【青桐鸣大联考】2025-2026学年高一上学期12月联考数学（人教A卷）试题

秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 背桐鸣大联考（高一） 数学（人教A卷） 本 试 注意事项： 卷 1.答卷前，考生务必将自己的灶名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 由 2.回答逃择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 各 如需改动，用檬皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 市 上。写在本试卷上无效 装 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 地 县 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 区 是符合题目要求的。 参 1.集合A={x|x2-6x+9=0}的非空子集的个数为 考 订 A.1 B.2 C.3 D.4 学 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x+3)(x一4)>0，则 校 A甲是乙的充分不必要条件 留 B.甲是乙的必要不充分条件 存 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 准考证号 线 3.已知某扇形的圆心角为后其弧长为受，则该扇形的面积为 姓名 A.6 B.3 c D 4.已知幂函数∫(x)=(m-1)x-,m为实数，则f(2)= A.2 B.4 C.8 D.16 ax+2026,x<0, 5.已知函数f(x)= 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 数学（人教A卷）试题第1页（共4页） 6已知偶函数八)在x<0时的解析式为了：)=产+2如(-2x)+2则了x)其中的 一个零点所在的区间为 A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 7.若tana=-2,则cos'asin a= A房 &-名 c房 7 0.26 8.已知偶函数∫(x)满足∫(x十1)一1是奇函数，且当0<x<1时，∫(x)=2一4x一3， 则r2- A-号 B号 c号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A=《x|2<x<4},B={x|x一21<2}，则下列正确的有 A.3∈A B.B=(tI0<t<4》 C.A≤B D.AU CRB=R 10.已知正数a,b满足a十2b=4,则下列正确的有 A.2a+3b>8 B.ab<4 C.8a2+8b>15 D.ab°<4b1 11.已知函数f(x)=42一3a·2+a,a为实数，则下列正确的有 A.f(-log:3)-g 1 B.当a<0时，∫(x)是增函数 C.存在a,使得f(x)是偶函数 D.当ao,音)时x)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数∫(x)=4一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为」 13.log-(7+45)= 14.对于正数z心若1ne+a(xy)+2]}则y= 数学（人教A卷）试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知s如0=号 (1)若0e(5,求cos0: (2)求tan20: (3)求cos0. 16.(15分) 已知m为实数，集合A={x|2<x<2m-3),B={x|m<x<8. (1)当m=4时，求AUB: (2)证明：当m∈（一∞，3]U[8,十∞）时，A∩B=☑ 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值： (3)求DM+DN的最大值. 数学（人数A卷）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数∫(x)=ax2+bx+1,a,b均为实数 (1)当b=一a时， (1)若a=1,求f(2)的值： (i)若∫(x)≥x恒成立，求a的值 2)若a0,且r:)≥+1恒成立，证男：人-a<a2a+ 装 订 19.(17分) 已知均定义在R上的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=4. (1)求(x)与g(x)的解析式： (2)用定义法证明：g(x)在(0，十∞)上单调递增： (3)证明：存在实数k,使得f(2x)=kf(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x). 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负。 数学（人数A卷）试题第4页（共4页）秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 背桐鸣大联考（高一） 数学（人教A卷） 本 试 注意事项： 卷 Q 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、庄位号、考生号填写在答题卡上。 由 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 各 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答章写在答题卡 市 上。写在本试卷上无效， 装 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 地 县 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 区 是符合题目要求的。 参 1.集合A=《x|x2一6x+9=0}的非空子集的个数为 考 订 A.1 B.2 C.3 D.4 学 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x+3)(x一4)>0，则 校 A.甲是乙的充分不必要条件 留 B.甲是乙的必要不充分条件 存 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 准考证号 线 3.已知某扇形的圆心角为，其弧长为受，则该扇形的面积为 姓名 A.6 B.3 c 4.已知幂函数∫(x)=(m-1)x-,m为实数，则f(2)= A.2 B.4 C.8 D.16 ax+2026,x<0, 5.已知函数∫(x)= 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 数学（人数A卷）试题第1页（共4页） 6.已知偶函数1x)在z<0时的解析式为x)=2+2加（一2z)+2则了x)其中的 一个零点所在的区间为 A.(3,4) B.（2,3) C.(1.2) D.(0,1) 7.若tana=一2，则cos'asin a= A始 a名 c房 D居 8.已知偶函数f(x)满足∫(x十1)一1是奇函数，且当0<x<1时，f(x)=2一4x一3， 则r92 A-号 c-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A=《x|2<x<4},B={x|x一2|<2}，则下列正确的有 A3∈A B.B=(tI0<t<4) C.A∈B D.AUCB=R 10.已知正数a,b满足a+2b=4,则下列正确的有 A.2a+3b>8 B.ab<4 C.8a2+8b>15 D.ab<4b 11.已知函数∫(x)=42一3a·2十a,a为实数，则下列正确的有 Af(-log3)=日 B.当a<0时，f(x)是增函数 C.存在a,使得∫(x)是偶函数 D.当a∈0，时，f(x)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数∫(x)=4一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为一 13.log-(7+43)= 4对于正数zy若[e+nxy)+门月则y= 数学（人教A卷）试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知s如0=号 1)若0e(求cos0: (2)求tan20: (3)求cos0. 16.(15分) 已知m为实数，集合A=(x|2<x<2m-3),B={x|m<x<8). (1)当m=4时，求AUB: (2)证明：当m∈（一∞，3]U[8,十∞）时，A∩B=☑ 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值： (3)求DM+DN的最大值. 数学（人数A卷）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数∫(x)=ax2+bx+1,a,b均为实数. (1)当b=一a时， (1)若a=1,求f(2)的值， (i)若∫(x)≥x恒成立，求a的值， (2省a≠0，且x)≥x+1恒成立，证明：-ak@2a+ 装 19.(17分) 已知均定义在R上的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足∫(x)+g(x)=4. (1)求∫(x)与g(x)的解析式： (2)用定义法证明：g(x)在(0，+∞)上单调递增： (3)证明：存在实数k,使得f(2x)=k∫(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x). 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负。 线 数学（人数A卷）试题第4页（共4页）秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 背桐鸣大联考（高一） 数学（人教A卷） 本 试 注意事项： 卷 Q 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、庄位号、考生号填写在答题卡上。 由 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 各 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答章写在答题卡 市 上。写在本试卷上无效， 装 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 地 县 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 区 是符合题目要求的。 参 1.集合A=《x|x2一6x+9=0}的非空子集的个数为 考 订 A.1 B.2 C.3 D.4 学 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x+3)(x一4)>0，则 校 A.甲是乙的充分不必要条件 留 B.甲是乙的必要不充分条件 存 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 准考证号 线 3.已知某扇形的圆心角为，其弧长为受，则该扇形的面积为 姓名 A.6 B.3 c 4.已知幂函数∫(x)=(m-1)x-,m为实数，则f(2)= A.2 B.4 C.8 D.16 ax+2026,x<0, 5.已知函数∫(x)= 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 数学（人数A卷）试题第1页（共4页） 6.已知偶函数1x)在z<0时的解析式为x)=2+2加（一2z)+2则了x)其中的 一个零点所在的区间为 A.(3,4) B.（2,3) C.(1.2) D.(0,1) 7.若tana=一2，则cos'asin a= A始 a名 c房 D居 8.已知偶函数f(x)满足∫(x十1)一1是奇函数，且当0<x<1时，f(x)=2一4x一3， 则r92 A-号 c-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A=《x|2<x<4},B={x|x一2|<2}，则下列正确的有 A3∈A B.B=(tI0<t<4) C.A∈B D.AUCB=R 10.已知正数a,b满足a+2b=4,则下列正确的有 A.2a+3b>8 B.ab<4 C.8a2+8b>15 D.ab<4b 11.已知函数∫(x)=42一3a·2十a,a为实数，则下列正确的有 Af(-log3)=日 B.当a<0时，f(x)是增函数 C.存在a,使得∫(x)是偶函数 D.当a∈0，时，f(x)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数∫(x)=4一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为一 13.log-(7+43)= 4对于正数zy若[e+nxy)+门月则y= 数学（人教A卷）试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知s如0=号 1)若0e(求cos0: (2)求tan20: (3)求cos0. 16.(15分) 已知m为实数，集合A=(x|2<x<2m-3),B={x|m<x<8). (1)当m=4时，求AUB: (2)证明：当m∈（一∞，3]U[8,十∞）时，A∩B=☑ 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值： (3)求DM+DN的最大值. 数学（人数A卷）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数∫(x)=ax2+bx+1,a,b均为实数. (1)当b=一a时， (1)若a=1,求f(2)的值， (i)若∫(x)≥x恒成立，求a的值， (2省a≠0，且x)≥x+1恒成立，证明：-ak@2a+ 装 19.(17分) 已知均定义在R上的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足∫(x)+g(x)=4. (1)求∫(x)与g(x)的解析式： (2)用定义法证明：g(x)在(0，+∞)上单调递增： (3)证明：存在实数k,使得f(2x)=k∫(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x). 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负。 线 数学（人数A卷）试题第4页（共4页） 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教A卷）参考答案 1.A【解析】由x2-6x+9=0得x=3,于是A= -g2+)=gx,于是g292）=g(4×169 {3},其非空子集的个数为2-1=1. 故选A. 子)=g(-号)=g(号)=f(号)-1=2-4× 2.B【解析】由3>3解得x>1或x<-1,由(x+ 3)(x-4)>0解得x>4或x<一3，故甲是乙的必 号-3-1=-号故r(22)=22）+1= 要不充分条件. 故选B. 3.D【解析】设扇形的半径为，由受=晋×r,得 故选A. 9.ABC 【解析】对于A,由2<3<4可知3∈A,故A ,=3,则该扇形的面积为2×香×8- 6 正确； 41 故选D. 对于B,由x-2<2得0<x<4,于是B={x10< x<4}={t0<t<4},故B正确； 4.B【解析】由条件知m-1=1,得m=2,于是 对于C,由A∩B={x|2<x<4}=A,得A二B, f(x)=x2,故f(2)=4. 故选B. 故C正确； 5.B【解析】不妨设t>0,由奇函数的性质可知f(t)+ 对于D,CRB={x|x≤0或x≥4}，AUCRB= f(-t)=0,即a(-t)+2026+2026t+b=0,于 {x|x≤0或x>2}≠R,故D错误. 是厂a+2026=0 故选ABC. 易知a十b=0. 2026+b=0, 10.BC【解析】对于A,8=2a+4b>2a+3b,故A 故选B. 错误； 6.C【解析】x>0时，f(x)=f(一x)=x2+ 对于B,由基本不等式得4≥2w2ab,可得ab≤2， 21n2x-9 ，显然其在(0，十∞)上单调递增.注意 当且仅当a=2b=2时，取等号.而4=a十2b> 2b,b<2,于是ab2<4,故B正确； 到f(1)=1+2ln2-9=2ln2-8<0,f(2)=4+ 2h4-号=2h4-名>0，可得1x)其中的-个 对于c,a2+6=公+4g0=a-++沿 零点所在的区间为(1,2). a-)+船8-日于是8a+86>15,放C 故选C. 正确； cos asin a 7.A【解析】计算得cos3 asin a= (cos'a+sin2a)? 对于D,取a=3,6=2,则6=3·（）广=6 cos asin a tan a sin'a+2sin'acos a+cos'a tan'a2tan (份)》>4（日）》‘=40，故D错误 -2 2 故选BC. 16+2X4+1=-25 11.ABD 【解析】对于A,∫(-log23)=2123- 故选A. 3a·2le3十a= 8.A【解析】设g(x)=f(x)一1，显然g（x)= 9,故A正确； g(一x),由g(x十1)是奇函数，知g(2十x)+ 对于B,此时y=4:十a是增函数，y=一3a·2 g(-x)=0,于是g(2十x)=-g(x),g(4十x)= 是增函数，故f(x)是增函数，故B正确； ·数学（人教A卷）答案（第1页，共3页）· f(1)=f(-1), .5 对于C,若f(x)是偶函数，则 可 (2)证明：当2m-3≤2，即m≤2时，A=☑，An f(2)=f(-2), 1 a B=☑. (9分) 4-5a=4-2' 5 a 6· 当m≥8时，B=☑，A∩B=☑， (12分) 得 解得 显然二者不 16-11a= 11a 17 5 16+4 a=12' 当2<2m-3≤m,即2<m≤3时，AnB=⑦ 能同时满足，故C错误； 成立， 对于D,设1=2，当a∈(0，号)时，f(x)=- 综合所述，原命题得证. (15分) 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN2-DM= 3at+a=(k-)'+a-}a2≥a- 3a\2 9 √4-x, (2分) 于是AM=2-x, (3分) a(告-a)>0,放D正确： CN=2-√4-x2, (4分) 故选ABD. 故S(x)=4-(2-x)-(2-√4-x2) 12.(0,0)【解析】由ax=0得x=0,而f(0)=0,故 所过定点的坐标为(0,0). 4-云=x+4--}-2(0≤ 13.一2【解析】注意到7+4√3=(2+√5)2= x2) (6分) (2+√3)2(2-√3)21 (2)设t=x+√4一x,注意到t2=4+ (2-3)2 (2-一3)2，故1ogg(7+ 2x4,放24--4， 4, (8分) 4V3)=log2-(2-√3)2=-2. 14.1【解析】易知e=e十1nx十1ny十y一 1 放se)-:f-+t1-4u-2+ 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. 11 e2+In x- 2一ln十y,即e+nx =ey十 故S(x)的最大值为2. (11分) x (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4+x2+4- 号子，显然函数f()=心十1nx是蜡函 x2=8, (13分) 2 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立. 数，由f)-f(号)可得x一即2y-1 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 值为2√2. (15分) 15.解：)由9∈（经x知c0s9<0, (2分) 18.解：(1)(i)f(x)=a.x2-ax+1,a=1时，f(x)= 器.4分 -2 x2-x+1, (2分) 故os0=--sin0=-√9 f(2)=4-2+1=3. (3分) 1 (ii)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ (2)tan'o=sinosino 91 、(8分) 0, (5分) 0s01-s1n01-18 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) 故由二次函数恒成立得 390os'9=(cos0》=1-sim0r=1-日）°- a>0, 解得a-1,经 64 △=(a十1)2-4a=(a-1)2≤0， 81 (13分) 验证知其成立.故a=1. (9分) 16.解：(1)此时A={x|2<x<5}, (2分) (2)证明：由f(x)≥x+1得ax2+(b-1)x≥0， B={x|4<x<8}, (4分) a>0, a>0, 由 得{ (11分) 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) (b-1)2-0≤0，b=1, ·数学（人教A卷）答案（第2页，共3页）· 于是f(x)=ax2+x+1,其对称轴为x=一2a: 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1十x2>0,则 而(a）=f(六2a)=f(-品+ 4>,0微1-g0 (9分) 2a), (13分) 又因为x1<x2,所以41-4<0，故g(x1)- 易知f(x)在(-石，+)上单调递增，故2a≤ g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 故g(x)在(0，十∞)上单调递增. (11分) a2+1<a2+1+ 1 a (14分) (3)证明：f(2)=4华-4之 2—,f(x)g(x)= 即-a+2a<a+1+-2a2a+， a 2a 2a )×)=4”4少 4 (16分) 42x-4-2z 结合单调性可得（检法）=f(云+2如)人 4 f(2a+2a+1 则/)=2.产4-2fg,散存在 2a (17分) 实数=2满足题意。 (13分) 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· g(x)满足f(x)十g(x)=4-,将x替换为一x可 [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 得f(-x)+g(-x)=4,又f(-x)= 因为对于任意实数x,4>0且4>0，所以 -f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)+g(x)= 4x. (3分) (x=44一O f(x)+g(x)=4, 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 联立方程组 解得g(x)= -f(x)+g(x)=4 原不等式等价于>即一子 2,f(x)=4“4 4+4x 2 (15分) 综上，f(x)=4-4 2 (4分) 令1=4>0，则4=，不等式等价于：-}> 8(x)=4+4 2一. (5分) 名，且2a>0,放等价于2-2>3，即(2+101- (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2 2)>0, (16分) ga)-gx)=2-P)+(4-44]= 易知2t+1>0,则只需t-2>0, 即>2，也即>2,2>2，解得x>号， [-+分]--产)× 所以不等式的解集为{红x>2}: (17分) (1- (8分) ·数学（人教A卷）答案（第3页，共3页）· 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教A卷）评分细则 12.(0,0) 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. 13.-2 故S(x)的最大值为2. (11分) 14.1 (3)由(2)知t2=4十2x√4-x2≤4+x2+4 15,解：1)由0e(经)知cos0<0, (2分) x2=8, (13分) 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立. 3. (4分) 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 值为2√2. (15分) (2)tan'o=sinosin'o 9 1 cos20 1-sin20 8 (8分) 18.解：(1)(i)f(x)=ax2-ax+1,a=1时，f(x)= x2-x+1, (2分) (3)cos9=(cos9)2=1-sin9y2=(1-日）° f(2)=4-2+1=3. (3分) (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ 64 81 (13分) 0, (5分) 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) 16.解：(1)此时A={x|2<x<5}, (2分) 故由二次函数恒成立得 B={x|4<x<8}, (4分) 1a>0, 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) 解得a=1,经 △=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， (2)证明：当2m-3C2,即m≤时，A=⑦，An 验证知其成立.故a=1. (9分) B=⑦. (9分) (2)证明：由f(x)≥x+1得ax2十(b-1)x≥0， 当m≥8时，B=☑，A∩B=☑， (12分) a>0, (a>0, 由 得 (11分) (b-1)2-0≤0，b=1, 当2<2m-3≤m,即2<m≤3时，AnB=☑ 成立， 于是f(x)=a.x2十x十1，其对称轴为x= 2a 综合所述，原命题得证 (15分) 面f(如）=f(品-2a)=f(-品+ 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN2-DM产= W4-x2, (2分) 2a, (13分) 于是AM=2-x, (3分) 易知fx)在（一a十）上单调递增，放2a≤ CN=2-√4-x2, (4分) 故S(x)=4-（2-x)-(2-√4-x2) +1<a+1+日 (14分) 2-7-+-7-?xM-云0≤ 1 即一 2a +2a<a2+1+2-2元=a千za十 2a x≤2). (6分) (16分) (2)设t=x十W4-x2,注意到t2=4十 结合单调可得()-（+2）大 2x7,放x7-“, 41 (8分) (17分) 故S(x)=1-4 -4- ++1=-4-2y+ 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 ·数学（人教A卷）评分细则（第1页，共2页）· g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为一x可 得f(-x)十g(-x)=4,又f(-x)= )×）-4 4 -f(x),g(-x)=g(x),代人得-f(x)十g(x)= 42红-4-2红 4 42. (3分) f(x)+g(x)=4, 则f(2x)=2.4-4 4—=2f(x)g(x),故存在 联立方程组 解得g(x)= -f(x)十g(x)=4； 实数=2满足题意 (13分) 2,f(x)=45-4✉ 45+4x 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· 2 [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 综上，f(x)=45-4 2一 (4分) 因为对于任意实数x,42>0且4>0，所以 g)=4+4 2 (5分) 8(x)=4十4工>0 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 ga)g)=号[4-P)+(41-4刀- 原不等式等价干于f)>足.即>及 (15分) [-)+(估]--)× 令1=4>0，则4-，不等式等价于：-}> （- (8分) 2且2a>0,放等价于24-2>3，即（2+1D4- 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1十x2>0,则 2)>0, (16分) 1即01，版1- 47+2>0. 易知2t+1>0,则只需t-2>0, (9分) 即t>2,也即4>2,22>2，解得x>2, 又因为x1<x2,所以41-4<0，故g(x1)- (17分) g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 所以不等式的解集为女>》： 故g(x)在(0，十∞)上单调递增. (11分) (3)证明：f(2x)=42-4 2—,f(x)g(x)= ·数学（人教A卷）评分细则（第2页，共2页)·2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教A卷）参考答案 1.A【解析】由x2-6x+9=0得x=3,于是A= -g2+)=gx,于是g292）=g(4×169 {3},其非空子集的个数为2-1=1. 故选A. 子)=g(-号)=g(号)=f(号)-1=2-4× 2.B【解析】由3>3解得x>1或x<-1,由(x+ 3)(x-4)>0解得x>4或x<一3，故甲是乙的必 号-3-1=-号故r(22)=22）+1= 要不充分条件. 故选B. 3.D【解析】设扇形的半径为，由受=晋×r,得 故选A. 9.ABC 【解析】对于A,由2<3<4可知3∈A,故A ,=3,则该扇形的面积为2×香×8- 6 正确； 41 故选D. 对于B,由x-2<2得0<x<4,于是B={x10< x<4}={t0<t<4},故B正确； 4.B【解析】由条件知m-1=1,得m=2,于是 对于C,由A∩B={x|2<x<4}=A,得A二B, f(x)=x2,故f(2)=4. 故选B. 故C正确； 5.B【解析】不妨设t>0,由奇函数的性质可知f(t)+ 对于D,CRB={x|x≤0或x≥4}，AUCRB= f(-t)=0,即a(-t)+2026+2026t+b=0,于 {x|x≤0或x>2}≠R,故D错误. 是厂a+2026=0 故选ABC. 易知a十b=0. 2026+b=0, 10.BC【解析】对于A,8=2a+4b>2a+3b,故A 故选B. 错误； 6.C【解析】x>0时，f(x)=f(一x)=x2+ 对于B,由基本不等式得4≥2w2ab,可得ab≤2， 21n2x-9 ，显然其在(0，十∞)上单调递增.注意 当且仅当a=2b=2时，取等号.而4=a十2b> 2b,b<2,于是ab2<4,故B正确； 到f(1)=1+2ln2-9=2ln2-8<0,f(2)=4+ 2h4-号=2h4-名>0，可得1x)其中的-个 对于c,a2+6=公+4g0=a-++沿 零点所在的区间为(1,2). a-)+船8-日于是8a+86>15,放C 故选C. 正确； cos asin a 7.A【解析】计算得cos3 asin a= (cos'a+sin2a)? 对于D,取a=3,6=2,则6=3·（）广=6 cos asin a tan a sin'a+2sin'acos a+cos'a tan'a2tan (份)》>4（日）》‘=40，故D错误 -2 2 故选BC. 16+2X4+1=-25 11.ABD 【解析】对于A,∫(-log23)=2123- 故选A. 3a·2le3十a= 8.A【解析】设g(x)=f(x)一1，显然g（x)= 9,故A正确； g(一x),由g(x十1)是奇函数，知g(2十x)+ 对于B,此时y=4:十a是增函数，y=一3a·2 g(-x)=0,于是g(2十x)=-g(x),g(4十x)= 是增函数，故f(x)是增函数，故B正确； ·数学（人教A卷）答案（第1页，共3页）· f(1)=f(-1), .5 对于C,若f(x)是偶函数，则 可 (2)证明：当2m-3≤2，即m≤2时，A=☑，An f(2)=f(-2), 1 a B=☑. (9分) 4-5a=4-2' 5 a 6· 当m≥8时，B=☑，A∩B=☑， (12分) 得 解得 显然二者不 16-11a= 11a 17 5 16+4 a=12' 当2<2m-3≤m,即2<m≤3时，AnB=⑦ 能同时满足，故C错误； 成立， 对于D,设1=2，当a∈(0，号)时，f(x)=- 综合所述，原命题得证. (15分) 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN2-DM= 3at+a=(k-)'+a-}a2≥a- 3a\2 9 √4-x, (2分) 于是AM=2-x, (3分) a(告-a)>0,放D正确： CN=2-√4-x2, (4分) 故选ABD. 故S(x)=4-(2-x)-(2-√4-x2) 12.(0,0)【解析】由ax=0得x=0,而f(0)=0,故 所过定点的坐标为(0,0). 4-云=x+4--}-2(0≤ 13.一2【解析】注意到7+4√3=(2+√5)2= x2) (6分) (2+√3)2(2-√3)21 (2)设t=x+√4一x,注意到t2=4+ (2-3)2 (2-一3)2，故1ogg(7+ 2x4,放24--4， 4, (8分) 4V3)=log2-(2-√3)2=-2. 14.1【解析】易知e=e十1nx十1ny十y一 1 放se)-:f-+t1-4u-2+ 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. 11 e2+In x- 2一ln十y,即e+nx =ey十 故S(x)的最大值为2. (11分) x (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4+x2+4- 号子，显然函数f()=心十1nx是蜡函 x2=8, (13分) 2 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立. 数，由f)-f(号)可得x一即2y-1 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 值为2√2. (15分) 15.解：)由9∈（经x知c0s9<0, (2分) 18.解：(1)(i)f(x)=a.x2-ax+1,a=1时，f(x)= 器.4分 -2 x2-x+1, (2分) 故os0=--sin0=-√9 f(2)=4-2+1=3. (3分) 1 (ii)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ (2)tan'o=sinosino 91 、(8分) 0, (5分) 0s01-s1n01-18 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) 故由二次函数恒成立得 390os'9=(cos0》=1-sim0r=1-日）°- a>0, 解得a-1,经 64 △=(a十1)2-4a=(a-1)2≤0， 81 (13分) 验证知其成立.故a=1. (9分) 16.解：(1)此时A={x|2<x<5}, (2分) (2)证明：由f(x)≥x+1得ax2+(b-1)x≥0， B={x|4<x<8}, (4分) a>0, a>0, 由 得{ (11分) 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) (b-1)2-0≤0，b=1, ·数学（人教A卷）答案（第2页，共3页）· 于是f(x)=ax2+x+1,其对称轴为x=一2a: 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1十x2>0,则 而(a）=f(六2a)=f(-品+ 4>,0微1-g0 (9分) 2a), (13分) 又因为x1<x2,所以41-4<0，故g(x1)- 易知f(x)在(-石，+)上单调递增，故2a≤ g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 故g(x)在(0，十∞)上单调递增. (11分) a2+1<a2+1+ 1 a (14分) (3)证明：f(2)=4华-4之 2—,f(x)g(x)= 即-a+2a<a+1+-2a2a+， a 2a 2a )×)=4”4少 4 (16分) 42x-4-2z 结合单调性可得（检法）=f(云+2如)人 4 f(2a+2a+1 则/)=2.产4-2fg,散存在 2a (17分) 实数=2满足题意。 (13分) 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· g(x)满足f(x)十g(x)=4-,将x替换为一x可 [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 得f(-x)+g(-x)=4,又f(-x)= 因为对于任意实数x,4>0且4>0，所以 -f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)+g(x)= 4x. (3分) (x=44一O f(x)+g(x)=4, 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 联立方程组 解得g(x)= -f(x)+g(x)=4 原不等式等价于>即一子 2,f(x)=4“4 4+4x 2 (15分) 综上，f(x)=4-4 2 (4分) 令1=4>0，则4=，不等式等价于：-}> 8(x)=4+4 2一. (5分) 名，且2a>0,放等价于2-2>3，即(2+101- (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2 2)>0, (16分) ga)-gx)=2-P)+(4-44]= 易知2t+1>0,则只需t-2>0, 即>2，也即>2,2>2，解得x>号， [-+分]--产)× 所以不等式的解集为{红x>2}: (17分) (1- (8分) ·数学（人教A卷）答案（第3页，共3页）·2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教A卷）评分细则 12.(0,0) 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. 13.-2 故S(x)的最大值为2. (11分) 14.1 (3)由(2)知t2=4十2x√4-x2≤4+x2+4 15,解：1)由0e(经)知cos0<0, (2分) x2=8, (13分) 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立. 3. (4分) 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 值为2√2. (15分) (2)tan'o=sinosin'o 9 1 cos20 1-sin20 8 (8分) 18.解：(1)(i)f(x)=ax2-ax+1,a=1时，f(x)= x2-x+1, (2分) (3)cos9=(cos9)2=1-sin9y2=(1-日）° f(2)=4-2+1=3. (3分) (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ 64 81 (13分) 0, (5分) 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) 16.解：(1)此时A={x|2<x<5}, (2分) 故由二次函数恒成立得 B={x|4<x<8}, (4分) 1a>0, 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) 解得a=1,经 △=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， (2)证明：当2m-3C2,即m≤时，A=⑦，An 验证知其成立.故a=1. (9分) B=⑦. (9分) (2)证明：由f(x)≥x+1得ax2十(b-1)x≥0， 当m≥8时，B=☑，A∩B=☑， (12分) a>0, (a>0, 由 得 (11分) (b-1)2-0≤0，b=1, 当2<2m-3≤m,即2<m≤3时，AnB=☑ 成立， 于是f(x)=a.x2十x十1，其对称轴为x= 2a 综合所述，原命题得证 (15分) 面f(如）=f(品-2a)=f(-品+ 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN2-DM产= W4-x2, (2分) 2a, (13分) 于是AM=2-x, (3分) 易知fx)在（一a十）上单调递增，放2a≤ CN=2-√4-x2, (4分) 故S(x)=4-（2-x)-(2-√4-x2) +1<a+1+日 (14分) 2-7-+-7-?xM-云0≤ 1 即一 2a +2a<a2+1+2-2元=a千za十 2a x≤2). (6分) (16分) (2)设t=x十W4-x2,注意到t2=4十 结合单调可得()-（+2）大 2x7,放x7-“, 41 (8分) (17分) 故S(x)=1-4 -4- ++1=-4-2y+ 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 ·数学（人教A卷）评分细则（第1页，共2页）· g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为一x可 得f(-x)十g(-x)=4,又f(-x)= )×）-4 4 -f(x),g(-x)=g(x),代人得-f(x)十g(x)= 42红-4-2红 4 42. (3分) f(x)+g(x)=4, 则f(2x)=2.4-4 4—=2f(x)g(x),故存在 联立方程组 解得g(x)= -f(x)十g(x)=4； 实数=2满足题意 (13分) 2,f(x)=45-4✉ 45+4x 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· 2 [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 综上，f(x)=45-4 2一 (4分) 因为对于任意实数x,42>0且4>0，所以 g)=4+4 2 (5分) 8(x)=4十4工>0 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 ga)g)=号[4-P)+(41-4刀- 原不等式等价干于f)>足.即>及 (15分) [-)+(估]--)× 令1=4>0，则4-，不等式等价于：-}> （- (8分) 2且2a>0,放等价于24-2>3，即（2+1D4- 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1十x2>0,则 2)>0, (16分) 1即01，版1- 47+2>0. 易知2t+1>0,则只需t-2>0, (9分) 即t>2,也即4>2,22>2，解得x>2, 又因为x1<x2,所以41-4<0，故g(x1)- (17分) g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 所以不等式的解集为女>》： 故g(x)在(0，十∞)上单调递增. (11分) (3)证明：f(2x)=42-4 2—,f(x)g(x)= ·数学（人教A卷）评分细则（第2页，共2页)·