专题15.2 分式的乘除（举一反三讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

本讲义聚焦分式的乘除运算核心知识点，系统梳理分式乘法（分子分母积为积的分子分母）、除法（除式颠倒后相乘）、乘方（分子分母分别乘方）法则，及混合运算顺序（先乘方再乘除后加减，括号优先），构建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料设计亮点突出，涵盖10类题型，从基础计算到实际应用（如行程问题、种植单价）、规律探究（等式归纳）及新题型（定义运算）。通过变式训练培养运算能力与推理意识，实际应用题发展数学眼光，新题型强化模型意识，课中辅助分层教学，课后助力学生自主查漏补缺，提升综合运用能力。

专题15.2 分式的乘除（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 【题型1 分式的乘法】 1 【题型2 分式的除法】 2 【题型3 分式的乘方】 2 【题型4 分式的混合运算】 3 【题型5 分式的化简求值】 3 【题型6 分式运算的实际应用】 3 【题型7 分式的大小比较】 5 【题型8 分式的最值】 6 【题型9 分式运算的规律探究】 6 【题型10 分式运算的新题型】 7 知识点1 分式的乘除 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为． 2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为． 知识点2 分式的乘方 一般地，当n是正整数时，，即．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 知识点3 分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 【题型1 分式的乘法】 【例1】定义新运算：，则化简的结果是 ． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·阶段练习）若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　） A．1 B．2 C．4 D．x 【题型2 分式的除法】 【例2】若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 【变式2-2】计算 ． 【变式2-3】定义两种运算：，，则 ． 【题型3 分式的乘方】 【例3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】化简： 【变式3-2】计算 与的结果(    ) A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【变式3-3】）的值是（  ） A． B． C． D． 【题型4 分式的混合运算】 【例4】（2025·河北唐山·三模）下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：（   ）已知该题化简的结果是，则括号内的式子为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式4-1】化简： ． 【变式4-2】已知a为整数，且为正整数，求所有符合条件的a的值的和 ． 【变式4-3】有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第次运算的结果 ．（用含字母的式子表示） 【题型5 分式的化简求值】 【例5】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果，，是正数，且满足，，则的值为 ． 【变式5-1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）先化简：，再从中选出一个合适的整数的值，代入求值． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知正数、、满足：，，，则 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）若且均不为0，则的值为（　　） A． B． C．0 D．12 【题型6 分式运算的实际应用】 【例6】甲、乙两人骑自行车从相距s千米的两地同时出发，若同向而行，经过a小时甲追上乙；若相向而行，经过b小时甲、乙相遇．设甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，则用字母a，b表示为 ． 【变式6-1】有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　） A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 【变式6-2】商家常将两种糖混合成“什锦糖”出售．对“什锦糖”的定价用以下方法确定： 若A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克（a≠b），则m千克的A种糖与n千克的B种糖混合而成的“什锦糖”单价为元． （1）当a=20，b=30时， ①将10千克的A种糖与15千克的B种糖混合而成的“什锦糖”单价为多少？ ②在①的基础上，若要将“什锦糖”单价提高2元，则需增加B种糖多少千克？ （2）若现有两种“什锦糖”：一种是由10千克的A种糖和10千克的B种糖混合而成，另一种是由100元价值的A种糖和100元价值的B种糖混合而成，则这两种“什锦糖”的单价哪一种更大？ 【变式6-3】如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为的橙汁和苹果汁（如下操作，果汁均不溢出）． （1）当时，从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为 ； （2）把两杯中的果汁进行如下操作： 第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为 第二步：从乙杯取出混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，则 . 【题型7 分式的大小比较】 【例7】（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）已知，用两种不同的方法比较的大小； （2）若，则_____，______（写出一组符合题意的值即可）． 【变式7-1】若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，． (1)当时，比较A与B的大小，并说明理由： (2)设，若m为整数，则正整数y的值为______． 【变式7-3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． (1)若，试判断： （填“”“”或“”）． (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【题型8 分式的最值】 【例8】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【变式8-1】分式可取的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8-2】若，且，则下列说法正确的是（     ） A．有最小值 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最小值 【变式8-3】观察分式变形过程：，其中“○”“□”“◇”分别盖住了一个整数. （1）“○”“□”“◇”表示的整数 ；（填“相同”或“不相同”） （2）当时，的最小值为 . 【题型9 分式运算的规律探究】 【例9】（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【变式9-1】观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【变式9-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上面的规律归纳出一个一般的结论 （用含n的等式表示，n为正整数）． 【变式9-3】（2025·安徽芜湖·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： …． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_______； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明． 【题型10 分式运算的新题型】 【例10】规定一种新的运算“JQx→+∞”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，JQx→+∞；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞的值为A和B的最高次项的系数的商；当A的次数大于B的次数时，JQx→+∞不存在．例：JQx→+∞＝0，JQx→+∞．若，则JQx→+∞的值为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【变式10-1】定义：若两个分式A与B满足：，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 ． 【变式10-2】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.2 分式的乘除（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 【题型1 分式的乘法】 1 【题型2 分式的除法】 3 【题型3 分式的乘方】 5 【题型4 分式的混合运算】 6 【题型5 分式的化简求值】 8 【题型6 分式运算的实际应用】 10 【题型7 分式的大小比较】 14 【题型8 分式的最值】 18 【题型9 分式运算的规律探究】 20 【题型10 分式运算的新题型】 24 知识点1 分式的乘除 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为． 2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为． 知识点2 分式的乘方 一般地，当n是正整数时，，即．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 知识点3 分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 【题型1 分式的乘法】 【例1】定义新运算：，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算，可得，根据多项式乘法法则计算化简，即可使问题得解． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是定义新运算的题目，正确理解定义新运算的意义是解题的关键，在解答此问题时严格按照新定义的运算规则，把已知数代入，按照基本运算过程、规律进行运算． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先对能因式分解的分子、分母因式分解，然后再约分即可解答． 【详解】解： ． 故选A． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·阶段练习）若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　） A．1 B．2 C．4 D．x 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简． 将，逐一代替“□”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意． 【详解】解：A．，可以进行约分化简，“□”可以是1，不合题意； B．，不可以进行约分化简，“□”不可以是2，符合题意； C．，可以进行约分化简，“□”可以是4，不合题意． D．，可以进行约分化简，“□”可以是，不合题意； 故选：B． 【题型2 分式的除法】 【例2】若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键． 先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出“□”中的式子的可能式，即可得出答案． 【详解】解： = =， ∵运算结果为整式， ∴“□”中的式子应该是含有因式的式子， 只有选项C中符合题意， 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【详解】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 【变式2-2】计算 ． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方，再根据分式的乘除混合运算法则解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算以及分式的乘方运算，属于常考题型，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【变式2-3】定义两种运算：，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型3 分式的乘方】 【例3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键． 【变式3-1】化简： 【答案】 【分析】先算乘方，然后根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算、乘方等知识点，掌握整式乘除混合运算法则是解答本题的关键． 【变式3-2】计算 与的结果(    ) A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：=-， =， 所以它们互为相反数， 故选C 【变式3-3】）的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘方运算法则计算即可得到结果． 【详解】可得= 【点睛】此题考查了幂的乘方，熟练掌握法则是解本题的关键． 【题型4 分式的混合运算】 【例4】（2025·河北唐山·三模）下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：（   ）已知该题化简的结果是，则括号内的式子为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了分式混合运算，括号内的式子为，进行分式混合运算，即可求解；能熟练进行分式混合运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故选：C． 【变式4-1】化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式4-2】已知a为整数，且为正整数，求所有符合条件的a的值的和 ． 【答案】16 【分析】先根据分式混合运算法则将已知分式化简，再根据题意求得a值，进而求和即可． 【详解】解： ， ∵a为整数，为正整数， ∴符合条件的a的值为6，10， 则符合条件的a的值的和为， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算、分式的值，熟练掌握运算法则并正确求得a值是解答的关键． 【变式4-3】有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第次运算的结果 ．（用含字母的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据题目中的程序可以分别计算出、和，得到规律，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，用代数式表示出． 【详解】∵， ∴， …… ∴． 故答案为：． 【题型5 分式的化简求值】 【例5】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果，，是正数，且满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知可得，，，进而代入代数式化简计算即可，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ． 【变式5-1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）先化简：，再从中选出一个合适的整数的值，代入求值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值． 先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从0，1，2中选出使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 对于，则或1或2， 当或1的时候，原分式无意义， ∴，则原式． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知正数、、满足：，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简求值．计算，然后整体代入求解即可． 【详解】解：因为 ， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）若且均不为0，则的值为（　　） A． B． C．0 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了分式的化简求值以及代数式的意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先对分式进行化简，然后代数式变形代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故选：A． 【题型6 分式运算的实际应用】 【例6】甲、乙两人骑自行车从相距s千米的两地同时出发，若同向而行，经过a小时甲追上乙；若相向而行，经过b小时甲、乙相遇．设甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，则用字母a，b表示为 ． 【答案】 【分析】由同向而行，经过a小时甲追上乙可得，由相向而行，经过b小时甲、乙相遇可得，则①，②，求得，，即可得到． 【详解】解：由题意得，，， ∴①，②， ①＋②得，， 解得， ②－①得，， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的混合运算、加减法解二元一次方程组等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． 【变式6-1】有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　） A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 【答案】A 【分析】先求出每种方式草皮的面积，再5000元除以面积，即可得出答案；列出算式两种草皮单价之比为：，再求出即可． 【详解】解：方式一种植草皮每平方米的单价是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝（元）； 方式二种植草皮每平方米的单价是5000÷（x2﹣4a2）＝＝（元）， ∵x+2a＞x﹣2a， ∴＞， ∴用方式一比用方式二种植草皮的单价高， 两种草皮单价之比为： ＝• ＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式与分式的混合运算的应用，解此题的关键是能关键题意列出算式，熟练进行计算． 【变式6-2】商家常将两种糖混合成“什锦糖”出售．对“什锦糖”的定价用以下方法确定： 若A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克（a≠b），则m千克的A种糖与n千克的B种糖混合而成的“什锦糖”单价为元． （1）当a=20，b=30时， ①将10千克的A种糖与15千克的B种糖混合而成的“什锦糖”单价为多少？ ②在①的基础上，若要将“什锦糖”单价提高2元，则需增加B种糖多少千克？ （2）若现有两种“什锦糖”：一种是由10千克的A种糖和10千克的B种糖混合而成，另一种是由100元价值的A种糖和100元价值的B种糖混合而成，则这两种“什锦糖”的单价哪一种更大？ 【答案】（1）① “什锦糖”单价为26元．②设需增加B种糖25千克；（2）第一种“什锦糖”的单价更大． 【分析】（1）①代入m，n，a，b的值，即可求出结论；②设需增加B种糖x千克，根据总价=单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）利用单价=总价÷数量，求出两种“什锦糖”的单价，二者做差后即可得出结论． 【详解】（1）①=26（元）． 答：“什锦糖”单价为26元． ②设需增加B种糖x千克， 根据题意得：（26+2）（25+x）=25×26+30x， 解得：x=25． 答：需增加B种糖25千克． （2）第一种“什锦糖”的单价为； 另一种“什锦糖”的单价为． ． ∵a+b＞0，（a﹣b）2＞0， ∴﹣， ∴． 答：第一种“什锦糖”的单价更大． 【点睛】本题考查了分式的混合运算、列代数式、代数式求值以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①代入m，n，a，b的值，求出单价；②找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）利用单价=总价÷数量求出两种“什锦糖”的单价． 【变式6-3】如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为的橙汁和苹果汁（如下操作，果汁均不溢出）． （1）当时，从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为 ； （2）把两杯中的果汁进行如下操作： 第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为 第二步：从乙杯取出混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，则 . 【答案】 1 【分析】本题主要考查了列代数式，分式混合运算的应用； （1）根据题意列出代数式即可； （2）第一步：根据题意列出代数式即可； 第二步：先求出此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，即可求出结果． 解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 【详解】解：（1）从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁混合果汁的体积比为：； 故答案为：； （2）第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为：； 第二步：从乙杯取出混合果汁，则此时混合果汁中含有苹果汁：， 即此时甲杯中含苹果汁； 此时乙杯中含橙汁， 即此时乙杯中含橙汁， ∴． 故答案为：；1． 【题型7 分式的大小比较】 【例7】（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）已知，用两种不同的方法比较的大小； （2）若，则_____，______（写出一组符合题意的值即可）． 【答案】（1）；理由见解析；（2）3；2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握分式运算法则． （1）用作差法和作商法比较大小即可； （2）根据写出一组符合题意的a、b的值即可． 【详解】解：（1）方法一：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 方法二：， ∵， ∴，，， ∴， ∴； （2）当，时，，， ∵， ∴，符合题意． 【变式7-1】若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【答案】A 【分析】通过作差法比较即可． 【详解】解： ， 故二者不相等； 当时，，前者较大； 当时，，后者较大． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式运算，掌握作差法，分式的加减运算是解题的关键． 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，． (1)当时，比较A与B的大小，并说明理由： (2)设，若m为整数，则正整数y的值为______． 【答案】(1)，理由见详解 (2)y的值为4或3或1 【分析】本题考查了分式的求值，分式的加减计算： （1）利用作差法得到，由，可得出； （2）先求出，再由y为正整数，得到或或，解之即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， 又， ， 即， （2）， m为整数，y为正整数， 或或， 或或， y的值为4或3或1． 【变式7-3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． (1)若，试判断： （填“”“”或“”）． (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）计算两式之差 ，根据差值的符号进行判断； （2）化简 ，由 可得 ，进而求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 则， ∴， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ， ， ∴， ． 【题型8 分式的最值】 【例8】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 【变式8-1】分式可取的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先把分式化为，根据完全平方公式的非负性得出即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴最大． 故选：D． 【点睛】本题考查裂项法把分式分成有理数与分式两部分，非负数性质，解题的关键是掌握裂项法把分式分成有理数与分式两部分，非负数性质． 【变式8-2】若，且，则下列说法正确的是（     ） A．有最小值 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最小值 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式除法运算，解不等式，先根据，得出，根据，得出，根据，得出当时，有最大值求出最大值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为：， ∴有最小值． 故选：D． 【变式8-3】观察分式变形过程：，其中“○”“□”“◇”分别盖住了一个整数. （1）“○”“□”“◇”表示的整数 ；（填“相同”或“不相同”） （2）当时，的最小值为 . 【答案】 相同 【分析】（1）根据分式变形步骤分别求出各个符号盖住的值即可得出结果； （2）将分式按照题干方法变形求解即可． 【详解】解：（1）， ∴， 故答案为：相同； （2）， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查分式的化简变形，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 【题型9 分式运算的规律探究】 【例9】（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，分式的加法计算，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据题目中等式的特点，可以写出第6个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 第6个等式：． （2）解：猜想第n个等式为，证明如下： 等式左边 ， ∴此时等式左右两边相等，即等式成立． 【变式9-1】观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【答案】 【分析】先根据已知等式归纳类推出，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，归纳类推得：， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出是解题关键． 【变式9-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上面的规律归纳出一个一般的结论 （用含n的等式表示，n为正整数）． 【答案】 【分析】此题考查了解决数式变化规律问题的能力，关键是能通过正确地观察、猜想、证明得到问题中蕴含的规律．通过前4个等式的规律可得此题结果． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第个等式为 ， 故答案为：． 【变式9-3】（2025·安徽芜湖·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： …． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_______； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的规律变化，分式的加减运算；通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． （1）依次观察每个等式，可以发现规律：等式左边为从3开始的连续的奇数减去一个分子为序号、分母比分子大1的数，等号的右边为1加上分子为等式左边的奇数乘以序号的数；按照此规律即可求解； （2）把上面发现的规律用字母表示出来，并运用分式的加减运算法则计算等式左右两边，进而得到左右相等便可． 【详解】（1）解：第6个等式：， 故答案为：． （2）解：猜想第n个等式： 证明：∵左边 右边 右边， ∴． 故答案为：． 【题型10 分式运算的新题型】 【例10】规定一种新的运算“JQx→+∞”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，JQx→+∞；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞的值为A和B的最高次项的系数的商；当A的次数大于B的次数时，JQx→+∞不存在．例：JQx→+∞＝0，JQx→+∞．若，则JQx→+∞的值为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】先对进行计算，然后再根据规定的新运算，解答即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝， ∴A的次数等于B的次数， ∴JQx→+∞＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，以及分式的混合运算，理解已知规定的新运算是解题的关键． 【变式10-1】定义：若两个分式A与B满足：，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． 根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、均为不等于的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 【变式10-2】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】（一）（）②；（）的值为或；（二）（）①②③；（），；（）． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （一）（）由“和谐分式”的定义求解即可； （）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （二）（）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （）由原式，再整理可得； （）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”， 故答案为：②； （）∵为“和谐分式”， ∴或或，， ∴或或或， ∵a为正整数， ∴或， 当时，为“和谐分式”， 当时，为“和谐分式”， ∴的值为或； （二）（）①，是和谐分式； ②是和谐分式； ③，是和谐分式． 故答案为：①②③． （）， 故答案为∶，． （） ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或或， 又∵分式有意义时、、、， ∴． 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 2 / 30 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