7.1～7.3 认识概率（题型专练，4基础&3提升+培优）数学新教材苏科版八年级下册

第七章 认识概率 题型一 必然事件与不可能事件 1．下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球 【答案】D 【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 根据不可能事件的定义（在一定条件下一定不会发生的事件），分析各选项是否可能发生． 【详解】解：不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件． A选项：任意选择电视频道可能播放动画片，是随机事件； B选项：任意掷一枚硬币可能正面朝上，是随机事件； C选项：射击运动员射击一次可能命中10环，是随机事件； D选项：只装有红球的袋子不可能摸出黑球，是不可能事件． 故选：D． 2．下列事件是必然事件的是（    ） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．打开电视新闻频道正在播报体育新闻 C．掷一次骰子，向上一面点数大于0 D．任意画一个三角形其内角和是360° 【答案】C 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，熟练掌握必然事件的定义（在一定条件下必然会发生的事件）是解题的关键．先明确必然事件的定义（一定发生的事件），再逐一分析每个选项是否符合该定义． 【详解】解：选项A：经过路口遇到红灯是随机事件，不是必然事件． 选项B：打开新闻频道播体育新闻是随机事件，不是必然事件． 选项C：骰子点数为，均大于0，是必然事件． 选项D：三角形内角和为，不是，是不可能事件． 故选：C． 3．下列事件属于必然事件的是（    ） A．队员在罚球线上投篮一次未投中 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．经过某十字路口遇到红灯 D．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，即概率为1的事件．选项A、B、C描述的都是随机事件，其概率均小于1，不一定发生；选项D描述的是概率为的事实，对于质地均匀的硬币，这一概率值是必然成立的，因此属于必然事件，即可作答． 【详解】解：A、队员罚球投篮一次未投中，可能投中也可能未投中，概率小于1，不是必然事件； B、掷一次骰子向上一面的点数是6，有6种可能结果，概率为，不是必然事件； C、经过某十字路口遇到红灯，交通灯的状态是随机的，概率小于1，不是必然事件； D、抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为，这一概率值是客观必然的，始终成立，因此属于必然事件； 故选：D． 4．下面四个事件中，不可能发生的是（   ） A．某运动员跳高的最好成绩是米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【分析】本题考查不可能事件的概念，熟练掌握概念是解决问题的关键．根据不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、运动员跳高成绩可能为米，为可能事件； B、图钉抛掷时钉尖可能着地，为可能事件； C、两条线段可能相交，为可能事件； D、因为袋子中只有白球和红球，没有黄球，所以摸出黄球是不可能事件． 故选：D． 题型二 随机事件 1．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．抛一枚硬币，前2次都是反面，第3次是正面 B．掷一枚骰子，朝上那面出现的点数是7点 C．太阳从东方升起 D．用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即为随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．也考查了三角形三边关系． 根据事件发生的可能性大小来判断相应事件的类型即可． 【详解】A中抛硬币每次结果独立，第3次正面可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意； B中骰子点数只有，不可能出现7点，是不可能事件，不符合题意； C中太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； D中三边长度，，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），是必然事件，不符合题意； 属于随机事件的是A， 故选A． 2．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．旭日东升 C．秋去冬来 D．一箭双雕 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意； B．旭日东升是必然事件，故该选项不符合题意； C．秋去冬来是必然事件，故该选项不符合题意； D．一箭双雕是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 3．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．通常温度降到以下，纯净的水结冰 B．明天太阳从东方升起 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，根据随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，进行判断即可．掌握随机事件、必然事件和不可能事件的区别是解题关键． 【详解】解：A、是必然事件，不符合题意； B、是必然事件，不符合题意； C、是不可能事件，不符合题意； D、是随机事件，符合题意； 故选D． 4．下列事件是随机事件的是（    ） A．一元一次方程的解为 B．几个单项式相加的和为一个单项式 C．一个奇数加一个偶数的和为偶数 D．一个三项式加一个单项式的和是一个单项式 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件的概念，掌握随机事件是可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 根据随机事件是可能发生也可能不发生的事件这一定义，逐一分析每个选项对应的事件类型，找出符合随机事件特征的选项． 【详解】A、一元一次方程 （）的解总是 ，是必然事件，不是随机事件，不符合题意； B、几个单项式相加，如果它们是同类项，则和为单项式，否则为多项式，因此可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意； C、奇数加偶数的和总是奇数，不可能是偶数，是不可能事件，不是随机事件，不符合题意； D、一个三项式加一个单项式，和至少有两个项，不可能是单项式，是不可能事件，不是随机事件，不符合题意． 故选：B． 题型三 判断事件发生的可能性的大小 1．掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件的可能性，掌握随机事件的结果具有不确定性，可能出现多种情况是解题的关键． 掷一枚质地均匀的硬币，每次结果是随机的，正面向上的次数可在0到10之间任意取值，据此判断每个选项中说法的确定性或可能性是否正确． 【详解】解：A、每2次必有1次正面向上，掷硬币结果随机，可能连续反面，故错误，不符合题意； B、可能有5次正面向上，正面向上次数可在0到10之间任意取值，5次是其中一种可能，故正确，符合题意； C、必有5次正面向上，正面次数是随机的，不一定恰好为5次，故错误，不符合题意； D、不可能有10次正面向上，虽然概率低，但掷硬币结果是随机的，10次正面向上有发生的可能，故错误，不符合题意． 故选：B． 2．下列四个袋子中，装有除颜色外都相同的10个球．任意摸出1个球，摸到黑球的可能性最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了可能性的大小，掌握总数量相同时，某类物体的数量越多，摸到它的可能性越大是解题的关键． 每个袋子的总球数都是个，摸到黑球的可能性大小由黑球数量决定，黑球数量越多，摸到的可能性越大，因此只需比较四个选项中黑球的数量． 【详解】解：每个袋子都有个球，摸到黑球的可能性随黑球数量的增大而增大： A：黑球个； B：黑球个； C：黑球个； D：黑球个． ∵，选项D的黑球数量最多， ∴摸到黑球的可能性最大的是选项 D． 故选：D． 3．下面是一些可以转动的转盘，则转出黑色可能性从大到小的顺序是（   ） A．②④①⑤③ B．④②①⑤③ C．③⑤①②④ D．③⑤①④② 【答案】D 【分析】本题主要考查了可能性出现的大小，从大到小依次排列阴影部分的面积，即为转出黑色可能性从大到小的顺序． 【详解】解：题中黑色区域的面积由大到小排列依次为③⑤①④②， 故转出黑的概率由大到小也为③⑤①④②． 故选：D． 4．在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除数字外其余完全相同．从中随机摸出一个小球，摸到标有数字大于3的球的可能性与摸到标有数字小于3的球的可能性相比，哪个大？ 【答案】可能性一样大 【分析】本题考查可能性的判断，分别求出两种情况的可能性，再进行判断即可． 【详解】解：标有数字大于3的球有4和5，共2个；标有数字小于3的球有1和2，共2个．总球数为5个， 所以摸到数字大于3的球的可能性为，摸到数字小于3的球的可能性也为． 因此，两者的可能性一样大． 题型四 频率与概率 1．关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 2．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 【答案】C 【分析】本题结合图表，考查了利用频率估计概率．由图可知，击中率在上下波动，故可估计击中的频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8，可判断A选项正确，B选项正确,利用击中概率乘以投球次数即可求得投球击中次数，可判断C选项，利用概率的意义，可判断D选项． 【详解】解：由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近， 故A选项正确，B选项正确，不符合题意； 若爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中（次）， 故C选项的说法不正确，符合题意； 若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次， 故D选项的说法正确，不符合题意， 故选：C． 3．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 4．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 题型一 改变条件使事件发生的可能性相同 1．一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 【详解】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 2．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【分析】需使不可能事件与必然事件的数量相等，从而概率相同. 【详解】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 3．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 4．一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ 【答案】（1）从中任意摸出个球可能是红球，也可能是绿球或白球；（2）不能事先确定摸到的一定是红球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可． 【分析】（1）根据事情发生的可能性，即可进行判断； （2）根据红球的多少判断，只能确定有可能出现； （3）根据白球的数量最多，摸出的可能性就最大，红球的数量最少，摸出的可能性就最小； （4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可． 【详解】解：（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球； （2）不能事先确定摸到的一定是红球； （3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小； （4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可． 【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题． 题型二 用频率估计概率 1．小华练习射击，共射击1000次，其中600次击中靶子，由此估计，小华射击一次击中靶子的概率是（    ） A．约 B．约 C．约 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查频率估计概率，当试验次数足够多时，频率可近似作为概率的估计值． 根据击中频率等于击中次数除以总次数，再将结果转化为百分数，即可求解． 【详解】解：∵射击总次数为1000次，击中次数为600次， ∴频率， 故估计概率为约． 故选：． 2．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 10000 成活总数m 369 682 1359 3192 6398 9130 成活率 0.923 0.909 0.906 0.912 0.914 0.913 估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（    ） A．0.89 B．0.85 C．0.91 D．0.95 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右，据此求解即可． 【详解】解：由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右． ∴估计这一类新品种苹果树成活的概率约为0.91． 故选：C． 3．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，先求出点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在0.6，再用总面积乘以0.6即可求解． 【详解】解：∵经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， ∴据此估计点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在， ∴该二维码中黑色区域的面积为 ． 故答案为： 4．从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为 ．（精确到） 【答案】 【分析】根据频率估计概率的原理，通过分析发芽频率数据的稳定趋势，估计概率值． 本题考查了频率估计概率，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】解：从试验数据可知，随着每批粒数的增加，发芽频率逐渐稳定在附近，当每批粒数为4000时，频率为，精确到即为， 因此该油菜籽种子发芽的概率估计为． 故答案为：． 题型三 频率与概率的综合应用 1．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 2．下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 3． （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 4．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)0.68、0.74、0.68 、0.69、0.68、0.70 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，数值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率． 【详解】（1）解： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （2）由表格可知：获得铅笔的概率约是； 故转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是． 1．在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球试验，他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，多次重复摸球．如表是多次活动汇总后统计的数据： 　摸球的次数S 150 200 500 900 1000 1200 　摸到白球的频数n 51 64 156 275 303 361 　摸到白球的频率 0.34 0.32 0.312 0.306 0.303 0.301 （1）请估计：当次数S很大时，摸到白球的频率将会接近 　　 ；假如你去摸一次，你摸到红球的概率是 　　 （精确到0.1）． （2）试估算口袋中红球有多少只？ 【分析】（1）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.3左右，而摸到红球的概率为1﹣0.3＝0.7； （2）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可； 【解答】解：（1）当次数S很大时，摸到白球的频率将会接近0.3；假如你去摸一次，你摸到红球的概率是1﹣0.3＝0.7； 故答案为：0.3，0.7； （2）估算口袋中红球有x只， 由题意得0.7， 解之得x＝70， ∴估计口袋中红球有70只； 【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1． 2．问题情景：某学校数学学习小组在讨论“随机掷二枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：随机掷二枚均匀的硬币，可以有“二正、一正一反、二反”三种情况，所以，P（一正一反）；小颖反驳道：这里的“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，所以P（一正一反）． （1）　　 的说法是正确的． （2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次实验，得到如下数据： 二正 一正一反 二反 小聪 24 50 26 小颖 24 47 29 计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的实验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？ （3）对概率的研究而言小聪与小颖两位同学的实验说明了什么？ 【分析】（1）要判断谁说的正确只要看他们说的情况有没有漏掉的即可． （2）根据频率＝所求情况数与总情况数之比，即可得出结果． （3）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近． 【解答】解：（1）“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，共四种，所以小颖的说法是正确的 （2）小聪得到的“一正一反”的频率是50÷100＝0.50 小颖得到的“一正一反”的频率是47÷100＝0.47 据此，我得到“一正一反”的概率是 （3）对概率的研究不能仅仅通过有限次实验得出结果，而是要通过大量的实验得出事物发生的频率去估计该事物发生的概率．我认为小聪与小颖的实验都是合理的，有效的．（8分） 【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 3．某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 50 100 150 200 350 400 450 500 优等品的频数m 40 96 126 176 322 364 405 450 优等品的频率 0.80 0.96 0.84 　　 0.92 　　 0.90 　　 （1）填写表中的空格； （2）画出这批乒乓球优等品频率的折线统计图； （3）这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？ 【分析】（1）利用频率的定义分别计算； （2）先描出各点，然后折线连接； （3）根据频率估计概率，频率都在0.9左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.9． 【解答】解：（1）176÷200＝0.88，364÷400＝0.91，450÷500＝0.9， 故答案为：0.88，0.91，0.9， （2）折线统计图如图所示： （3）根据频率，当抽取的数量逐渐增多时，优等品的频率越稳定在0.9左右，因此这批乒乓球优等品概率的估计值大约为0.9． 【点评】考查折线统计图的制作方法、频率、概率以及用频率估计概率的方法，掌握频率的意义和计算方法，频率估计概率是统计中的常用方法，也是频率的具体应用． 4．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 （1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1） （2）请估计当n很大时，频率将会接近　　 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是　　 ；（结果全部精确到0.1） （3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【分析】（1）根据频率的定义计算n＝298时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是0.6； （3）可根据获得“洗衣粉”的概率为1﹣0.6＝0.4，然后根据扇形统计图的意义，用360°乘以0.4即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角． 【解答】解：（1）298÷500≈0.6；0.59×800＝472； （2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6； （3）（1﹣0.6）×360°＝144°， 所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是144°． 故答案为0.6，0.6． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 认识概率 题型一 必然事件与不可能事件 1．下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球 2．下列事件是必然事件的是（    ） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．打开电视新闻频道正在播报体育新闻 C．掷一次骰子，向上一面点数大于0 D．任意画一个三角形其内角和是360° 3．下列事件属于必然事件的是（    ） A．队员在罚球线上投篮一次未投中 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．经过某十字路口遇到红灯 D．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为 4．下面四个事件中，不可能发生的是（   ） A．某运动员跳高的最好成绩是米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 题型二 随机事件 1．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．抛一枚硬币，前2次都是反面，第3次是正面 B．掷一枚骰子，朝上那面出现的点数是7点 C．太阳从东方升起 D．用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 2．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．旭日东升 C．秋去冬来 D．一箭双雕 3．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．通常温度降到以下，纯净的水结冰 B．明天太阳从东方升起 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 4．下列事件是随机事件的是（    ） A．一元一次方程的解为 B．几个单项式相加的和为一个单项式 C．一个奇数加一个偶数的和为偶数 D．一个三项式加一个单项式的和是一个单项式 题型三 判断事件发生的可能性的大小 1．掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 2．下列四个袋子中，装有除颜色外都相同的10个球．任意摸出1个球，摸到黑球的可能性最大的是（    ） A． B． C． D． 3．下面是一些可以转动的转盘，则转出黑色可能性从大到小的顺序是（   ） A．②④①⑤③ B．④②①⑤③ C．③⑤①②④ D．③⑤①④② 4．在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除数字外其余完全相同．从中随机摸出一个小球，摸到标有数字大于3的球的可能性与摸到标有数字小于3的球的可能性相比，哪个大？ 题型四 频率与概率 1．关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 2．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 3．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 4．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 题型一 改变条件使事件发生的可能性相同 1．一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 3．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ． 4．一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ 题型二 用频率估计概率 1．小华练习射击，共射击1000次，其中600次击中靶子，由此估计，小华射击一次击中靶子的概率是（    ） A．约 B．约 C．约 D．无法确定 2．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 10000 成活总数m 369 682 1359 3192 6398 9130 成活率 0.923 0.909 0.906 0.912 0.914 0.913 估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（    ） A．0.89 B．0.85 C．0.91 D．0.95 3．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为 ． 4．从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为 ．（精确到） 题型三 频率与概率的综合应用 1．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 2．下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 3． （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 4．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 1．在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球试验，他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，多次重复摸球．如表是多次活动汇总后统计的数据： 　摸球的次数S 150 200 500 900 1000 1200 　摸到白球的频数n 51 64 156 275 303 361 　摸到白球的频率 0.34 0.32 0.312 0.306 0.303 0.301 （1）请估计：当次数S很大时，摸到白球的频率将会接近 　　 ；假如你去摸一次，你摸到红球的概率是 　　 （精确到0.1）． （2）试估算口袋中红球有多少只？ 2．问题情景：某学校数学学习小组在讨论“随机掷二枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：随机掷二枚均匀的硬币，可以有“二正、一正一反、二反”三种情况，所以，P（一正一反）；小颖反驳道：这里的“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，所以P（一正一反）． （1）　　 的说法是正确的． （2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次实验，得到如下数据： 二正 一正一反 二反 小聪 24 50 26 小颖 24 47 29 计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的实验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？ （3）对概率的研究而言小聪与小颖两位同学的实验说明了什么？ 3．某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 50 100 150 200 350 400 450 500 优等品的频数m 40 96 126 176 322 364 405 450 优等品的频率 0.80 0.96 0.84 　　 0.92 　　 0.90 　　 （1）填写表中的空格； （2）画出这批乒乓球优等品频率的折线统计图； （3）这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？ 4．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 （1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1） （2）请估计当n很大时，频率将会接近　　 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是　　 ；（结果全部精确到0.1） （3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $