精品解析：吉林省长春市德惠市第三中学2024-2025学年九年级上学期12月期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末测试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程配方后可变形（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是（ ） A B. C. D. 5. 如图，某商场准备安装自动扶梯，自动扶梯与地面所成角度为，若商场每层楼平均高度为米，则每层楼所需的自动扶梯的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的面积为18，它的对角线与双曲线在第二象限的图象相交于点，且，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：________． 10. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则_______． 11. 如图，小明在打网球时，球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为________米． 12. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是_____________． 13. 一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为________．（结果保留） 14. 如图，在中，，半径为的与相切于点，与交于点，连结．有下列结论：①；②平分；③；④ 若，则．其中正确的是______________．（填序号） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 16. 解方程：． 17. 2023年10月26日，“神舟”十七号载人飞船发射成功，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着汤洪波、唐胜杰、江新林三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片． （1）甲选手从中随机抽到卡片A的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率． 18. “龙行龘龘、前程朤朤”．龙年伊始，一些生僻字一下火热起来．某服装店与时俱进，购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份的销售量为150件，3月份的销售量为216件，求该款上衣销售量的月平均增长率． 19. 如图，在梯形中，，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，则 ． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形．（保留作图痕迹） （1）如图1，在中，______； （2）如图2，在边上取一点，使得； （3）如图3，在边上找一点，使得． 21. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． （1）求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 22. 【教材呈现】以下表格华师版九年级上册数学教材页部分内容： 如图①，在中，点、分别是、的中点，可以猜想：且 （1）请用演绎推理写出证明过程； 【结论应用】 （2）如图②，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，与相交于点．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图③，正方形的边长为，的顶点、分别在边、上运动，，，为的中点，连结，则运动过程中的最大值为 ． 23. 如图，在中，为边的中点，点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动．以为边作正方形，点在边上．设点的运动时间为秒（）． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）连结，则 度，当点与点的距离最短时，线段的长为 ； （3）连结，当将正方形的面积分成两部分时，求的值． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）经过点A．点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，将该抛物线上P、A两点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当时，求图象G的最大值和最小值； （3）当图象G上只有两个点到x轴的距离为3时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末测试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数列出不等式解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义， 则， ∴， 故选：． 2. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的减法、乘法运算，根据二次根式的性质，二次根式的减法，乘法运算运算法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算正确，符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 4. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是， 故选：C． 5. 如图，某商场准备安装自动扶梯，自动扶梯与地面所成的角度为，若商场每层楼平均高度为米，则每层楼所需的自动扶梯的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，∵， ∴， ∵米， ∴米， 故选：． 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的概念和性质，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出即可求解，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：． 7. 如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的度数可能是 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 8. 如图，矩形的面积为18，它的对角线与双曲线在第二象限的图象相交于点，且，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作轴于点E，由矩形的性质及相似三角形的性质可得的面积，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：过点D作轴于点E，如图， ∴四边形为矩形，且其面积为18， ∴，， ， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数比例系数k的几何意义等知识，熟练掌握上述知识是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键． 10. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解答． 根据平行线分线段成比例定理得到，然后代入数据即可求出的值． 【详解】解：直线， ，即， ， 故答案为：． 11. 如图，小明在打网球时，球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为________米． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得题图中的两个三角形相似，所以， 解得，即球拍击球的高度为米． 故答案为：． 12. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．将问题转化为一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵抛物线（是常数）与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， 故答案为：． 13. 一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，半径为的与相切于点，与交于点，连结．有下列结论：①；②平分；③；④ 若，则．其中正确的是______________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了圆与三角形的综合，掌握切线的性质，平行的判定，等边三角形的判定，扇形面积的计算方法是关键，根据题意，由切线的性质可判定①；根据平行线的判定和性质可得判定②；根据等边对等角可判定③；根据等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵半径为的与相切于点， ∴，故①正确； ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 若，则，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③ ． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算除法和乘法，再化为最简二次根式，然后算加减即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 利用公式法的求根公式来求解即可． 【详解】解：方程，其中，，． ∴， ∴ 解得：，． 17. 2023年10月26日，“神舟”十七号载人飞船发射成功，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着汤洪波、唐胜杰、江新林三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片． （1）甲选手从中随机抽到卡片A的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表可得共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的情况有3种，再利用概率公式求解即可． 小问1详解】 甲选手从A，B，C，卡片中随机抽到卡片A的概率是， 故答案：； 【小问2详解】 根据题意，列表如下： 甲 乙 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 由表可知，共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的情况有3种， ∴甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率为． 18. “龙行龘龘、前程朤朤”．龙年伊始，一些生僻字一下火热起来．某服装店与时俱进，购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份的销售量为150件，3月份的销售量为216件，求该款上衣销售量的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据数量关系正确列式即可． 【详解】解：设该款上衣销售量的月平均增长率为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该款上衣销售量的月平均增长率为． 19. 如图，在梯形中，，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，则 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． （1）根据题意得到，，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据线段比例得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，且， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形．（保留作图痕迹） （1）如图1，在中，______； （2）如图2，在边上取一点，使得； （3）如图3，在边上找一点，使得． 【答案】（1）1 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】本题考查作图的应用与设计作图、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握解直角三角形、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可得，，，则； （2）取的中点D，结合三角函数的定义，点D即为所求； （3）取格点M，N使，， ，连接交于点E，得，则，进而可得，即点E即为所求． 【小问1详解】 解：由勾股定理得： ，， ， ， ． 故答案为：1； 【小问2详解】 由（1）知：，， 如图，取的中点D，连接， 则， 则点D即为所求； 【小问3详解】 取格点M，N使，， ， 连接交于点E， 则， ， ，， ， 则点E即为所求． 21. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． （1）求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 【答案】（1）； （2）20；800 【解析】 【分析】（1）根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出方程即可． （2）构造二次函数，求最值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次函数最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得矩形的长为， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由， ∴当时，S有最大值，最大值为． 故答案为：20,800． 22. 【教材呈现】以下表格是华师版九年级上册数学教材页部分内容： 如图①，在中，点、分别是、的中点，可以猜想：且 （1）请用演绎推理写出证明过程； 【结论应用】 （2）如图②，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，与相交于点．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图③，正方形的边长为，的顶点、分别在边、上运动，，，为的中点，连结，则运动过程中的最大值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由，，得，因为，根据相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的性质得出，，结合平行线的判定定理即可证明，； （2）根据三角形的中位线定理得，，而，则，根据等边对等角得出； （3）取EF的中点L，连结LH、LA，由三角形的中位线定理得LH=FG=2，由正方形的性质得∠EAF=90°，则LA=EF=2，根据两点之间线段最短得AH≤LH+LA，所以AH≤4，则AH的最大值为4，于是得到问题的答案． 取的中点，连结、，根据三角形的中位线定理得出，根据正方形的性质得出，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，则，根据两点之间，线段最短得出，即，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴且． （2）证明：∵是对角线的中点，是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图③，取的中点，连结、， ∵，为的中点， ∴， ∵四边形是正方形，、分别在边、上， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的证明及应用、相似三角形的判定与性质、平行线的判定定理、等边对等角、正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，正确理解和运用三角形的中位线定理是解题的关键． 23. 如图，在中，为边的中点，点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动．以为边作正方形，点在边上．设点的运动时间为秒（）． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）连结，则 度，当点与点的距离最短时，线段的长为 ； （3）连结，当将正方形的面积分成两部分时，求的值． 【答案】（1）当时，；当时， （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形与勾股定理，二次函数最值的计算，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合思想的运用是关键． （1）根据点的移动，线段的数量关系分类讨论即可； （2）根据四边形是正方形，得到，在中，，由勾股定理，二次函数求最值的计算即可求解； （3）根据题意分类讨论：当时，，由面积公式结合题意可解；当时，，同理列式求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得：当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：，， 如图：连结， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ， ∴当，点与点的距离最短， ∴； 【小问3详解】 解：， ①如图，当时，， ， ，即， ， ， ∴， ，即，即， 解得：． ②如图，当时，， ， ， 解得：． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）经过点A．点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，将该抛物线上P、A两点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当时，求图象G的最大值和最小值； （3）当图象G上只有两个点到x轴的距离为3时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，图象G有最小值，且最小值为；当时，图象G有最大值，且最大值为13 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了解析式的求解、二次函数的最值、二次函数的对称性等知识点，掌握数形结合的数学思想是解题关键． （1）将代入即可求解； （2）根据可得抛物线的对称轴为直线，求出时函数的最值即可求解； （3）求解由可得，画出函数图象即可求解； 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得：， ∴该抛物线函数表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，图象G有最小值，且最小值为； 当时，图象G有最大值，且最大值为； 【小问3详解】 解：由可解得：， 如图所示：    即：， 当点位于之间时，图象G上只有两个点到x轴的距离为3， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $