专题07二元一次方程组的应用 2026年中考数学一轮复习核心讲义(核心考点+模拟真题)

该初中数学中考复习讲义聚焦二元一次方程组应用专题，覆盖中考四大高频考点，按“定义-题型-方法”架构梳理知识，通过11类模拟真题题型表格化呈现等量关系，设计“考点梳理-方法指导-真题训练”教学流程，帮助学生系统突破购物方案、行程等应用难点。 亮点在于“题型-方法-素养”三维融合设计，通过表格化梳理11类题型等量关系培养模型意识，结合古代问题翻译提升抽象能力，如解析《孙子算经》“乘船问题”时，引导学生用符号表示等量关系。设置从选择到解答的分层训练，配合核心方法步骤化指导，确保学生高效掌握建模技巧，教师可直接利用真题题型和突破策略把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题07二元一次方程组的应用中考一轮复习核心讲义 【11大模拟真题题型】 核心方法：审题→找等量关系→设未知数→列方程（组）→求解→检验→作答。 重点突破：购物方案、行程问题、工程问题是中考高频题型，需熟练掌握等量关系；最优方案问题需结合不等式和一次函数求解。 能力提升：加强古代数学问题的翻译能力，注重几何图形与代数的结合，培养数形结合思想。 【知识点01:二元一次方程组的定义】 · 二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1 的整式方程组。 · 解题关键：找准实际问题中的等量关系，列出二元一次方程（组），结合未知数的实际意义（正整数、非负数等）求解。 · 常见应用场景：购物方案、行程问题、工程问题、数字问题、几何图形问题、配套问题等。 高频考点 1.列二元一次方程组解决实际问题（中考核心考点） 2.结合不等式（组）的最优方案问题 3.与函数、几何图形结合的综合应用 4.古代数学问题的翻译与求解 【知识点02:常见实际应用题型及等量关系】 常见题型 核心等量关系 补充说明 购物方案问题 1.总价=单价×数量 2.总资金=两种商品费用之和（资金全w用完或不超过预算） 未知数为购买数量，需满足正整数条件 行程 问题 1.路程=速度×时间 2.相遇：总路程 = 甲路程 + 乙路程 3.追及：路程差 = 初始距离 区分行驶时间与总耗时（含休息），注意单位统一 工程 问题 1. 工作量 = 效率 × 时间 2. 总工作量 = 两队工作量之和 3. 工作天数和 = 总天数 效率为 “单位时间完成量”（如每天清理长度） 数字 问题 1. 三位数 = 100× 百位 + 后两位 2. 位置变换：原数 - 新数 = 差值 百位数字≠0，各位数字为 0-9 的整数 配套 问题 1. 配套比例（如 1A 配 2B）：B总量=2×A 总量 2. 总材料 = 生产 A+B 的材料之和 确保恰好配套，无剩余材料或部件 几何图形问题 1.矩形周长= 2(长+宽)、面积=长×宽 2.幻方：每行 / 列 / 对角线和相等 结合图形性质（全等、中心对称）辅助找关系 费用最优问题 1. 总费用 = 两类费用之和 2. 约束条件（如数量限制） 3. 一次函数求最值 先列方程组定基础量，再用不等式定范围 古代数学问题 1. 钱物分配：甲得乙后 = 倍数 × 乙剩余 2. 重量平衡：甲总重 = 乙总重 需将古文翻译为数学语言，明确 “多”“少”“等” 的含义 和差倍分问题 1. 和关系：甲 + 乙 = 总量 2. 差关系：甲 - 乙 = 相差量 3. 倍关系：甲 = 乙 × 倍数 ± 多余量 直接根据 “和、差、倍、分” 关键词列方程 图表信息问题 1. 函数图象：代入关键点坐标列方程组（如 y=kx+b） 2. 表格：提取两组对应数据列方程 3.几何图形：根据边长 / 周长关系列方程 先从图表中提取关键数据（坐标、数量、边长），再转化 【模拟01.方案问题】 1．（2025·黑龙江佳木斯·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2025·山西忻州·一模）年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为 ． 3．（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 4．（2025·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【模拟02.行程问题】 5．（2025·湖北武汉·三模）一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程是（    ） A．2000米 B．2100米 C．2200米 D．2500米 6．（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 7．（2025·江苏苏州·二模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有． ①则甲的速度是__________，乙的速度是__________； ②求与的函数关系式； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等? 【模拟03.工程问题】 8．（2025·全国·一模）某地为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？ 9．（2025·宁夏银川·一模）为积极落实银川市委制定印发的《关于2023年度乡村振兴“一村一年一事”行动实施方案》，城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，由甲，乙两个工程队先后接力完成，已知甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米． (1)若这两个工程队共用时25天，求甲，乙两个工程队分别改造多少米． 根据题意，宁宁和夏夏两个同学分别列出了如下的方程组： 宁宁：，解得． 夏夏：，解得． 宁宁所列方程组中的x表示_______，y表示_______； 夏夏所列方程组中的x表示_______，y表示_______． (2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的费用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，则甲工程队至少工作多少天？ 【模拟04.数字问题】 10．（2025·山东青岛·一模）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 11．（2025·重庆·二模）如果一个四位自然数M各数位上的数字不全相同，将这个四位自然数M的千位数字和十位数字互换，百位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数N，规定；将这个四位自然数M的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数A，再将A的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数B，规定．若，则 ．若（，，x，y为整数），满足，则满足条件的所有的和为 ． 12．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【模拟05.分配问题】 13．（2025·重庆·一模）一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·安徽合肥·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价． 15．（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 【模拟06.销售利润问题】 16．（2025·贵州遵义·模拟预测）社区决定采购两种型号的新型垃圾桶．已知购买4个型垃圾桶和3个型垃圾桶共需要160元；购买6个型垃圾桶和5个型垃圾桶共需要250元．设型垃圾桶的单价为元、型垃圾桶的单价为元、则可列方程组： ． 17．（2025九年级下·全国·专题练习）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价； (2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 18．（2025·河南新乡·二模）为落实“五育并举”，某中学积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的顺利开展，学校计划购进排球及足球若干．调查发现购买3个足球和4个排球共需440元；购买4个足球和3个排球共需470元． (1)足球和排球的单价各是多少？ (2)该校根据需求打算购买足球和排球共50个，且足球数量不少于排球数量的3倍．某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买才能使所需费用最少？最少费用为多少元？ 【模拟07.和差倍分问题】 19．（2025·贵州遵义·二模）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 20．（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 21．（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克． (1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ (2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用． 【模拟08.几何问题】 22．（2025·浙江湖州·二模）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 23．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 24．（2025·江苏南通·二模）如图，在长为，宽为的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，求其中一个小矩形花圃的长与宽． 25．（2025·浙江温州·一模）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 【模拟09.图表信息问题】 26．（2025·江苏南京·三模）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 27．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． y 2 x a b 28．（2025·山东青岛·一模）某高速公路通车后，农户的农产品运往外地的运输成本大大降低，一农户需要将，两种农产品定期运往某加工厂，每次运输，产品的件数不变，原来每运一次的运费是元，现在每运一次的运费比原来减少了元，，两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示： 品种 原运费 现运费 (1)求每次运输的农产品中，产品各有多少件？ (2)由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加件，但总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍，问：产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？ 【模拟10.古代问题】 29．（2025·湖南·三模）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘小舟过江，若每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；若每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，问共有多少只小舟，多少人，设共有x只小舟，y人，则可列方程组为（　　　） A． B． C． D． 30．（2025·吉林长春·模拟预测）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有x枚钱币，乙原来有y枚钱币，则可列方程组为： ． 31．（2025·山西·三模.）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，试求黄金、白银每枚各重多少两？ 【模拟11.其他实际问题】 32．（2025·吉林·模拟预测）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为（   ） ． A． B． C．4 D．8 33．（2025·江西·二模）小亮妈妈逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用3个碗叠放时，总高度为；用5个碗叠放时，总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有 ． 34．（2025·江苏泰州·三模）箱子里有m个红球，n个白球，小明、小丽分别按下列方式取球：小明的取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多1个，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下6个红球；小丽取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多3个，小丽每次取的球中的白球数与小明每次取的球中的白球数相同，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下9个白球．已知小明取球的次数比小丽多3次． (1)小明每次取的白球数为________； (2)求m、n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07二元一次方程组的应用中考一轮复习核心讲义 【11大模拟真题题型】 核心方法：审题→找等量关系→设未知数→列方程（组）→求解→检验→作答。 重点突破：购物方案、行程问题、工程问题是中考高频题型，需熟练掌握等量关系；最优方案问题需结合不等式和一次函数求解。 能力提升：加强古代数学问题的翻译能力，注重几何图形与代数的结合，培养数形结合思想。 【知识点01:二元一次方程组的定义】 · 二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1 的整式方程组。 · 解题关键：找准实际问题中的等量关系，列出二元一次方程（组），结合未知数的实际意义（正整数、非负数等）求解。 · 常见应用场景：购物方案、行程问题、工程问题、数字问题、几何图形问题、配套问题等。 高频考点 1.列二元一次方程组解决实际问题（中考核心考点） 2.结合不等式（组）的最优方案问题 3.与函数、几何图形结合的综合应用 4.古代数学问题的翻译与求解 【知识点02:常见实际应用题型及等量关系】 常见题型 核心等量关系 补充说明 购物方案问题 1.总价=单价×数量 2.总资金=两种商品费用之和（资金全w用完或不超过预算） 未知数为购买数量，需满足正整数条件 行程 问题 1.路程=速度×时间 2.相遇：总路程 = 甲路程 + 乙路程 3.追及：路程差 = 初始距离 区分行驶时间与总耗时（含休息），注意单位统一 工程 问题 1. 工作量 = 效率 × 时间 2. 总工作量 = 两队工作量之和 3. 工作天数和 = 总天数 效率为 “单位时间完成量”（如每天清理长度） 数字 问题 1. 三位数 = 100× 百位 + 后两位 2. 位置变换：原数 - 新数 = 差值 百位数字≠0，各位数字为 0-9 的整数 配套 问题 1. 配套比例（如 1A 配 2B）：B总量=2×A 总量 2. 总材料 = 生产 A+B 的材料之和 确保恰好配套，无剩余材料或部件 几何图形问题 1.矩形周长= 2(长+宽)、面积=长×宽 2.幻方：每行 / 列 / 对角线和相等 结合图形性质（全等、中心对称）辅助找关系 费用最优问题 1. 总费用 = 两类费用之和 2. 约束条件（如数量限制） 3. 一次函数求最值 先列方程组定基础量，再用不等式定范围 古代数学问题 1. 钱物分配：甲得乙后 = 倍数 × 乙剩余 2. 重量平衡：甲总重 = 乙总重 需将古文翻译为数学语言，明确 “多”“少”“等” 的含义 和差倍分问题 1. 和关系：甲 + 乙 = 总量 2. 差关系：甲 - 乙 = 相差量 3. 倍关系：甲 = 乙 × 倍数 ± 多余量 直接根据 “和、差、倍、分” 关键词列方程 图表信息问题 1. 函数图象：代入关键点坐标列方程组（如 y=kx+b） 2. 表格：提取两组对应数据列方程 3.几何图形：根据边长 / 周长关系列方程 先从图表中提取关键数据（坐标、数量、边长），再转化 【模拟01.方案问题】 1．（2025·黑龙江佳木斯·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶，利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出共有4种购买方案． 【详解】解：购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶， 根据题意得：， ， 又，y均为正整数， 或或或， 共有4种购买方案． 故选：． 2．（2025·山西忻州·一模）年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为 ． 【答案】人 【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人， 依题意得：， 解得：， 即1艘大船可以满载游客的人数为人， 故答案为：人． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)3辆；116人 (2)36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意． （1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； （2）解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 4．（2025·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 【模拟02.行程问题】 5．（2025·湖北武汉·三模）一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程是（    ） A．2000米 B．2100米 C．2200米 D．2500米 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、二元一次方程组的应用，根据函数图象可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用数形结合的思想解答问题． 【详解】解：设小明从1600米处到终点的速度为a米/秒，小刚从1400米处到终点的速度为b米/秒， 可得， 解得， 故这次越野跑的全程为：（米）， 答：这次越野跑的全程为2200米， 故选：C． 6．（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【答案】小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时，结合小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时， 根据题意，得， 解得， 答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时． 7．（2025·江苏苏州·二模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有． ①则甲的速度是__________，乙的速度是__________； ②求与的函数关系式； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等? 【答案】(1)①240；80；② (2)甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、求一次函数的解析式，理解题意是解题的关键． （1）①设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可；②根据①中甲的速度，分和两种情况即可求解； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、、四种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：①设甲的速度是，乙的速度是， 当时，，， 当时，，， 由题意得，， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：240；80； ②甲的速度是， 甲到达的时间为， 当时，； 当时，； 与的函数关系式为． （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则，解得； ③当，，， 令，则，解得（舍去）； ④当，，， 令，则，解得； 答：甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等． 【模拟03.工程问题】 8．（2025·全国·一模）某地为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？ 【答案】工程队清理了河道，工程队清理了河道 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确列出方程组． 先设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道，根据题意列出方程组求解，再求，工程队分别清理了的河道长度． 【详解】解：设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道， 则，解得：， ∴工程队清理了（）河道， 工程队清理了（）河道， 答：工程队清理了河道，工程队清理了河道． 9．（2025·宁夏银川·一模）为积极落实银川市委制定印发的《关于2023年度乡村振兴“一村一年一事”行动实施方案》，城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，由甲，乙两个工程队先后接力完成，已知甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米． (1)若这两个工程队共用时25天，求甲，乙两个工程队分别改造多少米． 根据题意，宁宁和夏夏两个同学分别列出了如下的方程组： 宁宁：，解得． 夏夏：，解得． 宁宁所列方程组中的x表示_______，y表示_______； 夏夏所列方程组中的x表示_______，y表示_______． (2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的费用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，则甲工程队至少工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队工作时间，乙工程队工作时间，甲工程队改造道路的长度，乙工程队改造道路的长度 (2)甲工程队至少工作10天 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及由实际问题抽象出二元一次方程组， （1）由需改造道路的长度及甲、乙两工程队的工作效率，结合宁宁及夏夏所列的方程组，可找出宁宁及夏夏所列方程组中的x，y的含义； （2）设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天，利用总费用＝甲工程队每天的费用×甲工程队工作时间＋乙工程队每天的费用×乙工程队工作时间，结合总费用不超过18万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）∵城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米，且这两个工程队共用时25天， ∴宁宁所列方程组中的x表示甲工程队工作时间，y表示乙工程队工作时间； 夏夏所列方程组中的x表示甲工程队改造道路的长度，y表示乙工程队改造道路的长度． 故答案为：甲工程队工作时间，乙工程队工作时间，甲工程队改造道路的长度，乙工程队改造道路的长度； （2）设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天， 根据题意得： ， 解得：， ∴m的最小值为10． 答：甲工程队至少工作10天． 【模拟04.数字问题】 10．（2025·山东青岛·一模）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 11．（2025·重庆·二模）如果一个四位自然数M各数位上的数字不全相同，将这个四位自然数M的千位数字和十位数字互换，百位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数N，规定；将这个四位自然数M的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数A，再将A的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数B，规定．若，则 ．若（，，x，y为整数），满足，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】 18481 【分析】根据题意求出，，即可求出的值，由题意可得，从而求出，，代入得出，整理得出，结合题意可得或，再分情况求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ， ，， ∴， ， ∵（，，x，y为整数）， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ， ； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，x，y为整数 ∴，， ∴或， 当，即时，此时， 当，即时，此时， ∴满足条件的所有的和为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式的加减的应用、因式分解的应用、解二元一次方程组，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 【模拟05.分配问题】 13．（2025·重庆·一模）一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的构建是解题的关键．根据题意，设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，结合恰好配套，确定等量关系，列出方程后联立构成方程组即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 14．（2025·安徽合肥·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价． 【答案】甲型书架的单价为200元，乙型书架的单价为300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组并求解． 设甲型书架单价为x元，乙型书架单价为元；根据“每个甲型书架比每个乙型书架低元”可得根据“购买2个甲型书架和3个乙型书架共需元”可得联立两个方程组成方程组，解方程组即可得到两种型号书架的单价． 【详解】解：设甲型书架的单价为x元，乙型书架的单价为y元． 根据题意，可列方程组： 由第一个方程可得：． 将代入第二个方程：，解得 把代入得． 答：甲型书架的单价为元，乙型书架的单价为元． 15．（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 【答案】(1)主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； (2)制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个 (3)最多可生产85套机器人 【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可； （2）设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是列出二元一次方程组求解即可； （3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 【详解】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴主控芯片单价为（元） 答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； （2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得， 解得：， 故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个， 答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个； （3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块， 主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 答：最多可生产85套机器人． 【模拟06.销售利润问题】 16．（2025·贵州遵义·模拟预测）社区决定采购两种型号的新型垃圾桶．已知购买4个型垃圾桶和3个型垃圾桶共需要160元；购买6个型垃圾桶和5个型垃圾桶共需要250元．设型垃圾桶的单价为元、型垃圾桶的单价为元、则可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元，根据“已知购买4个型垃圾桶和3个型垃圾桶共需要160元；购买6个型垃圾桶和5个型垃圾桶共需要250元”即可列出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元， 由题意得：， 故答案为：． 17．（2025九年级下·全国·专题练习）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价； (2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 【答案】(1)每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元 (2)5辆 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式； （1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售B型车m辆，则销售A型车辆，利用销售总额=每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元； （2）解：设销售B型车m辆，则销售A型车辆， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为5． 答：B型车至少销售5辆． 18．（2025·河南新乡·二模）为落实“五育并举”，某中学积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的顺利开展，学校计划购进排球及足球若干．调查发现购买3个足球和4个排球共需440元；购买4个足球和3个排球共需470元． (1)足球和排球的单价各是多少？ (2)该校根据需求打算购买足球和排球共50个，且足球数量不少于排球数量的3倍．某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买才能使所需费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)足球的单价为80元，排球的单价为50元 (2)当购买38个足球、12个排球时，所需费用最少，最少费用为3216元 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式，利用一次函数的性质求最值等内容，解题的关键是找准等量关系和掌握一次函数的性质． （1）设足球的单价为元，排球的单价为元，找出等量关系，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买所需的费用为元，购买排球个，则购买足球个，根据两种球的数量关系列出一元一次不等式得出，利用一次函数表示出，分析一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设足球的单价为元，排球的单价为元， 由题意，得 ， 解方程组得 ； 所以，足球的单价为80元，排球的单价为50元； （2）解：设购买所需的费用为元，购买排球个，则购买足球个， ∵足球数量不少于排球数量的3倍， ∴， 解得， 由题意，得， ∵ ， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴当时，最小，最小值为3216， 此时， 所以，当购买38个足球、12个排球时，所需费用最少，最少费用为3216元． 【模拟07.和差倍分问题】 19．（2025·贵州遵义·二模）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国愧树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，可得，两片银杏树叶与三片国愧树叶一年的平均滞尘量为146，可得可得方程组． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 20．（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【答案】每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨，根据1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨． 21．（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克． (1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ (2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用． 【答案】(1)每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克 (2)种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每棵榆树的滞尘量为千克，每棵白蜡树的滞尘量为千克，根据3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克建立方程组求解即可； （2）设种植棵榆树，种植棵白蜡树，根据滞尘总量不少于280千克列出不等式求出m的取值范围，设种植总成本为元，列出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解；设每棵榆树的滞尘量为千克，每棵白蜡树的滞尘量为千克． 由题意得，， 解得． 答：每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克． （2）解：设种植棵榆树，种植棵白蜡树． 由题意得，， 解得，． 设种植总成本为元． 由题意得， ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为， 此时． 答：种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元． 【模拟08.几何问题】 22．（2025·浙江湖州·二模）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形，正方形的性质，中心对称图形的性质，根据题意设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形． ∴两个大的正方形相同，两个矩形相同， 设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴小矩形的两边分别为，，大的矩形两边长分别为，， ∵矩形的周长已知，设为， ∴, 解得：， ∴两个大的正方形的边长为， ∴能够求出长度的线段是， 故选A. 23．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式与几何图形表示，数形结合得到，求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题图-1可知， ， 题图-1中大正方形的边长减少1个单位， 题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则， ， ， ， 综上所述，， 解得， ， 故答案为：． 24．（2025·江苏南通·二模）如图，在长为，宽为的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，求其中一个小矩形花圃的长与宽． 【答案】一个小花圃的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小花圃的长为，宽为，根据大矩形的长和宽与小矩形的长和宽之间的关系，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：设小花圃的长为，宽为，由题意和图，可得： ， 解得， 答：一个小花圃的长为，宽为． 25．（2025·浙江温州·一模）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 【答案】[任务1]，，；[任务2]35 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则，求其整数解，判断的最大值即可． 【详解】解：任务1：由题意得，， ， 解得：； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴， ∴整数解为：或， ∵， ∴的最大值为35． 【模拟09.图表信息问题】 26．（2025·江苏南京·三模）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 27．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 28．（2025·山东青岛·一模）某高速公路通车后，农户的农产品运往外地的运输成本大大降低，一农户需要将，两种农产品定期运往某加工厂，每次运输，产品的件数不变，原来每运一次的运费是元，现在每运一次的运费比原来减少了元，，两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示： 品种 原运费 现运费 (1)求每次运输的农产品中，产品各有多少件？ (2)由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加件，但总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍，问：产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？ 【答案】(1)每次运输产品件，产品件 (2)最少运费需要元 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数结合不等式，根据题意正确列式是解题关键． （1）设每次运输产品件，产品件，根据原一次运费和现一次运费列出二元一次方程组即可； （2）设运输产品件，运费为元，列出关于的一次函数，再根据总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍，确定自变量的范围，再取最小值即可． 【详解】（1）解：设每次运输产品件，产品件，由题意得： ， 解得， 答：每次运输产品件，产品件． （2）设运输产品件，则产品为件，运费为元， ， 又，∴， ∵，∴随着的增大而增大， ∴要最少，取最小， 即当时，， 答：最少运费需要元． 【模拟10.古代问题】 29．（2025·湖南·三模）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘小舟过江，若每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；若每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，问共有多少只小舟，多少人，设共有x只小舟，y人，则可列方程组为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系并列出方程组是关键；根据等量关系：每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，列出方程组即可． 【详解】解：由题意共有x只小舟，y人， 则得方程组， 故选：A． 30．（2025·吉林长春·模拟预测）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有x枚钱币，乙原来有y枚钱币，则可列方程组为： ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”先列出方程即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得， 故答案为：． 31．（2025·山西·三模.）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，试求黄金、白银每枚各重多少两？ 【答案】每枚黄金重两，每枚白银重两。 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量等于11枚白银的重量；②（10枚白银的重量枚黄金的重量）（1枚白银的重量枚黄金的重量）等于13两，根据等量关系列出方程组求解即可． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 由题意得， 解得， 答：每枚黄金重两，每枚白银重两。 【模拟11.其他实际问题】 32．（2025·吉林·模拟预测）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为（   ） ． A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离计算，二元一次方程组的应用；熟知数轴上两点间的距离总是用右边的点表示的数减去左边的点表示的数是解题的关键．根据数轴上的点所表示的数的特点可知，又，便可解决问题． 【详解】解：由数轴可知， ，又， 则， 故，． 所以点表示的数为：． 故选：A． 33．（2025·江西·二模）小亮妈妈逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用3个碗叠放时，总高度为；用5个碗叠放时，总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据题意列方程组求出，进而求解即可． 【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 根据题意得：， 解得：． 则10个碗放在一起时，它的高度为． 故答案为：． 34．（2025·江苏泰州·三模）箱子里有m个红球，n个白球，小明、小丽分别按下列方式取球：小明的取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多1个，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下6个红球；小丽取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多3个，小丽每次取的球中的白球数与小明每次取的球中的白球数相同，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下9个白球．已知小明取球的次数比小丽多3次． (1)小明每次取的白球数为________； (2)求m、n的值． 【答案】(1)3； (2)，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据实际问题列二元一次方程组是解题的关键． （1）设小明每次取白球个，那么每次取红球个，小丽每次取白球个，每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次．根据红球和白球的数量关系，通过设未知数来推导小明每次取的白球数． （2）根据上述设的未知数，结合红球和白球剩余数量，列出关于、的方程，进而求解、的值． 【详解】（1）解：设小明每次取白球个，则小明每次取红球个，小丽每次取白球个，小丽每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次． 由白球数量关系， ∵小丽取球后只剩下个白球， ∴， ∴， ， ， 解得， 故答案为：3； （2）解：设小明每次取白球个，则小明每次取红球个，小丽每次取白球个，小丽每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次． ∵， ∴小明每次取红球个，小丽每次取红球个． 由红球数量关系 ∴，， ∴， ， ， 解得． ∴，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $