专题04一次函数应用核心讲义(核心考点+压轴题型梳理+分层专练+期末冲刺)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学一次函数应用核心讲义通过分类梳理7大常考题型，以表格形式呈现各题型核心公式与等量关系，结合解题步骤框架图构建知识脉络，突出分配方案、最大利润等重点题型的内在逻辑与方法关联。 讲义亮点在于分层专练设计与实际问题建模指导，如以“健身器材购买”典例引导学生用数学眼光抽象变量关系，通过“行程问题函数图像”培养几何直观与推理能力，基础巩固与能力提升题组满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生模型意识与应用能力。

专题04一次函数应用核心讲义 题型梳理 1.一次函数应用：分配方案问题 2.一次函数应用：最大利润问题 常考题型 3.一次函数应用：行程问题 4.一次函数应用：梯度计价问题 5.一次函数应用：其他实际应用 6.一次函数应用：动点问题 精讲精炼 7.一次函数与几何综合 基础 单选题（⑥ 填空题（⑤） 分层 巩固 解答题（⑤） 专练 能力 单选题（⑤） 填空题（⑤） 提升 解答题(4) 核心解题步骤 1.审题建模 通读题干，找出两个相关的变量，判断自变量x和因变量y;根据题意确定两个变 量满足一次函数关系y=kx+b(k≠0)。 2,求解析式 从题干中提取两组x、y的对应值： 将两组值代入y=kx+b,得到关于k、b的二元一次方程组： 解方程组求出k、b的值，回代得到函数解析式。 3.确定定义域 根据实际问题的意义，确定自变量x的取值范围（定义域） 4.解决问题 若已知自变量x的值，代入解析式求因变量y; 若已知因变量y的值，代入解析式解方程求自变量x: 涉及最值或范围问题时，结合定义域和一次函数的增减性(k>0时y随x增大而增 大，k<0时相反)分析。 5.检验作答：检查计算结果是否符合实际意义，最后写出完整的答案。 知识梳理+题型精析 试卷第1页，共3页 【题型01.一次函数应用：分配方案问题】 一、核心公式（对应ykx+b) 总费用/成本总费用=单位成本×分配数量+固定成本(k=单位成本，x=分配 数量，b=固定成本，无则为0) 总工作量/产量总产出=单位效率×分配数量+基础产出(k=单位效率，x=分 配数量，b=基础产出，无则为0) 总利润总利润=单位利润×分配销量-固定成本(k=单位利润，X=分配销 量，b=固定成本，无则为0) 二、核心等量关系（约束条件） 总量守恒：各类分配数量之和=总资源/总任务量 配套约束：甲数量×配套比=乙数量 预算约束：总费用≤预算金额 非负整数：分配数量≥0（人数、台数等需为正整数） 【典例】为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经 调查，某公司有A,B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价为1.8万元，每套B 型健身器材售价为2万元，经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免 0.5万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七折.学校想购进A,B两种健身器材共 100套，若A型健身器材买x套，共花费y万元. ()请求出y与x的函数关系式： (2)若A型健身器材的数量不超过55套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【跟踪专练1】为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购 进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460 元. (1)求篮球和排球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价 为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商 场所有购买方案获利相同，求m的值， 【跟踪专练2】甲地有木材300吨，乙地有木材400吨.现将两地木材全部运往A、B两木 艺加工厂，其中A厂需木材360吨，B厂需木材340吨.设从甲地运x吨木材到A厂( 试卷第2页，共3页 0≤x≤300)，从甲地运往两木艺厂的总运费为”元，从乙地运往两木艺厂的总运费为” 元. 运费表 运入地 运费 A厂 BI (元/吨) 运出地 甲地 30 40 乙地 10 15 ()木材运输配送表如下，请你填空（用含x的式子表示）： 甲地 乙地 A厂 x ② B厂 ① ③ ① :②；③ 2请分别求出小”与之间的函数关系式： (③)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费片不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用 (即两地运往两木艺厂的总费用之和)最少，并求出全部运输费用的最小值. 【题型02.一次函数应用：最大利润问题】 一、核心公式 总利润y=单位利润×分配销量-固定成本对应一次函数y=kx+b k=单位利润（单件产品赚的钱，正数） x=某类产品分配销量（自变量，受约束条件限制） b=-固定成本（无固定成本时b=0) 二、约束条件（确定x的取值范围） 总量约束：多种产品销量之和≤总产能/总进货量 配套约束：有配套需求时，甲销量×配套比=乙销量 非负整数约束：销量x心0，且为正整数（实际销量不能为小数、负数） 三、求最大利润的关键步骤 根据题意列总利润函数y=kx+b 试卷第3页，共3页 找所有约束条件，解出x的取值范围（如a≤x≤b) 看k的正负： k>0:y随x增大而增大一取x的最大值时，利润最大 k<0:y随x增大而减小→取x的最小值时，利润最大 A.B 【典例】某公司每月销售 两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下 表 型号 A 成本/（万元 3 5 台) 售价1（万元 4 台) (1)设该公司每月销售A型号设备台，则每月销售B型号设备 台，每月共获得利润 万元.（用含x的代数式表示，结果需化简） A,B (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进 两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润， 【跟踪专练1】某鲜花经销商计划购进A、B两种类型的鲜花共200束，设购进A种鲜花x 束，销售完这200束鲜花的总利润为y元.鲜花的进价和售价如表所示： A B 进价（元/束） 45 60 售价（元/束） 80 100 ()求y与x之间的函数关系式； (2)该经销商计划最多投入10500元用于购进这两种鲜花，购进多少束A种鲜花，该经销商 售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 【跟踪专练2】扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展 带动了当地旅游相关产业的发展.某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80 件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价1（元/件） 销售价/（元/件) 甲种布料 60 100 试卷第4页，共3页 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙 两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不 超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润 为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大 利润是多少元？ 【题型03.一次函数应用：行程问题】 一.核心公式（对应ykx+b) 1.路程模型 路程s=速度v×时间t 对应一次函数：s=vt(无初始路程时b=0;有初始路程so时，s=vt+s0) kV(速度，匀速时为定值) x=t(时间，自变量) y=s(总路程，因变量) 2.相遇问题总路程 总路程S=vt+v2t(相向而行，同时出发) 对应一次函数：S=(v1+v2)t(k=v1+v2,速度和) 3,追及问题路程差 路程差△s=(v快-v慢)t(同向而行) 对应一次函数△s=(v快-v慢)t(k=v快-v慢，速度差) 二、核心等量关系（约束条件） 相遇问题：vt+vt=初始距离 追及问题：v快t-v慢t=初始路程差 时间约束：分段行程中，各段时间之和=总时间 速度约束：实际速度≤限速（或≥最低速度） 非负约束：时间心0，路程s≥0 【典创已知4，B两地相距80km,甲、乙两人沿同一条道路从A地到达B地.如图，，凸 试卷第5页，共3页 分别表示甲、乙两人离开A地的距离km)与时间)之间的关系 s/km 100 80 60 40 20 0 123456i (1)在甲出发 h时，两人相遇，这时他们离开A地 km; (2)甲的速度是 km/h,乙的速度是km/h; (3)乙从A地出发 h时到达B地 【跟踪专练1】甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200千米外的B地行驶，甲在途中 休息了3小时，休息后以新的速度匀速驶向B地，最后两车同时到达B地，如图，为甲、 乙两车距A地的路程y(单位：千米)与乙车行驶时间x(单位：小时)之间的函数图象. y/千米 1200 甲： 600- a7.59 x/小时 ()甲车休息前的行驶速度为 千米小时，乙车的速度为 千米小时： (2)求甲车休息后距A地的路程y与x之间的函数关系式： (3)①求两车第一次相遇的时候x的值： ②直接写出第二次相遇后多长时间甲车与乙车相距40千米， 【跟踪专练2】一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地.快车到达乙地后停 留1小时，沿原路以原速返回甲地。快、慢两车到甲地的距离川km与行驶时间的函 数关系如图（折线O-B-C-D为快车，线段OA为慢车）： 试卷第6页，共3页 400 A 0 45 (1)甲、乙两地相距 km,快车速度是 kmh,慢车速度是 km/h (2)求图中点E的坐标： (3)请求出慢车出发多长时间后，两车相距150km? 【题型04.一次函数应用：梯度计价问题】 一、 核心公式（对应y=kxb,分档计算） 梯度计价（如水电费、话费、税费）的核心是分段计费，总费用y是用量x的分段 一次函数。 设分档临界点为m(如第一档最多用m度电)，两档单价分别为k、k2(k>k): 1.当0sx≤m时y=kx(无固定费用，b-0:k=k为第一档单价) 2.当x>m时 y=kim+k2(x-m)=k2x+(kim-k2m) (k=k2为第二档单价，bmk1-k2)为固定差值项) 多档拓展：三档及以上时，总费用=前几档固定费用+超出部分×当前档单 价。 二、核心等量关系（约束条件） 1.分档临界关系：用量x以临界点m为界，分档计算费用 2.总费用关系：总费用=各档费用之和 3.非负约束：用量x心0，费用y≥0 【典例】为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费.具 体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 试卷第7页，共3页 (1)若设居民每月的用水量为x立方米，每月所需的水费为'元.请写出超过15立方米不超 过30立方米部分、超出30立方米部分y与x的函数关系式： (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【跟踪专练1】某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民 每月应交水费y（元)与用水量x(吨)之间的函数关系如图所示.请你观察函数图象，回 答下列相关问题. 元 49 25 O 1015x/吨 (1)若用水不超过10吨，水费为 元/吨； (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式： (3)若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【跟踪专练2】为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费.现 提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x(度) 电价（元/度） 第一档： 0<x≤200 0.66 第二档：200<x≤400 0.71 第三档：x>400 0.98 本月实用金额：167.5 (大写)壹佰陆拾柒元伍角 (元) 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示，当200<x≤400时，求出实付额 y元与月用电量x度之间的函数关系式： (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量： (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 试卷第8页，共3页 【题型05.一次函数应用：其他实际问题】 一.工程问题 1.核心公式 总工作量y=效率k×时间x+初始工作量b 合作时：y=(k+k2+..+k)x(b=0) 2.等量关系 总工作量=各部分工作量之和 合作时间相同或满足题干比例 3.解题关键：设总工作量为1，列函数找时间/效率 二、溶液配比问题 1核心公式：溶质质量y=浓度k×溶液质量x+初始溶质b 混合时：y=kx1+k2x2(b=0) 2.等量关系 混合后溶质总质量=各溶液溶质之和 混合后溶液总质量-各溶液质量之和 3,解题关键：抓溶质守恒，列函数求浓度/质量 三、方案选择问题 核心公式方案1：y1=kx+b1方案2：y2kx+b2 等量关系费用相等临界点：y1y2求x0 【典例】某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费： 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折， 设运动次数为x,所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图. y元 套餐一 300 套餐二 100 20x/次 (I)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式： (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？ 试卷第9页，共3页 (3)小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由. 【跟踪专练1】利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式： (%,+小=M(a+八，其中秤盘质量m克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘 的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为α厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘 米.如图，秤盘与零刻度线的距离AC为3厘米，零刻线与末刻线的距离CD为50厘米， 秤盘质量”m,-1 克，秤砣质量M=50克.某兴趣小组利用等式 m+1=M-(a+制 作简易杆秤. 秤纽 杆秤示意图 B ) 线 秤砣 裂 重物 秤盘 (1I)确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l,α的值： (2)确定杆秤的最大称重质量：根据(1)中l,a的值，求y关于x的函数表达式，并求杆秤 的最大称重质量： (3)制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段CD平均分成10份（格），标注 刻度值，则点E处应标注的刻度值为克. (4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了100克的秤砣进行称重，称得重物的质 量为400克，则该重物的实际质量为_克. 【跟踪专练2】为庆祝中国共产党成立104周年，我校开展了演讲比赛，为奖励在演讲比 赛中获奖的同学，学校派小明为获奖同学买奖品，要求每人一件，小明到文具店看了商品 后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择，如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元：如果买 3个笔记本和1支钢笔，则需57元. ()求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ (2)售货员阿姨提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分 可以享受8折优惠，若买x(x>I0,且为整数)支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函 试卷第10页，共3页 专题04一次函数应用核心讲义 常考题型 精讲精炼 1.一次函数应用:分配方案问题 2.一次函数应用:最大利润问题 3.一次函数应用:行程问题 4.一次函数应用:梯度计价问题 5.一次函数应用:其他实际应用 6.一次函数应用:动点问题 7.一次函数与几何综合 分层 专练 基础 巩固 单选题(6) 填空题(5) 解答题(5) 能力 提升 单选题(5) 填空题(5) 解答题(4) . 1.审题建模 通读题干，找出两个相关的变量，判断自变量 x 和因变量 y；根据题意确定两个变量满足一次函数关系 y=kx+b（k≠0）。 2.求解析式 从题干中提取两组 x、y 的对应值； 将两组值代入 y=kx+b，得到关于 k、b 的二元一次方程组； 解方程组求出 k、b 的值，回代得到函数解析式。 3.确定定义域 根据实际问题的意义，确定自变量 x 的取值范围（定义域） 4.解决问题 若已知自变量 x 的值，代入解析式求因变量 y； 若已知因变量 y 的值，代入解析式解方程求自变量 x； 涉及最值或范围问题时，结合定义域和一次函数的增减性（k>0 时 y 随 x 增大而增大，k<0 时相反）分析。 5.检验作答:检查计算结果是否符合实际意义，最后写出完整的答案。 【题型01.一次函数应用:分配方案问题】 一、核心公式（对应 y=kx+b） 总费用 / 成本总费用 = 单位成本 × 分配数量 + 固定成本（k=单位成本，x=分配数量，b=固定成本，无则为 0） 总工作量 / 产量总产出 = 单位效率 × 分配数量 + 基础产出（k=单位效率，x=分配数量，b=基础产出，无则为 0） 总利润总利润 = 单位利润 × 分配销量 - 固定成本（k=单位利润，x=分配销量，b=固定成本，无则为 0） 二、核心等量关系（约束条件） 总量守恒：各类分配数量之和 = 总资源 / 总任务量 配套约束：甲数量 × 配套比 = 乙数量 预算约束：总费用 ≤ 预算金额 非负整数：分配数量 ≥ 0（人数、台数等需为正整数） 【典例】为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 【跟踪专练1】为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元． (1)求篮球和排球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值． 【答案】(1)篮球的价格为元，排球的价格为元 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组和一次函数解析式． （1）设篮球的价格为元，排球的价格为元，根据购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进篮球个，总利润为元，列出关于的一次函数，根据所有购买方案获利相同，得到的值与无关，令的系数为，求出的值即可． 【详解】（1）解：设篮球的价格为元，排球的价格为元，由题意，得： ，解得：， 答：篮球的价格为元，排球的价格为元； （2）解：设购进篮球个，则购进排球个，设总利润为元，由题意，得：， 整理，得：， ∵商场所有购买方案获利相同， ∴的值与无关， ∴， ∴． 【跟踪专练2】甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 【答案】(1)①，②，③ (2)； (3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨， 【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意． （1）设从甲地运吨木材到厂，根据“甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨”列代数式即可； （2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可； （3）根据总运费得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意得，①，②，③， 故答案为：①，②，③； （2）解：由题意得，； ； （3）解：因为，即， 可得， 得， 又， 得． ∵， 一次函数中，， 故随增大而减小， ∴内，取最大值120时，总最小． 故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨， 所以（元）． 【题型02.一次函数应用:最大利润问题】 一、核心公式 总利润 y=单位利润×分配销量−固定成本对应一次函数 y=kx+b k=单位利润（单件产品赚的钱，正数） x=某类产品分配销量（自变量，受约束条件限制） b=−固定成本（无固定成本时 b=0） 二、约束条件（确定x的取值范围） 总量约束：多种产品销量之和 ≤ 总产能 / 总进货量 配套约束：有配套需求时，甲销量 × 配套比 = 乙销量 非负整数约束：销量 x≥0，且为正整数（实际销量不能为小数、负数） 三、求最大利润的关键步骤 根据题意列总利润函数 y=kx+b 找所有约束条件，解出x的取值范围（如 a≤x≤b） 看k的正负： k>0：y随x增大而增大 → 取x的最大值时，利润最大 k<0：y随x增大而减小 → 取x的最小值时，利润最大 【典例】某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元 【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． 【详解】（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． （2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 【跟踪专练1】某鲜花经销商计划购进、两种类型的鲜花共200束，设购进种鲜花束，销售完这200束鲜花的总利润为元．鲜花的进价和售价如表所示： A B 进价（元/束） 45 60 售价（元/束） 80 100 (1)求与之间的函数关系式； (2)该经销商计划最多投入10500元用于购进这两种鲜花，购进多少束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)购进100束A种鲜花，最大利润为7500元 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． （1）设购进种鲜花束，则购进种鲜花束，根据总利润，两种鲜花所得利润之和列出函数解析式； （2）先根据最多投入元用于购进这两种鲜花求出的取值范围，再根据函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：设购进种鲜花束，则购进种鲜花束， 根据题意得：， 与之间的函数关系式（，且整数）； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴ 对于， ， ∴随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为， 答：购进束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是元． 【跟踪专练2】扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件 (2)第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元 【分析】分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； 根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围， 确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件， 根据题意得：， 解得 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． （2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得： ， 随m的增大而增大， ， 当时，W有最大值， 此时件 答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元． 【题型03.一次函数应用:行程问题】 一.核心公式（对应 y=kx+b） 1.路程模型 路程 s=速度v×时间t 对应一次函数：s=vt（无初始路程时 b=0；有初始路程s0时，s=vt+s0） k=v（速度，匀速时为定值） x=t（时间，自变量） y=s（总路程，因变量） 2. 相遇问题总路程 总路程 S=v1t+v2t（相向而行，同时出发） 对应一次函数：S=(v1+v2)t（k=v1+v2，速度和） 3,追及问题路程差 路程差Δs=(v快−v慢)t（同向而行） 对应一次函数Δs=(v快−v慢)t（k=v快−v慢​，速度差） 二、核心等量关系（约束条件） 相遇问题：v1t+v2t=初始距离 追及问题：v快​t−v慢​t=初始路程差 时间约束：分段行程中，各段时间之和 = 总时间 速度约束：实际速度 ≤ 限速（或 ≥ 最低速度） 非负约束：时间t≥0，路程s≥0 【典例】已知两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从地到达地．如图，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系． (1)在甲出发______时，两人相遇，这时他们离开地______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)乙从地出发______时到达地． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查函数图象，解题的关键是根据函数图象得到基本的信息，然后进行求解即可． （1）根据图象可直接进行求解； （2）由图象可直接进行求解； （3）由图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由图象可得在甲出发时，两人相遇，这时他们离开地， 故答案为：，； （2）解：甲的速度是，乙的速度是， 故答案为：，； （3）解：乙从地出发时到达地， 故答案为：． 【跟踪专练1】甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200千米外的B地行驶，甲在途中休息了3小时，休息后以新的速度匀速驶向B地，最后两车同时到达B地，如图，为甲、乙两车距A地的路程y（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象． (1)甲车休息前的行驶速度为______千米/小时，乙车的速度为______千米/小时； (2)求甲车休息后距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)①求两车第一次相遇的时候x的值； ②直接写出第二次相遇后多长时间甲车与乙车相距40千米． 【答案】(1)， (2) (3)①；②第二次相遇后或小时甲车与乙车相距40千米 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先求出，再根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）求出总共所需时间为小时，当时，设甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为，将，代入解析式计算即可得出结果； （3）①根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果；②分两种情况：当甲车还在休息时甲车与乙车相距40千米；当甲车再次出发时甲车与乙车相距40千米；分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴甲车休息前的行驶速度为千米/小时； 乙车的速度为千米/小时； （2）解：（小时）， 当时，设甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴甲车休息后距A地的路程y与x之间的函数关系式； （3）解：①由题意可得：， 解得：， ∴两车第一次相遇的时候x的值为； ②由图象可得，当时，两车第二次相遇， 当甲车还在休息时甲车与乙车相距40千米，（小时）， 当甲车再次出发时甲车与乙车相距40千米，， 解得：， （小时）， 综上所述，第二次相遇后或小时甲车与乙车相距40千米． 【跟踪专练2】一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留1小时，沿原路以原速返回甲地．快、慢两车到甲地的距离与行驶时间的函数关系如图（折线为快车，线段为慢车）： (1)甲、乙两地相距______，快车速度是______，慢车速度是______； (2)求图中点的坐标； (3)请求出慢车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)400，100，40 (2) (3)慢车出发或或后，两车相距 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据图象及速度＝路程÷时间计算即可； （2）根据路程＝速度×时间分别求出线段、所在直线的函数关系式，二者联立建立关于和的二元一次方程组，求解即得点的坐标并描述其实际意义即可； （3）按照的取值范围，当两车相距时分别列方程并求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地相距， 快车速度是：， 慢车速度是：． 故答案为：400，100，40． （2）线段所在直线的函数关系式为：， 设线段所在直线的函数关系式为：， 将点代入，得，解得， ∴线段所在直线的函数关系式为：． 联立，解得， ∴点的坐标为：． （3）当时， ，解得； 当时， ，解得（舍去）； 当时， ，解得； 当时， 解得． 综上所述，慢车出发或或后，两车相距． 【题型04.一次函数应用:梯度计价问题】 一、核心公式（对应 y=kx+b，分档计算） 梯度计价（如水电费、话费、税费）的核心是分段计费，总费用y是用量x的分段一次函数。 设分档临界点为 m（如第一档最多用 m 度电），两档单价分别为 k1、k2（k2>k1）： 1. 当 0≤x≤m 时 y=k1x（无固定费用，b=0；k=k1为第一档单价） 2. 当 x>m 时 y=k1m+k2(x−m)=k2x+(k1m−k2m) （k=k2为第二档单价，b=m(k1−k2) 为固定差值项） 多档拓展：三档及以上时，总费用 = 前几档固定费用 + 超出部分 × 当前档单价。 二、核心等量关系（约束条件） 1.分档临界关系：用量 x 以临界点 m 为界，分档计算费用 2.总费用关系：总费用 = 各档费用之和 3.非负约束：用量 x≥0，费用 y≥0 【典例】为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 【跟踪专练1】某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨； (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式； (3)若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【答案】(1)2.5 (2) (3)该户居民8月共用水25吨 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出用水不超过10吨时，每吨的水费； （2）根据图象中的数据，可以计算出当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式； （3）先判断用水的范围，再代入一次函数计算即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 若用水不超过10吨，水费为（元/吨）， 故答案为：2.5； （2）解：设当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨， 将代入， 得， 解得， 答：该户居民8月共用水25吨． 【跟踪专练2】为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 【答案】(1) (2)小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． (3)元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系是解题的关键． （1）当时成一次函数关系，实付金额等于200度内的用电付出金额与超出200度的用电付出金额的和，据此列出y与x的函数关系式即可； （2）先计算出用电量200度和400度支付金额，即可确定用电量处于那一档；然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可解答． （3）根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：当时，则， 答：当时，y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵200度电费为：，400度电费为：， ， ∴小强家该月的用电量处于第二档， 令，则，解得：． 答：小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． （3）解：∵， ∴小强家本月用电量属于第三档， ∴ 元． 答：小强家这一个月实付金额元． 【题型05.一次函数应用:其他实际问题】 一.工程问题 1.核心公式 总工作量 y=效率k×时间x+初始工作量b 合作时：y=(k1+k2+…+kn)x（b=0） 2.等量关系 总工作量 = 各部分工作量之和 合作时间相同或满足题干比例 3.解题关键:设总工作量为 1，列函数找时间 / 效率 二、溶液配比问题 1.核心公式:溶质质量 y=浓度k×溶液质量x+初始溶质b 混合时：y=k1x1+k2x2（b=0） 2.等量关系 混合后溶质总质量 = 各溶液溶质之和 混合后溶液总质量 = 各溶液质量之和 3,解题关键:抓溶质守恒，列函数求浓度 / 质量 三、方案选择问题 核心公式方案 1：y1=k1x+b1​方案 2：y2=k2x+b2​ 等量关系费用相等临界点：y1=y2​求 x0​ 【典例】某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？ (3)小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由． 【答案】(1)套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； (2)去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； (3)300元去该体育馆办理套餐，选择套餐二更划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式． （1）设套餐一函数表达式为，设套餐二函数表达式为，根据图像，分别代入即可作答； （2）根据图像，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即，进而计算即可； （3）分别求出300元的套餐一和套餐二的健身次数，进而比较即可． 【详解】（1）解：设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为， 由题意，得， 解得， ∴， 设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为， 把点和点分别代入， 即， 解得， ∴， ∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； （2）解：根据题意，当时，两种套餐费用一样， 即：， 解得， 此时， ∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； （3）解：办套餐一时，， 解得， 办理套餐二时，， 解得， ∵， ∴300元去该体育馆办理套餐，选择套餐二更划算． 【跟踪专练1】利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式：，其中秤盘质量克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．如图，秤盘与零刻度线的距离为3厘米，零刻线与末刻线的距离为50厘米，秤盘质量克，秤砣质量克．某兴趣小组利用等式制作简易杆秤． (1)确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l，a的值； (2)确定杆秤的最大称重质量：根据（1）中l，a的值，求y关于x的函数表达式，并求杆秤的最大称重质量； (3)制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段平均分成10份（格），标注刻度值，则点E处应标注的刻度值为 克． (4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了100克的秤砣进行称重，称得重物的质量为400克，则该重物的实际质量为 克． 【答案】(1)， (2)，最大称重质量为1000克 (3)600 (4)810 【分析】本题主要考查一次函数的应用、解一元一次方程，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键． （1）由知，，再把，，，，代入，求出，； （2）将，，，代入，求得，当时可求出杆秤的最大称重质量； （3）求出每一刻度的称重，再乘以6即可； （4）先计算出称重时值的长度为，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把，，，，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：将，，，代入，得， ， 解得，； 当时，即， ∴， 即杆秤的最大称重质量是1000克； （3）解：克， 故答案为：600； （4）解：由（1）知，， 当重物质量为400克时，则有： ， 解得：， 而小组成员错误称量时，值的长度为，用了100克的秤砣进行称重， 所以有：， 解得，， 即物体实际重量为810克， 故答案为：810． 【跟踪专练2】为庆祝中国共产党成立104周年，我校开展了演讲比赛，为奖励在演讲比赛中获奖的同学，学校派小明为获奖同学买奖品，要求每人一件，小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择，如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． (1)求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ (2)售货员阿姨提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买（，且为整数）支钢笔需要花元，请你求出与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，小明决定买同一种商品做奖品，数量超过10个，售货员阿姨说无论你单买钢笔做奖品还是单买笔记本做奖品，所需付的钱是一样的，请问这次演讲比赛共有多少名同学获奖． 【答案】(1)每个笔记本14元，每支钢笔15元 (2) (3)这次演讲比赛共有15名同学获奖 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设每个笔记本元，每支钢笔元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每个笔记本元，每支钢笔元， 根据题意得 解得 答：每个笔记本14元，每支钢笔15元； （2）； （3）解：时， ， 答：这次演讲比赛共有15名同学获奖． 【题型06.一次函数应用:动点问题】 一、核心公式（对应 y=kx+b，坐标与路程转化） 1.动点坐标表示 设动点 P 从起点 (x0,y0) 出发，沿直线匀速运动，速度分量为 、，运动时间为 t： 横坐标：x=x0+vxt 纵坐标：y=y0+vyt（消去 t 可得动点轨迹的一次函数表达式） 2.动点路程计算 沿坐标轴运动：路程 s=∣v∣×t（v 为沿轴速度）沿直线运动：路程 s==​ 二、核心等量关系 1.坐标约束：动点坐标满足所在直线的一次函数解析式 2.路程约束：动点运动路程 = 速度 × 时间；分段运动时，总路程 = 各段路程和 3.特殊位置约束 动点到定点距离满足题干要求（如线段中点、等腰三角形顶点） 动点落在几何图形边界上（如三角形边上、坐标轴上） 【典例】已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？求点的坐标？ 【答案】(1) (2)时，或时， 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，图形与坐标，解题关键是掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质． （1）当时，是以为斜边的直角三角形，在中，分别令，，求出相应的与，从而可得，再根据点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，求出时间； （2）分、，分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，是以为斜边的直角三角形， 在中，分别令，， 得，． ， 点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动， ； （2）第一种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， 在直角三角形中，， ， ， ． ． 第二种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， ， ， ，． 【跟踪专练1】如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： (1)点P在上运动的时间为 s； (2)当t为 时，三角形的面积为． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】本题考查了一次函数和几何综合，动点问题的函数图象等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接根据函数图象上坐标，利用速度路程时间即可求解； （2）通过图象可知，的面积为．即，分别在和上代入即可求得答案． 【详解】（1）由图象可知，点P在上运动的时间为， 故答案为：6； （2）当P在上运动，即时，速度为，则， ， 的面积为，即时， ∴， ∴， 当P在上运动，的面积为，不符合题意， 当P在上运动，即时， 在上运动的速度为， ∴， ∴， ∵的面积为，即时， ∴， ∴， ∴当t为或时，的面积为． 【跟踪专练2】如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于3时，结合函数图象，求t的值． 【答案】(1) (2)图象见解析，函数的一条性质：该函数的最大值为6 (3)的值为或 【分析】（1）首先求出，求出点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒，然后分两种情况：①，先求出的长，再利用三角形的面积公式即可得；②，先求出的长，再利用三角形的面积公式可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先根据（1）的结论，画出两段一次函数的图象，再写出一条性质即可得； （3）分两种情况：和，求出时，的值即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， ①当时，点在上运动，则， ∴的面积； ②如图，当时，点在上运动，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 综上，． （2）解：列表如下： x 1 3 4 5 2 6 在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象如下： 该函数的一条性质：该函数的最大值为6． （3）解：当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，三角形面积，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 【题型07.一次函数与几何综合】 一、核心公式 1.一次函数 斜截式：y=kx+b 两点式求斜率：k=​​ 平行：k1=k2且 b1≠b2​ 垂直：k1k2=−1 2.几何计算（坐标法） 两点距离：d= 中点坐标：(,) 面积：割补法（用坐标算底和高） 二、核心等量关系 .交点坐标：同时满足函数解析式和几何图形边界条件 图形性质：等腰（两边等）、直角（勾股定理）、平行四边形（对边平行且相等） 面积相等：割补后各部分面积和 = 图形总面积 【典例】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，此时M点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上，； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象经过点． (1)求的面积． (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题． （1）把点代入求得，进而令，求得，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）设点的坐标为，则．根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得 点． 设一次函数的图象与轴交于点， 令，解得， ， ． （2）设点的坐标为，则． 由（1）可知， ， 解得． ∵点在轴的负半轴上， ，即点的坐标为． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，是线段上一点，将沿着折叠，点落在点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若点正好落在线段上，求点的坐标； (3)若，求点的坐标； (4)点是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用勾股定理求出，由折叠的性质得出，．设，则，，利用勾股定理解即可； （3）连接交于点E，由翻折可得：，，，根据求出点C的坐标，进而求出直线和直线的表达式，联立求出点E的坐标，最后根据中点公式可得点D的坐标； （4）分点P在上方与下方两种情况，添加辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得出相关线段的长度，即可求解． 【详解】（1）解：将、代入直线得： ， 解得： ， ∴； （2）解：如图， ∵、， ∴， ∴， 由折叠得：，． ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交于点E，    由翻折可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线的表达式为：，， 延长到，使，作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理，直线的表达式为：， 联立：解得：， ∴， ∵， ∴； （4）解：分两种情况： 若点P在直线的上方，令，轴于点M，如图， ，， 是等腰直角三角形，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， ， 设直线的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； 同理，若点P在直线的下方，构造，如图， 可得，直线的函数解析式为． 综上可知，直线的函数解析式为． 【点睛】本题考查一次函数的综合问题，坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两条直线的交点问题等，熟练掌握一次函数的图象和性质，以及分类讨论思想是解题的关键． 一单选题 1已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 2.甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像和性质． 根据图像信息分析结论即可． 【详解】A．由图像可判断，甲一小时走了，故甲的速度是，选项不符合题意． B．由图像可判断，乙4小时走了，故乙的速度是,选项符合题意． C．由图像可判断，乙先出发1小时，选项不符合题意． D．由图像可判断，乙比甲晚到地，选项不符合题意． 故选：B． 3.某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 4.“行走是吾乡”2025年河南省自行车公开赛进商圈系列赛走进新乡，将新乡的骑行氛围再度点燃．某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，x节链条总长度为，则y与x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数关系式，掌握题目中数量关系是正确解答的关键，根据链条的连接规律进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选： 5.定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据“励志点”的定义，点满足，构成一个正方形，一次函数经过点 ，且与正方形有交点，通过求直线经过正方形顶点时的k值，确定k的取值范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 即． ∴直线方程为． 当直线经过点时， 代入得， 解得； 当直线经过点时， 代入得 ， 解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即存在“励志点”． 故选：A． 6.如图①，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②，则的长为（    ） A．12 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、勾股定理，读懂函数图象是解题关键． 结合图象求出，利用线段中点的性质得出，再结合图象得出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：结合图象②可知，点， 当时，， 此时，， ∵点D是的中点， ∴， 由图②可知，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：B． 二填空题 7.甲和乙在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么下列结论正确的是 ．（填序号）①甲比乙先出发；②甲比乙先到终点；③甲速是乙速的2倍；④甲、乙所行路程一样多． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查行程问题，从图中获取所需信息是解题的关键． 根据图示可知，甲乙是同时出发的，所以①错；因为甲到达终点用时，乙到达终点用时，（由题意知），所以甲比乙先到终点，乙用时是甲的2倍，所以甲的速度是乙的2倍，所以②、③对；有图示可知，甲乙所行路程一样多，所以④对． 【详解】解：根据图示可知，甲乙是同时出发的，所以①错； 因为甲到达终点用时，乙到达终点用时，（由题意知），所以甲比乙先到终点，乙用时是甲的2倍，所以甲的速度是乙的2倍，所以②、③对； 由图示可知，甲乙所行路程一样多，所以④对． 答：正确的结论为②③④． 故答案为：②③④． 8．小李想在某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤（），付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，付款金额由两部分组成，前15斤按原价计算，超过部分打8折，据此列出函数关系式即可；本题考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意，前15斤的费用为（元）， 超过15斤部分的费用为（元）， 因此； 故答案为：． 9．徐州市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则所付车费（元）与出租车行驶的路程（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列出关系式，再化简即可．根据出租车收费规则，当行驶路程超过3千米时，车费由起步价8元和超过部分每千米2元的费用组成，由此列出函数关系式并化简． 【详解】解：由题意，． 故答案为：． 10．标有刻度的线香在古代主要用于计时，通常被称为“更香”或“计时香”，其原理是基于线香燃烧速度的相对稳定性，根据香燃烧的长度来估算时间．已知某型号线香燃烧过程中剩余长度与燃烧时间t（分）满足一次函数，其中线香初始长度．若燃烧30分钟时，线香剩余，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，将，，代入，得关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：将，，代入得： ， 解得， 故答案为：． 11．在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的临界值是解题的关键．要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的临界值即可． 【详解】解：∵， ∴直线过定点． 当直线经过点时， 解得： 当直线经过点时， 解得： 或 故答案为：或． 三.解答题 12．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)选方案二更优惠，理由见解析． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 13．随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？ (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1.2万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；并求出的最小值． 【答案】(1)A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米 (2) (3)购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，W的最小值为14.8万元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系． （1）设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据“2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米”列出方程组即可求出答案； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米列式解答即可； （3）求得总费用，求出ｂ的取值，结合一次函数的性质分析最值即可求解． 【详解】（1）解：设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据题意得， , 解得， ∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米， 答：A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米； （2）解：根据题意，， 整理得， ∴； （3）解：由（2）得，总费用（万元）， 代入得， ∵， ∴W随b增大而增大， 又∵，且a为整数， ∴， 解得， ∴， 同时a为整数，∴为整数，即b为4的倍数， ∴b可取4，8，12， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴W最小值为14.8万元，此时，， 答：购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，W的最小值为14.8万元． 14．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车行驶的时间为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，根据图象解决以下问题． (1)甲，乙两地的距离为 __________ ；慢车的速度为 __________ ． (2)求段的函数解析式．（不用写自变量的取值范围） (3)求当 x 为多少时，两车之间的距离为 ，请通过计算求出 x 的值． 【答案】(1)720，80； (2) (3)或， 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，（3）要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方． （1）由图象可知，甲、乙两地的距离为，再根据慢车走完全程用了9小时，即可求出慢车速度； （2）先求出快车速度，再求出快车到达乙地时慢车离开乙地的距离，可得点，根据待定系数法即可求出解析式； （3）分相遇前相距和相遇后相遇两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地的距离为， 慢车走完全程用了9小时， ∴慢车的速度为 故答案为720，80； （2）由图象可知，两车用了3.6小时相遇， ∴快车速度为：， ∴快车达到乙地时时间为（小时）， 此时慢车离开乙地的路程为，即点， 设段的函数解析式为，把点，代入得： ，解得 ∴． （3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为． 即相遇前：， 解得， 相遇后：点， 慢车行驶两车之间的距离为， 慢车行驶需要的时间是， ， 故或，两车之间的距离为． 15．如图，在正方形网格中，已知网格的单位长度为，点，，均在格点上，要求回答下列问题： (1)画与关于轴的对称图形； (2)、、的坐标分别是______、______、______； (3)在轴上求作点，使的值最小，直接写出点的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)． 【分析】本道题主要考查平面直角坐标系中轴对称的坐标特征、轴对称图形的作图方法，以及利用将军饮马模型结合一次函数求解最短路径问题，是几何变换与函数应用的综合考查。 （）先确定各顶点坐标，再根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变”，找到对称点； 依次连接，得到； （）求对称点坐标：依据轴对称的坐标变化规律，直接由原顶点坐标推出的坐标； （）找轴上使最小的点，利用“轴对称求最短路径”的方法，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，通过设直线解析式、求与轴交点坐标，得到点坐标 【详解】（1）解：如图，即为所求． 分别找出点关于轴的对称点；依次连接，得到(画图时注意格点对应，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变) （2）先确定原各点坐标： ，关于轴对称后，， ，关于轴对称后，， ，关于轴对称后，． 故答案为：；；． （3）如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 此时，为最小值， ∵点关于x轴的对称点， 设直线的解析式为，代入， ， 解得， ∴， 令，得， 则点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 16．某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y（元）与所用的水量x（吨）之间的函数图象．根据下面图象提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求y与x之间的函数关系式 (2)已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月用水量多少吨？ 【答案】(1) (2)这户居民上月用水25吨． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从函数图象中获取有效信息，会利用待定系数法求解函数关系式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数关系式． （2）某户居民上月水费为91元，，将代入求解x值即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为：， 由题意得：， ， 与之间的函数关系式为：． （2）解：∵某户居民上月水费为91元，， 当时，， 解得：， 答：这户居民上月用水25吨． 一.单选题 1．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城距离（千米）与甲行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．其中正确的结论是①A，B两城相距千米；②甲车的速度是．乙车的速度是；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或．（   ） A．①② B．①③④ C．① D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．由图象可直接判断①正确；用路程除以时间可得甲、乙的速度，即可判断②错误；乙车追上甲车时，，可解得此时乙出发，判断③错误；当甲乙两车相距千米时，应该分四种情况讨论，故④错误． 【详解】解：由图象可得：，两城相距千米，故①正确； 甲车的速度为，乙车的速度是，故②错误； 乙车追上甲车时，， 解得， 此时乙出发，故③错误； 当乙还没出发时，甲行驶了千米，两车相距千米，此时，， 当甲车在乙车前面时，由得， 当乙车在甲车前面时，由得， 乙车到终点了，甲车离终点千米，此时， 甲、乙两车相距千米时，或或或，故④错误， 正确的有①， 故选：C． 2．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）． 小数比小文先出发15秒； 小文提速后的速度为； ； 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 本题考查了一次函数的应用，看懂图象是解题关键． 【详解】结合图像，小数比小文早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故正确； 故提速后小文行走所用时间为：， ， ， ∴小数的速度为， ，故错误； 当时，小文和小数的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离逐渐减小到0， ，故正确 则正确， 故选：． 3．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键． 根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得到解，在从给出的四个图像中判断出正确的图像即可． 【详解】解：当时，； 当时，， 故与的函数关系式为， 观察各选项，选项中的图象符合， 故选：． 4．如图①，一个立方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以每秒固定的流量往水槽中注水，28秒时注满水槽，水槽内水面的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数图象如图②所示，则圆柱形水槽的容积（在没放铁块的情况下）是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的实际应用与立体图形体积的计算，核心是通过分析图像的分段特征，分析不同阶段的注水体积的变化，利用方程思想求解未知量． 通过分析注水过程中水的体积的变化，利用方程组求解注水的速度和圆柱底面积，进而计算圆柱形水槽的容积． 【详解】解：由题意可得：秒时，水槽内水面的高度为， 秒后水槽内水面的高度变化趋势改变， 正方体的棱长为， 正方体的体积为， 设注水的速度为，圆柱的底面积为， 根据题意可得， 解得， 圆柱形水槽的容积为． 故选：． 5．如图，已知直线：与x轴交于点B，点C在直线上，且点C的横坐标为，点F为线段上一点（不含端点），点，连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用和把时间表示出来，发现用时为，如图过F作的垂线，垂足为E，经论证知，这样就把求时间最短问题，转化为求的最短问题，由垂线短最短知，当时，最短，即用时最短，如图中的即是最短用时、即是所求的点．接下来，只要运用一次函数的知识求出的坐标也就是所要求的时间最短时F的坐标． 【详解】解： 如图，分别作轴，轴，使直线交于点， ∵与x轴交于点B， ∴时，，即， ∵点C的横坐标为， ∴点C的纵坐标为， ， ， 又， 为等腰直角三角形， 过点作于点，连接， ， ∴， 又当时，取得最小值 此时 即 此时与交于 的横坐标等于的横坐标 把代入得 即当时，在整个运动过程中用时最少． 故选：A 【点睛】此题是典型的几何最值问题（胡不归）及求直线上点的坐标问题．“两点之间线段最短”、“垂线段最短”，勾股定理的应用等有关最短的几何性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二.填空题 6．在平面直角坐标系中，已知△顶点坐标分别为点、，，是过点与轴垂直的直线．若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化对称，数形结合是解题的关键．求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，结合图形即可求解． 【详解】解：点、，，是过点， 关于直线的对称点为，关于直线的对称点为， 如图，当经过点时，则，解得， 当直线经过点时，则，解得， 故由图形可知，若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是． 故答案为：． 7．我们把a、b、c三个数的中位数记作，例如：．已知函数．则下列结论： ①和为函数图象上两点，当时，； ②当时y随x增大而增大； ③当时y有最小值0； ④若直线与函数的图象有且只有2个交点，则或． 其中正确的有 ．（请填写正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质以及中位数的概念，一元一次不等式组的应用，数形结合思想的应用是解本题的关键． 先得到，再画出函数的图象，然后根据函数图象逐项分析即可． 【详解】解：当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， ∴ ∴函数的图象如图所示： ①如图，当时，满足，但，故①不正确； ②由图象可知，当时，y随x增大而增大，故②正确； ③由图象可知，当时，y有最小值0，故③正确； ④∵与函数的图象有且只有2个交点， 当直线经过点时，则， 解得， 当直线 经过点时，则， 解得， 故④正确． 故答案为：②③④． 8．某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元． 【答案】4 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 9．同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是 ． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 【答案】①②④ 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键． ①当时，小明落后于小张，当时，小明超过小张，这个期间小张处于静止状态，根据速度路程时间列式计算出小明的速度即可； ②根据小明的速度行驶时间列式计算，两地的距离即可； ③当时，小张乘坐的汽车中途出现故障；当时，小张乘坐的汽车维修结束后开始继续行驶，据此计算小张中途休息的时间即可； ④从到两人相遇时，小张处于静止状态，小明行驶了，根据时间路程速度求出从到两人相遇所用的时间，从而计算出两人何时相遇． 【详解】解：小明的速度是， ①正确，符合题意； ，两地相距， ②正确，符合题意； 小张中途休息的时长为， ③不正确，不符合题意； ， 小明行驶与小张相遇， ④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 10．某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为 ； （2）当安排 名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元． 【答案】 74 5 56300 【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人， （1）当时，人， 此时B零件总数，符合条件， ∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人； （2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为； 当时，A零件利润为：； 设利润为P，则 当时，， ∵， ∴为增函数，最大值在时取得，； 当时， ， ∵， ∴为减函数，最大值在时取得，元； 综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元． 故答案为：74；5；56300． 三,解答题 11．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【答案】(1)三人间间；双人间间 (2) (3)人住三人间，人住双人间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解； （2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数； （3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答． 【详解】（1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 12．越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题： (1)______，______； (2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，此时小军骑行的时间为______分钟． 【答案】(1)15；200 (2)距图书馆的距离是750米 (3)或20 【分析】本题考查了一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次方程组． （1）根据时间=路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度路程时间，即可求出m的值； （2）根据数量关系找出线段、所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论； （3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（分钟）， （分钟）， （米/分）， 即，，， 故答案为： 15；200； （2）解：线段所在直线的函数解析式为； 线段所在的直线的函数解析式为， 联立两函数解析式成方程组，， 解得：， ∴（米）， 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米； （3）解：根据题意得：， 解得：，， 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟或20分钟时与小军相距100米． 故答案为：或20． 13．综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． 任务1利用“，；，”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键； 任务1：先判断是一次函数，再利用待定系数法求解即可； 任务2：把代入函数关系式求出t，再进一步求解即可； 任务3：设经过的函数解析式为，根据题意得到w关于a的绝对值式子，再分类讨论求解． 【详解】解：任务1： 由表中数据可得：约过10分钟，水面高度h减少约1cm， 所以水面高度h是流水时间t的一次函数，设， 把，；，代入，得 ，解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数关系式是； 任务2：当水面高度为时，即，， 解得， 分钟小时， ∴当甲容器中的水面高度为时是小时，即； 任务3： 设经过的函数解析式为， 则 当时，， 当时，， 则当时，， 当时，， 综上，当时，w最小，此时函数的解析式是． 14．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图4，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 【答案】（1）①；②，；（2）或 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ②如图2， 过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则，， 同理可得， ∴， ∴， ∵在上， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 当在点的位置时，， 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $