第1章 三角形-全等三角形模型练习 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第1章 三角形-全等三角形模型练习苏科版2025-2026学年八年级上 题型总览 一．双垂直模型 二．三垂直模型 三．手拉手模型 四．截长补短型 五．倍长中线模型 一．双垂直模型 1．已知：如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC＝AE．若AB＝5，求AD的长． 2．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，求证：HN＝PM． 3．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE的延长线上，CF＝AB，求证：AF⊥AQ． 二．三垂直模型 4．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）请判断DE、BE、AD三条线段之间有怎样的数量关系，并证明． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D． （1）求证：△BEC≌△CDA； （2）若BE＝2，CE＝5，求DE． 三．手拉手模型 6．如图，已知点P是线段AB上一动点（不与端点A，B重合），△APC和△PBD都是等边三角形，连接AD、BC交于点I，并与PC、PD交于点E、F，则有下列结论：①AD＝BC；②等边△PEF；③∠CID＝120°；④∠ECF＝∠EDF，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H．问： （1）求证：△ADG≌△CDE． （2）AG与CE的关系？并说明理由． （3）求证：HD平分∠AHE． 8．在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M． （1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°： ①AC与BD的数量关系为 　 　 ； ②∠AMB的度数为 　 　 ． （2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°： ①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由； ②求∠AMB的度数． 四．截长补短型 9．已知在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD． 10．如图，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上． 求证：BC＝AB+CD． 11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD交其延长线于点E，求证：BD＝2CE． 五．倍长中线模型 12．已知AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，AD是整数，则AD＝　 　 ． 13．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE． 14．如图，已知：CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC＝2AE． 参考答案 一．双垂直模型 1．已知：如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC＝AE．若AB＝5，求AD的长． 【解答】解：∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E， ∴∠C＝∠AED＝90°，∠CAB+∠B＝90°， ∵AD⊥AB于A， ∴∠CAB+∠EAD＝90°， ∴∠B＝∠EAD（同角的余角相等） ∵BC＝AE，∠C＝∠AED＝90°，∠B＝∠EAD， ∴△ABC≌△DAE（AAS）， ∴AD＝AB＝5． 2．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，求证：HN＝PM． 【解答】证明：∵H是高MQ和NR的交点， ∴∠PQM＝∠HQN＝∠PRN＝90°， ∴∠P+∠PMQ＝90°，∠P+∠HNQ＝90°， ∴∠HNQ＝∠PMQ， 在△HQN和△PQM中， ， ∴△HQN≌△PQM（ASA）， ∴HN＝PM． 3．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE的延长线上，CF＝AB，求证：AF⊥AQ． 【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高， ∴∠ADB＝90°，∠AEC＝90°， ∴∠ABQ+∠BAD＝90°，∠BAC+∠ACE＝90°， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABQ和△FCA中， ∴△ABQ≌△FCA（SAS）， ∴∠F＝∠BAQ， ∵∠F+∠FAE＝90°， ∴∠BAQ+∠FAE＝90°， ∴AF⊥AQ． 二．三垂直模型 4．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）请判断DE、BE、AD三条线段之间有怎样的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：∵AD⊥l，BE⊥l，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝∠CEB＝90°，∠DCA+∠ECB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． （2）解：DE＝AD+BE． 证明：∵△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，DC＝EB， ∵DE＝CE+DC， ∴DE＝AD+BE． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D． （1）求证：△BEC≌△CDA； （2）若BE＝2，CE＝5，求DE． 【解答】（1）解：因为∠BCE+∠DCA＝90°． ∠DAC+∠DCA＝90°． 所以∠BCE＝∠DAC； 在△BEC和△DAC中， ∠BCE＝∠DAC，∠BEC＝∠CDA＝90°．BC＝AC 所以△BEC≌△DAC（AAS）； （2）因为△BEC≌△DAC 所以CD＝BE＝2 DE＝CE﹣CD ＝5﹣2 ＝3． 三．手拉手模型 6．如图，已知点P是线段AB上一动点（不与端点A，B重合），△APC和△PBD都是等边三角形，连接AD、BC交于点I，并与PC、PD交于点E、F，则有下列结论：①AD＝BC；②等边△PEF；③∠CID＝120°；④∠ECF＝∠EDF，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵△APC和△PBD都是等边三角形， ∴AP＝PC，PD＝PB，∠APC＝∠BPD＝60°， ∴∠APD＝∠BPC＝120°， 在△APD与△CPB中， ， ∴△APD≌△CPB（SAS）， ∴AD＝BC，故①正确； ∵∠APC＝∠BPD＝60°， ∴∠EPF＝60°， ∵△APD≌△CPB， ∴∠PAE＝∠PCF， 在△APE与△CPF中， ∴△APE≌△CPF（ASA）， ∴PE＝PF，即△PEF是等边三角形，故②正确； ∵由①可知∠PAD＝∠PCB， ∴∠CAE+∠ACP＝∠CAP+∠ACP＝120°， ∵∠CID是△ACI的外角， ∴∠CID＝∠CAE+∠ACP＝120°，故③正确； ∵AP≠PD， ∴∠PAE≠∠EDF，由①知，∠PAD＝∠ECF， ∴∠ECF≠∠EDF，故④错误． 故选：C． 7．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H．问： （1）求证：△ADG≌△CDE． （2）AG与CE的关系？并说明理由． （3）求证：HD平分∠AHE． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形， ∴AD＝CD，DG＝DE，且∠ADC＝∠GDE＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， 在△ADG与△CDE中，， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， （2）解：AG＝CE，AG⊥CE，理由如下： 由（1）得：△ADG≌△CDE， ∴AG＝CE，∠DAG＝∠DCE， ∵∠DCE+∠CHA＝∠DAG+∠ADC， ∴∠CHA＝∠ADC＝90°， ∴AG⊥CE； （3）证明：过点D作DM⊥AG于M，DN⊥CE于N，如图： ∵△ADG≌△CDE， ∴S△DCE＝S△ADG， ∴CE×DNAG×DM， ∴DM＝DN， ∵MD⊥AG，DN⊥CE， ∴DH平分∠AHE． 8．在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M． （1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°： ①AC与BD的数量关系为 AC＝BD ； ②∠AMB的度数为 　40°　 ． （2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°： ①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由； ②求∠AMB的度数． 【解答】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， ∴∠BOD＝∠AOC， 在△BOD和△AOC中，， ∴△BOD≌△AOC（SAS）， ∴AC＝BD； 故答案为：AC＝BD， ②∵△BOD≌△AOC， ∴∠OBD＝∠OAC， ∵∠AOB＝40°， ∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°， 又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD ∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°， ∴∠MAB+ABM＝140°， ∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°， ∴∠AMB＝40°； 故答案为：40°； （2）①AC＝BD，理由如下： ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， ∴∠BOD＝∠AOC， 在△BOD和△AOC中，， ∴△BOD≌△AOC（SAS）， ∴BD＝AC； ②∵△BOD≌△AOC， ∴∠OBD＝∠OAC， 又∵∠OAB+∠OBA＝90°， ∠ABO＝∠ABM+∠OBD， ∠MAB＝∠MAO+∠OAB， ∴∠MAB+∠MBA＝90°， 又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°， ∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°． 四．截长补短型 9．已知在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD． 【解答】证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE． ∵∠BAC的平分线AD交BC边于点D， ∴∠BAD＝∠DAC， 在△ABD与△AED中，， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴BD＝DE，∠B＝∠AED， ∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠AED＝2∠C， ∴∠C＝∠EDC， ∴CE＝DE， ∴CE＝BD， ∴AC＝AE+EC＝AB+BD． 10．如图，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上． 求证：BC＝AB+CD． 【解答】证明：在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF， ∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SAS）， ∴∠A＝∠5． ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∴∠5+∠D＝180． ∵∠5+∠6＝180°， ∴∠6＝∠D． 在△CDE和△CFE中， ， ∴△CDE≌△CFE（AAS）， ∴CF＝CD． ∵BC＝BF+CF， ∴BC＝AB+CD． 11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD交其延长线于点E，求证：BD＝2CE． 【解答】证明：延长CE，与BA的延长线交于点F， ∵∠1＝∠2，BE⊥CF，且BE＝BE， ∴△BEF≌△BEC（ASA）， ∴EF＝CECF， ∵∠BDA＝∠CDE，∠BAC＝∠DEC＝90°， ∴∠1＝∠ACF， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝AC， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（ASA）， ∴BD＝CF＝2CE． 五．倍长中线模型 12．已知AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，AD是整数，则AD＝　2　 ． 【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE， ∵D是BC的中点， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝2， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE， 即2＜2AD＜6， ∴1＜AD＜3， 又∵AD是整数， ∴AD＝2， 故答案为：2． 13．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE． 【解答】证明：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG， 在△BDG和△CDA中， ∵， ∴△BDG≌△CDA（SAS）， ∴BG＝AC，∠CAD＝∠G， 又∵AF＝EF， ∴∠CAD＝∠AEF， 又∠BEG＝∠AEF， ∴∠CAD＝∠BEG， ∴∠G＝∠BEG， ∴BG＝BE， ∴AC＝BE． 14．如图，已知：CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC＝2AE． 【解答】证明：延长AE至F，使AE＝EF，连接BF， 在△ADE与△BFE中， ， ∴△AED≌△FEB（SAS）， ∴BF＝DA，∠FBE＝∠ADE， ∵∠ABF＝∠ABD+∠FBE， ∴∠ABF＝∠ABD+∠ADB＝∠ABD+∠BAD＝∠ADC， 在△ABF与△ADC中， ， ∴△ABF≌△CDA（SAS）， ∴AC＝AF， ∵AF＝2AE， ∴AC＝2AE． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/8 16:47:27；用户：名思；邮箱：cskw06@xyh.com；学号：32366772 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $