【青桐鸣大联考】2025-2026学年高一上学期12月联考数学（北师大专版）试题

秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 本 数学（北师大专版） 试 注意事项： 卷 1.答卷前，考生务必将自己的址名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上， 由 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 各 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 市 上，写在本试卷上无效。 地 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 县 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 区 是符合题目要求的。 参 1.集合A={x|x2一6x+9=0)的非空子集的个数为 考 A.1 B.2 C.3 D.4 订 学 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x十3)(x-4)>0,则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 校 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 留 f(x+1),x≤0， 存 3.已知函数∫(x)= 若f(-2026)=a2-2,a>0,则a= ax+In I,x>0, 准考证号 线 A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知暴函数f(x)=(m-1)x-2,m为实数，则∫(2)= A.2 B.16 C.8 D.4 姓 名 ax+2026,x<0, 5.已知函数∫(x) 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 9 6.已知a,b∈R,2a一b=3,则 27 A.27 B.9 C.3 D.2 数学（北师大专版）试题第1页（共4页） 7,大数据语言的单次预调练过程大致遵循Chinchil缩放定律，。-怎十B,其中是 在经过单次预训练后具有N个参数的模型的测试损失值，A,B,a是常数，已知)= 2),B=一2，A>0,则A的最小值为 N吉 B.1 C.2 D.3 8.已知偶函数∫(x)满足∫(x+1)一1是奇函数，且当0<x<1时，f(x)=2一4x一3， A-号 B号 c-号 D.S 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A={x12<x<4},B=《xI|x一21<2}，则下列正确的有 A.3∈A B.B=(|0<t<4) C.ACB D.AUCB=R 10.已知正数a,b满足a+2b=4,则下列正确的有 A.2a+3b>8 B.ab2<4 C.8a2+8b>15 D.ab°<4b' 11.已知函数f(x)=45一3a·2十a,a为实数，则下列正确的有 Af(-los3)-日 B.当a<0时，f(x)是增函数 C.存在a,使得f(x)是偶函数 D.当a∈6，着)时fx)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数∫(x)=4一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为 13.log2-(7+45)= 数学（北师大专版）试题第2页（共4页） 14.已知函数fx)=r2-+1,且1a(x)+61<1对Vz∈，2恒成立，a,6∈R,则 10a+3b的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数∫(x)=x+x. (1)用定义法证明：f(x)是增函数； (2)证明：x3+x>18√2. 16.(15分) 已知m为实数，集合A=x|2<x<2m一3}，B={x|m<x<8). (1)当m=4时，求AUB: (2)证明：当m∈(-∞，3]U[8,+∞)时，A∩B=☑. 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值： (3)求DM+DN的最大值. 数学（北师大专版）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数∫(x)=ax2十bx十1，a,b均为实数， (1)当b=-a时， (1)若a=1,求∫(2)的值： (i)若∫(x)≥x恒成立，求a的值， 2)若a0,且x≥+1恒成立，证明：/(-a2</(a名a+马) 19.(17分) 已知均定义在R上的奇函数∫(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=4 (1)求f(x)与g(x)的解析式： (2)用定义法证明：g(x)在(0，十∞)上单调递增； : (3)证明：存在实数k,使得f(2x)=kf(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x), 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 数学（北师大专版）试题第4页（共4页） 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（北师大专版）参考答案 1.A【解析】由x2-6x+9=0得x=3,于是A= {3},其非空子集的个数为21一1=1. 号-3-1=-r(22)=(22）+1 故选A. 3 2.B【解析】由3>3解得x>1或x<-1,由(x+ 故选A. 3)(x-4)>0解得x>4或x<-3,故甲是乙的必 9.ABC【解析】对于A,由2<3<4可知3∈A,故A 要不充分条件 正确； 故选B. 对于B,由|x-2<2得0<x<4,于是B={x|0< 3.B【解析】注意到f(-2026)=f(-2025)=…= x<4}={t|0<t<4},故B正确； f(0)=f(1)=a,由a2-a-2=0得a=-1或 对于C,由A∩B={x|2<x<4}=A,得A三B, a=2,由a>0得a=2. 故C正确； 故选B. 对于D,CRB={x|x≤0或x≥4}，AUCRB= 4.D【解析】由条件知m-1=1,得m=2,于是 {x|x≤0或x>2}≠R,故D错误. f(x)=x2,故f(2)=4. 故选ABC. 故选D. 10.BC【解析】对于A,8=2a+4b>2a+3b,故A 5.B【解析】不妨设t>0,由奇函数的性质可知f(t)+ 错误； f(-t)=0,即a(-t)+2026+2026t+b=0,于 对于B,由基本不等式得4≥2√2ab,可得ab≤2， 光g2 当且仅当a=2b=2时，取等号.而4=a十2b> 易知a十b=0. 2b,b<2,于是ab2<4,故B正确； 故选B. 对于C,a2+6=a2+422=a-号+6+器 1,31 9 32a32a 2 6.A【解折]因为2a-6=3,故元荐子 (。)+器沿-5于是a+动>15，放C 32a-b=33=27. 正确； 故选A. 7C【解折】由条件可知会-2=2（信2），得分 对于D,取a=3,b=,则ab=3·()=6· 2A+2=0,设1=3>0，则2-2A1+A=0,由其 (份)广>4（合）》=6，故D错误 故选BC. 有解可得(-2A)2-8A=4A(A-2)≥0，解得 11.ABD 【解析】对于A,f(-log3)=23 A≥2，当A=2时，2(t-1)2=0,3=t=1,故a= 0,有解.故A的最小值为2. 3a·2十a=号，放A正确： 故选C. 对于B,此时y=4十a是增函数，y=一3a·2x 8.A【解析】设g(x)=f(x)-1,显然g(x)= 是增函数，故f(x)是增函数，故B正确； g(一x),由g(x+1)是奇函数，知g(2+x)+ 对于C,若f(x)是偶函数，则 f1)=f-D可 g(-x)=0,于是g(2十x)=-g(x),g(4十x)= f(2)=f(-2), -g2+z)=8(x),于是g(92）=8(4×169 4-5a=1、a 5 42’ a= 6 得 解得 3)=g(号)=g(得)=f(3)-1=2-4× 1 16-11a=i6+4 017显然二者不 a=12' 数学（北师大专版）答案（第1页，共3页）· 能同时满足，故C错误； B=0. (9分) 对于D,设1=2，当a∈(0，号)时，f(x)=2 当m≥8时，B=⑦，A∩B=O, (12分) 当2<2m-3≤m,即5<m≤3时，AnB=☑ 9 2 成立， a(台-a）>0,放D正确， 综合所述，原命题得证， (15分) 故选ABD. 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN-DM= 12.(0,0)【解析】由ax=0得x=0,而f(0)=0,故 √4-x, (2分) 所过定点的坐标为(0,0). 于是AM=2-x, (3分) 13.一2【解析】注意到7+4√3=(2+√3)2 CN=2-√4-x, (4分) (2+3)2(2-√3)2 23)故1og2(7+ 1 故S(x)=4-（2-x)-(2-√4-x) (2-√5)2 V47=xtV-又-号xA-70≤ 1 4W3)=log2-6(2-V3)-2=-2. 14.[-3,3]【解析】由题意可得f(x)在[1,2]上单 x≤2) (6分) 调递增，当x=1时，f(x)=1;当x=2时，f(x)= (2)设t=x十√/4-x2,注意到t2=4十 9所以e)=-是+1e1,],曲a(x 2xA-2,故2x4-x_4 1 4 (8分) t2-4t2 是+1)+b<1对vx∈1,2]恒成立，得-1≤a 故S(x)=t 4 4+t+1=-1 =一 t-2)2+ +b≤1，-1≤号+b≤1，版10m+动=[2x(30 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. 故S(x)的最大值为2. (11分) +b)+(a+b)]∈[-3,3]，故10a+36的取值范 (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4十x2+4- x2=8, (13分) 围为[-3,3]. 15.解：(1)证明：取Hx1,x2∈R,且x1<x2,(1分) 知t≤2√，当且仅当x=√2时，等号成立. 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 则 f(x1)-f(x2)= xi+x1-xi-x2 x1-x2 x1一x2 值为2√2， (15分) (x1-x2)(x1+x1x2十x2)+（x1-x2) =x+ 18.解：(1)(i)f(x)=a.x2-ax+1,a=1时，f(x)= x1一x2 x2-x+1, (2分) ++1+受++1>0,5分 f(2)=4-2+1=3. (3分) (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ 即f(x2)>f(x1),故f(x)是增函数. (7分) 0, (5分) (2)证明：显然π>3>2√2， (9分) 当a=0时，取x=2可得-2十1<0，矛盾.(6分) 而f(π)=π3+π，f(2√2)=(2√2)3+22= 故由二次函数恒 成立得 18√2， (11分) a>0, 解得a=1,经 由π>2√2，知f(π)>f(2W2),故π3+π>18√2. △=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， (13分) 验证知其成立.故a=1. (9分) 16.解：(1)此时A={x2<x<5}, (2分) (2)证明：由f(x)≥x十1得ax2+(b-1)x≥0， B={x4<x<8}, (4分) a>0, a>0, 由 得 (11分) 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) (b-1)2-0≤0，b=1, (2)证明：当2m-3≤2，即m<号时，A=⑦，An 1 于是f(x)=ax2十x+1,其对称轴为x=一 2a' ·数学（北师大专版）答案（第2页，共3页）· 面f(a法)-1（品-2a)-(-a+ 4+1即04+<1，故11、 45>0. 2a), (13分) (9分) 又因为x1<x2,所以41-42<0，故g(x1)- 易知f()在（一云十eo)上单调通增，故2a< g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) +1a+1+ 故g(x)在(0，十∞)上单调递增. (11分) (14分) 即+2a<a2+1+ 2a3+2a+1 (3)证明：f(2x)=4-4 2—,f(x)g(x)= a 2a 2a (16分) )×=4 4 结合单调性可得（松a。)=(云+）大 42x-4-2x 4 2) (17分) 则f(2x)=2.4-4 4 一=2f(x)g(x),故存在 19.解：(1)由于在R上的奇函数∫(x)与偶函数 实数=2满足题意. (13分) g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· 得f(-x)十g(-x)=4,又f(-x)= [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. -f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)十g(x)= 因为对于任意实数x,4>0且4>0，所以 4×. (3分) g)>0 f(x)+g(x)=4, 联立方程组 解得g（x)= -f(x)十g(x)=4， 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 2,f(x)=454x 4+4-x 2 原不等式等价于)》即“>兰 41 综上，f(x)=4-4 (15分) 2 (4分) 令1=4>0，则4-}，不等式等价于：-> 8(x)=4+4 2 (5分) 名，且2>0，放等价于2-2>3，即（(2：+1D4 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<2: 2)>0, (16分) g8)=2[-P)+41-4刀= 易知2t+1>0,则只需t-2>0, [-)+(估]=合-)× 即>2，也即4>2,2>2，解得x>2 (8分) 所以不等式的解集为女>》。 (17分) 因为x1,x2∈(0，十∞)，所以x1+x2>0,则 ·数学（北师大专版）答案（第3页，共3页）· 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（北师大专版）评分细则 12.(0,0) 2xV4-2,放2xV4-- 13.-2 4, (8分) 14.[-3,3] 故S(x)=t t2-4__t2 4 =一4++1=- 4(t-2)2+ 15.解：(1)证明：取Hx1,x2∈R,且x1<x2,(1分) 则fx)-fx)=+x,--x 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立： x1一x2 x1一x2 故S(x)的最大值为2. (11分) (x1-x2)(x+x1x2十x)+（x1-x2) (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4十x2+4- =x十 t1一C2 x2=8, (13分) 2++1=,+受)'++1>0,6分) 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立， 即f(x2)>f(x1),故f(x)是增函数. (7分) 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 (2)证明：显然π>3>2√2， (9分) 值为2W2 (15分) 而f(π)=x3+π，f(2√2)=(2√2)3+2√2= 18.解：(1)(i)f(x)=ax2-ax+1,a=1时，f(x)= x2-x+1, (2分) 18√2， (11分) f(2)=4-2+1=3. (3分) 由π>2W2,知f(x)>f(2W2),故x3+π>18√2. (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ (13分) 0, (5分) 16.解：(1)此时A={x|2<x<5}, (2分) 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) B={x|4<x<8}, (4分) 故由二次函数恒成立得 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) a>0, (2)证明：当2m-3C2,即m≤号时，A=②，An 解得a=1,经 △=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， B=☑. (9分) 验证知其成立.故a=1. (9分) 当m≥8时，B=⑦，A∩B=☑， (12分) (2)证明：由f(x)≥x+1得ax2+(b-1)x≥0， 5 1a>0, a>0, 当2<2m-3≤m,即2<m≤3时，AnB=⑦ 由 得 (11分) (b-1)2-0≤0,6b=1, 成立， 综合所述，原命题得证 (15分) 于是f(x)=ax2+x十1，其对称轴为x=一2a, 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN2-DM产= 面r(-“)-f(a-2)-f(-六+ √4-x2, (2分) 于是AM=2-x, (3分) 2a), (13分) CN=2-√4-x2, (4分) 易知fx)在(-云十)上单调通增，放2a≤ 故S(x)=4-(2-x)-(2-√/4-x2)- 27=x+司-日：70≤ a2+1<a2+1+ 1 Q, (14分) 1 x≤2) (6分) 即一 +2a<a2+1+1-1-2a3+2a+1 2a a 2a 2a (2)设t=x十√4-x2,注意到t2=4十 (16分) ·数学（北师大专版）评分细则（第1页，共2页）· 结合单调性可得（松。）（名+2）水 g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 故g(x)在(0，十∞)上单调递增 (11分) (17分) (3)证明：f(2)=4-4 2—,f(x)g(x)= 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 )×）=4产4 4 得f(-x)+g(-x)=4z,又f(-x)= 42x-4-2x 一f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)+g(x)= 4 42. (3分) 则f(2x)=2· 42x-4-2 4 =2f(x)g(x),故存在 f(x)+g(x)=4, 联立方程组 解得g(x)= 实数k=2满足题意. (13分) -f(x)十g(x)=4, 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· 2,f(x)=44 42+4x 2· [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 42-4-x 因为对于任意实数x,42>0且4x>0,所以 综上，f(x)=2’ (4分) gx)+4>0. 8(x)=4“+4✉ 2 2 (5分) 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2: 原不等式等价于>即”→ g)gx,)=2[4-)+(4-4刀= (15分) [-)+(哈]名-)x 令1=4>0，则4=}不等式等价于4-> 3 (8分) ,且2>0，故等价于22-2>3t,即(21+1)(1- 2)>0, (16分) 因为x1,x2∈(0，十∞)，所以x1+x2>0,则 易知2t+1>0,则只需t一2>0， >1,即0<1，撤1->0 即>2，也即4>2,22>2，解得x> 29 (9分) 又因为x1<x2,所以41-42<0，故g(x1)- 所以不等式的解集为红2>》。 (17分) ·数学（北师大专版）评分细则（第2页，共2页）·2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（北师大专版）评分细则 12.(0,0) 2xV4-2,放2xV4-- 13.-2 4, (8分) 14.[-3,3] 故S(x)=t t2-4__t2 4 =一4++1=- 4(t-2)2+ 15.解：(1)证明：取Hx1,x2∈R,且x1<x2,(1分) 则fx)-fx)=+x,--x 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立： x1一x2 x1一x2 故S(x)的最大值为2. (11分) (x1-x2)(x+x1x2十x)+（x1-x2) (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4十x2+4- =x十 t1一C2 x2=8, (13分) 2++1=,+受)'++1>0,6分) 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立， 即f(x2)>f(x1),故f(x)是增函数. (7分) 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 (2)证明：显然π>3>2√2， (9分) 值为2W2 (15分) 而f(π)=x3+π，f(2√2)=(2√2)3+2√2= 18.解：(1)(i)f(x)=ax2-ax+1,a=1时，f(x)= x2-x+1, (2分) 18√2， (11分) f(2)=4-2+1=3. (3分) 由π>2W2,知f(x)>f(2W2),故x3+π>18√2. (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ (13分) 0, (5分) 16.解：(1)此时A={x|2<x<5}, (2分) 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) B={x|4<x<8}, (4分) 故由二次函数恒成立得 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) a>0, (2)证明：当2m-3C2,即m≤号时，A=②，An 解得a=1,经 △=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， B=☑. (9分) 验证知其成立.故a=1. (9分) 当m≥8时，B=⑦，A∩B=☑， (12分) (2)证明：由f(x)≥x+1得ax2+(b-1)x≥0， 5 1a>0, a>0, 当2<2m-3≤m,即2<m≤3时，AnB=⑦ 由 得 (11分) (b-1)2-0≤0,6b=1, 成立， 综合所述，原命题得证 (15分) 于是f(x)=ax2+x十1，其对称轴为x=一2a, 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN2-DM产= 面r(-“)-f(a-2)-f(-六+ √4-x2, (2分) 于是AM=2-x, (3分) 2a), (13分) CN=2-√4-x2, (4分) 易知fx)在(-云十)上单调通增，放2a≤ 故S(x)=4-(2-x)-(2-√/4-x2)- 27=x+司-日：70≤ a2+1<a2+1+ 1 Q, (14分) 1 x≤2) (6分) 即一 +2a<a2+1+1-1-2a3+2a+1 2a a 2a 2a (2)设t=x十√4-x2,注意到t2=4十 (16分) ·数学（北师大专版）评分细则（第1页，共2页）· 结合单调性可得（松。）（名+2）水 g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 故g(x)在(0，十∞)上单调递增 (11分) (17分) (3)证明：f(2)=4-4 2—,f(x)g(x)= 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 )×）=4产4 4 得f(-x)+g(-x)=4z,又f(-x)= 42x-4-2x 一f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)+g(x)= 4 42. (3分) 则f(2x)=2· 42x-4-2 4 =2f(x)g(x),故存在 f(x)+g(x)=4, 联立方程组 解得g(x)= 实数k=2满足题意. (13分) -f(x)十g(x)=4, 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· 2,f(x)=44 42+4x 2· [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 42-4-x 因为对于任意实数x,42>0且4x>0,所以 综上，f(x)=2’ (4分) gx)+4>0. 8(x)=4“+4✉ 2 2 (5分) 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2: 原不等式等价于>即”→ g)gx,)=2[4-)+(4-4刀= (15分) [-)+(哈]名-)x 令1=4>0，则4=}不等式等价于4-> 3 (8分) ,且2>0，故等价于22-2>3t,即(21+1)(1- 2)>0, (16分) 因为x1,x2∈(0，十∞)，所以x1+x2>0,则 易知2t+1>0,则只需t一2>0， >1,即0<1，撤1->0 即>2，也即4>2,22>2，解得x> 29 (9分) 又因为x1<x2,所以41-42<0，故g(x1)- 所以不等式的解集为红2>》。 (17分) ·数学（北师大专版）评分细则（第2页，共2页）·秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 本 数学（北师大专版） 试 注意事项： 卷 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上， 由 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 各 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 市 上。写在本试卷上无效。 地 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 县 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 区 是符合题目要求的。 参 1.集合A=《x|x2一6x+9=0)的非空子集的个数为 考 A.1 B.2 C.3 D.4 学 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x+3)(x一4)>0，则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 校 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 留 [f(x+1),x≤0， 存 3.已知函数∫(x)= 若f(-2026)=a2-2,a>0,则a= az+ln I,x>0, 准考证号 线 A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知形函数f(x)=(m-1)x-2,m为实数，则∫(2)= A.2 B.16 C.8 D.4 姓 名 ax+2026,x<0, 5.已知函数∫(x)= 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 9 6.已知a,b∈R,2a-b=3,则 27 A.27 B.9 C.3 D.2 数学（北师大专版）试题.第1页（共4页） 的单次预训练过程大致遵循Chinchil训a缩放定律：y-分，+上 在经过单次预训练后具有N个参数的模型的测试损失值，A,B,a是常数，已知)= 2),B=一2，A>0,则A的最小值为 1 A.2 B.1 C.2 D.3 8.已知偶函数∫(x)满足∫(x+1)一1是奇函数，且当0<x<1时，∫(x)=2一4x一3， 则92） A-号 B号 c号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A={x|2<x<4},B=《x1川x一21<2}，则下列正确的有 A.3∈A B.B=(tI0<t<4》 C.A≤B D.AUCB=R 10.已知正数a,b满足a十2b=4,则下列正确的有 A.2a+3b>8 B.ab2<4 C.8a2+8b>15 D.ab°<4b 11.已知函数f(x)=4一3a·2+a,a为实数，则下列正确的有 Af-1g3)-日 B.当a<0时，f(x)是增函数 C.存在a,使得∫(x)是偶函数 D.当a∈，)时x)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数f(x)=4'一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为 13.1og2-,(7+43)= 数学（北师大专版）试题第2页（共4页） 14.已知函数x)=r2-是+1，且1ax)+61≤1对Vx∈，2]恒成立a,b∈R,则 10a+3b的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=x3+x. (1)用定义法证明：∫(x)是增函数； (2)证明：x3+x>18√2 16.(15分) 已知m为实数，集合A={x|2<x<2m一3)，B={xlm<x<8) (1)当m=4时，求AUB; (2)证明：当m∈(-∞，3]U[8,+c∞)时，A∩B=⑦. 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值： (3)求DM+DN的最大值. 数学（北师大专版）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f(x)=ax2十bx十1，a,b均为实数， (1)当b=一a时， (I)若a=1,求f(2)的值； (Ⅱ)若∫(x)≥x恒成立，求a的值 2若a≠0.且：≥x+1恒成立：证明：/-a。k2a+) 19.17分) 订 已知均定义在R上的奇函数∫(x)与偶函数g(x)满足f(x)十g(x)=4. (1)求∫(x)与g(x)的解析式： (2)用定义法证明：g(x)在(0，十∞)上单调递增： (3)证明：存在实数k,使得f(2x)=kf(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x) 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 数学（北师大专版）试题第4页（共4页）秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 本 数学（北师大专版） 试 注意事项： 卷 1.答卷前，考生务必将自己的址名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上， 由 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 各 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 市 上，写在本试卷上无效。 地 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 县 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 区 是符合题目要求的。 参 1.集合A={x|x2一6x+9=0)的非空子集的个数为 考 A.1 B.2 C.3 D.4 订 学 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x十3)(x-4)>0,则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 校 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 留 f(x+1),x≤0， 存 3.已知函数∫(x)= 若f(-2026)=a2-2,a>0,则a= ax+In I,x>0, 准考证号 线 A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知暴函数f(x)=(m-1)x-2,m为实数，则∫(2)= A.2 B.16 C.8 D.4 姓 名 ax+2026,x<0, 5.已知函数∫(x) 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 9 6.已知a,b∈R,2a一b=3,则 27 A.27 B.9 C.3 D.2 数学（北师大专版）试题第1页（共4页） 7,大数据语言的单次预调练过程大致遵循Chinchil缩放定律，。-怎十B,其中是 在经过单次预训练后具有N个参数的模型的测试损失值，A,B,a是常数，已知)= 2),B=一2，A>0,则A的最小值为 N吉 B.1 C.2 D.3 8.已知偶函数∫(x)满足∫(x+1)一1是奇函数，且当0<x<1时，f(x)=2一4x一3， A-号 B号 c-号 D.S 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A={x12<x<4},B=《xI|x一21<2}，则下列正确的有 A.3∈A B.B=(|0<t<4) C.ACB D.AUCB=R 10.已知正数a,b满足a+2b=4,则下列正确的有 A.2a+3b>8 B.ab2<4 C.8a2+8b>15 D.ab°<4b' 11.已知函数f(x)=45一3a·2十a,a为实数，则下列正确的有 Af(-los3)-日 B.当a<0时，f(x)是增函数 C.存在a,使得f(x)是偶函数 D.当a∈6，着)时fx)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数∫(x)=4一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为 13.log2-(7+45)= 数学（北师大专版）试题第2页（共4页） 14.已知函数fx)=r2-+1,且1a(x)+61<1对Vz∈，2恒成立，a,6∈R,则 10a+3b的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数∫(x)=x+x. (1)用定义法证明：f(x)是增函数； (2)证明：x3+x>18√2. 16.(15分) 已知m为实数，集合A=x|2<x<2m一3}，B={x|m<x<8). (1)当m=4时，求AUB: (2)证明：当m∈(-∞，3]U[8,+∞)时，A∩B=☑. 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值： (3)求DM+DN的最大值. 数学（北师大专版）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数∫(x)=ax2十bx十1，a,b均为实数， (1)当b=-a时， (1)若a=1,求∫(2)的值： (i)若∫(x)≥x恒成立，求a的值， 2)若a0,且x≥+1恒成立，证明：/(-a2</(a名a+马) 19.(17分) 已知均定义在R上的奇函数∫(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=4 (1)求f(x)与g(x)的解析式： (2)用定义法证明：g(x)在(0，十∞)上单调递增； : (3)证明：存在实数k,使得f(2x)=kf(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x), 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 数学（北师大专版）试题第4页（共4页）2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（北师大专版）参考答案 1.A【解析】由x2-6x+9=0得x=3,于是A= {3},其非空子集的个数为21一1=1. 号-3-1=-r(22)=(22）+1 故选A. 3 2.B【解析】由3>3解得x>1或x<-1,由(x+ 故选A. 3)(x-4)>0解得x>4或x<-3,故甲是乙的必 9.ABC【解析】对于A,由2<3<4可知3∈A,故A 要不充分条件 正确； 故选B. 对于B,由|x-2<2得0<x<4,于是B={x|0< 3.B【解析】注意到f(-2026)=f(-2025)=…= x<4}={t|0<t<4},故B正确； f(0)=f(1)=a,由a2-a-2=0得a=-1或 对于C,由A∩B={x|2<x<4}=A,得A三B, a=2,由a>0得a=2. 故C正确； 故选B. 对于D,CRB={x|x≤0或x≥4}，AUCRB= 4.D【解析】由条件知m-1=1,得m=2,于是 {x|x≤0或x>2}≠R,故D错误. f(x)=x2,故f(2)=4. 故选ABC. 故选D. 10.BC【解析】对于A,8=2a+4b>2a+3b,故A 5.B【解析】不妨设t>0,由奇函数的性质可知f(t)+ 错误； f(-t)=0,即a(-t)+2026+2026t+b=0,于 对于B,由基本不等式得4≥2√2ab,可得ab≤2， 光g2 当且仅当a=2b=2时，取等号.而4=a十2b> 易知a十b=0. 2b,b<2,于是ab2<4,故B正确； 故选B. 对于C,a2+6=a2+422=a-号+6+器 1,31 9 32a32a 2 6.A【解折]因为2a-6=3,故元荐子 (。)+器沿-5于是a+动>15，放C 32a-b=33=27. 正确； 故选A. 7C【解折】由条件可知会-2=2（信2），得分 对于D,取a=3,b=,则ab=3·()=6· 2A+2=0,设1=3>0，则2-2A1+A=0,由其 (份)广>4（合）》=6，故D错误 故选BC. 有解可得(-2A)2-8A=4A(A-2)≥0，解得 11.ABD 【解析】对于A,f(-log3)=23 A≥2，当A=2时，2(t-1)2=0,3=t=1,故a= 0,有解.故A的最小值为2. 3a·2十a=号，放A正确： 故选C. 对于B,此时y=4十a是增函数，y=一3a·2x 8.A【解析】设g(x)=f(x)-1,显然g(x)= 是增函数，故f(x)是增函数，故B正确； g(一x),由g(x+1)是奇函数，知g(2+x)+ 对于C,若f(x)是偶函数，则 f1)=f-D可 g(-x)=0,于是g(2十x)=-g(x),g(4十x)= f(2)=f(-2), -g2+z)=8(x),于是g(92）=8(4×169 4-5a=1、a 5 42’ a= 6 得 解得 3)=g(号)=g(得)=f(3)-1=2-4× 1 16-11a=i6+4 017显然二者不 a=12' 数学（北师大专版）答案（第1页，共3页）· 能同时满足，故C错误； B=0. (9分) 对于D,设1=2，当a∈(0，号)时，f(x)=2 当m≥8时，B=⑦，A∩B=O, (12分) 当2<2m-3≤m,即5<m≤3时，AnB=☑ 9 2 成立， a(台-a）>0,放D正确， 综合所述，原命题得证， (15分) 故选ABD. 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN-DM= 12.(0,0)【解析】由ax=0得x=0,而f(0)=0,故 √4-x, (2分) 所过定点的坐标为(0,0). 于是AM=2-x, (3分) 13.一2【解析】注意到7+4√3=(2+√3)2 CN=2-√4-x, (4分) (2+3)2(2-√3)2 23)故1og2(7+ 1 故S(x)=4-（2-x)-(2-√4-x) (2-√5)2 V47=xtV-又-号xA-70≤ 1 4W3)=log2-6(2-V3)-2=-2. 14.[-3,3]【解析】由题意可得f(x)在[1,2]上单 x≤2) (6分) 调递增，当x=1时，f(x)=1;当x=2时，f(x)= (2)设t=x十√/4-x2,注意到t2=4十 9所以e)=-是+1e1,],曲a(x 2xA-2,故2x4-x_4 1 4 (8分) t2-4t2 是+1)+b<1对vx∈1,2]恒成立，得-1≤a 故S(x)=t 4 4+t+1=-1 =一 t-2)2+ +b≤1，-1≤号+b≤1，版10m+动=[2x(30 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. 故S(x)的最大值为2. (11分) +b)+(a+b)]∈[-3,3]，故10a+36的取值范 (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4十x2+4- x2=8, (13分) 围为[-3,3]. 15.解：(1)证明：取Hx1,x2∈R,且x1<x2,(1分) 知t≤2√，当且仅当x=√2时，等号成立. 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 则 f(x1)-f(x2)= xi+x1-xi-x2 x1-x2 x1一x2 值为2√2， (15分) (x1-x2)(x1+x1x2十x2)+（x1-x2) =x+ 18.解：(1)(i)f(x)=a.x2-ax+1,a=1时，f(x)= x1一x2 x2-x+1, (2分) ++1+受++1>0,5分 f(2)=4-2+1=3. (3分) (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ 即f(x2)>f(x1),故f(x)是增函数. (7分) 0, (5分) (2)证明：显然π>3>2√2， (9分) 当a=0时，取x=2可得-2十1<0，矛盾.(6分) 而f(π)=π3+π，f(2√2)=(2√2)3+22= 故由二次函数恒 成立得 18√2， (11分) a>0, 解得a=1,经 由π>2√2，知f(π)>f(2W2),故π3+π>18√2. △=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， (13分) 验证知其成立.故a=1. (9分) 16.解：(1)此时A={x2<x<5}, (2分) (2)证明：由f(x)≥x十1得ax2+(b-1)x≥0， B={x4<x<8}, (4分) a>0, a>0, 由 得 (11分) 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) (b-1)2-0≤0，b=1, (2)证明：当2m-3≤2，即m<号时，A=⑦，An 1 于是f(x)=ax2十x+1,其对称轴为x=一 2a' ·数学（北师大专版）答案（第2页，共3页）· 面f(a法)-1（品-2a)-(-a+ 4+1即04+<1，故11、 45>0. 2a), (13分) (9分) 又因为x1<x2,所以41-42<0，故g(x1)- 易知f()在（一云十eo)上单调通增，故2a< g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) +1a+1+ 故g(x)在(0，十∞)上单调递增. (11分) (14分) 即+2a<a2+1+ 2a3+2a+1 (3)证明：f(2x)=4-4 2—,f(x)g(x)= a 2a 2a (16分) )×=4 4 结合单调性可得（松a。)=(云+）大 42x-4-2x 4 2) (17分) 则f(2x)=2.4-4 4 一=2f(x)g(x),故存在 19.解：(1)由于在R上的奇函数∫(x)与偶函数 实数=2满足题意. (13分) g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· 得f(-x)十g(-x)=4,又f(-x)= [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. -f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)十g(x)= 因为对于任意实数x,4>0且4>0，所以 4×. (3分) g)>0 f(x)+g(x)=4, 联立方程组 解得g（x)= -f(x)十g(x)=4， 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 2,f(x)=454x 4+4-x 2 原不等式等价于)》即“>兰 41 综上，f(x)=4-4 (15分) 2 (4分) 令1=4>0，则4-}，不等式等价于：-> 8(x)=4+4 2 (5分) 名，且2>0，放等价于2-2>3，即（(2：+1D4 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<2: 2)>0, (16分) g8)=2[-P)+41-4刀= 易知2t+1>0,则只需t-2>0, [-)+(估]=合-)× 即>2，也即4>2,2>2，解得x>2 (8分) 所以不等式的解集为女>》。 (17分) 因为x1,x2∈(0，十∞)，所以x1+x2>0,则 ·数学（北师大专版）答案（第3页，共3页）·