专题01勾股定理期末复习冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学勾股定理复习讲义通过分层梳理与结构化呈现构建知识体系，以核心知识点表格整合定理、逆定理、勾股数及应用场景，用思维导图呈现“概念-推论-拓展”逻辑链，结合几何直观突出折叠、最短路径等空间观念重点。 讲义亮点在于阶梯式题型设计与解题模板指导，基础题强化公式直接应用，中档题结合面积航海等场景培养模型意识，压轴题通过圆柱展开最短路径问题发展推理能力。易错点表格规避斜边混淆等错误，分层练习满足不同学生需求，助力教师精准复习教学。

专题01勾股定理期末复习冲刺必备讲义 1.知识点分层梳理（概念 + 推论 + 拓展） 2.阶梯式题型（基础 / 中档 / 压轴）+ 解题模板 3.易错点精析 + 常见陷阱规避 4.中考真题链接，对接考试重点 核心知识点梳理 1.勾股定理(核心公式) 2.勾股定理的逆定理 3.勾股数(高频考点) 4.勾股定理的应用场景 5.阶梯式题型突破 6.易错点解析与陷阱规避 常考题型 精讲精炼 1.用勾股定理分析三角形 2.直角三角形三边对应图形的面积关系 3.勾股定理:旗杆高度的实际求解 4.勾股定理:小鸟飞行的直线距离计算 5.勾股定理:大树折断前原高度的计算 6.勾股数的识别与应用 7.用勾股定理逆定理判断三边能否构成直角三角形 8.勾股定理在网格图形中的计算问题 9.勾股定理在折叠问题中的应用 10.勾股定理:梯子滑落高度的计算 11.勾股定理:水杯中筷子的长度问题 12.勾股定理在航海问题中的实际应用 13.勾股定理:几何图形中的最短路径求解 14.勾股定理逆定理的实际场景应用 期末备考 压轴通关 压轴题(23题) 【知识点01.勾股定理】 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：若直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2。 适用前提：必须是直角三角形，且c为斜边（最长边）。 公式变形： 几何意义：以直角三角形三边为边长的三个正方形，两个直角边正方形的面积和等于斜边正方形的面积。 【知识点02.勾股定理的逆定理】 文字表述：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 判定步骤： 1 找最长边（设为c）； 2 计算a2+b2和c2的值； 3 比较两者是否相等：相等→直角三角形；不相等→非直角三角形。 拓展：若a2+b2<c2，三角形为钝角三角形；若a2+b2>c2，三角形为锐角三角形。 【知识点03.勾股数】 定义：满足a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)称为勾股数。 性质： ① 勾股数的正整数倍仍是勾股数。例：(3,4,5)的 2 倍是(6,8,10)，仍是勾股数。 ② 常见勾股数记忆表： 基础勾股数 倍数拓展勾股数 3,4,5 6,8,10；9,12,15 5,12,13 10,24,26；15,36,39 7,24,25 14,48,50 8,15,17 16,30,34 易错提醒：含无理数的数组（如,,）虽满足等式，但不是勾股数。 【知识点04.勾股定理的应用场景】 1.求直角三角形的边长（知二求一）； 2.判断三角形的形状（逆定理）； 3.求最短路径（如圆柱、长方体侧面爬行问题）； 4.折叠问题（利用折叠前后边长相等，构造直角三角形）； 5.实际生活问题（如旗杆高度、航海距离、梯子滑动问题）。 阶梯式题型突破（附解题模板 + 答案） 类型一 基础题（必拿分，核心考公式直接应用） 解题模板：先确定直角边和斜边→代入公式计算 1. 已知直角三角形两直角边长为6和8，求斜边长度。 解：c====10 2. 已知直角三角形斜边为25，一条直角边为7，求另一条直角边。 解：b====24 判断下列各组数能否作为直角三角形的三边长： ① 12,16,20 ② 5,7,9 解： ① 最长边20，122+162=144+256=400=202→能 ② 最长边9，52+72=25+49=74=81=92→不能 类型二 中档题（易错点，考公式变形 + 综合应用） 考点 1 直角三角形的面积与边长结合 解题模板：先判定直角三角形→用面积公式求高 1. 已知三角形三边长为9,12,15，求该三角形的面积。 解：∵ 92+122=81+144=225=152∴ 该三角形是直角三角形，直角边为9和12 面积S=×9×12=54 2. 直角三角形两直角边为5和12，求斜边上的高。 解：斜边c==13 设斜边上的高为h，由面积相等得 ×5×12=×13×h→h= 考点 2 实际生活中的勾股定理应用 解题模板：建模（转化为直角三角形）→ 找边长→ 计算 1. 一架梯子长10米，斜靠在墙上，梯子底端离墙6米，求梯子顶端离地面的高度。 解：设顶端高度为h，梯子为斜边 h===8（米） 答：梯子顶端离地面8米。 2. 一艘轮船以16海里 / 时的速度从港口A向正东方向航行，另一艘轮船以12海里 / 时的速度从港口A向正南方向航行，1小时后两船相距多远？ 解：1小时后，两船分别航行16海里、12海里，航线垂直 距离d====20（海里） 答：两船相距20海里。 类型三 压轴题（拉分题，考折叠 / 最短路径 / 动点问题） 考点 1 折叠问题（核心：折叠前后对应边相等，对应角相等） 解题模板： 1.设未知数（通常设所求线段为x）； 2.根据折叠性质，表示出相关线段长度； 3.构造直角三角形，列勾股定理方程求解。 例题：长方形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的D′处，求DE的长度 解： 1 设DE=xcm，则D′E=xcm，EC=(4−x)cm 2 由折叠性质：AD′=AD=4cm，AD=BC=4cm，AB=CD=3cm 3 在Rt△ABD′中，BD′===7cm 4 D′C=BC−BD′=(4−)cm 5 在Rt△D′CE中，由勾股定理： D′E2=D′C2+EC2 x2=(4−)2+(4−x)2 展开解得：x==4− 答：DE的长度为(4−) cm 考点 2 最短路径问题（核心：将立体图形展开为平面图形） 解题模板： 1.展开立体图形（圆柱 / 长方体），得到平面长方形； 2.最短路径为长方形的对角线； 3.用勾股定理求对角线长度。 例题：一个圆柱，底面周长为12cm，高为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上的A点爬到顶面圆周上与A相对的B点，求最短路径长度。 解： 1 展开圆柱侧面为长方形，长方形的长 = 底面周长的一半 =6cm，宽 = 圆柱的高 =8cm 2 最短路径为长方形对角线AB 3 AB===10cm 答：最短路径长度为10 cm 考点 3 动点问题（核心：分类讨论，构造直角三角形） 例题：在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AC向点C运动，动点Q从点C出发，以1 cm/s的速度沿CB向点B运动，两点同时出发，当P到达C点时停止，问运动几秒时，△PCQ为直角三角形？ 解：设运动时间为ts，则AP=2t，PC=6−2t，CQ=t 分两种情况： 1 当∠PQC=90时，△PCQ为直角三角形（此时P、Q运动任意时间都满足，因为∠C=90） 限制条件：P到C停止，6−2t≥0→t≤3 2 当∠CPQ=90时，由勾股定理： PQ2+PC2=CQ2（错误，应为PC2+PQ2=CQ2不成立，正确逻辑： ∠CPQ=90时，△CPQ满足PC2+PQ2=CQ2，但实际更简单的是利用相似或直接勾股： PC2+PQ2=CQ2 转化为 结合直角，实际应为： 在Rt△CPQ中，∠CPQ=90，则PC2+PQ2=CQ2，但PQ未知，换思路： ∵ ∠CPQ=90，∠C=90，不成立，实际应为只有∠C=90，所以△PCQ始终是直角三角形 修正结论：运动时间0≤t≤3 s时，△PCQ为直角三角形。 【知识点05.易错点精析与陷阱规避】 易错点 典型错误 规避方法 勾股定理滥用 对非直角三角形直接用a2+b2=c2 第一步先判断三角形是否为直角三角形 斜边与直角边混淆 已知直角三角形两边为3和5，直接算斜边​ 分类讨论：5可能是直角边，也可能是斜边 勾股数概念误解 认为(,,)是勾股数 牢记勾股数必须是正整数组 折叠问题漏条件 忽略折叠前后对应边相等，无法表示线段长度 折叠问题先标相等线段，再构造直角三角形 最短路径展开错误 圆柱展开时，长取底面周长的全长，而非一半 相对点的最短路径，展开后长为底面半周长 课堂总结与复习建议 1.核心公式：勾股定理及逆定理，牢记适用条件； 2.解题关键：找直角、定斜边、设未知数、列方程； 3.复习重点：折叠问题、最短路径问题、分类讨论思想； 4.刷题策略：先基础再中档，压轴题重点突破解题模板。 【题型1.用勾股定理分析三角形】 【典例】直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，求三角形的高，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设斜边上的高为，先利用勾股定理求出斜边长，再利用等面积法列式求解斜边上的高即可． 【详解】解：直角三角形两直角边长分别为和， 斜边长为， 设斜边上的高为，则根据直角三角形的面积列式： ， 解得， 即斜边上的高为． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再根据等面积法求解． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 找到图中的等量关系并熟练使用勾股定理解答． 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ∴，，， ∴ ， ∵， ， ， ∴ ． 故选：C ． 【题型2.直角三角形三边对应图形的面积关系】 【典例】如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去较小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用．过点B作，交DA的延长线于点E，则．由勾股定理，得，则．由得到．即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点E，则． 在中，由勾股定理，得． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 故选：B 【跟踪专练2】如图，在中，，分别以，，的长为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先根据勾股定理得出，然后利用圆的面积公式表示出，，，得出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ， ， ∴． ∴． 故答案是：4． 【题型3.勾股定理:旗杆高度的实际求解】 【典例】如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得的长． 根据题意设旗杆的高为，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长为， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴旗杆的高． 故选C． 【跟踪专练1】如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为 米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，列方程组解决几何问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设旗杆高度为，利用勾股定理列出方程，然后联立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，则， 假设旗杆高度为， ∵， 由勾股定理得， ∴， 整理得①， 同理，由勾股定理得， 整理得②， 得，， ∴， ∴原旗杆的高度为10米， 故答案为：10． 【跟踪专练2】有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送 (即：水平距离)时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，求解即可． 【详解】解：，， ， 设秋千的绳索长为，则， 在中，，， ∴， 解得：， 即绳索的长度是． 故选：B． 【题型4.勾股定理:小鸟飞行的直线距离计算】 【典例】如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示，    由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握根据题意画出对应的图形是解题的关键． 先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作，连接， 根据题意，可知四边形是矩形， ，， ， 根据勾股定理可得， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行． 故答案为：． 【题型3.勾股定理:大树折断前原高度的计算】 【典例】.2025年9月22日，“桦加沙”超强台风掠过深圳，风暴中，一棵树从树腰处被吹断．如图所示，大树从树腰（点）断裂，树顶落在离树根（点）8米处（点），已知树原高16米，则树断裂处距树根为（　　）米 A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意，构造直角三角形，熟练运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 设树断裂处距树根为米，则米，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设树断裂处距树根为米，则米， 在中，，米，米，米，则由勾股定理可得，即， 解得， 树断裂处距树根为米， 故选：C． 【跟踪专练1】九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为尺， 故答案为：． 【跟踪专练2】一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（    ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 【答案】A 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用．设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度是尺， 根据勾股定理得， 解得． 故折断处离地面的高度是4尺， 故选：A． 【题型6.勾股数的识别与应用】 【典例】勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论． 【详解】解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1， ∴对于第6个勾股数组： 第一个数， 第二个数， 第三个数， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，；，，；，，；，，；，，． A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股数，根据勾股数是三个正整数，且满足只需逐一检查每组数据是否均为正整数，并验证是否满足勾股定理即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股数必须为正整数且满足， ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； ∵，，不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，中不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； 综上可得：只有和是勾股数，共组， 故选：． 【跟踪专练2】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 【题型7.用勾股定理逆定理判断三边能否构成直角三角形】 【典例】以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A．7，8，9 B．1，，4 C．3，4，5 D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，判断各组线段是否满足两条较小线段的平方和等于最大线段的平方． 【详解】解：选项A：，不能构成直角三角形； 选项B：，不能构成直角三角形； 选项C：，能构成直角三角形； 选项D：，，通分后，不能构成直角三角形； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，用勾股定理解三角形，判断三边能否构成直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据线段垂直平分的性质得出，从而可用表示出，再证明是直角三角形，，从而可利用勾股定理求得，进而求得． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 【题型8.勾股定理在网格图形中的计算问题】 【典例】如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若于点，则的长为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用网格求出的面积，利用勾股定理求出的长，再根据面积法即可求出的长，利用面积法求高是解题的关键． 【详解】解：由网格可得，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接、，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质．取格点，连接，，求得，推出，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：取格点，连接，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9.勾股定理在折叠问题中的应用】 【典例】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解这个方程得：， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是 ． 【答案】7或 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识．分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为7或． 故答案为：7或． 【跟踪专练2】如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质等知识点， 由折叠性质知，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由四边形是长方形 ， ∴， 由折叠性质知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 【题型10.勾股定理:梯子滑落高度的计算】 【典例】如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，此时云梯底端离墙是7 米，若云梯顶端下滑4米（即米），则云梯的底部B 在水平方向上滑行的距离是 米． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，根据勾股定理分别求出米，米，然后根据，计算，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，为直角边， ∴米， 已知米，则（米）， 在直角中，为直角边， ∴米， ∴（米）． 故答案为：8． 【题型11.勾股定理:水杯中筷子的长度问题】 【典例】如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（   ） A．35 B．40 C．50 D．45 【答案】D 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，进一步求解即可． 【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深，由题意得： 中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 即：水深是 故选：D． 【跟踪专练1】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：根据题意可得（尺）， 设水深尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得， ，即芦苇长尺． 故答案为：． 【跟踪专练2】我国古代算书《九章算术》中有这样一道题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？根据题意，可设水深尺，则葭长尺．已知1丈尺，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：1丈尺，葭生其中央， 尺， 在中，根据题意列方程得，， 故选：A． 【题型12.勾股定理在航海问题中的实际应用】 【典例】如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 【跟踪专练1】一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程 海里． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：我军巡逻艇的航行路程为海里． 故答案为15． 【题型13.几何图形中的最短路径求解】 【典例】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将玻璃杯侧面展开，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将玻璃杯侧面展开如图所示： 由题意可得：，，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用——求最短路径，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面展开的最短路径问题．先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将台阶展开成平面图形，根据两点之间，线段最短得到最短路线，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：将台阶展开成平面图形，如图所示， 在中，，， ， 即一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是． 故选：C． 【题型14.勾股定理逆定理的实际场景应用】 【典例】如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为 元． 【答案】72000 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短． 首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 【跟踪专练1】.如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， ∵，， ，， ， 是直角三角形， ， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 这块菜地的面积为， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【答案】114 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1．一根竖直的旗杆在离地面3米处折断，旗杆顶部落在地面离旗杆底部4米处，未折断前旗杆高 米． 【答案】8 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． 通过勾股定理计算折断部分长度，进而求解旗杆原高． 【详解】解：根据勾股定理得，旗杆上半截长度为（米）， 所以，未折断前旗杆高度为（米） 故答案为：8． 2．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 3．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解； 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴， 故选：C； 4．青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用表示后计算即可． 【详解】解∶如图2， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ， 朱入与朱出的三角形全等， ， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ， ， 阴影部分面积为 ， ∵，正方形和正方形的面积之和为25， ∴， ， 即阴影部分的面积为8， 故答案为∶8． 5．定义：如果一个正整数m能表示成两个不同的正整数a和b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面四个结论：①不是广义勾股数；②是广义勾股数；③广义勾股数的2倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义的理解与应用，有理数的计算，理解题目的定义并正确应用是解题关键．根据题目的定义逐项判断即可． 【详解】解：①∵其中2和3是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故①错误． ②∵ 其中3和是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故②正确． ③设m是广义勾股数，且 (a、b为不同的正整数)， 则 ， ∵a、b是不同的正整数， ∴和也是正整数，且，满足广义勾股数的定义， ∴广义勾股数的2倍是广义勾股数，故③正确． ④例如 它们都是广义勾股数， 但无法表示成两个不同正整数的平方和，不满足广义勾股数的定义， ∴不同的广义勾股数的和不一定是广义勾股数，故④错误． 综上，正确的结论有②③，共2个， 故选：B． 6．如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【分析】利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理逐一计算判断即可． 【详解】解：连结，如图， ①∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，所以①正确； ②∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 所以②正确； ③∵， ∴， ∴ ， 所以③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键． 7．某景区有一圆柱形景观柱，为了营造气氛，景区准备在景观柱上缠绕彩带．已知该景观柱底面周长为，高为，如果希望彩带从景观柱底端绕景观柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带 ． 【答案】 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，彩带绕3圈相当于在矩形上水平移动3倍底面周长，垂直移动圆柱高度，利用勾股定理求斜边长度． 本题考查了圆柱的展开图，勾股定理的应用，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：展开图如下： 圆柱底面周长为，高为，彩带绕3圈到达顶端，相当于在侧面展开图中，水平方向移动距离为，垂直方向移动距离为 彩带路径为斜边， 故答案为：． 8．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 9．如图，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，设单位正方形的边长为1，由勾股定理得出，，，，再由勾股定理逆定理判断即可得解． 【详解】解：设单位正方形的边长为1， 则，，，， ∵， ∴能构成一个直角三角形三边的线段是、、，故B符合题意， ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 10．已知a、b、c是的三边长，则下列说法中不成立的一项是（    ）． A．若，则一定是直角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则可能是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，可根据勾股定理及其逆定理分析选项A，通过举例子，例如，可判断D成立，若，即，不妨设，那么三边构成直角三角形，且为斜边，以为半径画圆，通过移动边在圆上的端点位置可判断选项C，选项B． 【详解】解：当时，即， ∴一定是直角三角形，故A正确； 当时，， 此时，但， ∴当时，是直角三角形，故D正确； 当，即，不妨设， 那么三边构成直角三角形，且为斜边， 如图所示： 当，即， 则一定是钝角三角形，故B正确； 同理，如图所示： 当， 则不一定是锐角三角形． 故选：C． 11．意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知，，然后利用图形的面积列出等式进行整理即可． 【详解】解：由图可得，，， 故选：B． 12．如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据折叠的性质以及勾股定理求得，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，进而在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 13．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据“倍长三角形”的定义和直角三角形勾股定理，分三种倍长关系情况讨论，结合一边长为1，求解较长直角边的所有可能取值，共有5种不同值． 【详解】解：设较长直角边为 ，较短直角边为 ，斜边为 ，则 ，倍长关系有三种情况：；；； 又有一条边长为 1，分别讨论： 当，则， 若，则； 若，则； 若，则，； 较长直角边可能为； 当，则， 若，则； 若，则； 若，则，， 较长直角边可能为； 当时，不符合三角形三边关系，不符合题意， 综上，较长直角边所有可能取值为 ，共 5 种． 故选：B． 14．如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)这架云梯的顶端到地面的距离是 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了4m至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 15．小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） 【答案】池塘水深尺，荷花长尺． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺，然后由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺， 在中，，即， 解得：． ∴池塘水深为尺，荷花长度为， 答：池塘水深尺，荷花长尺． 16．如图，在平面直角坐标系中． (1)在图中画出关于轴的对称图形，并直接写出，，三点的坐标： (2)请你将的面积直接填写在横线上___； (3)若三边的长分别为，，．请利用如图的正方形网格（每个小正方形的边长为）在第四象限画出相应的． 【答案】(1)图见解析，，， (2) (3)答案不唯一，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及应用设计与作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据轴对称的特点，作出关于轴的对称点，，，顺次连接即可得出答案． （2）直接利用所在矩形的面积减去周围三角形的面积，进而得出答案． （3）利用勾股定理结合网格的特点画出相应的． 【详解】（1）解：如图，即为所求： ∴，，； （2）解：由题意可得的面积为：， 故答案为：． （3）解：如图，即为所求（答案不唯一）． 17．如图，某农场设置了两个灌溉喷头A，B，且，B之间的距离为，为保障灌溉用水供应，在农田边缘的灌溉渠上安装了一个供水阀，供水阀到的距离（于点）的长为，到喷头的管道的长为． (1)求供水阀M到喷头A的距离； (2)试判断灌溉渠与管道的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)供水阀到灌溉喷头的距离为 (2)灌溉渠与管道互相垂直，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，因为，， 所以， 所以， 在中，， 所以供水阀到灌溉喷头的距离为； （2）解：灌溉渠与管道互相垂直，理由如下： 因为，， 所以， 所以， 所以． 18．【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3） 【分析】（1）通过表示四边形的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设长度为未知数，利用结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 19．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1)证明见解析，点C到铁路的距离为； (2)会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且；过点C作于点D，再由面积法求出的长即可； （2）以点C为圆心，以52米为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、，则，，由勾股定理求得，得出，再根据火车长度与速度即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； 如图1，过点C作于点D， ∴， ∴， 即点C到铁路的距离为； （2）解：∵， ∴当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染， 如图2，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为：， 答：当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 20．如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三角形的公共边． （1）根据题意证得，求得过点作，交于，过点作，交于，，，结合直角三角形利用三角函数即可解答； （2）设货船速度为，观光船速度为， 过作于，于 根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边，结合勾股定理列方程求出，用路程除以速度即可解答． 【详解】（1）解：∵在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西方向，且在北偏西方向， ∴，，， 过点作，交于，过点作，交于， 则， ∴， ∴， 则，，（千米）， ∴（千米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米）， ∴（千米） 答：港口和小岛的距离为千米． （2）设货船速度为，观光船速度为， 出发小时后：货船行驶的路程 即货船在上的位置距点千米 观光船行驶的路程：， 因故观光船在上距点的距离为（记该点为）， 观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等． 即，， ∴是等腰三角形， 过作于，于， 则， 由（1）得， 在中，，，则： ， ， ， 在中， 在中， ∴， 化简得， 解得或， ∵，故舍去， 货船速度为：， 由（1）可得（千米）， 货船从港口到港口用时：， 答：货船从港口出发小时后到达港口． 21.．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 22．如图，在中，是边上的高，，，，是边上的一点，过点作，与交于点，连结． (1)求和的长． (2)当点是的中点时，求的面积． (3)当是等腰三角形时，求此时的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为或或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，熟练运用这些知识是解题的关键． （1）由勾股定理即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质得，在中，由勾股定理建立方程求得，即可求得的面积； （3）分三种情况：①；②；③；利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：∵点是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； （3）解：①当时，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； ②当时，则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，； ③当时，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； 综上，的长为或或． 23．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（b、c为常数）经过点，．点P在该抛物线上，点P的横坐标为m． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当时，点P关于抛物线对称轴的对称点为点，求的值． (3)当时，抛物线在P、B两点间（包括P、B两点）的部分图象的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． (4)以P为位似中心，将缩小为原来的倍得到，使、在点P的同侧，当点O在内部时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）将点，代入解析式中，得到二元一次方程组，求解即可解答； （2）由题意得到点，，设与x轴的交点为M，连接，待定系数法求出直线解析式为，进而得到点，根据两点间的距离公式求出，，，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，从而； （3）抛物线的顶点坐标为，分三种情况讨论：①，②，③，分别找出最高点与最低点，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，即可列出方程，求解即可； （4）当经过点O时，待定系数法求出直线的解析式为，解方程组得，此时；当经过点O时，求得直线的解析式为，由位似平行得到直线的解析式为，求出直线的解析式为，进而得到，由，得到，从而可求得， 综上所述，． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点P在该抛物线上，点P的横坐标为m， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 设与x轴的交点为M，连接， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， 直线解析式为， 令，则， 解得， ∴ ∵， ，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； （3）解：抛物线的顶点坐标为， ①当时，最高点为顶点，最低点为， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得； ②当时，最高点为，最低点为， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得， ∵， ∴都舍去； ③当时，最高点为，最低点为， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得， ∵， ∴； 综上所述，最高点与最低点的纵坐标之差为时，或． （4）解：当经过点O时， 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴此时； 当经过点O时，如图： 过点作直线轴，过点A作于点F，过点P作于点E， 设过点，的直线解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设过点，的直线解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，勾股定理的逆定理，锐角三角函数，位似的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质及相似是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01勾股定理期末复习冲刺必备讲义 1.知识点分层梳理（概念 + 推论 + 拓展） 2.阶梯式题型（基础 / 中档 / 压轴）+ 解题模板 3.易错点精析 + 常见陷阱规避 4.中考真题链接，对接考试重点 核心知识点梳理 1.勾股定理(核心公式) 2.勾股定理的逆定理 3.勾股数(高频考点) 4.勾股定理的应用场景 5.阶梯式题型突破 6.易错点解析与陷阱规避 常考题型 精讲精炼 1.用勾股定理分析三角形 2.直角三角形三边对应图形的面积关系 3.勾股定理:旗杆高度的实际求解 4.勾股定理:小鸟飞行的直线距离计算 5.勾股定理:大树折断前原高度的计算 6.勾股数的识别与应用 7.用勾股定理逆定理判断三边能否构成直角三角形 8.勾股定理在网格图形中的计算问题 9.勾股定理在折叠问题中的应用 10.勾股定理:梯子滑落高度的计算 11.勾股定理:水杯中筷子的长度问题 12.勾股定理在航海问题中的实际应用 13.勾股定理:几何图形中的最短路径求解 14.勾股定理逆定理的实际场景应用 期末备考 压轴通关 压轴题(23题) 【知识点01.勾股定理】 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：若直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2。 适用前提：必须是直角三角形，且c为斜边（最长边）。 公式变形： 几何意义：以直角三角形三边为边长的三个正方形，两个直角边正方形的面积和等于斜边正方形的面积。 【知识点02.勾股定理的逆定理】 文字表述：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 判定步骤： 1 找最长边（设为c）； 2 计算a2+b2和c2的值； 3 比较两者是否相等：相等→直角三角形；不相等→非直角三角形。 拓展：若a2+b2<c2，三角形为钝角三角形；若a2+b2>c2，三角形为锐角三角形。 【知识点03.勾股数】 定义：满足a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)称为勾股数。 性质： ① 勾股数的正整数倍仍是勾股数。例：(3,4,5)的 2 倍是(6,8,10)，仍是勾股数。 ② 常见勾股数记忆表： 基础勾股数 倍数拓展勾股数 3,4,5 6,8,10；9,12,15 5,12,13 10,24,26；15,36,39 7,24,25 14,48,50 8,15,17 16,30,34 易错提醒：含无理数的数组（如,,）虽满足等式，但不是勾股数。 【知识点04.勾股定理的应用场景】 1.求直角三角形的边长（知二求一）； 2.判断三角形的形状（逆定理）； 3.求最短路径（如圆柱、长方体侧面爬行问题）； 4.折叠问题（利用折叠前后边长相等，构造直角三角形）； 5.实际生活问题（如旗杆高度、航海距离、梯子滑动问题）。 阶梯式题型突破（附解题模板 + 答案） 类型一 基础题（必拿分，核心考公式直接应用） 解题模板：先确定直角边和斜边→代入公式计算 1. 已知直角三角形两直角边长为6和8，求斜边长度。 解：c====10 2. 已知直角三角形斜边为25，一条直角边为7，求另一条直角边。 解：b====24 判断下列各组数能否作为直角三角形的三边长： ① 12,16,20 ② 5,7,9 解： ① 最长边20，122+162=144+256=400=202→能 ② 最长边9，52+72=25+49=74=81=92→不能 类型二 中档题（易错点，考公式变形 + 综合应用） 考点 1 直角三角形的面积与边长结合 解题模板：先判定直角三角形→用面积公式求高 1. 已知三角形三边长为9,12,15，求该三角形的面积。 解：∵ 92+122=81+144=225=152∴ 该三角形是直角三角形，直角边为9和12 面积S=×9×12=54 2. 直角三角形两直角边为5和12，求斜边上的高。 解：斜边c==13 设斜边上的高为h，由面积相等得 ×5×12=×13×h→h= 考点 2 实际生活中的勾股定理应用 解题模板：建模（转化为直角三角形）→ 找边长→ 计算 1. 一架梯子长10米，斜靠在墙上，梯子底端离墙6米，求梯子顶端离地面的高度。 解：设顶端高度为h，梯子为斜边 h===8（米） 答：梯子顶端离地面8米。 2. 一艘轮船以16海里 / 时的速度从港口A向正东方向航行，另一艘轮船以12海里 / 时的速度从港口A向正南方向航行，1小时后两船相距多远？ 解：1小时后，两船分别航行16海里、12海里，航线垂直 距离d====20（海里） 答：两船相距20海里。 类型三 压轴题（拉分题，考折叠 / 最短路径 / 动点问题） 考点 1 折叠问题（核心：折叠前后对应边相等，对应角相等） 解题模板： 1.设未知数（通常设所求线段为x）； 2.根据折叠性质，表示出相关线段长度； 3.构造直角三角形，列勾股定理方程求解。 例题：长方形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的D′处，求DE的长度 解： 1 设DE=xcm，则D′E=xcm，EC=(4−x)cm 2 由折叠性质：AD′=AD=4cm，AD=BC=4cm，AB=CD=3cm 3 在Rt△ABD′中，BD′===7cm 4 D′C=BC−BD′=(4−)cm 5 在Rt△D′CE中，由勾股定理： D′E2=D′C2+EC2 x2=(4−)2+(4−x)2 展开解得：x==4− 答：DE的长度为(4−) cm 考点 2 最短路径问题（核心：将立体图形展开为平面图形） 解题模板： 1.展开立体图形（圆柱 / 长方体），得到平面长方形； 2.最短路径为长方形的对角线； 3.用勾股定理求对角线长度。 例题：一个圆柱，底面周长为12cm，高为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上的A点爬到顶面圆周上与A相对的B点，求最短路径长度。 解： 1 展开圆柱侧面为长方形，长方形的长 = 底面周长的一半 =6cm，宽 = 圆柱的高 =8cm 2 最短路径为长方形对角线AB 3 AB===10cm 答：最短路径长度为10 cm 考点 3 动点问题（核心：分类讨论，构造直角三角形） 例题：在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AC向点C运动，动点Q从点C出发，以1 cm/s的速度沿CB向点B运动，两点同时出发，当P到达C点时停止，问运动几秒时，△PCQ为直角三角形？ 解：设运动时间为ts，则AP=2t，PC=6−2t，CQ=t 分两种情况： 1 当∠PQC=90时，△PCQ为直角三角形（此时P、Q运动任意时间都满足，因为∠C=90） 限制条件：P到C停止，6−2t≥0→t≤3 2 当∠CPQ=90时，由勾股定理： PQ2+PC2=CQ2（错误，应为PC2+PQ2=CQ2不成立，正确逻辑： ∠CPQ=90时，△CPQ满足PC2+PQ2=CQ2，但实际更简单的是利用相似或直接勾股： PC2+PQ2=CQ2 转化为 结合直角，实际应为： 在Rt△CPQ中，∠CPQ=90，则PC2+PQ2=CQ2，但PQ未知，换思路： ∵ ∠CPQ=90，∠C=90，不成立，实际应为只有∠C=90，所以△PCQ始终是直角三角形 修正结论：运动时间0≤t≤3 s时，△PCQ为直角三角形。 【知识点05.易错点精析与陷阱规避】 易错点 典型错误 规避方法 勾股定理滥用 对非直角三角形直接用a2+b2=c2 第一步先判断三角形是否为直角三角形 斜边与直角边混淆 已知直角三角形两边为3和5，直接算斜边​ 分类讨论：5可能是直角边，也可能是斜边 勾股数概念误解 认为(,,)是勾股数 牢记勾股数必须是正整数组 折叠问题漏条件 忽略折叠前后对应边相等，无法表示线段长度 折叠问题先标相等线段，再构造直角三角形 最短路径展开错误 圆柱展开时，长取底面周长的全长，而非一半 相对点的最短路径，展开后长为底面半周长 课堂总结与复习建议 1.核心公式：勾股定理及逆定理，牢记适用条件； 2.解题关键：找直角、定斜边、设未知数、列方程； 3.复习重点：折叠问题、最短路径问题、分类讨论思想； 4.刷题策略：先基础再中档，压轴题重点突破解题模板。 【题型1.用勾股定理分析三角形】 【典例】直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的高为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，于点，则的长为 ． 【跟踪专练2】如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【题型2.直角三角形三边对应图形的面积关系】 【典例】如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C．5 D．10 【跟踪专练2】如图，在中，，分别以，，的长为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则的值为 ． 【题型3.勾股定理:旗杆高度的实际求解】 【典例】如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为 米． 【跟踪专练2】有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送 (即：水平距离)时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型4.勾股定理:小鸟飞行的直线距离计算】 【典例】如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行 米． 【跟踪专练1】如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【跟踪专练2】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米． 【题型3.勾股定理:大树折断前原高度的计算】 【典例】.2025年9月22日，“桦加沙”超强台风掠过深圳，风暴中，一棵树从树腰处被吹断．如图所示，大树从树腰（点）断裂，树顶落在离树根（点）8米处（点），已知树原高16米，则树断裂处距树根为（　　）米 A．10 B．8 C．6 D．5 【跟踪专练1】九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为 尺． 【跟踪专练2】一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（    ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 【题型6.勾股数的识别与应用】 【典例】勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ． 【跟踪专练1】下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，；，，；，，；，，；，，． A．组 B．组 C．组 D．组 【跟踪专练2】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【题型7.用勾股定理逆定理判断三边能否构成直角三角形】 【典例】以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A．7，8，9 B．1，，4 C．3，4，5 D．，， 【跟踪专练1】如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为 ． 【跟踪专练2】下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【题型8.勾股定理在网格图形中的计算问题】 【典例】如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若于点，则的长为 ． 【跟踪专练1】如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（   ） A．3 B． C．5 D． 【跟踪专练2】如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接、，则 ． 【题型9.勾股定理在折叠问题中的应用】 【典例】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是 ． 【跟踪专练2】如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【题型10.勾股定理:梯子滑落高度的计算】 【典例】如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为 ． 【跟踪专练1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，此时云梯底端离墙是7 米，若云梯顶端下滑4米（即米），则云梯的底部B 在水平方向上滑行的距离是 米． 【题型11.勾股定理:水杯中筷子的长度问题】 【典例】如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（   ） A．35 B．40 C．50 D．45 【跟踪专练1】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺． 【跟踪专练2】我国古代算书《九章算术》中有这样一道题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？根据题意，可设水深尺，则葭长尺．已知1丈尺，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型12.勾股定理在航海问题中的实际应用】 【典例】如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 【跟踪专练1】一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程 海里． 【题型13.几何图形中的最短路径求解】 【典例】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 【跟踪专练2】如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【题型14.勾股定理逆定理的实际场景应用】 【典例】如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为 元． 【跟踪专练1】.如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 1．一根竖直的旗杆在离地面3米处折断，旗杆顶部落在地面离旗杆底部4米处，未折断前旗杆高 米． 2．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 3．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 4．青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为 ． 5．定义：如果一个正整数m能表示成两个不同的正整数a和b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面四个结论：①不是广义勾股数；②是广义勾股数；③广义勾股数的2倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③．其中正确的结论是 ． 7．某景区有一圆柱形景观柱，为了营造气氛，景区准备在景观柱上缠绕彩带．已知该景观柱底面周长为，高为，如果希望彩带从景观柱底端绕景观柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带 ． 8．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 9．如图，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 10．已知a、b、c是的三边长，则下列说法中不成立的一项是（    ）． A．若，则一定是直角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则可能是直角三角形 11．意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 13．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 14．如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 15．小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） 16．如图，在平面直角坐标系中． (1)在图中画出关于轴的对称图形，并直接写出，，三点的坐标： (2)请你将的面积直接填写在横线上___； (3)若三边的长分别为，，．请利用如图的正方形网格（每个小正方形的边长为）在第四象限画出相应的． 17．如图，某农场设置了两个灌溉喷头A，B，且，B之间的距离为，为保障灌溉用水供应，在农田边缘的灌溉渠上安装了一个供水阀，供水阀到的距离（于点）的长为，到喷头的管道的长为． (1)求供水阀M到喷头A的距离； (2)试判断灌溉渠与管道的位置关系，并说明理由． 18．【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 19．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 20．如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 21.．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 22．如图，在中，是边上的高，，，，是边上的一点，过点作，与交于点，连结． (1)求和的长． (2)当点是的中点时，求的面积． (3)当是等腰三角形时，求此时的长． 23．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（b、c为常数）经过点，．点P在该抛物线上，点P的横坐标为m． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当时，点P关于抛物线对称轴的对称点为点，求的值． (3)当时，抛物线在P、B两点间（包括P、B两点）的部分图象的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． (4)以P为位似中心，将缩小为原来的倍得到，使、在点P的同侧，当点O在内部时，直接写出m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $