数学（湘教版）-2024-2025学年高一上学期阶段性学习效果评估一（第一次月考）

2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高一数学（一）参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.B2.C3.D4.B5.B6.C7.C8.A 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.BD 10.BCD 11.BC 三、 填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 2.2》 13.（-0,5] 14.(-3,+∞) 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：(1)因为A∩B={x3<x<5},所以a=3; (4分) a≤2 (2)因为A∩B=A,所以 4a≥5 解得： 4sa≤2， ∴.实数a的取值范围是a (8分) (3)因为A∩B=2,所以 当B=☑时，a≥4a,解得：a≤0； a>0 当B≠☑时， a≥5或4a≤2' 解得：a>≥5或0<a≤{ 综上，实数a的取值范围是 aa≤}或a≥5 (13分) 16.(15分) 解：(1)△ABC为等边三角形，证明如下： 因为a2+b2+c2=ab+ac+bc, 所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 即a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0, (湖南教育)高一数学（一）参考答案第1页（共3页） 即(a-b)2+(b-c2+(a-2=0, 所以a=b,b=c,a=c,即a=b=c, 所以△ABC为等边三角形； (7分) (2)由a2-b2+c2-2ac=(a-c'-b3=(a-c+b)(a-c-b)=[(a+b)-c][a-(b+c], 因为在△ABC中，a+b>c,b+c>a, 所以[(a+b)-c][a-(b+c]<0, 所以a2-b2+c2-2ac<0. (15分) 17.(15分) (I)证明：由题意可知，∠APD=∠CPB,∠ADP=∠CBP,AD=CB, 所以△ADP≌△CBP,所以AP=CP, 所以AD+DP+PA=AD+DP+PC=AD+DC=I2, 所以△ADP的周长为定值； (7分) (2)在Rt△ADP中，因为AD+DP2=PA2, 所以(12-+DP2=(x-DP},解得DP=12-2 所以s(D-P2-12-}-618-72-,， 因为B>2C,所以6<<12,72+x≥2x=25, 72 当且仅当x=6V2时，等号成立， 所以△ADP面积的最大值为6×(18-12√2)=108-72√2. (15分) 18.(17分) 解：(I)因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，所以AB, 因为a>0,则1-a<1+a,所以A≠☑， [1-a≤0 所以，1+a≥4，解得a≥3， a>0 当a=3时，B={x-2≤x≤4}，满足AB, 所以，存在实数a满足题意，且实数a的取值范围是{aa≥3}； (8分) (2)因为命题“x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题， 所以，命题“3xeR,ax2+2x+1=0”为真命题. 则关于x的方程ax2+2x+1=0有实根. 当a=0时，则有2x+1=0,解得x=之，符合题意； 当a≠0时，则有△=4-4a≥0，解得a≤1且a≠0. (湖南教育)高一数学（一）参考答案第2页（共3页） 综上所述，a的取值范围为{aa≤1. (17分) 19.(17分) (1)解：由①知：0∈M,1∈M,由②知：0-1=-1∈M, 1-(-)-2eM由3知：方M,放长M正痛 (7分) (2)证明：由②知：若x∈M,且x≠0，又1∈M,则x-1∈M; 由湖ew以，则 1.11 -EM, 所以x-x2∈M, 综上，x-（x-x2)=x2eM, 由0∈M,则0-y=-y∈M, 所以x-（-y)=x+y∈M, 1+2eM,由③知：eM, xxx +y,,y,+y少∈M, 22 x+)2x2+y2 (17分) 2 2=M. (湖南教育)高一数学（一）参考答案第3页（共3页）2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高一数学（一） 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.命题“x∈R,x2+2x-3>0”的否定是 A.3x∈R,x2+2x-3<0 B.3x∈R,x2+2x-3≤0 C.3x∈R,x2+2x-3≥0 D.3xR,x2+2x-3≤0 2.集合{y∈Ny=-x2+9,x∈N}的子集的个数是 A.4 B.8 C.16 D.32 3.图中阴影部分所表示的集合是 A.B∩[C(AUC)] B.(BUC)∩(CuA) C.(AUC)∩(CB) D.(CA)∩B 4.若x,y∈R,则x+y>0的一个充分不必要条件是 A.x+y>-1 B.x>y>0 C.xy>0 D.x2-y2>0 5.已知集合A={xeZx+1>0,B={xx≤a,若A∩B中有2个元素，则a的取值范 围是 A.[2,4) B.[1,2) C.[2,4] D.[1,2] 6.已知集合M={1,2,3},N={x2-4x+a=0,aeM},若M∩N≠0，则a的值为 A.1 B.2 C.3 D.1或2 7.《九章算术》中有“勾股容方问题：“今有勾五步，股十二步.问：勾中容方几何？” 魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如 图1，用对角线将长和宽分别为b和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成 (湖南教育)高一数学（一）第1页（共4页） 一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如 图2所示的矩形，该矩形长为α+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到 许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线 AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是 B 朱 朱 F D 朱 黄 黄 朱 黄 黄 朱 6 图1 图2 图3 A.由图1和图2面积相等得d= 2ab a2+b2 a+b B.由AE≥AF可得 a+b 2 2 C.由AD≥AE可得 a2+b ≥1,1 D.由AD≥AF可得a2+b2>2ab 2 a b x+y≥1 8.若实数x,y满足 5r+2y≥2， 则2x+y的取值范围是 A.[L,+∞) B.[3,+o∞) C.[4,+o) D.[9,+0) 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.设A为非空实数集，若x,y∈A,都有x+y,x-y,y∈A,则称A为封闭集.其中正 确结论的是 A.集合A={-2,-1,0,1,2}为封闭集 B.集合A={nn=2k,k∈Z为封闭集 C.若集合A1,A为封闭集，则AUA,为封闭集 D.若A为封闭集，则一定有O∈A 10.已知非零实数a、b满足a>b,则 A.日分 B.aa>bb C.a(a2+3b2)>b(3a2+b2） D. 2a2-ab+2b2 >1 a2+ab+b2 11.若U=Z,A={xx=2k,k∈Z,B={xx=2k+1,k∈Z,则 A.A0B=0 B.AUB=U C.CB=A D.CASB (湖南救育)高一数学（一）第2页（共4页） 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知集合M={(x,y)x-2y=3},N={(x,y)3x+2y=5},则M∩N=」 13.已知x>3，+≥m恒成立，则实数m的取位花国是 14.已知命题p:“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式r2+2ar+2-a>0成立”为真， 则参数a的取值范围是」 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知集合A={x|2<x<5},B={xa<x<4a. (I)若A∩B={x3<x<5},求实数a的值； (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围； (3)若A∩B=☑，求实数a的取值范围. 16.(15分)已知：a,b,c为△ABC的三边长. (1)当a2+b2+c2=ab+ac+bc时，试判断△ABC的形状，并证明你的结论； (2)判断代数式a2-b2+c2-2ac的值与0的大小关系. 17.(15分)设矩形ABCD(其中AB>BC)的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB交CD于点P. (1)证明：△ADP的周长为定值； (2)设AB=x,且记△ADP的面积为S(x).求当x为何值时，S(x)取得最大值，并求出 最大值. (湖南救育)高一数学（一）第3页（共4页） 18.(17分)(1)已知集合A={x0≤x≤4，集合B={x1-a≤x≤1+a(a>0),若x∈A 是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围； (2)已知命题“x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题，求实数a的取值范围. 19.(17分)已知M是满足下列条件的集合：①0∈M,1∈M;②若xy∈M,则x-y∈M; ③若x∈M且x≠0，则-∈M」 (1)判断)∈M是否正确，说明理由； (2)证明：若x,y∈M,则y∈M. (湖南救育)高一数学（一）第4页（共4页)