精品解析：吉林省长春市德惠市 2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

德惠市2025—2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 摸出3个黄球 B. 摸出3个红球 C. 摸出2个黄球，1个红球 D. 摸出2个红球，1个黄球 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，直线，相交于点O，．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A. 2.1 B. 1.9 C. 1.8 D. 1.6 8. 如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　） A. 2 B. 2.5 C. 2.4 D. 1.2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：_____． 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 11. 如图，小颖为测量学校旗杆的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子C离旗杆的底部B处的距离，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆的高度为______． 12. 如图，与关于点位似，已知，则与的面积比为_____． 13. 山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，根据题意，可列方程为________． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ； ； 若点在此抛物线上，则； 若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算：． 16. 小明与小华两位同学解一元二次方程的过程如下框： 小明： 两边同除以得 ． 则． 小华： 移项，得． 提取公因式，得． 则或． 解得，． （1）你认为他们解法是否正确？直接写出判断结果． 小明的解法_____，小华的解法_____．（填“正确”或者“不正确”） （2）请你选择合适的方法解一元二次方程． 17. 在学校举办的“诵读中华经典——古诗词”比赛中，有一个环节是关于“春夏秋冬”的诗词比赛，为使得比赛公平，组委会设计了四张背面完全相同，正面印有“春”、“夏”“秋”、“冬”图案的不透明卡片．规定抽到哪个季节的卡片即背诵哪个季节的诗词一首． （1）从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是______； （2）从中随机抽取一张卡片，放回后再抽取一张，请你用树状图或列表法求抽出两张卡片不是同一季节的概率． 18. 如图，等边的边长为4，点D、B、C、E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）直接写出的长为 ． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中作的中线． （2）在图②中作的角平分线． （3）在图③中线段上找一点，连接，使． 20. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； （2）当时，x取值范围是 ； （3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围为 ． 21. 新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选，如图，某停车场为了解决充电难的问题，现将长为20米，宽为10米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为119平方米，求边和边减少的长度是多少？ 22. 【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页部分内容． 例：如图，在中，，．求证：． 证明：作斜边上的中线，则 …… 请你结合图①，将证明过程补充完整． 【结论应用】如图②，在中，，，D是的中点．过点D作交AC于点E．则线段与有怎样的数量关系，请说明理由． 【拓展提升】一副三角板按图③所示摆放，得到和．其中，．．点E为的中点，过点E作于点F．若．则的长为 （直接写出结果） 23. 如图，在中，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连接、以为斜边作等腰直角，使点R与点C在直线的同侧． （1）求和的长； （2）当点P为中点时，求点Q到直线的距离； （3）当点R在的边上时，直接写出的长． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； （3）连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德惠市2025—2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 摸出3个黄球 B. 摸出3个红球 C. 摸出2个黄球，1个红球 D. 摸出2个红球，1个黄球 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟练掌握不可能事件是解题的关键．根据不可能事件的定义判断即可． 【详解】解：A．摸出3个黄球，为不可能事件，故本选项符合题意； B．摸出3个红球，为可能事件，故本选项不合题意； C．摸出2个黄球，1个红球，为可能事件，故本选项不合题意； D．摸出2个红球，1个黄球，为可能事件，故本选项不合题意； 故选：A． 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算、算术平方根、立方根，根据运算法则计算即可得到答案． 【详解】A、，故选项错误，不符合题意； B、 与不是同类二次根式，不能进行运算，故选项错误，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：C 3. 一元二次方程的根的情况为（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断根的情况：当时，方程有两个相等实数根；当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程无实数根；该一元二次方程，即有两个不相等实数根，可得答案B． 【详解】解： 一元二次方程 ， ∴判别式 ， 方程有两个不相等的实数根． 故选B 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判断方法是解题的关键． 4. 将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 由点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，知点P坐标为，再根据点P正好落在x轴上知，得出m的值，据此可得答案． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P， 则点P坐标为， 由点P正好落在x轴上知， 解得， 则， 点P坐标为， 故选： 5. 如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 6. 如图，直线，相交于点O，．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．由可得，再利用相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， 的值为． 故选：C． 7. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A. 2.1 B. 1.9 C. 1.8 D. 1.6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求出顶端离地面的高度，再与选项对比得出答案． 【详解】解：过点作于点． ∵ ，， ∴ 是直角三角形，． 在中，，， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 8. 如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　） A. 2 B. 2.5 C. 2.4 D. 1.2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，勾股定理，三角形中位线，垂线段最短等知识点，根据垂线段最短确定出的位置是解答本题的关键． 根据已知条件判断出是的中位线，得到，当时，的值最小，根据勾股定理和等面积法求出，即可得解． 【详解】如图，连接， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 当时，的值最小，此时的值也就最小， 由勾股定理得：， ， ， ． 故选:． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式． 根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得： ，解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 11. 如图，小颖为测量学校旗杆的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子C离旗杆的底部B处的距离，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】解：根据光的反射定律得：， 又， ∴， ∴，即， 解得， 即旗杆的高度为， 故答案为∶． 12. 如图，与关于点位似，已知，则与的面积比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出与关的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵与关于点位似， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据题目中的等量关系列出方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得． 故答案为： ． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ； ； 若点在此抛物线上，则； 若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口方向判断；由对称轴可判断；由函数的性质判断；由抛物线的对称性即可判断；解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故错误； ∵对称轴为直线，经过点， ∴抛物线经过另一个点 ∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， 又∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴的交点为，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴若点在此抛物线上且 ，则或，故错误； 综上，正确， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，零次幂的计算是关键． 先开方，计算特殊角的三角函数值，零次幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：． 16. 小明与小华两位同学解一元二次方程的过程如下框： 小明： 两边同除以得 ． 则． 小华： 移项，得． 提取公因式，得． 则或． 解得，． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 小明的解法_____，小华的解法_____．（填“正确”或者“不正确”） （2）请你选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确，不正确， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和步骤． （1）根据一元二次方程的解法，嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中提取公因式中符号错误，进而可作出判断； （2）可根据题目特点选择合适的方法求解即可． 【小问1详解】 解：小明的解法中忽略的情况，小华的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确， 故答案为：不正确，不正确； 小问2详解】 解： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 17. 在学校举办的“诵读中华经典——古诗词”比赛中，有一个环节是关于“春夏秋冬”的诗词比赛，为使得比赛公平，组委会设计了四张背面完全相同，正面印有“春”、“夏”“秋”、“冬”图案的不透明卡片．规定抽到哪个季节的卡片即背诵哪个季节的诗词一首． （1）从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是______； （2）从中随机抽取一张卡片，放回后再抽取一张，请你用树状图或列表法求抽出两张卡片不是同一季节的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率以及统计表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图： 所有等可能发生的情况共16种，其中两张卡片不是同一季节的情况共12种， 所以两张卡片不是同一季节的概率． 18. 如图，等边的边长为4，点D、B、C、E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）直接写出的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据，列出比例式，进而可得． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵等边的边长为4， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中作的中线． （2）在图②中作的角平分线． （3）在图③中的线段上找一点，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点、，连接交于点，则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得是的中点，再连接即可． （）取格点，连接交于点，根据勾股定理及相似三角形可得，取格点，连接交于点，则，根据等腰三角形的三线合一可得平分． （）取格点、，连接交于点，由及勾股定理可得，根据等边对等角可得． 小问1详解】 解：在图①中，如图即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 连接，则为的角平分线 【小问3详解】 解：如图，点即为所求． 【点睛】本题主要考查三角形的中线、角平分线的作图、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定与网格作图的结合，熟练掌握网格特点、三角形中线和角平分线的定义、等腰三角形判定是解题关键． 20. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； （2）当时，x的取值范围是 ； （3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围为 ． 【答案】（1）见详解； （2）或； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与x轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，把化为顶点式，再描点，连线，即可作答． （2）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接，如图所示： 【小问2详解】 解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或； 【小问3详解】 解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为． 21. 新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选，如图，某停车场为了解决充电难的问题，现将长为20米，宽为10米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为119平方米，求边和边减少的长度是多少？ 【答案】边和边减少的长度是3米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边和边减少的长度为x米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设边和边减少的长度是x米. ，整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：边和边减少的长度是3米. 22. 【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容． 例：如图，在中，，．求证：． 证明：作斜边上的中线，则 …… 请你结合图①，将证明过程补充完整． 【结论应用】如图②，在中，，，D是的中点．过点D作交AC于点E．则线段与有怎样的数量关系，请说明理由． 【拓展提升】一副三角板按图③所示摆放，得到和．其中，．．点E为的中点，过点E作于点F．若．则的长为 （直接写出结果） 【答案】【教材呈现】见解析；【结论应用】，见解析；【拓展提升】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质等，熟练掌握直角三角形性质和平行四边形的判定与性质是解题关键． [教材呈现]根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得，再证明是等边三角形，即可证明结论； [结论应用]取的中点，连接，应用（1）的结论可得，再证明四边形是平行四边形，应用平行四边形性质即可得到答案； [拓展提升]过点A作交的延长线于点G，应用（1）的结论可得出，再运用解直角三角形或勾股定理求出，最后应用三角形中位线定理即可求出． 【详解】解：[教材呈现]如图①，作斜边上的中线，则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． [结论应用]，理由如下： 如图②，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵D，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即． ∴； [拓展提升]如图③，过点A作交的延长线于点G，连接，交于H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 23. 如图，在中，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连接、以为斜边作等腰直角，使点R与点C在直线的同侧． （1）求和的长； （2）当点P为中点时，求点Q到直线的距离； （3）当点R在的边上时，直接写出的长． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题关键． （1）利用角的正切值，求出，再利用勾股定理求出即可； （2）过点作于点，在中，求出，再在中，利用求出即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在上时，由等腰直角三角形的性质可得，，再利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ， ； 【小问2详解】 解：当点P为中点时，如图，过点作于点， 由（1）可知，，， ， ， 在中，， 在中，， ， 点Q到直线的距离为； 【小问3详解】 解：①如图，当点在上时， 等腰直角， ，， 在中，，， ，，， ，， ， ， ； ②如图，当点在上时， 等腰直角， ，， 在中，，， ，， ，， ， ， ， ， ； 综上可知，的长为或． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； （3）连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），点P坐标为； （2）点E的坐标为； （3）存在，点N的坐标为或 【解析】 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【小问1详解】 解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； 【小问2详解】 解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $