月考）已知是的一组解，则m+n的值为（　　） A．3 B．﹣5 C．5 D．﹣3 【分析】将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和． 【解答】解：已知是的一组解， ∵x＝﹣2，y＝1是方程组的解， ∴代入2x+3y＝m得：2×（﹣2）+3×1＝﹣4+3＝﹣1， ∴m＝﹣1． 代入nx﹣y＝3得：n×（﹣2）﹣1＝3， ∴n＝﹣2． ∴m+n＝﹣1+（﹣2）＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键． 22．（2025春•诸暨市期中）已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6则k＝1．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【解答】解：①当k＝0时，原方程组可整理得：， 解得：， 把代入x﹣2y＝﹣4得： x﹣2y＝﹣2﹣2＝﹣4， 即①正确， ②解方程组，得： 若x+y＝3k﹣1+k＝0， 则4k﹣1＝0， 解得：k， 即存在实数k，使得x+y＝0， 即②正确， ③解方程组，，得： ， ∴x+3y＝3k﹣2+3（1﹣k）＝1， ∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，故③正确； ④解方程组，，得： ， 若3x+2y＝6 ∴k，故④错误， 故选：A． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义． 23．（2025秋•碑林区校级月考）已知方程组的解满足x+y＝1，求k的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．6 【分析】先根据解相同得新方程组，再求未知数x、y的值，最后代入求出k的值． 【解答】解：∵方程组的解满足x+y＝1， ∴的解满足方程kx+（k﹣1）y＝6． 解方程组，得． 当时，k×1+（k﹣1）×0＝6， ∴k＝6． 故选：D． 【点评】本题考查了方程组和方程的解，掌握二元一次方程的解法是解决本题的关键． 24．（2024秋•牙克石市期末）已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于m、n的方程组的解是（　　） A．B．C．D． 【分析】根据关于x，y的方程组 的解为 ，得出，结合关于m、n的方程组 ，得出，进行解方程，即可作答． 【解答】解：∵， ∴， ∵关于x，y的方程组 的解为 ， ∴， ∵关于m、n的方程组 ， ∴， 解得； 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，熟练掌握消元法是关键． 25．（2025秋•青羊区校级期末）已知关于x，y的方程组的解满足2x﹣y，则k的值为　　 ． 【分析】把原方程组中的k消去得到只含有x、y的方程，与方程2x﹣y组成方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入原方程组中的任一方程即可求出k的值． 【解答】解：将方程①×3得： 3x﹣3y＝3k﹣9③， 由②﹣③得： 8y＝17， 解得：y． 将y代入2x﹣y得： 2x， 解得：x＝1． 将x＝1，y代入①得： 1k﹣3， 解得：k． 故答案为：． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，消去k，然后解关于x、y的二元一次方程组是关键． 26．（2025秋•宣州区校级期中）若关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值为　﹣10　 ． 【分析】根据二元一次方程组的解法以及方程组无解的定义进行计算即可． 【解答】解：， ①×2﹣②得，（﹣10﹣a）y+19＝0， 由于原方程组无解， 所以﹣10﹣a＝0， 解得a＝﹣10． 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义以及二元一次方程组的解法是正确解答的关键． 27．（2025秋•高新区校级期中）已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为　　 ． 【分析】通过整体代换，将新方程组中的表达式转化为原方程组的形式，利用已知解求解． 【解答】解：由方程组可得，， 令 u＝x+1，v＝﹣（y﹣3）， 则可化为：， ∵方程组的解为， ∴方程组的解为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 28．（2025秋•莲湖区月考）在解关于x，y的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，得到的解为，那么a﹣b+c的值为　﹣3　 ． 【分析】将代入方程cx+7y＝8中解得c的值，再将，分别代入ax+by＝22中解得a，b的值，然后计算a﹣b+c的值即可． 【解答】解：已知在解关于x，y的方程组时，甲同学正确解得， ∴3a+2b＝22，3c+14＝8， 解得：c＝﹣2， ∵乙同学把c看错了，得到的解为， ∴﹣2a+6b＝22， 则， 解得：， 则a﹣b+c＝4﹣5﹣2＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解题意并列得正确的方程及方程组是解题的关键． 29．（2025春•威海期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 　3　 ． 【分析】根据题意把代入方程bx﹣4y＝4中求出b的值，把代入方程ax+3y＝9中求出a的值，然后计算a+b即可． 【解答】解：把代入方程bx﹣4y＝4中，得4b﹣4×1＝4， 解得b＝2， 把代入方程ax+3y＝9中，得3a+3×2＝9， 解得a＝1， ∴a+b＝1+2＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 30．（2025春•蓬莱区期中）已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解满足3x+2y＝0，求k的值． （2）无论实数k取何值，方程x﹣2y+kx+9＝0总有一个公共解，直接写出该公共解． 【分析】（1）根据题意，联立方程得，可求得x，y的值，再将x，y代入x﹣2y+kx+9＝0，即可求得k的值． （2）无论实数k取何值，方程x﹣2y+kx+9＝0总有一个公共解，即y的取值与k无关，求得x＝0，将所求x的值代入x﹣2y+kx+9＝0，可求得y的值，即为所求的公共解． 【解答】解：（1）联立x+3y＝7与3x+2y＝0，得： ， 解得 ， 把 代入方程x﹣2y+kx+9＝0中，得： ﹣2﹣6﹣2k+9＝0， 解得 （2）由题意可得：y的取值与k无关， ∴x＝0，即方程x﹣2y+kx+9＝0化为﹣2y+9＝0，解得 无论实数k取何值，方程x﹣2y+kx+9＝0总有一个公共解，该公共解为． 【点评】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． 31．（2025秋•集美区月考）在解方程组时，小明把方程①抄错了，求得的解为小亮把方程②抄错了，求得的解为． （1）求a，b的值． （2）求原方程组正确的解． 【分析】（1）由题意得，b+7a＝19，﹣2a+4b＝16，联立方程组解方程即可． （2）由（1）得，该方程组为，利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知， ， 解得； （2）原方程组为， 解得， 所以原方程组正确的解为． 【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 六．解二元一次方程组 32．（2025秋•济阳区期中）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）根据代入法消元法解二元一次方程组即可； （2）先把原方程组整理为：，然后再根据加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得2x+2x﹣3＝5， 整理，得4x＝8， 解得：x＝2， 把x＝2代入①，得y＝2×2﹣3＝1， ∴方程组的解为； （2）， 整理，得， ①+②，得6x＝18， 解得：x＝3， 把x＝3代入②，得3×3+2y＝10， 解得：y， ∴方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解题的关键． 33．（2025秋•金水区校级月考）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）通过代入消元求解； （2）先整理方程组，再用加减消元法求解． 【解答】解：（1）， 将①代入②得， 化简，得， 解得， 把代入①得x＝1， 所以方程组的解为； （2）， 整理得， ③×2得8x﹣2y＝10⑤， ④+⑤得3x+2y+8x﹣2y＝12+10，即11x＝22， 解得x＝2， 把x＝2代入③得y＝3， 所以原方程组的解为． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题关键是消元，常用方法有代入消元法和加减消元法． 34．（2025春•光山县期末）若方程组的解满足0＜y﹣x＜1，则k的取值范围是k＜1 ． 【分析】本题有两种方法：（1）解方程组求出x、y的值，代入0＜y﹣x＜1进行计算； （2）①﹣②可得y﹣x＝2k﹣1，将y﹣x看作一个整体来计算． 【解答】解：①﹣②可得y﹣x＝2k﹣1，于是：0＜2k﹣1＜1，解得k＜1． 【点评】采用整体思想，虽然在认识上有一定难度，但计算量较小，建议同学们提高认识，以提高解题的效率． 35．（2022•温岭市校级自主招生）当关于x、y的二元一次方程组的解x为正数，y为负数，则求此时m的取值范围？ 【分析】先解方程组用含m的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系得到关于m的不等式求解即可． 【解答】解：由方程组得： ∵x为正数，y为负数 ∴x＝﹣m﹣1＞0，y＝1.5m﹣2＜0， 即m＜﹣1，m ∴m＜﹣1． 【点评】主要考查了方程组的解的定义和不等式的解法．理解方程组解的意义用含m的代数式表示出x，y，找到关于x，y的不等式并用m表示出来是解题的关键． 七．二元一次方程组的应用 36．（2025秋•河北区校级月考）某车间有22名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓1200个或螺帽2000个，1个螺栓要配2个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 【分析】设应安排x名工人生产螺栓，则安排（22﹣x）名工人生产螺帽，根据1个螺栓要配2个螺帽，列出方程进行求解即可． 【解答】解：设应安排x名工人生产螺栓，则安排（22﹣x）名工人生产螺帽，由题意，得： 2×1200x＝2000（22﹣x）， 解得x＝10， ∴22﹣x＝12； 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺帽． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 37．（2025秋•丹徒区月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）请问该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【分析】（1）设该车间有男生x人，有女生y人，根据该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮，根据2个大齿轮与3个小齿轮配套，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设该车间有男生x人，有女生y人， 根据题意得：， 解得：， 答：该车间有男生31人，女生54人； （2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮， 根据题意得：3×16m＝2×10（85﹣m）， 解得：m＝25， ∴85﹣m＝60， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责负责生产小齿轮． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 38．（2025秋•宝安区校级期末）李老师在某体育用品商店分两次购买篮球和足球，购买时，均按标价购买，两次购买篮球和足球的数量和费用如表所示． 篮球/个 足球/个 总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 （1）求篮球和足球的标价分别为多少元； （2）元旦期间，商店举行优惠促销活动，篮球和足球同时按标价的六折出售．若李老师准备花费960元再次购买篮球和足球（篮球、足球均购买），则李老师有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设篮球标价为 x元，足球标价为 y元，根据两次购买的数量和总费用，列出二元一次方程组并求解； （2）先根据第一问结果计算打折后的单价（六折），设购买篮球 m个、足球 n个（均为正整数），根据总费用 960 元列出方程，化简后寻找所有正整数解，即为购买方案． 【解答】解：（1）设足球的标价是y元，篮球的标价是x元， ∴， 解得：， 答：篮球的标价是80元，足球的标价是100元． （2）设李老师再次购买篮球m个，足球n个， ∴0.6（80m+100n）＝960， 48m+60n＝960， 4m+5n＝80， ∴， ∵m、n均为正整数， ∴或或， 答：李老师共有三种方案：①购买篮球15个、足球4个；②购买篮球10个、足球8个；③购买篮球5个、足球12个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的建立与求解以及在实际问题（打折销售和方案设计）中的应用；解题的关键是正确设未知数，根据表格信息列出方程组求解单价，并利用打折后的价格和总预算列出方程寻找整数解． 39．（2025春•信丰县期末）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金 【分析】（1）设1辆小客车能坐x名学生，1辆大客车能坐y名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可； （2）①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数＝400，然后求出非负整数解即可； ②根据①所得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金380元分别计算出租金，再比较即可． 【解答】解：（1）设1辆小客车能坐x名学生，1辆大客车能坐y名学生， 根据题意得：， 解得：， 则x+y＝20+45＝65， 答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生． （2）①由题意得：20m+45n＝400， ∴m＝20n， ∵m、n为非负整数， ∴或或， ∴租车方案有三种： 方案一：小客车20车，大客车0辆， 方案二：小客车11辆，大客车4辆， 方案三：小客车2辆，大客车8辆； ②方案一租金：200×20＝4000（元）， 方案二租金：200×11+380×4＝3720（元）， 方案三租金：200×2+380×8＝3440（元）， ∵4000＞3720＞3440， ∴方案三租金最少，最少租金为3440元． 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 40．（2025秋•前进区校级期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为300元．每盒坚果礼盒的成本为250元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多200元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多． （1）求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； （2）该水果店第一批购进了200个水果篮和100盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利15000元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ 【分析】（1）每个水果篮售价600元，坚果礼盒售价400元； （2）计划每个水果篮应打5折出售． 【解答】解：（1）设买水果篮售价x元，坚果礼盒售价y元，依题意得： ， 解得， 答：每个水果篮售价600元，坚果礼盒售价400元； （2）设计划每个水果篮应打a折出售，依题意得： ， 解得：a＝5， 答：计划每个水果篮应打5折出售． 【点评】本题主要考查了二元一次方程和一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 41．（2025秋•崂山区校级月考）某服装店购进一批文化衫和帽子，共700件，总进货款为20000元，这两种商品的进价、预售价如表： 商品 进价（元/件） 预售价（元/件） 文化衫 20 32 帽子 30 40 （1）求该服装店购进文化衫和帽子各多少件？ （2）若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该超市可获得　7200　 元的利润； （3）在实际销售过程中，服装店按预售价将购进的文化衫全部售出，帽子售出一半后，决定将剩余的帽子打折销售，全部售完后，两种商品共获得利润6000元，求帽子售出一半后是按预售价的几折销售的？ 【分析】（1）设该服装店购进文化衫x件，帽子y件，根据某服装店购进一批文化衫和帽子，共700件，总进货款为20000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）设帽子售出一半后是按预售价的m折销售的，根据服装店按预售价将购进的文化衫全部售出，帽子售出一半后，决定将剩余的帽子打折销售，全部售完后，两种商品共获得利润6000元，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设该服装店购进文化衫x件，帽子y件， 根据题意得：， 解得：， 答：该服装店购进文化衫100件，帽子600件； （2）根据题意得：（32﹣20）×100+（40﹣30）×600＝7200（元）， 即若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该超市可获得7200元的利润， 故答案为：7200； （3）设帽子售出一半后是按预售价的m折销售的， 根据题意得：（32﹣20）×100+（40﹣30）×300+（40×0.1m﹣30）×300＝6000， 解得：m＝9， 答：帽子售出一半后是按预售价的9折销售的． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键． 42．（2025•泗洪县二模）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 【分析】（1）设中级型汽车的进价为x万元，紧凑型汽车的进价为y万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出W＝﹣2a+400，25≤a≤100，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）设中级型汽车的进价为x万元，紧凑型汽车的进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元； （2）设购进中级型汽车a辆， 由题意得：25≤a≤100， ∴W＝（26﹣24）a+（20﹣16）（100﹣a）＝﹣2a+400， ∵﹣2＜0， ∴W随a的增大而减小， ∴当a＝25，W取最大值，最大值为﹣2×25+400＝350， ∴100﹣25＝75（辆）， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元一次方程或二元一次方程． 43．（2025•宁夏一模）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求AB两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案．若该汽车销售公司销售一辆A型汽车可获利4000元，销售一辆B型汽车可获利7000元，在所有的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解方程即可求解； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价＝单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 由题意得，， 解得， 所以A型汽车每辆的进价为10万元，B型汽车每辆的进价为25万元， 答：A型汽车每辆的进价为10万元，B型汽车每辆的进价为25万元； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 由题意得，10m+25n＝200， 解得， ∵m，n均为正整数， ∴，，， ∴共3种购买方案，方案一：购进A型车15辆，B型车2辆；方案二：购进A型车10辆，B型车4辆；方案三：购进A型车5辆，B型车6辆； （3）方案一获得利润：4000×15+7000×2＝74000（元）； 方案二获得利润：4000×10+7000×4＝68000（元）； 方案三获得利润：4000×5+7000×6＝62000（元）； ∵62000＜68000＜74000， ∴购进A型车15辆，B型车2辆获利最大，最大利润是74000元， 答：购进A型车15辆，B型车2辆获利最大，最大利润是74000元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 八．同解方程组 44．（2025春•衡南县期末）已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么（a+b）2007的值为（　　） A．﹣2007 B．﹣1 C．1 D．2007 【分析】根据已知条件，知x，y的值适合四个方程，故可以联立解方程组，求得x，y的值后，再联立解方程组，从而求解． 【解答】解：根据题意，得 ， 解，得． 把代入含有a，b的两个方程，得 ， 由②，得 a+b＝1． 则（a+b）2007＝1． 故选：C． 【点评】此题要能够首先联立方程组求得x，y的值，再进一步得到关于a，b的方程组，最后求得（a+b）2007的值． 45．（2023春•西平期末）如果方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（　　） A．B．C．D． 【分析】因为方程组有相同的解，所以只需求出一组解代入另一组，即可求出未知数的值． 【解答】解：由题意得：是的解， 故可得：，解得：． 故选：A． 【点评】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义，考查了学生对题意的理解能力． 46．（2023春•北塔区期中）若方程组与方程组同解，则mn＝　8　 ． 【分析】先求出方程组的解，再把x、y的值代入方程组中，得到关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，代入代数式求解即可． 【解答】解：解方程组， ①+②得，2x＝4， 解得x＝2， ①﹣②得，2y＝2， 解得y＝1． 把x＝2，y＝1代入方程组， 得， 解得m＝4，n＝2． 故mn＝4×2＝8． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，解答此题的关键是先求出x、y的值，得到关于m、n的二元一次方程组，再求出m、n的值． 47．（2025秋•厦门月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求m，n的值； （3）若（1）中的解也是关于x，y的方程（3﹣a）x+（2a+1）y＝3的解，求a的值． 【分析】（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可； （2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入（3﹣a）x+（2a+1）y＝3，再化简，即可求出a的值． 【解答】解：（1）由题意可得：， 解得； （2）将代入含有m，n的方程得， 解得； （3）将代入（3﹣a）x+（2a+1）y＝3， 得（3﹣a）×3+（2a+1）×（﹣1）＝3， 解得：a＝1． 【点评】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数，理解同解方程组的概念是解题关键． 九．解三元一次方程组 48．（2025•德州）我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（　　） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【分析】根据二元一次方程组的解的个数总结规律，然后令y+z＝k，从而求得k的整数解的个数，再根据y，z为正整数分别确定k取不同的解时y+z＝k的正整数解的个数，然后将它们相加即可． 【解答】解：关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，即1， x+2y＝5的正整数解有2组，即2， x+2y＝7的正整数解有3组，即3， …， x+2y＝n（n为正奇数），其正整数解有组， 已知关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15， 设y+z＝k， 则x+2k＝15， 其正整数解的组数为7， ∵x为正整数， ∴k＝1，2，3，4，5，6，7， ∴y+z＝1，2，3，4，5，6，7， ∵y，z都是正整数， ∴当y+z＝1时，不符合题意， 当y+z＝2时，有1组正整数解， 当y+z＝3时，有2组正整数解， 当y+z＝4时，有3组正整数解， 当y+z＝5时，有4组正整数解， 当y+z＝6时，有5组正整数解， 当y+z＝7时，有6组正整数解， 则1+2+3+4+5+6＝21（组）， 即关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有21组， 故选：B． 【点评】本题考查解三元一次方程，二元一次方程的解，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． 49．（2025•滨城区校级开学）设xyz≠0，若，则（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】根据题意得到y＝3x，z＝5x，代入化简即可． 【解答】解：由条件可知： ， ①+②得3x﹣y＝0， ∴y＝3x， ①×2+②得5x﹣z＝0， ∴z＝5x， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了用加减消元法解方程，分式的化简求值，熟练掌握用加减消元法解方程是解题的关键． 50．（2025春•凉山州期末）若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．不能确定值 【分析】把z看作已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：， ①﹣②得：y＝﹣z﹣2， 把y＝﹣z﹣2代入①得：x+z+2＝1﹣4z， 解得：x＝﹣1﹣5z， 把x＝﹣1﹣5z，y＝﹣z﹣2代入得：x+y+6z＝﹣1﹣5z﹣z﹣2+6z＝﹣3． 故选：A． 【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 51．（2025春•沈丘县期末）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】由③﹣①可得y＝﹣5，再把y＝﹣5代入②可得z＝﹣11，然后把z＝﹣11代入①，即可求解． 【解答】解：， 根据消元法可知由方程③﹣方程①得y＝﹣5， 把y＝﹣5代入②得z﹣2×（﹣5）＝﹣1， 解得z＝﹣11， 把z＝﹣11代入①得x﹣（﹣11）＝4， 解得x＝﹣7， ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了解三元一次方程组．熟练掌握该知识点是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $一轮复习 二元一次方程组 一、二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 特别说明：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 二、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 特别说明： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 三、二元一次方程组的定义 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 特别说明：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组. 四、二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 特别说明： （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 五、二元一次方程组的解法 （1）代入法；（2）加减法. 六、三元一次方程组的解法 1、把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 2、三元一次方程组 由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 七、实际问题与二元一次方程组 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 一．二元一次方程的定义 1．（2025秋•西安月考）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x2+y＝3 B． C．2x＝3y﹣5 D．2x+3＝0 2．（2025秋•北林区校级期中）有下列方程：①xy＝2；②3x＝4y；③x2；④y2＝4x；⑤3y﹣1；⑥x+y﹣z＝1．其中二元一次方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025秋•龙华区校级期中）如果5x3m﹣n﹣2yn﹣m+11＝0是二元一次方程，那么（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝2，n＝1 C．m＝3，n＝4 D．m＝﹣1，n＝2 4．（2025秋•西安月考）已知方程2x|m|﹣1+（m+2）y＝2是二元一次方程，则m＝　 　 ． 5．（2025秋•灞桥区校级月考）若（m+1）x+5y|m+2|＝2（3﹣m）是关于x，y的二元一次方程，则m的值是　 　 ． 6．（2025春•廊坊期末）已知3x3a+b﹣4ya+b+6＝5是关于x，y的二元一次方程． （1）求a，b的值； （2）化简：． 二．二元一次方程的解 7．（2025春•甘井子区期中）已知是方程2x﹣my＝5的一个解，则常数m的值是（　　） A． B． C． D． 8．（2025春•衡阳校级期中）二元一次方程x+2y＝7的正整数解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 9．（2025春•武城县期末）如果是方程3ax+2by＝20的解，a，b是正整数，则a+b的最大值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 10．（2025秋•莲湖区月考）已知二元一次方程x﹣3y＝5，请写出该方程的一个整数解：　　 ．（只写一个） 11．（2025•锡山区校级二模）已知是二元一次方程ax+by＝5的一个解，则a2+4ab+4b2的值是 　 　 ． 12．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”．例如：ax+by＝c的交换系数方程为cx+by＝a或ax+cy＝b． （1）方程2x+3y＝4与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为　 　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值； （3）已知整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且（10m﹣t）x+2025y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（n+1）x+2025y＝2m+2的“交换系数方程”，求m的值． 三．解二元一次方程 13．（2025春•锡山区校级月考）已知方程3x+4y＝6，用含x的式子表示y为（　　） A． B． C． D． 14．（2024秋•宁德期末）已知方程2x+y＝1，请用含x的式子表示y，得y＝　 　 ． 15．（2025春•东台市期中）二元一次方程2x+3y＝18正整数解的个数是 　 　 个． 16．（2021春•闵行区期末）方程2x+y＝5的正整数解为　 　 或　 　 ． 17．（2023春•集美区校级期中）已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝　 　 时，n取得最小值　 　 ． 四．二元一次方程组的定义 18．（2025秋•光明区校级期中）下列不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 19．（2025秋•北林区校级期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 20．（2025春•商水县校级月考）若是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　 　 ． 五．二元一次方程组的解 21．（2025秋•郑州月考）已知是的一组解，则m+n的值为（　　） A．3 B．﹣5 C．5 D．﹣3 22．（2025春•诸暨市期中）已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6则k＝1．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 23．（2025秋•碑林区校级月考）已知方程组的解满足x+y＝1，求k的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．6 24．（2024秋•牙克石市期末）已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于m、n的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 25．（2025秋•青羊区校级期末）已知关于x，y的方程组的解满足2x﹣y，则k的值为　 　 ． 26．（2025秋•宣州区校级期中）若关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值为　 ． 27．（2025秋•高新区校级期中）已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为　 　 ． 28．（2025秋•莲湖区月考）在解关于x，y的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，得到的解为，那么a﹣b+c的值为　 　 ． 29．（2025春•威海期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 　 　 ． 30．（2025春•蓬莱区期中）已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解满足3x+2y＝0，求k的值． （2）无论实数k取何值，方程x﹣2y+kx+9＝0总有一个公共解，直接写出该公共解． 31．（2025秋•集美区月考）在解方程组时，小明把方程①抄错了，求得的解为小亮把方程②抄错了，求得的解为． （1）求a，b的值． （2）求原方程组正确的解． 六．解二元一次方程组 32．（2025秋•济阳区期中）解方程组： （1）； （2）． 33．（2025秋•金水区校级月考）解方程组： （1）； （2）． 34．（2025春•光山县期末）若方程组的解满足0＜y﹣x＜1，则k的取值范围是　 　 ． 35．（2022•温岭市校级自主招生）当关于x、y的二元一次方程组的解x为正数，y为负数，则求此时m的取值范围？ 七．二元一次方程组的应用 36．（2025秋•河北区校级月考）某车间有22名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓1200个或螺帽2000个，1个螺栓要配2个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 37．（2025秋•丹徒区月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）请问该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 38．（2025秋•宝安区校级期末）李老师在某体育用品商店分两次购买篮球和足球，购买时，均按标价购买，两次购买篮球和足球的数量和费用如表所示． 篮球/个 足球/个 总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 （1）求篮球和足球的标价分别为多少元； （2）元旦期间，商店举行优惠促销活动，篮球和足球同时按标价的六折出售．若李老师准备花费960元再次购买篮球和足球（篮球、足球均购买），则李老师有哪几种购买方案？ 39．（2025春•信丰县期末）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金 40．（2025秋•前进区校级期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为300元．每盒坚果礼盒的成本为250元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多200元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多． （1）求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； （2）该水果店第一批购进了200个水果篮和100盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利15000元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ 41．（2025秋•崂山区校级月考）某服装店购进一批文化衫和帽子，共700件，总进货款为20000元，这两种商品的进价、预售价如表： 商品 进价（元/件） 预售价（元/件） 文化衫 20 32 帽子 30 40 （1）求该服装店购进文化衫和帽子各多少件？ （2）若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该超市可获得　 　 元的利润； （3）在实际销售过程中，服装店按预售价将购进的文化衫全部售出，帽子售出一半后，决定将剩余的帽子打折销售，全部售完后，两种商品共获得利润6000元，求帽子售出一半后是按预售价的几折销售的？ 42．（2025•泗洪县二模）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 43．（2025•宁夏一模）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求AB两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案．若该汽车销售公司销售一辆A型汽车可获利4000元，销售一辆B型汽车可获利7000元，在所有的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 八．同解方程组 44．（2025春•衡南县期末）已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么（a+b）2007的值为（　　） A．﹣2007 B．﹣1 C．1 D．2007 45．（2023春•西平县期末）如果方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（　　） A． B． C． D． 46．（2023春•北塔区期中）若方程组与方程组同解，则mn＝　 　 ． 47．（2025秋•厦门月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求m，n的值； （3）若（1）中的解也是关于x，y的方程（3﹣a）x+（2a+1）y＝3的解，求a的值． 九．解三元一次方程组 48．（2025•德州）我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（　　） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 49．（2025•滨城区校级开学）设xyz≠0，若，则（　　） A． B． C．2 D．3 50．（2025春•凉山州期末）若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．不能确定值 51．（2025春•沈丘县期末）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $