第1章 课时9 全等三角形的判定(6)-【培优精练】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

ED或CF=BE(2)以BD=CD为例证明：：CF∥ BE,.∠FCD=∠EBD.在△BDE与△CDF中， (∠EBD=∠FCD, <BD=CD, .△BDE≌△CDF(ASA). ∠EDB=∠FDC, 8.(1)证明：在△ACE和△BDF中， ∠A=∠B, ∠ACE=∠BDF,∴.△ACE≌△BDF(AAS); AE=BF, (2)由(1)知△ACE≌△BDF,.BD=AC=2. AB=8,∴.CD=AB-AC-BD=4,故CD的长为 4.9.证明：BF=DE,∴.BF-EF=DE一EF,即 AB=CD. BE=DF,在△ABE与△CDF中了AE=CF, BE=DF, ∴.△ABE≌△CDF(SSS),∴.∠B=∠D,在△ABO (∠B=∠D, 与△CDO中∠AOB=∠COD,∴.△ABO≌△CDO AB=CD, (AAS),∴.AO=CO.10.(1)在△ABD和△ACE (AB=AC, 中，∠1=∠2，.△ABD≌△ACE(SAS),∴.BD= AD-AE, CE.(2)∠1=∠2，.∠1+∠DAE=∠2+ ∠DAE,即∠BAN=∠CAM,由(1)得：△ABD≌ △ACE,.∠B=∠C.在△ACM和△ABN中， ∠C=∠B, AC=AB, .△ACM≌△ABN(ASA), ∠CAM=∠BAN, .∠M=∠N.11.全等，证明：(1)，AD⊥CE, BE⊥CE,∴.∠ADC=∠CEB=90°.又，∠ACB= 90°，∴.∠ACD=∠CBE=90°-∠ECB.在△ACD与 ∠ADC=∠CEB, △CBE中，∠ACD=∠CBE,∴.△ACD≌△CBE LAC=CB. (AAS);(2)AD=BE-DE,理由如下：，△ACD≌ △CBE,∴.CD=BE,AD=CE.又CE=CD-DE, ∴.AD=BE-DE.12.C,D,E三点在同一直线上 理由如下：如图，连接CD,ED.在△ADC和△BDC 中，AC=BC,AD=BD,CD=CD,∴.△ADC≌ △BDC(SSS),∴.∠ADC=∠BDC.在△ADE和 (AD=BD, △BDE中，AE=BE,∴.△ADE≌△BDE(SSS), DE=DE, ∴.∠ADE=∠BDE.,'∠ADC+∠BDC+∠ADE+ ∠BDE=360°，∴.∠ADC+∠ADE=180°，∴.C,D,E 三点在同一直线上. D E 第12题 课时9全等三角形的判定(6) 1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.BC=FE 7.AE=CF,∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE.又 :BF⊥AC,DE⊥AC,∴.∠AFB=∠CED=90°.在 (AB=CD, Rt△ABF与Rt△CDE中， .Rt△ABF≌ AF=CE, Rt△CDE(HL).8.证明：，BE⊥l,CF⊥l, ∴.∠ABE=∠DCF=90°.AC=BD,∴.AC-BC= BD-BC,即AB=CD.又AE=DF,.△ABE≌ △DCF(HL),.∠E=∠F.9.D10.5或10 11.都可行.证明1：AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D= ∠D=∠C, ∠C=90°.在△AOD和△BOC中，3∠AOD=∠BOC, AD=BC, ∴.△AOD≌△BOC(AAS),.AO=BO,DO=CO, '.AO+CO=BO十DO,即BD=AC.证明2：连接 AB.AC⊥BC,BD⊥AD,.∠D=∠C=90°.在 (AD=BC, Rt△ABD和Rt△BAC中， .Rt△ABD≌ AB=BA, Rt△BAC(HL),.BD=AC.证明3：连接AB,由证明 1得知△AOD≌△BOC,∴.S△MoD=S△B0c, ∴.S△AOD+S△AOB=S△Bc+S△AOB,即S△ABD=S△ABc, ·5· 又：SaD=2AD·BD,SAM=2BC·AC,号 AD·BD=2BC·AC.:AD=BC,BD=AC. 0 0 A 第11题 12.证明：在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中， (AC=A'C', .Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL), AD=A'D', ∴.CD=C'D'.,AD与A'D'分别为BC,B'C边上的 中线，∴.CB=C'B'=2CD,在Rt△ABC和Rt△A'B'C (AC=A'C', 中，∠C=∠C'=90°，.Rt△ABC≌Rt△A'B'C CB=C'B', (SAS).13.(1)根据AAS证明△AEF≌△AED (2)解：在Rt△ABF和Rt△ACD中， AB=AC,:.R△ABF2R△ACD(IH),BF= AF-AD, CD=7.DE=3,.CE=CD-DE=7-3=4. 14.(1)二(2)证明：，∠ADC=∠AEB=90°， ∴.∠BDC=∠CEB=90°，在△DOB和△EOC中， ∠BDO=∠CEO, ∠DOB=∠EOC,∴.△DOB≌△EOC(AAS), OB=OC, ∴.OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO中， OD=OE, .Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),.∠1= OA=OA, ∠2. 课时10线段垂直平分线与角平分线(1) 1.D2.C3.A4.135.36.187.F 8.(1)证明：EF垂直平分AC,.AE=EC. AD⊥BC,BD=DE,.AB=AE,∴.AB=EC; (2)解：，△ABC的周长为19cm,.AB+BC+ AC=19 cm..AC=8 cm,.'AB+BC =11 cm. AB=EC,BD=DE,.AB+BD=DE+EC= DC..AB+BC=AB+BD+DC=2DC=11 cm, ·6· &DC=号cm 9.略10.证明：在△AOB与 ∠A=∠C, △COD中，3OA=OC, ∴.△AOB≌△COD ∠AOB=∠COD, (ASA),∴.OB=OD,∴.点O在线段BD的垂直平分 线上.BE=DE,∴.点E在线段BD的垂直平分线 上，.OE垂直平分BD.11.C12.B13.C 14.715.证明：，DE∥BC,.∠CDE=∠DCF. ,CD平分∠EDF,∴.∠CDF=∠CDE,∴.∠CDF= ∠DCF,.DF=CF,∴.点F在线段CD的垂直平分 线上.，AD=AC,∴.点A在线段CD的垂直平分线 上，.AF垂直平分CD.16.证明：，DE⊥AB, AC⊥BC,.∠AED=∠ACB=90°.又，AD平分 ∠BAC,,∴.∠DAE=∠DAC.,·AD=AD,在△AED ∠AED=∠ACD, 和△ACD中，∠DAE=∠DAC,∴.△AED≌△ACD AD=AD, (AAS),.AE=AC,DE=DC,∴.AD平分线段EC, 即直线AD是线段CE的垂直平分线.17.(1)AC⊥ BD,AO=CO(2)①EG垂直平分HF;②证明： ,EG垂直平分HF,.EH=EF,GH=GF,.四边 形EHGF是个“筝形”；(3)，四边形EHGF是筝 形，.EG⊥HF,.“筝形”风筝EHGF的面积= △EHF的面积十△HGF的面积=号HF·EI+ 合HP·1G=号HF·(EI+1G)=合HF·BG= 合×40X60=120(cm. 课时11线段垂直平分线与角平分线(2) 1.C2.B3.B4.B5.C6.C7.18.3 9.略10.证明：：BE,CE分别为△ABC的两个外 角∠CBM,∠BCN的平分线，EP⊥AM于点P,ED⊥ BC于点D,EQ⊥AN于点Q,.EP=ED,EQ=ED, .EP=EQ,又EP⊥AM,EQ⊥AN,∴.点E在 ∠NAM的平分线上.11.B12.C13.A 14.4:315.相等.证明如下：连接EB,EC,AE 是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F,EG⊥AC于G,课时9全等三角形的判定(6) 马基础练习 1.(2024春·溆浦县期中)如图，已知∠C=∠D=90°，AC=AD,可以判定Rt△ABC与 Rt△ABD全等，其理由是 () A.SAS B.AAS C.HL D.ASA D B 第1题 第2题 第3题 2.(2024秋·庆阳期末)如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,则能直接判断Rt△ABD≌ Rt△CDB的理由是 () A.HL B.ASA C.SAS D.SSS 3.(2024秋·许昌期末)如图，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌ Rt△DCF,则还需要添加一个条件是 () A.AE-DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 4.(2024秋·大连期末)如图，BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,若BE=CF,则Rt△BCF≌ Rt△CBE的理由是 () A.AAS B.HL C.SAS D.ASA E C 第4题 第5题 第6题 5.(2024秋·威县期末)如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD,CB⊥AB,垂足分别是D,B, CD=CB.求证：Rt△ADC≌Rt△ABC.以下是排乱的证明过程： ①∴.∠D=∠B=90°； ②.'.Rt△ADC≌Rt△ABC(HL); ③.CD⊥AD,CB⊥AB; (CD=CB, ④'在Rt△ADC和Rt△ABC中， 证明步骤正确的顺序是 () AC=AC. A.③②④① B.③①④② C.①②③④ D.①③④② 6.(2024秋·襄城县期末)如图，在△ABC和△DFE中，∠A=∠D=90°，AC=DE,若要用“斜 边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件： ·24· 7.(2024春·赫山区期中)如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,点E,F是垂足，AE=CF, 求证：Rt△ABF≌Rt△CDE. 8.(2025·陈仓区模拟)如图，点A,B,C,D在直线L上，BE⊥L,CF⊥L,AC=BD,AE=DF 求证：∠E=∠F. 零能力训练 9.(2024春·汝州市期中)如图，△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线交 BC于点M,则图中共有全等的直角三角形 ( ) A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 10 D M C P A 第9题 第10题 10.(2023秋·衡阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P, Q两，点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 时，△ABC 和△PQA全等. 11.(2024春·市北区期中)数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AD=BC.求证：BD=AC 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到 BD=AC.” 小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到 BD=AC.” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD=AC.” 你认为他们的办法可行吗？并试着证明. ·25 12.(2024秋·江门期中)如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，∠C=∠C=90°，AC=A'C', AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线，且AD=A'D',求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 13.(2024秋·漯河期末)如图，四边形ABCD中，AB=AC,∠D=90°，BE⊥LAC于点F,交CD 于点E,连接EA,EA平分∠DEF. (1)求证：AF=AD; (2)若BF=7,DE=3,求CE的长. 壁拓展提升 14.(2023·南通)如图，点D,E分别在AB,AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE,CD相交于点 O,OB=OC. 求证：∠1=∠2. 小虎同学的证明过程如下： 证明：.∠ADC=∠AEB=90°， ∴.∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°. .∠DOB=∠EOC, ∴.∠B=∠C.…第一步 又OA=OA,OB=OC, ∴.△ABO≌△ACO.…第二步 ∴.∠1=∠2.…第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. ·26·