黑龙江省哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. 13. 14. 15. (1) （2） 16.（1）抛物线的标准方程为； （2）设 和 到焦点的距离分别为：， 所以 17.（1） （2）（i）由直方图可得日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生占的比例为，分层抽样抽取的8人中运动积极型学生有人，其他2人， 由题意可知：Y的可能取值有1，2，3， 则，，， 故Y的分布列为 Y 1 2 3 P 所以数学期望； （ii）, 18.(1) （2）易知直线斜率不为0，设直线， 则化简得，则，则 19.（1）因为椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，所以四边形为菱形，为其中心点，又，坐标分别为，，可得直线方程为，则原点到直线的距离为，即圆的半径，故圆的标准方程为． （2）设，，，，所以， 结合可得，， 设以AB为直径的圆上的点，则，，，化简得， 令，则，解得或， 所以该圆恒过异于F的定点． （3）设直线PM方程为，由直线PM与圆相切，可知原点到直线PM的距离，整理可得，将直线PM方程代入椭圆可得，， 整理即有，设，，则， 即，故，同理，，故、、三点共线，则， 设代入椭圆方程可得，则，故， 同理，，从而，， 所以，，得， 因此，，当且仅当时等号成立，故三角形PMN面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $哈尔滨市第六中学校2024级高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。) 1.抛物线y=4x的焦点坐标为() 3 .0 D. 03 2.“m>-1”是“方程 2 =1表示双曲线”的() m-32+1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在(2+3x)的展开式中，含x2的项的二项式系数为() A.6 B.16 C.24 D.216 4.A,B,C三所大学发布了面向高二学生的冬令营招生计划，每位学生只能报一所大 学.某中学现有四位学生报名，若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共 有() A.30种 B.36种 C.72种 D.81种 5.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C与抛物线y2=16x的准线交 于A,B两点且AB=4V3,则双曲线C的实轴长为() A.√2 B.2 C.22 D.4 6.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年 级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，40%，30%，35%且这三个年级的教 师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率 为() A.0.35 B.0.32 C.0.45 D.0.36 7.已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必 竖过椭圆的另一焦点.设椭圆C:+,1(a>b>0)的左、右焦点分别为R,乃，如 图所示，从F发出的光线，经C上的点A反射后，反射光线再经C上的点B反射.若经过 这两次反射后，AR上BR,且cos∠ABR=,则C的离心率为() A A5B.5 c D.5 第1页共4页 8.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线I过焦点F与C交于A,B两点，以AB为直径 的圆与y轴交于D,E两点，且DE=AB,则直线I的斜率为（） A.3 B.±1 C.±2 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分。) 9.下列说法正确的是() A.成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数”的值越接近于1 B.随机变量X服从正态分布N(1,o2),P(X>1.5)=0.34,若P(X<a)=0.34,则 a=0.5 C.由两个分类变量X,Y的成对样本数据计算得到x2=8.612,依据a=0.005的独立性 检验（s=7.879),可判断X,Y独立 D.已知y关于x的经验回归方程为)=0.3-0.7x,则样本点(3，-4)的残差为-2.2 10.已知曲线C:亡+上=1，点P是曲线C上一点，直线1与曲线C交于不同的两点M、 6 N,点9)为线段N的中点，则下列说法正确的是() A.曲线C的长轴长为2√6 B.点P到直线x-y-1=0的最大距离是2-2 C.直线l的方程为3x+y-2=0D.若A(-2,0),则AP最大值是2+√2 1.已知双鱼我C票茶-=1a>0b>0)的一条新证线的领斜角为名点P为c上位于 第二象限内的一点，F,F,分别为C的左、右焦点，若△PFF,内切圆的圆心为I(-3,m), 则() A.点到渐近线的距离为3 B.若A2√3,2，则PF+PA最小值是2V13+6 C.当m=2√3-3时，△PF,的面积为2W3 D.若O为坐标原点，则PPF-|PO=-6 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为 13.已知双曲线E-X1a>0,b>0,直线I:y=2x+1,若直线1与双曲线B的 两个交点分别在双曲线的两支上，则双曲线E的离心率的取值范围是 第2页共4页 14.设抛物线焦点为F,准线与对称轴交于点E,过F的直线交抛物线于A,B两点， 对称轴上一点C满足CA=38E,若△4C℉的面积为y5,则F到抛物线准线的距离 为 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步 骤.) 15.(13分) (1)已知直线1经过直线4x+3y+2=0和2x+y+2=0的交点且与直线2x+3y-1=0垂 直，求直线1的方程： (2)求圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线x-y+2=0对称的圆的方程 16.（15分) 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点Q1,2).过该抛物线的焦点F且斜率 为1的直线1，与抛物线相交于A,B两点. (1)求抛物线的标准方程和线段AB的长； 1 (2)求丽+BF的值 17.（15分) 体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生 进行调查，并绘制频率分布直方图如下： 频率/组距 0.035 0.030 0.015 0.010 0203040506070日均时长/分钟 (1)估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数； (2)若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”， (1)采用分层随机抽样抽取8人，再从这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学 生人数为X,求X的分布列和数学期望； (11)用样本估计总体，从本市任选4名学生，求这4名学生中运动积极型学生个数Y 的期望与方差. 第3页共4页 18.(17分) 在平面直角坐标系中，已知动点P与A〔-20以200)两点连线的斜率之积是号 (1)求动点P的轨迹曲线C的方程： (2)过点(-1,0)的直线1，交曲线C于M,N两点，记直线AM,BN的斜率分别为k,k2, 试判断会是有为定位，素为定值，求出漫定位 19.(17分) 已知椭圆C:,中 -+y2=1的左右顶点为A,A2,上下顶点为B,B2,记四边形ABA,B2的内 切圆为C (1)求圆C2的标准方程； (2)已知艇圆C的右焦点为”，若C上两点4B满足+5-5：≠)，且 3 FA上FB.求证：以AB为直径的圆恒过异于点F的一个定点； (3)己知P为椭圆C上任意一点，过点P作圆C,的切线分别交椭圆C于M,N两点，试 求△PMN面积的最小值. B M B2 第4页共4页