精品解析：甘肃省武威市凉州区吴家井中学、九墩中学2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷

2025-2026学年第一学期九年级期末考试试卷 数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 市场上某款运动相机今年9月销量为8万台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款运动相机销量达到18万台，那么该款运动相机这两月销量的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图切于点，交于点，若，，则的半径是（ ） A 4 B. 2 C. 5 D. 10 7. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 打开电视新闻频道正在播报体育新闻 C. 掷一次骰子，向上一面点数大于0 D. 任意画一个三角形其内角和360° 8. 如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 9. 在扇形中，，正方形的顶点C，D分别在半径，上，顶点E在上，以O为圆心，长为半径作，若，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 二次函数图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论的正确的是（ ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______． 12. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 13. 已知二次函数，当时，的取值范围为________． 14 若点与点关于原点对称，那么_______． 15. 如图，是的直径，若，，则的长等于______． 16. 如图，是上的点，若，则的度数是_______度． 17. 有四张完全一样正面分别写有数字，0，1，2的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的数字为正数的概率是______． 18. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有________（填序号）． 三、解答题（共66分） 19. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出． （2）画出关于原点成中心对称的． 20. 用适当方法解方程： （1）； （2）． 21. 某工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的增长率都相同，两年后产量达到288件，求增长率． 22. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 23. 如图，在中，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 24. 如图，等边中，是的中点，将绕点A逆时针旋转得． （1）求线段的长； （2）判断线段与的位置关系，并证明． 25. 如图，是的直径，平分分别与相交于点． （1）求证； （2）若，求的直径． 26. 如图，中，为的直径，点为延长线上一点，，且． （1）证明：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 27. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于，点为中点． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若点与点重合，，且，求证：，，三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级期末考试试卷 数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形，而不是中心对称图形，故选项错误； B选项不是轴对称图形，而是中心对称图形，故选项错误； C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； D选项是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项正确； 故选：D． 2. 已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念及解一元二次方程，理解此概念并正确解一元二次方程是关键；将已知根代入方程求出参数m，再解方程求另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解得， ∴另一个根为． 故选：B． 3. 市场上某款运动相机今年9月销量为8万台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款运动相机销量达到18万台，那么该款运动相机这两月销量的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用该款运动相机今年11月份的销量该款运动相机今年9月份的销量（该款运动相机这两月销量的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该款运动相机这两月销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 因此，月平均增长率为， 故选：D． 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移．根据二次函数图象的平移规律“上加下减”，向上平移时，在整个函数表达式后加上平移单位，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线 向上平移2个单位长度， ∴新解析式为， 故选：B． 5. 如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论． 连接，根据直径所对圆周角可得，由同弧所对圆周角相等可求出度数，利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵， ∴，  ， 故选：A． 6. 如图切于点，交于点，若，，则的半径是（ ） A. 4 B. 2 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据切线的性质得到，然后利用勾股定理计算得到的半径即可． 【详解】解：如图切于点， ． ，， ． 故选：C． 7. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 打开电视新闻频道正在播报体育新闻 C. 掷一次骰子，向上一面点数大于0 D. 任意画一个三角形其内角和是360° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，熟练掌握必然事件的定义（在一定条件下必然会发生的事件）是解题的关键．先明确必然事件的定义（一定发生的事件），再逐一分析每个选项是否符合该定义． 【详解】解：选项A：经过路口遇到红灯是随机事件，不是必然事件． 选项B：打开新闻频道播体育新闻是随机事件，不是必然事件． 选项C：骰子点数为，均大于0，是必然事件． 选项D：三角形内角和为，不是，是不可能事件． 故选：C． 8. 如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 9. 在扇形中，，正方形的顶点C，D分别在半径，上，顶点E在上，以O为圆心，长为半径作，若，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，正方形的性质，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 根据正方形的性质得到，，，求出正方形的边长，得出阴影部分的面积，分别求出即可． 【详解】解：连接，交于，则， 四边形是正方形， ，，， 在等腰三角形中，， ， 阴影部分的面积 ， 故选：C． 10. 二次函数的图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论的正确的是（ ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系、二次函数与方程． 根据对称轴可得，由点A和点B的函数值符号可得，进而判断和正确；方程两根之积；根据当时，总有，可得，再由点，在对称轴的同侧，可得，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵图象经过点，且， ∴，故②正确； ∵， ∴图象经过点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，故①正确； 设方程的两根为， ∵， ∴二次函数的图象与的一个交点在和之间， 不妨设， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵点，在抛物线上， ∴， ∵当时，总有， ∴， ∵， ∴, 要使不等式恒成立，只需当取最小值时该不等式成立， ∵点，在对称轴的同侧， ∴，即的最小值为2， ∴，即，故④正确； 综上，正确结论为①②④． 故选：B 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，方程是关于的一元二次方程， ∴，解得或 ， 当时，二次项系数，不符合一元二次方程的条件， 当时，二次项系数，符合一元二次方程的条件， ∴a的值为2． 故答案为：2． 12. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴性质，熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴另一个交点的横坐标为， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 13. 已知二次函数，当时，的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为． 当时，； 当时，； 当时，． 故的取值范围为． 故答案为：． 14. 若点与点关于原点对称，那么_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查原点对称，利用关于原点对称的点的坐标性质，横纵坐标均互为相反数，确定m和n的值后求和． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 15. 如图，是的直径，若，，则的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 16. 如图，是上的点，若，则的度数是_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可. 【详解】解:在优弧上任意找一点，连接． ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案：． 17. 有四张完全一样正面分别写有数字，0，1，2的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的数字为正数的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，理解题意是解决本题的关键． 直接根据概率公式解答，即可求解． 【详解】解：由题意得，四张卡片中正数有1和2，共2张， ∴抽取正数的概率为， 故答案为：． 18. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有________（填序号）． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点．根据二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，结合对称轴可判断①，②，结合二次函数的最值可判断③，证明，结合当时，可判断④． 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ， ，故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， ，故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有：， ∴，故③正确； 对称轴为直线， ， 当时，， ． ，即，故④正确． 综上所述，正确的有③④． 故答案为：③④． 三、解答题（共66分） 19. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出． （2）画出关于原点成中心对称的． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，画已知图形关于某点对称的图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据旋转的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据中心对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示． 20. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 或， 解得：，． 21. 某工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的增长率都相同，两年后产量达到288件，求增长率． 【答案】该产品每年的增长率为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用；设该产品每年的平均增长率为x，列出方程求解即可． 【详解】解：设该产品每年的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：该产品每年的增长率为． 22. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1） （2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【小问1详解】 解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 23. 如图，在中，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定． 根据中心对称的性质得出，，进而证明，即可证明四边形是平行四边形． 详解】证明：和关于点O对称， ， 四边形是平行四边形． 24. 如图，等边中，是的中点，将绕点A逆时针旋转得． （1）求线段的长； （2）判断线段与的位置关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定． （1）由等边中，，D是的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得的长为，又由将绕点A逆时针旋转得，得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）证明得出，结合，得出垂直平分，即可得证． 【小问1详解】 解：∵等边中，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 【小问2详解】 ， 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵是的中点， ∴ ∴ ∴垂直平分， ∴ 25. 如图，是的直径，平分分别与相交于点． （1）求证； （2）若，求的直径． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】主要考查角平分线的定义以及圆周角定理(同圆中相等的圆周角所对的弧相等)，等弧的性质、垂径定理，还结合勾股定理与方程思想解决线段长度计算问题，同时体现了圆性质与直角三角形知识的综合应用． （）利用角平分线的定义得到，再依据圆周角定理中“相等的圆周角所对的弧相等”，即可证明； （）由等弧推出垂直平分，结合已知条件求出的长度，设圆的半径为表示出，再在中利用勾股定理列方程求解半径，进而得到圆的直径． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵对应，对应， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，且， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理：， 代入得：， 解得：， ∴的直径． 26. 如图，中，为的直径，点为延长线上一点，，且． （1）证明：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合等腰三角形的性质和圆周角定理，可知，根据切线的判定可得结论； （2）连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求得圆心角的度数，再根据直角三角形点性质求得半径，进而求得和的长度，最后根据阴影部分的面积扇形三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ，且， ，， ， ， 是圆的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：连接， ，， ， ， ，，， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积扇形三角形的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题关键． 27. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于，点为中点． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若点与点重合，，且，求证：，，三点共线． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设则，，可得，，进而得到，解方程即可求解； （3）根据题意可知，，设直线的解析式为，代入，得到解析式，将代入中，求得点，可得到点在直线上，即可证明，，三点共线． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴求二次函数的解析式； 小问2详解】 解：对于，令，得， 解得，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴，， ∴， 解得，（舍去），或， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 证明：∵点与点重合，则， ∵点为中点，，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得，解得， ∴， 将代入，得， 解得，， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点在直线上，即，，三点共线． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $