专题5.1 认识二元一次方程组 讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义通过思维导图系统构建二元一次方程组知识体系，按“定义-解-方程组-应用”递进梳理5个考点，用考点梳理明确二元一次方程（组）定义、解的判定标准及实际问题建模步骤，突出概念内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向，典例引领夯实基础，好题冲关含几何拼接、古代算题等情境题，如“分银子”问题培养模型意识与应用能力。真题感知对接中考，基础题巩固概念，提升题发展抽象思维，助力教师实施分层教学与学生自主复习。

认识二元一次方程组 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 二元一次方程的定义考点梳理 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程．典例引领 考向01 二元一次方程的定义 【例1】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D．对点提升 【对点1】已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 考点02 二元一次方程的解考点梳理 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解．典例引领 考向01 二元一次方程的解 【例1】已知关于、的不定方程有一组解是，那么 ．对点提升 【对点1】如果一个正三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵5＝3＋2，∴352是“和好数”，把一个和好数m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把m的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为 ；若三位数A是“和好数”，且是完全平方数（一个整数的平方），则所有符合条件的A的最大值与最小值的和为 ． 考点03 二元一次方程组的定义考点梳理 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 典例引领 考向01 判断是否是二元一次方程组 【例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D．对点提升 【对点1】已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中， 是二元一次方程组．（填序号） 考点04 二元一次方程组的解考点梳理 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解．典例引领 考向01 判断是否是二元一次方程组的解 【例1】在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 考向02 已知二元一次方程组的解求参数 【例2】若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为 对点提升 【对点1】在①②③中， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程组的解．（填序号） 【对点2】若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（   ） A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5 考点05 根据实际问题列二元一次方程组考点梳理 列二元一次方程组的步骤： （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 典例引领 考向01 根据实际问题列二元一次方程组 【例1】我国明代数学专著《算法统宗》中有一道题，其大意为客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，若客人为x人，银子为y两，根据题意可列方程组： ． 考向02 根据几何图形列二元一次方程组 【例2】如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为 ． 对点提升 【对点1】我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【对点2】如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．已知是方程的一个解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（  ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 3．学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为　　) A． B． C． D． 4．在重庆二外组织的教职工篮球比赛中，初二龚老师在一场比赛中共投篮14次，投中了10次得19分．若他投中了2个三分球，则他还投中了几个两分球和几个罚球？（罚球投中一次记1分）若设投中个两分球，个罚球，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 5．某校去年有学生1000名，今年比去年增加，其中住宿学生增加，走读生减少．若设该校去年住宿学生有x名，走读学生有y名，则根据题意可得方程组（   ） A． B． C． D． 6．在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 7．某生产线共有80名工人，每名工人每天可生产16个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压表和电流表配成套，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 8．方程组所对应的函数图象如图所示，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 9．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名．如图1，计算，计算步骤为：（1）数位分解：将乘数326和53按数位拆分，分别写在网格的上方和右方；（2）逐位相乘：将326的每位数字乘以53的每位数字，每一步乘积结果的十位和个位分别记入小正方形相应的格子中．乘积结果小于10时，十位数字记为0；（3）分区域累加：从右往左沿斜线方向对乘积结果进行累加，累加结果逢十进一，并将结果分别写在网格的下方和左侧；（4）组合结果：沿网格左侧和下方按从上往下，再从左往右依次写出各个数字，结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法：①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④．其中正确的个数是（   ） 图1                图2 A．1 B．2 C．3 D．4 10．二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 2、 填空题 11．若是一个二元一次方程，那么的值是 ． 12．某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有 种． 13．对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大2，个位上的数字比十位上的数字大2，则称为“阶梯数”．对于一个“阶梯数”，把的千位数字放在最右边，得到一个新的四位数，规定：．例如：，因为，，所以1324是“阶梯数”；将的千位数字1放在最右边，得到，．那么 ；对于任意四位自然数（，，，均为整数），又规定：．若四位自然数、是“阶梯数”，其中的千位数字为（是整数且），十位数字为；的千位数字为4，个位数字为（是整数且）．若能被11整除，则满足条件的的最大值为 ． 14．一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“等和数”．将“等和数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除．则 ．在此条件下，若为整数，则满足条件的M的和为 ． 15．现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则= ． 3、 解答题 16．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 17．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．五进制数，其各数位上的数字为0，1，2，3，4，将五进制数表示成各数位上的数字与5的幂的乘积之和的形式，就可以转换成十进制数． 例如：（规定，当时，），即五进制数1234转换为十进制数就是194． (1)一个十进制的两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，将m与n对调，新的两位数比原两位数小54．这个十进制的两位数可能是______（写出所有可能的结果）； (2)一个五进制的三位数，其各数位上的数字都相同，将它转化为十进制数，恰好是（1）中的一个两位数，则这个五进制的三位数是______． 18．为响应政府“五水共治”的统一部署，我市某开发区决定将企业的污水集中收集，统一处理，决定用750万元购买12台污水处理设备．现有三种型号的污水处理设备供选择，设型设备应各买入台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 C型 价格（万元/台） 80 60 55 月处理污水量（吨/台） 2000 1900 1800 (1)购买C型设备________台（用含的代数式表示）； (2)写出购买三种设备的所有方案； (3)为使月处理污水量达到最大，型设备应各买几台？最大月处理污水量为几吨？ 19．如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低． (1)若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？ (2)如图2，倒水后将乙放入甲的底部． ①当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后，两量筒内的水位高度恰好相等，求x的值． ②若要使乙放入甲之后，甲、乙水位的高度之比为，且均为整数，求h的值． 20．在下边的的方格图中，已经有3格分别填入11、18、20三个数，如果中心方格填入的数为，且每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于．试用和的代数式填在相应的空格内，并求出、的值． 11 18 20 真题感知 一、单选题 1．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 3．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 6．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 二、填空题 11．（2021·浙江金华·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是 ． 12．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）． 13．（2017·内蒙古包头·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值为 ． 14．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 三、解答题 15．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． (1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． (2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 认识二元一次方程组 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 二元一次方程的定义考点梳理 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程．典例引领 考向01 二元一次方程的定义 【例1】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程，逐个选项判断． 【详解】解：二元一次方程需满足：①含有两个未知数；②未知数的次数为1；③整式方程． A. 只含一个未知数，且项次数为2，此选项不符合题意； B. 含两个未知数x和y，次数均为1，是整式，此选项符合题意； C. 含两个未知数，但项次数为2，此选项不符合题意； D. 含两个未知数，但不是整式，此选项不符合题意． 故选：B．对点提升 【对点1】已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）逐一判断各方程即可得到答案． 【详解】解：①中，项的次数为2，不符合定义； ②是整式方程，含有两个未知数，且未知数的次数均为1，符合定义； ③不是整式方程，不是二元一次方程； ④中项的次数为2，不符合定义； ⑤整理后为，是整式方程，且含有未知数的项的次数均为1，符合定义． 故答案为：②⑤． 考点02 二元一次方程的解考点梳理 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解．典例引领 考向01 二元一次方程的解 【例1】已知关于、的不定方程有一组解是，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的解，准确的计算是解决本题的关键． 将已知解代入不定方程，得到关于a和b的等式，通过简化等式直接求出的值即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 故答案为：3．对点提升 【对点1】如果一个正三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵5＝3＋2，∴352是“和好数”，把一个和好数m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把m的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为 ；若三位数A是“和好数”，且是完全平方数（一个整数的平方），则所有符合条件的A的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 96 792 【分析】本题主要考查了完全平方数，新定义，根据“和好数”的相关定义计算即可；根据“和好数”的定义，计算和后求和；设和好数的百位数字为，个位数字为，则十位数字为，表达和，求，使其为完全平方数，确定的可能值，找出所有符合条件的，再求最大值与最小值的和． 【详解】解：对于，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，， 故； 设三位数的百位数字为，个位数字为，则十位数字为， ∴有，，，，， 则，令其等于完全平方数， ∴即为完全平方数， ∴必须为形式（为正整数），且， 解得或，即或； 当时，，，，； 当时，，，，或，，，； 所有符合条件的为，，，最大值为，最小值为， 和为． 故答案为：96；792． 考点03 二元一次方程组的定义考点梳理 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 典例引领 考向01 判断是否是二元一次方程组 【例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组中应只含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1．根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 含二次项xy，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意，     B． 含三个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意，     C． 是二元一次方程组，故该选项符合题意，     D． 含二次项，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意 故选：C．对点提升 【对点1】已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中， 是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 考点04 二元一次方程组的解考点梳理 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解．典例引领 考向01 判断是否是二元一次方程组的解 【例1】在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 考向02 已知二元一次方程组的解求参数 【例2】若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将二元一次方程的解代入方程，得到关于的方程，通过求解一元一次方程得到的值． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 解得． 故答案为：． 对点提升 【对点1】在①②③中， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程组的解．（填序号） 【答案】 ①③ ②③ ③ 【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值是解题的关键． 根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可． 【详解】解：将代入方程成立，②代入得，方程不成立， 将代入方程成立，①代入，方程不成立， 将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立． 故答案为：①③；②③；③． 【对点2】若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（   ） A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入是解题关键． 将已知解代入方程求出y，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入得， 解得， ∴， 将代入得，， ∴， 故和分别为5和2． 故选A． 考点05 根据实际问题列二元一次方程组考点梳理 列二元一次方程组的步骤： （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 典例引领 考向01 根据实际问题列二元一次方程组 【例1】我国明代数学专著《算法统宗》中有一道题，其大意为客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，若客人为x人，银子为y两，根据题意可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据每人7两，还剩4两；每人9两，则差8两，列出方程组即可． 【详解】解：客人为x人，银子为y两，由题意可得：； 故答案为： 考向02 根据几何图形列二元一次方程组 【例2】如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图．根据题意和图，找出合适的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：由题意和图可得， ． 故答案为：．对点提升 【对点1】我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据“人出七，盈二”表示总钱数比货物总价多2钱，可得；根据“人出六，不足三”表示总钱数比货物总价少3钱，可得． 【详解】解：∵每人出7钱，多2钱， ∴； ∵每人出6钱，差3钱， ∴； ∴可列方程组为． 故选：B． 【对点2】如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 由图示可得等量关系：①2个长个长个宽，②一个长一个宽，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为，根据题意，得： ，即． 故选：C． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．已知是方程的一个解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，把代入方程，得到关于的一元一次方程，然后求解即可，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得：， ∴， ∴， 故选：． 2．今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（  ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，熟练掌握根据实际问题的数量关系列方程，并结合正整数条件确定方程的解是解题的关键．设购买A、B型铁锹的数量为未知数，根据总价列出方程，化简后结合正整数条件确定未知数的取值，进而得到购买方式的数量． 【详解】解：设购买A型铁锹把，B型铁锹把，则 ， 解得， ∵为正整数， ∴是5的倍数，即是5的倍数． 设（为正整数），代入得， 解得， ∵，， ∴， 解得． 为正整数， 可以取， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，． 共有7种购买方式． 故选：B． 3．学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组；根据型客车情况，总人数等于座位数加无座人数；根据型客车情况，空出一辆车，实际使用车辆数减一，且一辆车只坐人，其余坐满，列出方程． 【详解】解：设计划租用辆车，共有学生和带队教师人， 选用型客车时，一辆车坐人，有人无座， 总人数，即． 选用型客车时，空出一辆车，实际使用车辆为辆， 其中一辆只坐人，其余辆车坐满人， 总人数． 因此，方程组为， 故选：B． 4．在重庆二外组织的教职工篮球比赛中，初二龚老师在一场比赛中共投篮14次，投中了10次得19分．若他投中了2个三分球，则他还投中了几个两分球和几个罚球？（罚球投中一次记1分）若设投中个两分球，个罚球，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查设初二龚老师还投中了x个两分球，y个罚球，由题意知初二龚老师在一次比赛中14投10中得19分．若他投中了2个三分球，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设初二龚老师还投中了x个两分球，y个罚球， 由题意得：， 故选：C． 5．某校去年有学生1000名，今年比去年增加，其中住宿学生增加，走读生减少．若设该校去年住宿学生有x名，走读学生有y名，则根据题意可得方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去年学生总数可得；今年总增加人数为，其中住宿生增加，走读生减少，故增加量方程为解答即可． 【详解】解：设去年住宿生x名，走读生y名， ∵ 去年总学生数为1000， ∴； ∵今年总增加人数为，其中住宿生增加，走读生减少，故增加量方程为 故方程组为， 故选：A． 6．在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了赵爽弦图，二元一次方程组，勾股定理，根据赵爽弦图，将正方形分成4个全等的直角三角形，和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为，那么，然后解方程组，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：将每个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为， 那么， ， 正方形的边长为， 故选：B． 7．某生产线共有80名工人，每名工人每天可生产16个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压表和电流表配成套，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据根据得到电压表数量和电流表数量的等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表， 根据题意有：， 故选：A． 8．方程组所对应的函数图象如图所示，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的对应关系是解题的关键．先根据函数图象的交点坐标确定方程组的解，再将解代入方程组求出、的值，最后计算． 【详解】解：由图象可知，方程组的解为． 把代入，得，解得． 把代入，得，解得． 所以． 故选：D． 9．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名．如图1，计算，计算步骤为：（1）数位分解：将乘数326和53按数位拆分，分别写在网格的上方和右方；（2）逐位相乘：将326的每位数字乘以53的每位数字，每一步乘积结果的十位和个位分别记入小正方形相应的格子中．乘积结果小于10时，十位数字记为0；（3）分区域累加：从右往左沿斜线方向对乘积结果进行累加，累加结果逢十进一，并将结果分别写在网格的下方和左侧；（4）组合结果：沿网格左侧和下方按从上往下，再从左往右依次写出各个数字，结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法：①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④．其中正确的个数是（   ） 图1                图2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程的解的含义，由题意可得：，，其中，，都为整数，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图， 由题意可得：，，其中，，都为整数， ∴，， 其中，，，不符合题意， 如图， ∴，，， ∴①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④， ∴①②③④都正确； 故选：D 10．二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．本题是求不定方程的自然数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有自然数值，再求出另一个未知数的值． 要求二元一次方程的自然数解，首先将方程做适当变形，根据两个未知数的取值范围，分析解的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，共有4对自然数解． 故选：C． 2、 填空题 11．若是一个二元一次方程，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数都必须为1，且y的系数不能为零． 【详解】解：∵是一个二元一次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． 12．某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有 种． 【答案】4 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程解决实际问题，解题的关键是利用特殊值分类进行讨论． 假设2元的有张，5元的有张，根据花费钱数，列出二元一次方程，然后利用特殊值进行讨论即可． 【详解】解：假设2元的有张，5元的有张，根据题意得， ， 整理得， 根据题意得，都是正整数， ∴是2的正整数倍， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴付款方式共有4种， 故答案为：4． 13．对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大2，个位上的数字比十位上的数字大2，则称为“阶梯数”．对于一个“阶梯数”，把的千位数字放在最右边，得到一个新的四位数，规定：．例如：，因为，，所以1324是“阶梯数”；将的千位数字1放在最右边，得到，．那么 ；对于任意四位自然数（，，，均为整数），又规定：．若四位自然数、是“阶梯数”，其中的千位数字为（是整数且），十位数字为；的千位数字为4，个位数字为（是整数且）．若能被11整除，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 180 224 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整除的含义，二元一次方程的整数解的含义，不等式的性质，理解题意，确定合适的方法解题是关键．①根据“阶梯数”的定义逐一分析，再计算即可；②根据新定义的含义可得：，再根据整除的含义及m，n的取值范围分别确定m，n的值，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴是“阶梯数”； ∴； ∵C的千位数字为n（n是整数且），十位数字为5； ∴C的百位数字为（n是整数且），个位数字为7； ∴， ∵D的千位数字为4，个位数字为m（m是整数且）， ∴D的百位数字为6，十位数字为（m是整数且）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵能被11整除， ∴， ∴； ∵，，， 当，则，不符合题意，舍去； 当，则， 此时， ∴； 当，则， 此时， ∴； 当，则， 此时， ∴； 当，则， 此时， ∴； 综上：满足条件的的最大值为， 故答案为：180，224． 14．一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“等和数”．将“等和数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除．则 ．在此条件下，若为整数，则满足条件的M的和为 ． 【答案】 9 15444 【分析】本题考查整式加减的实际应用，数字类规律探究，二元一次方程的整数解，熟练掌握新定义，是解题的关键． 根据题意，得到，，，进而得到，根据N能被9整除，得到能被9整除，求出的值，求出，得到能被13整除，根据，，得到，进而得到，推出除以13余1，进而得到，求出符合题意的的值，进而求出符合条件的的值，求和即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴ ， ∵能被9整除， ∵N能被9整除， ∴能被9整除， ∵2与9互质， ∴能被9整除， 又∵，，，互不相等且均不为0， ∴； ∵ ， ∴， ∵为整数， ∴能被13整除， ∵，， ∴， ∴ ， ∴能被13整除， ∴除以13余1才能被13整除， ∵，， ∴满足除以13余1的数只有14，即， 又∵，，，互不相等且均不为0， ∴，或，， ∴或， ∴； 故答案为：9，15444． 15．现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、方程组的应用等知识点，根据图形表示出、、、成为解题的关键． 先根据图形表示出、、、，再根据方程组得到a、b、c的关系，然后代入计算即可． 【详解】解：图2中阴影部分的周长，面积； 图2中阴影部分的周长，面积； ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴． 故答案为：． 3、 解答题 16．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 17．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．五进制数，其各数位上的数字为0，1，2，3，4，将五进制数表示成各数位上的数字与5的幂的乘积之和的形式，就可以转换成十进制数． 例如：（规定，当时，），即五进制数1234转换为十进制数就是194． (1)一个十进制的两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，将m与n对调，新的两位数比原两位数小54．这个十进制的两位数可能是______（写出所有可能的结果）； (2)一个五进制的三位数，其各数位上的数字都相同，将它转化为十进制数，恰好是（1）中的一个两位数，则这个五进制的三位数是______． 【答案】(1)71，82，93 (2)333 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出二元一次方程，进行求解即可； （2）设三位数上的各数位的数字均为，利用进制之间的转化关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 即， ∵，，且均为整数， ∴或或， ∴这个十进制的两位数可能是71，82，93； （2）设三位数上的各数位的数字均为，由题意，转化为十进制的数为， ∵为整数， ∴转化后的数是31的倍数， 故，解得， 故这个五进制的三位数是333． 18．为响应政府“五水共治”的统一部署，我市某开发区决定将企业的污水集中收集，统一处理，决定用750万元购买12台污水处理设备．现有三种型号的污水处理设备供选择，设型设备应各买入台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 C型 价格（万元/台） 80 60 55 月处理污水量（吨/台） 2000 1900 1800 (1)购买C型设备________台（用含的代数式表示）； (2)写出购买三种设备的所有方案； (3)为使月处理污水量达到最大，型设备应各买几台？最大月处理污水量为几吨？ 【答案】(1) (2)方案1：A型2台，B型8台，C型2台，方案2：A型3台，B型3台，C型6台 (3)购买A型2台，B型8台，C型2台时，月处理污水量最大为22800吨 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程的解，有理数的四则混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据购买12台污水处理设备，型设备应各买入台，即可表示出购买C型设备数量； （2）根据750万元可得，化简得到，而均为整数，然后分类讨论求解即可； （3）分别计算两种方案的月处理污水量，然后比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，购买C型设备台， 故答案为：； （2）解：由题意可得： 化简得：． 均为整数， ∴方程的解为：． 总共只有12台， ∴只能或． ∴2种方案分别是：A型2台，B型8台，C型2台；A型3台，B型3台，C型6台． （3）解：由题意：选第一种方案，共可处理污水（吨）． 选第二种方案，共可处理污水（吨）． ∴当购买A型2台，B型8台，C型2台时，月处理污水量最大为22800吨． 19．如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低． (1)若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？ (2)如图2，倒水后将乙放入甲的底部． ①当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后，两量筒内的水位高度恰好相等，求x的值． ②若要使乙放入甲之后，甲、乙水位的高度之比为，且均为整数，求h的值． 【答案】(1) (2)①；②12 【分析】本题考查圆柱的体积，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用及二元一次方程的正整数解，掌握利用方程的思想解决实际问题是解题的关键． （1）先计算甲的水位降低时倒出的水的体积，再计算乙的底面积，林用倒出的水的体积除以乙的底面积可得答案；得出甲的水位为：，乙的水位为：，再由甲，乙的水位高相等建立方程，解方程可得答案； （2）①由题意可得：倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，则，可得乙的水位的高度为，再利用甲的高度也是，列方程，再解方程可得答案；②由乙的水位高为，放入甲后甲的水位高为：，再利用乙放入甲之后，甲、乙水位的高度之比为，列方程，利用二元一次方程的正整数解可得答案． 【详解】（1）解：∵甲的底面半径为，甲的水位降低， ∴倒出的水的体积为：， ∵乙的底面半径， ∴乙的水位增加：， ∴甲的水位为：，乙的水位为：， ， ， ， ， 即甲的水位高为：． （2）解：①由题意可得：倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，则，可得乙的水位的高度为， ， ， ， ． ②由题意得：乙的水位高为，放入甲后甲的水位高为：， ， ， ， ∵为正整数， ∴时，．而时，不合题意舍去， ∴的值为： 12 ． 20．在下边的的方格图中，已经有3格分别填入11、18、20三个数，如果中心方格填入的数为，且每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于．试用和的代数式填在相应的空格内，并求出、的值． 11 18 20 【答案】见解析， 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的解法，先根据每行、每列、每条对角线的和都等于，用和表示空格中的数；再利用中心数与和的关系及某条线的和建立方程，求解和的值． 【详解】解：由题意可得第一行第三个数为， 由题意可得第二行第三个数为， 由题意可得第三行第一个数为， 由题意可得第三行第三个数为， 由题意可得第三行第三个数为， 根据对角线3个数之和为，列出方程可得， 整理得：， 解得： 真题感知 一、单选题 1．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程． 【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为， 则：，即， 故选A． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个，根据题意列出方程，根据整数解的个数，即可求解． 【详解】解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个， 依题意， ∴ ∵，为正整数， ∴当时，， 当时， 当时， 当时， ∴购买方案有4种， 故选：B． 3．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 4．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组为：； 故选C． 5．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是正整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程，找出满足x、y为非负整数的解的组数． 【详解】解：设购买足球x个，篮球y个， 根据题意得：，即， 则， ∵都是非负整数， 解得：（不符合题意，舍去）或或或或或（不符合题意，舍去）， ∴共有4种购买方案， 故选：C． 6．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得， 由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得， 因此可列方程组， 故选D． 7．（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，列出方程组即可． 【详解】解：设设合伙人数为x人，金价为y钱，由题意，得： ； 故选B． 8．（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 9．（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可． 【详解】解：设甜果x个，苦果y个， ∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为： ∵甜果9个11文，苦果7个4文， ∴甜果每个单价为文，苦果每个单价为文， ∵总费用为999文，故可列方程为：； 故可列方程组：； 故选C． 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可． 【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． 二、填空题 11．（2021·浙江金华·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】∵是方程的一个解， ∴6+2m=10， 解得m=2， 故答案为：2． 12．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）． 【答案】（或或，写出一种即可 ） 【分析】设截成长的钢管根，长的钢管根，根据钢管总长为列出方程，再结合、为正整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求正整数解是解题的关键． 【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根． ∵ 钢管总长， ∴ ，即 ． 又∵ 、为正整数， 当时，，总根数为； 当时，，总根数为； 当时，，总根数为 ． 故答案为：（或或，写出一种即可 ）． 13．（2017·内蒙古包头·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，掌握二元一次的解的意义成为解题的关键 把代入得到关于a、b的二元一次方程组，求之可得a、b的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：把代入可得：，解得， ∴． 故答案为1． 14．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 三、解答题 15．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． (1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． (2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元 (2)乙商店硬面笔记本的原价18元 【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 故甲商店硬面笔记本的单价为16元； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元， 由题意可得， 解得， 根据题意得， 解得， 为正整数， ，，，，，分别代入， 可得，，，，， 由单价均为整数可得， 故乙商店硬面笔记本的原价18元． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $