【青桐鸣大联考】2026届高三12月联考数学（A卷）试题

秘密★启用前 2026届普通高等学校招生全国统一考试 脊桐鸣大联考（高三） 数学(A卷) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答聚标号涂黑。如需 经 改动，用根皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试站束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合M={-1,0,1,2,3},N={x|x-4<0),则M∩N= A(-1,0) B.{-1,0,1) C.0,1,2) D.1,2) 中 2.复数：满足：=(1一2i)=2一i,i为虚数单位，z为z的共轭复数，则|z+i= A号 B号 c号 D25 3.已知a为实数，p:3x∈(0，十∞)，ax-x十1<0：q:f(x)=x2-2ax在(0，十∞)上单调 递增，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°，E,F分别为线段 BC,CD的中点，则AE.A下= A号 B.5 c号 D.13 函 )品 5.函数(x)=x+1 2-1+1 的对称中心是 A.(0,0) c(1引 .引 数学试题(A卷)第1页（共4页） 6如图，双曲线无-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F,P,过F,的直线交双曲线的 右支于A,B两点，且∠F,AF:=90°，|F:B|=3|F:A|,则此双曲线的离心率为 3 B.2 C.5 D.0 2 7.已知函数f八x)=in(ar十g)(o>0)的一条对称轴是x=-行，且了(x)在(x,）上单调， 则如的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7 8.在正四棱锥A-BCDE中，AB=BC=2,过A,C,D三点的球的体积最小时，球被平面 BCDE所截截面的面积为 A” 5π 03 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线l:y=k(x一1)十1与⊙O:x2+y2=4交于A,B两点，k为实数，则下列正确的有 A.|AB|的最大值为4 B.|AB引的最小值为√3 C.若|AB|=2√3，则k=3 D.若⊙O上恰有4个点到直线！的距离为1，则k>0 10.已知正方体ABCD-A1B,C,D1的梭长为2，M,N分别为线段BC,CC1的中点，则下列正 确的有 A.D,N与AM互为异面直线 B.MN⊥A,C C.过MN有且仅有一个平面与平面ACD,平行 D.三校锥A1-DMN的体积为对 数学试题(A卷)第2页（共4页） 2,x<1, 11.已知函数f(x)= (x)=f(f(x)=a的零点个数为m,a为实数，则下列正 3-x,x≥1， 确的有 A.当a=2时，m=2 B.当1<a<2时，m=3 C.g(x)在(0,1)上单调递增 D.g(x)在(1,2)上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知斜率为的直线交y=2px(p>0)于A,B两点，AB的中点坐标为(3,2)，则 P= 13.已知9e0,爱引sin20=sml0+写》则cos30= 14.已知数列la.)各项的排列规律如下：1,1,2,1,2,3,1,2,3,4，，其前n项的和为S.,则 S.<2026时n的最大值为 参考公式：1×2+2X3+…+n(n+1)= 3n(n+1)(n+2). 1 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2b=2,D为BC的中点，E为 BC上-点，AE平分∠BAC (1)若C=3B,求△ABC的面积； (2)若an∠DAE 24求an∠BAC的值. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=90°，AB∥CD,AB=2CD,PA=PD=CD=BC= 1,PB=√3. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求点C到平面PBD的距离. 数学试题(A卷)第3页（共4页） 17.(15分) 已知椭圆三+=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),右顶点为A,FA=,5-2 (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线l交该椭圆于M,N两点，且∠MAN=90°，O为坐标原点，当△MON的面积 最大时，求L的方程 18.(17分) 已知西数/=hx一ar有两个零点1a∈R函数R(x)=hx-22干 2(x-1) (1)求a的取值范围； (2)证明：(x一1)g(x)≥0： (3)证明z1+x,>1-lha a 19.(17分) 已知数列a}满足：a1二子，2a.=(1+2*1)a.*0。 (1)求a2,a,的值. (2)已知A.=a1十a:+…十a. (|)求A.: (I)若A1十A:十…+A.<2026,求出满足条件的n的最大值. 数学试题(A卷)第4页（共4页）秘密★启用前 2026届普通高等学校招生全国统一考试 脊桐鸣大联考（高三） 数学(A卷) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答聚标号涂黑。如需 经 改动，用根皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试站束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合M={-1,0,1,2,3},N={x|x-4<0),则M∩N= A(-1,0) B.{-1,0,1) C.0,1,2) D.1,2) 中 2.复数：满足：=(1一2i)=2一i,i为虚数单位，z为z的共轭复数，则|z+i= A号 B号 c号 D25 3.已知a为实数，p:3x∈(0，十∞)，ax-x十1<0：q:f(x)=x2-2ax在(0，十∞)上单调 递增，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°，E,F分别为线段 BC,CD的中点，则AE.A下= A号 B.5 c号 D.13 函 )品 5.函数(x)=x+1 2-1+1 的对称中心是 A.(0,0) c(1引 .引 数学试题(A卷)第1页（共4页） 6如图，双曲线无-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F,P,过F,的直线交双曲线的 右支于A,B两点，且∠F,AF:=90°，|F:B|=3|F:A|,则此双曲线的离心率为 3 B.2 C.5 D.0 2 7.已知函数f八x)=in(ar十g)(o>0)的一条对称轴是x=-行，且了(x)在(x,）上单调， 则如的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7 8.在正四棱锥A-BCDE中，AB=BC=2,过A,C,D三点的球的体积最小时，球被平面 BCDE所截截面的面积为 A” 5π 03 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线l:y=k(x一1)十1与⊙O:x2+y2=4交于A,B两点，k为实数，则下列正确的有 A.|AB|的最大值为4 B.|AB引的最小值为√3 C.若|AB|=2√3，则k=3 D.若⊙O上恰有4个点到直线！的距离为1，则k>0 10.已知正方体ABCD-A1B,C,D1的梭长为2，M,N分别为线段BC,CC1的中点，则下列正 确的有 A.D,N与AM互为异面直线 B.MN⊥A,C C.过MN有且仅有一个平面与平面ACD,平行 D.三校锥A1-DMN的体积为对 数学试题(A卷)第2页（共4页） 2,x<1, 11.已知函数f(x)= (x)=f(f(x)=a的零点个数为m,a为实数，则下列正 3-x,x≥1， 确的有 A.当a=2时，m=2 B.当1<a<2时，m=3 C.g(x)在(0,1)上单调递增 D.g(x)在(1,2)上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知斜率为的直线交y=2px(p>0)于A,B两点，AB的中点坐标为(3,2)，则 P= 13.已知9e0,爱引sin20=sml0+写》则cos30= 14.已知数列la.)各项的排列规律如下：1,1,2,1,2,3,1,2,3,4，，其前n项的和为S.,则 S.<2026时n的最大值为 参考公式：1×2+2X3+…+n(n+1)= 3n(n+1)(n+2). 1 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2b=2,D为BC的中点，E为 BC上-点，AE平分∠BAC (1)若C=3B,求△ABC的面积； (2)若an∠DAE 24求an∠BAC的值. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=90°，AB∥CD,AB=2CD,PA=PD=CD=BC= 1,PB=√3. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求点C到平面PBD的距离. 数学试题(A卷)第3页（共4页） 17.(15分) 已知椭圆三+=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),右顶点为A,FA=,5-2 (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线l交该椭圆于M,N两点，且∠MAN=90°，O为坐标原点，当△MON的面积 最大时，求L的方程 18.(17分) 已知西数/=hx一ar有两个零点1a∈R函数R(x)=hx-22干 2(x-1) (1)求a的取值范围； (2)证明：(x一1)g(x)≥0： (3)证明z1+x,>1-lha a 19.(17分) 已知数列a}满足：a1二子，2a.=(1+2*1)a.*0。 (1)求a2,a,的值. (2)已知A.=a1十a:+…十a. (|)求A.: (I)若A1十A:十…+A.<2026,求出满足条件的n的最大值. 数学试题(A卷)第4页（共4页） 2026届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学(A卷)参考答案 1.B【解析】N={x-2<x<2},故M∩N={-1, ∈2，因为f(x)在(，)上单调，放3，∈Z 0,1}. 故选B 3 2.D【解折1-2-D1+D-+放 3 使得： 即 k。≤w≤ 元(k,十1)元、7π 37 =-+=√借+(-25 3 2 3(k。+1)(,∈Z,由4k≤3(k。+1)(k∈Z), 故选D. 解得。≤8(k。∈Z),当。=8时，w可取最大值 3.B【解析】p:a<-- x 为6. 故选C +∞)，a<-t2+t,∴.a< 4,9:a≤0，故p是q的 8.A【解析】过A,C,D三点的球，体积最小时球心 必要不充分条件， 故选B. 0为△ACD的重心，球的半径为2，易求得楼锥 4.C【解析】A位=A店+2A市，A市=A店+A心， 的高为反，O到平面BCDE的距离为h= 3,截面 A正.A-A+号Ad+A店，A心=4+ 圆半径设为r,则r2= 2312 3/ g,故截 513 10 2-2 面的面积为9不。 故选C. 故选A. 5.D【解折15得g)2十1号为奇商数。 9.AD【解析】当|AB|为直径时，|AB|取最大值为 4,故A正确； 设M(1,1),当OM⊥AB时，|AB|取最小值为 2√4-2=2√2，故B错误； 故得()=x十2中12为奇函数，放了x+D 画图可知：AB|=23时，k=0,故C错误； 关于点(0，)中心对称，故f)的对称中心为 仅当O到AB的距离小于1时，⊙O上有4个点到 ,》 1的距离为1，-<1，解得>0，赦D正确。 √1+k2 故选D. 故选AD. 6.D【解析】设|F2A|=m,则|FzB|=3m, 10.BCD【解析】MN∥AD1,故AM与D1N共面，A |F1A|=2a+m,lF1B|=2a+3m, 错误；A1B1⊥平面BCCB,又MNC平面 易得(2a十m)2+(4m)2=(2a+3m)2,故m=a, BCC1B1,故A1B1⊥MN,又B1C⊥MN,且 A1B1∩B1C=B1,故MN⊥平面A1B1C, 故在△FAF,中，(3a)2+a2=(2c),故e= 21 又A1CC平面A1B1C,故MN⊥A1C,B正确； 故选D. MN∥AD1,得MN∥平面ACD1,取CD,的中点 7.C【解标】)的对称轴可表示为：x=一音+ 为H,易知HN∥平面ACD,,又MN∩HN= N,又MN,HNC平面MNH,则平面MNH即 ·数学答案(A卷)（第1页，共5页)· 为过MN且与平面ACD1平行的平面，C正确； 2k∈zD或20+0+=+2kx(k∈Z,对 20-0+晋+2m→0-F+2x∈D,不符合 题意：对20+9十2=x十2炎→0=吾+2张r(k∈ 3 91 3 A Z,仅当k=0时符合题意，0=日，故39=子，故 1 cos 30=- 2 D 14.254 【解析】将数列写成以下形式： 1 延长DD1到Q,使D1Q=DD1,则A1Q∥MN,故 12 Vm=VaN=Vao号·（台×4xgj1 123 … 含D正确， 123…k 故选BCD. 11.AD【解析】f(x)的图象如图，当a=2时， 第长行的所有效之和为士，前长行的所有 f(f(x))=2,得f(x)=1有两解，故A正确； 数的总和为1X2+2X3+…十k(k+1)]= (k+1D(质+2)，：k=2时，写×22×23× 1 24=2024,若再加上第23行的第一个数1，总和 恰等于2025，加两个数则大于2026，故n的最大 值为1+2+…+22+1=254. a∈(1,2)时，f(f(x)=a,令f(x)=t,则f(t)= a,有两解：t1,t2,t1∈(0,1)，t2∈(1,2)，f(x)= 1解：后-合2，即nC=2snB. t1f(x)=t2各有两解，故B错误； sin C=sin 3B=sin(B+2B)=sin Bcos 2B+ 令t=f(x),则g(x)=f(t),在x∈(0,1)上，t= cos Bsin 2B=sin B (1-2sin2B)+cos B. f(x)单调递增，且t∈(1,2)，g(x)=f(t)(t∈ 2sin Bcos B=2sin B, (1,2))单调递减，故g(x)=f(f(x)在(0,1)上 可得1-2sin2B+2cos2B=2, (2分) 单调递减，C错误； 在x∈(1,2)上，t=f(x)单调递减，且t∈(1,2)， 可得iB=子，则snB=分放B=吾，3分) g(x)=f(t)(t∈(1,2)单调递减，故g(x)在(1， 故C-2则a=5, (4分) 2)上单调递增，故D正确. 故选AD. 故S6e=号X5X1= 2 (5分) 12.1【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1= 2px1,y=2px2y1-y=2p(x1-x2), (2设∠DAE=8,号AB·ADsn(8AC-0）= 二头(，+y)=2p,其中二=； x1一x2 x1-x22y1十 吉Ac·ADm(BC+. (7分) y2=4,故2×4=2p,故p=1. 又因为AB=2AC,则2m(8C-0） 13.号【解折1sin20=sin(0+经)，放20=0+红+ n(AC+0）,又am0-7,则s血0=云： ·数学答案(A卷)（第2页，共5页）· 24 c0s0=25' (9分) 因为AM·AN=0,所以可知(x1-√5)(x2 (器 ∠BAC V5)+y1y2=0,将y1=kx1十t,y2=kx2十t代人 ∠BAC sin 2 25 cos 2 整理得：(1+2)x1x2+(t-√5)(x1+x2)+ 24 ∠BAC+ 25 sin ∠BAC ∠BAC t2+5=0(*), (6分) 2 25 cos 2 则tan 2 将y=x十t代人椭圆方程整理得：(1十5k2)x2+ 7 (11分) 10ktx+5t2-5=0, 8 -10kt 5t2-5 2× 8 112 故x1+x:1+5,x12:=1+5k2 (7分) tan∠BAC (13分) 1-( 15 代人(*)式： (1+e).512-5 -10kt 16.解：(1)证明：因为PA=1,PB=√3，AB=2,则 1+5+(1-5)·1十5+2+5= ∠APB=90°，即PA⊥PB, (1分) 0,整理得：3t2+5√5kt+10k2=0, (8分) 取AB的中点M,则MB∥CD,且MB=CD,则 (3t+2√5k)(t十√5k)=0,若t+√5k=0,则t= BCDM为平行四边形，则∠DMB=90°，(2分) -√5k,l:y=kx-√5k=k(x一V5),过点A,不 易知AD=√2， 合题意； 又PA=PD=1,则PA⊥PD, (3分) 故t=一 2√5 又PD∩PB=P,可知PA⊥平面PBD,(4分) 3 ,故1：=(x-2y5) (9分) 3 又BDC平面PBD,所以PA⊥BD, (5分) 2W5 又AD=BD=√2，且AB=2,所以可得∠ADB= 原点O到l的距离：d= 3包 ,MN= 90°，所以BD⊥AD, (6分) V1十k2 又AD∩PA=A,故BD⊥平面PAD, √W1+k √100k12-4(1+5k)(5t2-5) 又BDC平面ABCD,所以平面PAD⊥平面 1+5k2 ABCD. (7分) V1+.V201+5k2-t) 1+5k2 (2)设C到平面PBD的距离为l1, VC-PBD-VP-BCD 将t=一 25é代人得：MN=1+及· 3 (11分) 21+k】 易知在△PBD中，∠BDP为直角， (11分) 1+5k2 Sm=号X1X2- 2 (13分) 故SAMON= y MN=号·+ .√2_√2 1 25 毛3人4·2=2则1=2 (15分) 251+ 25 3 17.解：(1)易知c=2,a一c=√5-2，则a=√5， 1+5k √/1+k2 (2分) 10 (9+25k)k2 9 故b=√a2-c2=1, V(1+5k2)2, (4分) 故椭圆的标准方程为号+y=1。 (5分) 令1+5k2=n(n>1),则 (9+25k2)k2 (1+5k2)2 (2)易得1的斜率不为0，当1的斜率存在时，设1 (n+号】 的方程为：y=kx十t,M(x1,y1),N(x2y2),已 （-是+5)，令】m, 知A(W5,0), -4m2-m+5(0<m<1)的范围为(0,5)， ·数学答案(A卷)（第3页，共5页）· 所以S∈(,）， (13分) 故可得a(x2+x1)>1-lna,即x1+x2> 1-In a (17分) 当1的斜率不存在时，1x=2y5 3 2 19.解：(1)n=1时，2a1=(1+22)a2,故a2= 5a1 不劾设M(色》，N,-写)，易每： 15 (2分) -1×2y5×25_10, 10 SAMON-2X 3 3 =9,故最大值为g,1 =2时，2a4=1+2a放a,-号a186 8 的方程为x=25 (15分) (4分) 18.解：Df'(z)=-a=1-ag -a= (1分) (2)(1)当n≥2时，由2+1=，2 x a,1+27,可知an- a≤0时，f'(x)>0,f(x)为增函数，不合题意； 2 2 a-1 an-2 (2分) 2 2 2 a>0时，在0，)上，f'(x)>0,f(x)单调递增， 1十2×号-1+201+20…1+25 2"+1-1 在（日，十∞）上，f'(x)<0,f(x)单调递减， (1+2)(1+22)…(1+2) 1 (4分) (1十2)(1+22)…(1+2”-1) 故值域为(-∞，-lna-1),故-lna-1>0,则 1 (6分) 。的取值范图为6，) (5分) (1+2)(1+22)…(1+2")1 故Am=a1十a2十…十am= 2 1 1 4 (2)证明：g(x)=元一(x+1) (x-1)2 +1+2一 x(z+1)2≥0， 故g(x)为增函数， (6分) 1+2)(1+2)十(1+2)(1+2) x>1时，g(x)>g(1)=0,(x-1)g(x)>0. 1 (7分) 1+2)(1+22)1+2)+…+ x=1时，(x-1)g(x)=0, (8分) 1 (1+2)(1+22)…(1+2”-1) 0<x<1时，g(x)<g(1)=0,故(x-1)g(x)>0. 1 综上，(x-1)g(x)≥0. (9分) 1+2)(1+2)…(1+2)=1- (3)证明：不妨设0Kx<分<：，则0<a<1, 1 (1+2)(1+22)…(1+2”)1 (8分) 由lnx1-ax1=0,可得ax1=lnx1=lnax1 I ax2(az-1) 当a=1时，A:=1-号号满足上式，(9分) ax1+1 -In a, (11分) 1 即(ax1)2+ax1<2ax1-2-lna(ax1+1),化为 综上A.=1-1+2)(1+22)…(1+2) (ax1)2+(lna-1)·ax1十2+lna<0(*), (10分) (13分) (i)A,十A:+…+A.=g-[十2十 同理，ax2>1,可得：(a.x2)2+(na-l)·ax2十 2+lna>0(**), (1+2)(1+2)+…+ (**)-(*)得：(ax2)2-(ax1)2+(lna-1)· 1 (ax2-ax1)>0, (15分) (1+2)(1+22)…(1+2”)」， (12分) ·数学答案(A卷)（第4页，共5页）· 其巾0<中2+a+2a+2+十 1 故A1+A2+…+An∈(n-1,n), 故A1十A2十…十A226<2026<A1十A2+…+ a+2a+20412}++42 2n A2027, ∴.n的最大值为2026. (17分) (14分) ·数学答案(A卷)（第5页，共5页）· 2026届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学(A卷)评分细则 12.1 易知AD=√2， 1品号 又PA=PD=1,则PA⊥PD, (3分) 又PD∩PB=P,可知PA⊥平面PBD,(4分) 14.254 又BDC平面PBD,所以PA⊥BD, (5分) 15.解：1)号-sn5=2,即sinc=2sinB, 又AD=BD=√2，且AB=2,所以可得∠ADB= j sin C=sin 3B=sin(B+2B)=sin Bcos 2B+ 90°，所以BD⊥AD, (6分) cos Bsin 2B=sin B (1-2sin2B)+cos B. 又AD∩PA=A,故BD⊥平面PAD, 2sin Bcos B=2sin B, 又BDC平面ABCD,所以平面PAD⊥平面 可得1-2sin2B+2cos2B=2, (2分) ABCD. (7分) 可得imB=子，则nB=号散B=答，3分) (2)设C到平面PBD的距离为L1, Vc-PBD=VP-BCD 放C=受，则a=, (4分) 则5m写×号x名侣， (11分) 故Sam=号X5X1- 2 (5分) 易知在△PBD中，∠BDP为直角， (2)设∠DAE=0,7AB·ADsin(BAC 1 1 2 0= aSam-号X1XyE- 2 (13分) Ac,ADn(∠2c+. (7分) √2√2 1 2=12则4=2 (15分) 又因为AB=2AC,则2sn(BAC-g）- 17.解：(1)易知c=2,a-c=√5-2，则a=√5， (2分) sn(BAC+0),又ang-7,则sng-3: 7 故b=√a2-c=1, (4分) m6-器 (9分) 放椭圆的标准方程为写十y”=1。 (5分) 2(器 sin ∠BAC 7 ∠BAC (2)易得1的斜率不为0，当1的斜率存在时，设1 2 25 cos 的方程为：y=kx十t,M(x1,y1),N(x2,y2),已 24sin∠BAC+ 25sin 25 cos ∠BAC ∠BAC 2 ，则tan 2 知A(W5,0), 因为AM·AN=0,所以可知(x1-√5)(x2 8 (11分) √5)十y1y2=0,将y1=kx1十t,y2=kx2+t代入 2X8 112 整理得：(1十k2)x1x2+(kt-√5)(x1+x2)+ tan∠BAC 15 (13分) t2+5=0(*), (6分) 将y=x十t代入椭圆方程整理得：(1+5k2)x2十 16.解：(1)证明：因为PA=1,PB=√3，AB=2,则 10ktx+5t2-5=0, ∠APB=90°，即PA⊥PB, (1分) -10kt 5t2-5 取AB的中点M,则MB∥CD,且MB=CD,则 故x1十c2已1+5k2,x12214562) (7分) BCDM为平行四边形，则∠DMB=90°，(2分) 代入()式： ·数学评分细则(A卷)（第1页，共3页）·秘密★启用前 2026届普通高等学校招生全国统一考试 脊桐鸣大联考（高三） 数学(A卷) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答聚标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合M={-1,0,1,2,3},N={x|x一4<0)，则M∩N= A-1,0) B.{-1,0,1 C.0,1,2) D.1,2) 中 2.复数：满足：(1一2)=2一i,i为虚数单位，z为x的共轭复数，则|z十i= 号 B号 c号 号 3.已知a为实数，p:3x∈(0，十∞)，ax2-x+1<0:g:f(x)=x2-2ax在(0，十∞)上单调 递增，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°，E,F分别为线段 BC,CD的中点，则AE·AF= B.5 c号 D.13 函 山) 5丽数/)=+2十的对称中心是 A.(0,0) B6引 c(1引 D引 数学试题(A卷)第1页（共4页） 6.如图，双曲线子-养=1(@>0，b>0)的左、右焦点分别为F,F,过F,的直线交双曲线的 右支于A,B两点，且∠F,AF:=90°，|F:B|=3|F:A|,则此双曲线的离心率为 B.2 C.5 D. 2 7.已知函数了(x)=sin(ar十g(o>0)的-条对称轴是x=-行，且f(x)在(x,）上单调， 则如的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7 8.在正四棱锥A-BCDE中，AB=BC=2,过A,C,D三点的球的体积最小时，球被平面 BCDE所截截面的面积为 A.U 8 5π D 7x 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线l:y=k(x一1)+1与⊙O:x2十y2=4交于A,B两点，k为实数，则下列正确的有 A.IAB|的最大值为4 B.IAB1的最小值为√ C.若|AB1=2√3，则k=3 D.若⊙O上恰有4个点到直线l的距离为1，则k>0 10.已知正方体ABCD-A1B,C,D1的棱长为2，M,N分别为线段BC,CC,的中点，则下列正 确的有 A.D,N与AM互为异面直线 B.MN⊥A,C C.过MN有且仅有一个平面与平面ACD,平行 D.三校锥A,-DMN的体积为对 数学试题(A卷)第2页（共4页） 2,x<1, 11.已知函数f(x)={ g(x)=f(f(x)=a的零点个数为m,a为实数，则下列正 3-x,x≥1 确的有 A.当a=2时，m=2 B.当1<a<2时，m=3 C.g(x)在(0,1)上单调递增 D.g(x)在(1,2)上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知斜率为的直线交y=2px(p>0)于A,B两点，AB的中点坐标为(3,2)，则 P= 13.已知0eb.引sin20=sinl0+},则cos30= 14.已知数列{a.)各项的排列规律如下：1,1,2,1,2,3,1,2.3,4，…，其前n项的和为S.,则 S,<2026时n的最大值为 参考公式：1×2+2X3+…+n(n+1)= 1 3n(n+1)(n+2). 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2b=2,D为BC的中点，E为 BC上-点，AE平分∠BAC (1)若C=3B,求△ABC的面积； (2若a∠DAE 24求tan∠BAC的值. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=90°，AB∥CD,AB=2CD,PA=PD=CD=BC= 1,PB=√5. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求点C到平面PBD的距离. 数学试题(A卷)第3页（共4页） 17.(15分) 已知椭圆专心人 存=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),右顶点为A,FA=5-2. (1)求椭圆的标准方程： (2)已知直线I交该椭圆于M,N两点，且∠MAN=90°，O为坐标原点，当△MON的面积 最大时，求l的方程。 18.(17分) 巳知函数x)=nx一ax有两个零点1a∈R函数g)=nz一2C (1)求a的取值范围； (2)证明：(x-1)g(x)≥0： (3)证明：x1+,>1-ha 19.(17分) 2 已知数列(a.}满足：a1=行，2a.=(1+2)a*1 (1)求az,a1的值. (2)已知A.=a1十a:十…十a. (I)求A. (1)若A,十A:十…十A.<2026,求出满足条件的n的最大值. 数学试题(A卷》第4页（共4页）2026届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学(A卷)参考答案 1.B【解析】N={x-2<x<2},故M∩N={-1, ∈2，因为f(x)在(，)上单调，放3，∈Z 0,1}. 故选B 3 2.D【解折1-2-D1+D-+放 3 使得： 即 k。≤w≤ 元(k,十1)元、7π 37 =-+=√借+(-25 3 2 3(k。+1)(,∈Z,由4k≤3(k。+1)(k∈Z), 故选D. 解得。≤8(k。∈Z),当。=8时，w可取最大值 3.B【解析】p:a<-- x 为6. 故选C +∞)，a<-t2+t,∴.a< 4,9:a≤0，故p是q的 8.A【解析】过A,C,D三点的球，体积最小时球心 必要不充分条件， 故选B. 0为△ACD的重心，球的半径为2，易求得楼锥 4.C【解析】A位=A店+2A市，A市=A店+A心， 的高为反，O到平面BCDE的距离为h= 3,截面 A正.A-A+号Ad+A店，A心=4+ 圆半径设为r,则r2= 2312 3/ g,故截 513 10 2-2 面的面积为9不。 故选C. 故选A. 5.D【解折15得g)2十1号为奇商数。 9.AD【解析】当|AB|为直径时，|AB|取最大值为 4,故A正确； 设M(1,1),当OM⊥AB时，|AB|取最小值为 2√4-2=2√2，故B错误； 故得()=x十2中12为奇函数，放了x+D 画图可知：AB|=23时，k=0,故C错误； 关于点(0，)中心对称，故f)的对称中心为 仅当O到AB的距离小于1时，⊙O上有4个点到 ,》 1的距离为1，-<1，解得>0，赦D正确。 √1+k2 故选D. 故选AD. 6.D【解析】设|F2A|=m,则|FzB|=3m, 10.BCD【解析】MN∥AD1,故AM与D1N共面，A |F1A|=2a+m,lF1B|=2a+3m, 错误；A1B1⊥平面BCCB,又MNC平面 易得(2a十m)2+(4m)2=(2a+3m)2,故m=a, BCC1B1,故A1B1⊥MN,又B1C⊥MN,且 A1B1∩B1C=B1,故MN⊥平面A1B1C, 故在△FAF,中，(3a)2+a2=(2c),故e= 21 又A1CC平面A1B1C,故MN⊥A1C,B正确； 故选D. MN∥AD1,得MN∥平面ACD1,取CD,的中点 7.C【解标】)的对称轴可表示为：x=一音+ 为H,易知HN∥平面ACD,,又MN∩HN= N,又MN,HNC平面MNH,则平面MNH即 ·数学答案(A卷)（第1页，共5页)· 为过MN且与平面ACD1平行的平面，C正确； 2k∈zD或20+0+=+2kx(k∈Z,对 20-0+晋+2m→0-F+2x∈D,不符合 题意：对20+9十2=x十2炎→0=吾+2张r(k∈ 3 91 3 A Z,仅当k=0时符合题意，0=日，故39=子，故 1 cos 30=- 2 D 14.254 【解析】将数列写成以下形式： 1 延长DD1到Q,使D1Q=DD1,则A1Q∥MN,故 12 Vm=VaN=Vao号·（台×4xgj1 123 … 含D正确， 123…k 故选BCD. 11.AD【解析】f(x)的图象如图，当a=2时， 第长行的所有效之和为士，前长行的所有 f(f(x))=2,得f(x)=1有两解，故A正确； 数的总和为1X2+2X3+…十k(k+1)]= (k+1D(质+2)，：k=2时，写×22×23× 1 24=2024,若再加上第23行的第一个数1，总和 恰等于2025，加两个数则大于2026，故n的最大 值为1+2+…+22+1=254. a∈(1,2)时，f(f(x)=a,令f(x)=t,则f(t)= a,有两解：t1,t2,t1∈(0,1)，t2∈(1,2)，f(x)= 1解：后-合2，即nC=2snB. t1f(x)=t2各有两解，故B错误； sin C=sin 3B=sin(B+2B)=sin Bcos 2B+ 令t=f(x),则g(x)=f(t),在x∈(0,1)上，t= cos Bsin 2B=sin B (1-2sin2B)+cos B. f(x)单调递增，且t∈(1,2)，g(x)=f(t)(t∈ 2sin Bcos B=2sin B, (1,2))单调递减，故g(x)=f(f(x)在(0,1)上 可得1-2sin2B+2cos2B=2, (2分) 单调递减，C错误； 在x∈(1,2)上，t=f(x)单调递减，且t∈(1,2)， 可得iB=子，则snB=分放B=吾，3分) g(x)=f(t)(t∈(1,2)单调递减，故g(x)在(1， 故C-2则a=5, (4分) 2)上单调递增，故D正确. 故选AD. 故S6e=号X5X1= 2 (5分) 12.1【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1= 2px1,y=2px2y1-y=2p(x1-x2), (2设∠DAE=8,号AB·ADsn(8AC-0）= 二头(，+y)=2p,其中二=； x1一x2 x1-x22y1十 吉Ac·ADm(BC+. (7分) y2=4,故2×4=2p,故p=1. 又因为AB=2AC,则2m(8C-0） 13.号【解折1sin20=sin(0+经)，放20=0+红+ n(AC+0）,又am0-7,则s血0=云： ·数学答案(A卷)（第2页，共5页）· 24 c0s0=25' (9分) 因为AM·AN=0,所以可知(x1-√5)(x2 (器 ∠BAC V5)+y1y2=0,将y1=kx1十t,y2=kx2十t代人 ∠BAC sin 2 25 cos 2 整理得：(1+2)x1x2+(t-√5)(x1+x2)+ 24 ∠BAC+ 25 sin ∠BAC ∠BAC t2+5=0(*), (6分) 2 25 cos 2 则tan 2 将y=x十t代人椭圆方程整理得：(1十5k2)x2+ 7 (11分) 10ktx+5t2-5=0, 8 -10kt 5t2-5 2× 8 112 故x1+x:1+5,x12:=1+5k2 (7分) tan∠BAC (13分) 1-( 15 代人(*)式： (1+e).512-5 -10kt 16.解：(1)证明：因为PA=1,PB=√3，AB=2,则 1+5+(1-5)·1十5+2+5= ∠APB=90°，即PA⊥PB, (1分) 0,整理得：3t2+5√5kt+10k2=0, (8分) 取AB的中点M,则MB∥CD,且MB=CD,则 (3t+2√5k)(t十√5k)=0,若t+√5k=0,则t= BCDM为平行四边形，则∠DMB=90°，(2分) -√5k,l:y=kx-√5k=k(x一V5),过点A,不 易知AD=√2， 合题意； 又PA=PD=1,则PA⊥PD, (3分) 故t=一 2√5 又PD∩PB=P,可知PA⊥平面PBD,(4分) 3 ,故1：=(x-2y5) (9分) 3 又BDC平面PBD,所以PA⊥BD, (5分) 2W5 又AD=BD=√2，且AB=2,所以可得∠ADB= 原点O到l的距离：d= 3包 ,MN= 90°，所以BD⊥AD, (6分) V1十k2 又AD∩PA=A,故BD⊥平面PAD, √W1+k √100k12-4(1+5k)(5t2-5) 又BDC平面ABCD,所以平面PAD⊥平面 1+5k2 ABCD. (7分) V1+.V201+5k2-t) 1+5k2 (2)设C到平面PBD的距离为l1, VC-PBD-VP-BCD 将t=一 25é代人得：MN=1+及· 3 (11分) 21+k】 易知在△PBD中，∠BDP为直角， (11分) 1+5k2 Sm=号X1X2- 2 (13分) 故SAMON= y MN=号·+ .√2_√2 1 25 毛3人4·2=2则1=2 (15分) 251+ 25 3 17.解：(1)易知c=2,a一c=√5-2，则a=√5， 1+5k √/1+k2 (2分) 10 (9+25k)k2 9 故b=√a2-c2=1, V(1+5k2)2, (4分) 故椭圆的标准方程为号+y=1。 (5分) 令1+5k2=n(n>1),则 (9+25k2)k2 (1+5k2)2 (2)易得1的斜率不为0，当1的斜率存在时，设1 (n+号】 的方程为：y=kx十t,M(x1,y1),N(x2y2),已 （-是+5)，令】m, 知A(W5,0), -4m2-m+5(0<m<1)的范围为(0,5)， ·数学答案(A卷)（第3页，共5页）· 所以S∈(,）， (13分) 故可得a(x2+x1)>1-lna,即x1+x2> 1-In a (17分) 当1的斜率不存在时，1x=2y5 3 2 19.解：(1)n=1时，2a1=(1+22)a2,故a2= 5a1 不劾设M(色》，N,-写)，易每： 15 (2分) -1×2y5×25_10, 10 SAMON-2X 3 3 =9,故最大值为g,1 =2时，2a4=1+2a放a,-号a186 8 的方程为x=25 (15分) (4分) 18.解：Df'(z)=-a=1-ag -a= (1分) (2)(1)当n≥2时，由2+1=，2 x a,1+27,可知an- a≤0时，f'(x)>0,f(x)为增函数，不合题意； 2 2 a-1 an-2 (2分) 2 2 2 a>0时，在0，)上，f'(x)>0,f(x)单调递增， 1十2×号-1+201+20…1+25 2"+1-1 在（日，十∞）上，f'(x)<0,f(x)单调递减， (1+2)(1+22)…(1+2) 1 (4分) (1十2)(1+22)…(1+2”-1) 故值域为(-∞，-lna-1),故-lna-1>0,则 1 (6分) 。的取值范图为6，) (5分) (1+2)(1+22)…(1+2")1 故Am=a1十a2十…十am= 2 1 1 4 (2)证明：g(x)=元一(x+1) (x-1)2 +1+2一 x(z+1)2≥0， 故g(x)为增函数， (6分) 1+2)(1+2)十(1+2)(1+2) x>1时，g(x)>g(1)=0,(x-1)g(x)>0. 1 (7分) 1+2)(1+22)1+2)+…+ x=1时，(x-1)g(x)=0, (8分) 1 (1+2)(1+22)…(1+2”-1) 0<x<1时，g(x)<g(1)=0,故(x-1)g(x)>0. 1 综上，(x-1)g(x)≥0. (9分) 1+2)(1+2)…(1+2)=1- (3)证明：不妨设0Kx<分<：，则0<a<1, 1 (1+2)(1+22)…(1+2”)1 (8分) 由lnx1-ax1=0,可得ax1=lnx1=lnax1 I ax2(az-1) 当a=1时，A:=1-号号满足上式，(9分) ax1+1 -In a, (11分) 1 即(ax1)2+ax1<2ax1-2-lna(ax1+1),化为 综上A.=1-1+2)(1+22)…(1+2) (ax1)2+(lna-1)·ax1十2+lna<0(*), (10分) (13分) (i)A,十A:+…+A.=g-[十2十 同理，ax2>1,可得：(a.x2)2+(na-l)·ax2十 2+lna>0(**), (1+2)(1+2)+…+ (**)-(*)得：(ax2)2-(ax1)2+(lna-1)· 1 (ax2-ax1)>0, (15分) (1+2)(1+22)…(1+2”)」， (12分) ·数学答案(A卷)（第4页，共5页）· 其巾0<中2+a+2a+2+十 1 故A1+A2+…+An∈(n-1,n), 故A1十A2十…十A226<2026<A1十A2+…+ a+2a+20412}++42 2n A2027, ∴.n的最大值为2026. (17分) (14分) ·数学答案(A卷)（第5页，共5页）·2026届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学(A卷)评分细则 12.1 易知AD=√2， 1品号 又PA=PD=1,则PA⊥PD, (3分) 又PD∩PB=P,可知PA⊥平面PBD,(4分) 14.254 又BDC平面PBD,所以PA⊥BD, (5分) 15.解：1)号-sn5=2,即sinc=2sinB, 又AD=BD=√2，且AB=2,所以可得∠ADB= j sin C=sin 3B=sin(B+2B)=sin Bcos 2B+ 90°，所以BD⊥AD, (6分) cos Bsin 2B=sin B (1-2sin2B)+cos B. 又AD∩PA=A,故BD⊥平面PAD, 2sin Bcos B=2sin B, 又BDC平面ABCD,所以平面PAD⊥平面 可得1-2sin2B+2cos2B=2, (2分) ABCD. (7分) 可得imB=子，则nB=号散B=答，3分) (2)设C到平面PBD的距离为L1, Vc-PBD=VP-BCD 放C=受，则a=, (4分) 则5m写×号x名侣， (11分) 故Sam=号X5X1- 2 (5分) 易知在△PBD中，∠BDP为直角， (2)设∠DAE=0,7AB·ADsin(BAC 1 1 2 0= aSam-号X1XyE- 2 (13分) Ac,ADn(∠2c+. (7分) √2√2 1 2=12则4=2 (15分) 又因为AB=2AC,则2sn(BAC-g）- 17.解：(1)易知c=2,a-c=√5-2，则a=√5， (2分) sn(BAC+0),又ang-7,则sng-3: 7 故b=√a2-c=1, (4分) m6-器 (9分) 放椭圆的标准方程为写十y”=1。 (5分) 2(器 sin ∠BAC 7 ∠BAC (2)易得1的斜率不为0，当1的斜率存在时，设1 2 25 cos 的方程为：y=kx十t,M(x1,y1),N(x2,y2),已 24sin∠BAC+ 25sin 25 cos ∠BAC ∠BAC 2 ，则tan 2 知A(W5,0), 因为AM·AN=0,所以可知(x1-√5)(x2 8 (11分) √5)十y1y2=0,将y1=kx1十t,y2=kx2+t代入 2X8 112 整理得：(1十k2)x1x2+(kt-√5)(x1+x2)+ tan∠BAC 15 (13分) t2+5=0(*), (6分) 将y=x十t代入椭圆方程整理得：(1+5k2)x2十 16.解：(1)证明：因为PA=1,PB=√3，AB=2,则 10ktx+5t2-5=0, ∠APB=90°，即PA⊥PB, (1分) -10kt 5t2-5 取AB的中点M,则MB∥CD,且MB=CD,则 故x1十c2已1+5k2,x12214562) (7分) BCDM为平行四边形，则∠DMB=90°，(2分) 代入()式： ·数学评分细则(A卷)（第1页，共3页）· -10+:+5 a+)+w·8路 18.解：1fx)=a=12 (1分) 0,整理得：3t2+55t+10k2=0, (8分) a≤0时，f'(x)>0,f(x)为增函数，不合题意； (3t+2√5k)(t+√5k)=0,若t十√5k=0,则t= (2分) 一√5k,l:y=x-√5k=k(x-5),过点A,不 a>0时，在(0，）上，f'x)>0,f(x)单调递增， 合题意； 25k ,故y=kx-2） 在（行，+∞）上，fx)<0,f(x)单调递减， 故t= 3 3 (9分) (4分) 25 故值域为（一∞，一lna一1），故-lna-1>0,则 原点O到1的距离：d= 3 ,MN|= W1十2 。的取值范围为0，是)- (5分) √1+k2· √100kt-4(1+5k2)(5t-5) 1 4 (2)证明：g'(x)= (x-1)2 1+5k2 （x+1)=x（x+1)≥0， V1+.√20(1+5k2-t) 故g(x)为增函数， (6分) 1+5k2 x>1时，g(x)>g(1)=0,(x-1)g(x)>0. 将t=一 2√5k 代入得：MN|=√1+· (7分) 3 x=1时，(x-1)g(x)=0, (8分) V2o1+5 0<x<1时，g(x)<g(1)=0,故(x-1)g(x)>0. 1+5k2 (11分) 综上，(x-1)g(x)≥0. (9分) 故S△MON= 2 MN d= 1 （③E明：不坊设0K<<,则0<a,<1, 26·+号 2W5 由lnx1一ax1=0,可得ax1=lnx=lnax1- 3 2(ax1-1) 1+5k2 In a< √1十k2 ax1+1 -In a, (11分) 10/(9+25k2)k2 即(ax1)2十ax1<2ax1-2-lna(a.x1+1),化为 9‘√(1+5k')2， (ax1)2+(lna-l)·ax1+2+lna<0(*), 令1+5k2-n(n>1),则9+25)k2 (13分) (1+5k2)2 同理，ax2>1,可得：(ax2)2+(lna-1)·ax2十 2+lna>0(￥*)， =m, (x*)-(*)得：(ax2)2-(ax1)2+(lna-1): -4m2-m+5(0<m<1)的范围为(0,5)， (ax2-ax1)>0, (15分) 所以5aa∈(o,9, (13分) 故可得a(x2十x1)>1-lna,即x1十x2> 1-In a 当1的斜率不存在时，1：x=2y5 (17分) a 不结设N5》N,》,易得： 9.解：1)n=1时，2a1=(1+2)a2,故a2=a,号 4 ×2x26-10 15 (2分) SAMON= 3 3 做最大值为9， n=2时，2a,=1+2a放a,=号a:=1 8 2W5 的方程为x= 3 (15分) (4分) ·数学评分细则(A卷)（第2页，共3页）· 21)当≥2时，曲。=1名，可知a. 当n=1时A1=1-了号满足上式，(9分) a.…8·a=1十2× 2 2 an-1 an-2 a1 1十21… 综上，A.=1-1+2)(1+22)…(1+2) 2 2 2” (10分) 1+2×3-1+2)01+2)…(1+2 2”+1-1 (I)A+A:+…卡A.=a-[中g十 (1+2)(1+22)…(1+2) 1 十十 (1+2)(1+22) (1+2)(1+22)…(1十2-1) 1 (1+2)(1+22)…(1+2")J (12分) 1 (1+2)(1+22)…(1+2")’ (6分) 1 1 其中0<1十2+1+21+25+…+ 故A。=a1+a2十…十a,=3十1十2 a+21+2…1+2<2++…+2 1 .1,1 (1+2)(1+22)T(1+2)(1+22) 1 (14分) 1 1-2<1. （1+2)1+2)(1+2++ 故A1十A2+…+Am∈(n-1,n), 1 故A1+A2+…+A2026<2026<A1+A2+…+ (1+2)(1+22)…(1+2-1) A2027’ (1+2)(1+2)…(1+2）=1- ∴.n的最大值为2026. (17分) (1+2)(1+22).(1+2") (8分) ·数学评分细则(A卷)（第3页，共3页）·