精品解析：江苏省镇江市实验高级中学、茅以升中学等六校2025-2026学年高三上学期1月阶段性监测数学试题

2025-2026学年第一学期高三年级阶段性监测 数学试卷 2026.1 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则复数的虚部为（ ） A. 17 B. －17 C. 23 D. －23 3. 已知是等差数列的前项和，若，，则 A. 40 B. 14 C. 36 D. 80 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A. B. 252 C. D. 28 7. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论错误的是（ ） A. 两个变量的相关性越强，相关系数越大 B. 利用样本点求经验回归方程，则样本点可能都不在回归直线上 C. 对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D. 在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍） 10. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（ ） A. B. 以为直径的圆与准线相切 C. 直线斜率为 D. 11. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则在上的投影向量的坐标为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 焦点为的抛物线的标准方程为___________． 13. 若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 14. 血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为___________小时． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.） 15. 在中，角、、的对边分别为、、，. （1）求角的大小； （2）若，，求. 16. 已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前项和． 17. 如图，在三棱锥中，平面，D是AC的中点，平面平面PAC，且． （1）求证：； （2）求平面PAC与平面PBC的夹角的余弦值． 18. 对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. （1）判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； （2）若函数与“局部相等”，求实数m的值； （3）对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三年级阶段性监测 数学试卷 2026.1 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意得， 故选：D. 2. 设复数，则复数的虚部为（ ） A. 17 B. －17 C. 23 D. －23 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的乘法运算求得复数的代数式为，即可知虚部 【详解】∵ ∴复的虚部为－17 故选：B 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，由复数的代数式确定虚部 3. 已知是等差数列的前项和，若，，则 A. 40 B. 14 C. 36 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可得公差d，从而得到前5项和. 【详解】设等差数列的公差为， . 故选A 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出两直线垂直时参数值，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件， 故选：B． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式及余弦二倍角公式即可求解. 【详解】由题意得，． 故选：A 6. 已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A. B. 252 C. D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解. 【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故， 展开式中的系数为， 故选：B 7. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的性质结合勾股定理求出关系后计算离心率. 【详解】设，则，， 易得，故， 故在中，，故． 故选：D 8. 设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①由得，符合题意；②构造函数，分析函数单调性可知不具有性质；③由可知具有性质；④构造函数，求导分析单调性可知不具有性质. 【详解】①，令，解得(舍去)或， 存在非零实数，使得. ②，令 结合指数函数的单调性，在定义域内单调递减，，故无其他零点， 不存在非零实数，使得. ③，存在，使得. ④， ，在上单调递增，又，故无其他零点， 不存在非零实数，使得. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论错误的是（ ） A. 两个变量的相关性越强，相关系数越大 B. 利用样本点求经验回归方程，则样本点可能都不在回归直线上 C. 对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D. 在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍） 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相关系数、回归方程、的实际意义判断A、B、C；利用卡方公式判断D. 【详解】A，两个变量的相关性越强，越大，A错误； B，由经验回归方程的实际意义，样本点有可能都不在直线上，B正确； C，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越小，C错误； D，若，每个数据都变为原来的2倍， 则，D正确． 故选：AC 10. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（ ） A. B. 以为直径的圆与准线相切 C. 直线斜率为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作图，利用抛物线的定义，结合直角三角形的性质以及圆与直线的位置关系，可得答案. 【详解】由题意，不妨设在第一象限，分别过作垂直于准线，垂足分别为，作图如下： 对于A，由图可知，， 在中，由，则， 易知，在中，， 由，则为线段的中点，即在中，， 所以，故A正确； 对于B，由A易知，由，则， 即，所以以为直径的圆的半径， 在直角梯形中，中位线的长度为， 则以为直径的圆的圆心到准线的距离，故B正确； 对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为， 当在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】确定是否共线判断A；由空间向量垂直的坐标表示判断B；求出向量夹角判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，当时，，显然不共线，因此与平面不垂直，A错误； 对于B，由，得，则，即，B正确； 对于C，当时，，则，C正确； 对于D，当时，，， 因此在上的投影向量为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 焦点为的抛物线的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意设出抛物线的方程，再根据焦点坐标求出即可得出答案. 【详解】由题意设抛物线的方程为 ， 由焦点为，则，则， 所以抛物线的方程为：. 故答案为：. 13. 若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 【答案】23 【解析】 【分析】先计算得到四个字的全排列，减去不满足题意的即可. 【详解】“我爱中国”,这四个字的全排列有种，其中有一种是正确的，故错误的有23种. 故答案为23. 【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法： （1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”； （2）元素相间的排列问题——“插空法”； （3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”； （4）带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题——间接法． 14. 血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为___________小时． 【答案】 【解析】 【分析】设检测第次时，给药时间为，根据等差数列的定义得，设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为，根据等比数列的定义得，进而求得，即可求给药时间. 【详解】设检测第次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以， 设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为， 则数列是首项为，公比为0.4的等比数列，所以， 令，即，解得， 当血药浓度为峰值的时，给药时间为． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.） 15. 在中，角、、的对边分别为、、，. （1）求角的大小； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用平面向量数量积的定义可求得的值，然后利用余弦定理可求得的值. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理可得， 因为、，则，所以，，则， 故. 【小问2详解】 解：由平面向量数量积的定义可得，可得， 由余弦定理可得， 解得. 16. 已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案； （2）利用（1）的结论化简，利用裂项求和法即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 即得，则， 即，可得，由于，故得， 则，故； 【小问2详解】 由（1）结论可得 ， 故的前项和 . 17. 如图，在三棱锥中，平面，D是AC的中点，平面平面PAC，且． （1）求证：； （2）求平面PAC与平面PBC的夹角的余弦值． 【答案】（1）如图，过作于，因为平面平面， 平面平面， 平面， 所以 平面. 因为平面，所以； 因为 平面，平面， 所以，，平面， 所以 平面， 平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，由面面垂直的性质定理可证明 平面，从而可得，再由 平面得到，即可证得 平面，进而证明； （2）以为原点，过与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，求平面和平面的法向量，利用两个平面夹角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 平面，所以，以为原点，过与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，如图：建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则. 因为 平面，取平面的一个法向量为， ， 所以平面PAC与平面PBC的夹角的余弦值为. 18. 对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. （1）判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； （2）若函数与“局部相等”，求实数m的值； （3）对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 【答案】（1） ， 根据题意可令，解得， 所以函数与是“局部相等”； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）求出两函数的导函数，根据题意列方程解出值，即可得出答案； （2）求出两函数的导函数，根据题意列方程解出值，即可得出答案； （3）求出两函数的导函数，根据题意列方程，消去n可得关于的不等式有解，设，求导研究单调性，画出图象，即得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 若函数与“局部相等”， 则，解得，； 【小问3详解】 根据题意可得关于m的不等式：有解， 消去n可得关于的不等式有解， 设，所以， 所以的符号为： 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且时，；时，， 所以 所以 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）分别讨论直线斜率是否存在的情况，若直线斜率存在，设直线，与椭圆联立方程组，可得，同理与联立可得，利用向量数量积的坐标公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ，，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. 【小问2详解】 直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. 【小问3详解】 由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $