陕西省西安市新城区2026届高三上学期第三次模拟数学试题

绝密★启用前 数学试卷 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦千净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={1,0,1,2},N={yy=2,x>-1},则M∩N= A.{0,1,2 B.{1,2} C.{-1,0} D.(1) 2. 设随机变量X服从二项分布B6,pX0<p<1),若B(X)=,则p= 2 B 1 C. 4 D. 6 3. 已知线段AB的长为2√2，且线段AB在平面a上的射影长为√6，则直线AB与a所成角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.75 4.若函数f()=sinx+cos(2x+p)0<p<)是奇函数，则f(凸)= A.0 B月 c,+3 D.I-3 2 2 5.若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于-21，则该等比数列的第4项等于 A.16 B.8 C.-4 D.-8 6.已知函数f(x)=ln(x2-ax+2)在(2，+oo)单调递增，则a的取值范围是 A.(3,4] B.[3,4) C.(-0,3] D.(-0,4] 7.设A,B,C是半径为1的圆上三点，若AB=1,则AB·AC的最大值为 A.1 c.5 D.2 2 8. 已知椭图C 4+少=1的左、右焦点分别为R,B,过R的直线交C于A,B两点，且A1B那，则|4B刷= A. 64 c.8w7 D.175 17 B. 17 9 8 数学试题第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设z1=2+i,z2=1-2i,则 A.|z1|=|z21 B.z1-z2=1+i C.a1+22|=√10 D.2122=z122 10.已知抛物线C:y'=4x的焦点为F,P为C上一动点，点4,2)，B3,3),则 6 A.IPFI--1PA1≤ 6 B.IPF|+|PB1≥4 C.IPAI-PB5 D.1BA1+|PB1≥马 6 11.已知曲线C:y=2x3-3x2+3,则 A.直线y=2与C的公共点数不等于直线y=3与C的公共点数 3 B.所有斜率为一2的直线都与C有且仅有一个公共点 5 9 C.直线y=一与C的所有公共点的横坐标的平方和等于 2 4 3 D.C上横坐标的差为之的两点中至少有一个点的纵坐标的绝对值大于2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某中学高三年级男生的身高X(单位：cm)可近似看作服从正态分布N(175,σ2)，且P(170<X<180)=0.7, 则P(X>170)= 13.函数f(x)=x√2-x2-x2的最大值为 14.如图，菱形ABCD的各点都在同一平面上，且边长为4，∠BAD=60°.设E,F分别为AB, AD的中点，分别以CE,EF,CF为折痕把△BCE,△AEF,△DCF折起，使点B, B A,D重合于点P，,并构成三棱锥P-CEF.若三棱锥P-CEF的各顶点都在同一球面上， 则该球的体积为」 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 acosC+2 ccos A=a+c, (1)证明：2b=a+c: 2)设A-，a=7,求△ABC的面积 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C中，D,E为BC上的点，且BD=DE=EC (1)证明：AD∥平面ACE; (2)若底面ABC是等边三角形，侧面A4,C,C是菱形，∠AAC=60°，且 平面AA,CC⊥平面ABC,求二面角D-AA1-E的正弦值. 17.(15分) 已知0和M2)为双自线C苦茶=a>0b>0)上两点 (1)求C的离心率； (2)在C上是否存在点B,使得△ABM的面积为3？若存在，求所有满足要求的点B的坐标；若不存在， 说明理由. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f)=e+cos2x- (1)讨论f在(-受+o)的单调性： (2)证明：当x>0时，f(x)>x: （3)设s,为正数，若点6，关于直线y=x的对称点在曲线y=树上，证明：<)<U~0-》. 2026个f 19.(17分) 光明中学举行校乒乓球比赛，共有2m人报名参加男子单打比赛，参赛选手的编号记为1,2，·，2m,并将 所有选手分成A,B两组，每组各m人，其中m为不小于10的整数. (1)若m=10,求编号为10和20的选手都在A组的概率： (2)若编号为m和2m的选手都在A组，证明：在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于2m; (3)A组选手与B组选手一对一比赛后共有m人晋级.已知在晋级的选手中有不超过10%的选手退赛，证明： 在晋级且没有退赛的选手中总能找出4人，使得在这4人中有2人的编号之和等于另外2人的编号之和. 数学试题第4页（共4页） 绝密★启用前 数学参考答案 1.【答案】B 【解析】因为集合M=(-10,12},V=(y>),故MnN={1,2 2.【答案】C 【解】因为随机变量X膜从=项分布2(6，p0<p<),故2C)-6印多P 4 3.【答案】A 【解析】设直线AB与所成角为0(0°≤0≤90)，因为线段AB=2W2,且线段AB在平 面&上的射影长为V6,故cos0=V6-5,所以0=30°. 2√22 4.【答案】D 【解析】因为f(x)=sinx+cos(2x+p)(0<p<)是奇函数，故f(0)=cosp=0, p=牙，所以f君-in爱+cos 5π1-√3 6 62 5.【答案】D 【解析】记该等比数列为{an},其公比为q,且前n项和为Sn,若q=1,则显然不成立， 若g≠1，则根据题意可知S,=41=4）-3,S。=41-g)=-21,解得4=1，q=-2, 1-9 1-q 故4=aq3=-8 6.【答案】C 【解析】若f(x)=n(x2-x+2)在区间(2，+o)单调递增，则需满足a≤2，且4-2a+2 ≥0，故a≤3，即a的取值范围是(-o,3] 7.【答案】B 【解析】过C作CH⊥AB,垂足为H,则AB·AC=|AB|:AC|coS∠BAC=|AH|,故 当|AH取得最大值时，AB·AC的值最大.设圆心为O,因为圆的半径为1，故△AOB是 边长为1的等边三角形，且当CH与圆O相切时，|AH|的值最大，由几何关系可知AH| 的最大值为，放西正的最大值为号 数学参考答案第1页（共8页） 8.【答案】A 【解析】设|AF2|=m,|BF2|=n,则根据椭圆的定义可知AF|=4-m,|BF|=4-n, 且|AB|=|AF|+|BR|=8-m-n,又易知|RF2|=2W3,因为∠ARF2+∠BrF2=180°， 故由余弦定理有co8∠AR+c0s∠B及=4-m0+12-m,4-02+12-r2 =0, 4W3(4-m 4W3(4-n) 整理得56-15(m+)+4n=0.又因为AF2⊥BF,,故由勾股定理有(8-m-n)2=m2+n2, 整理得3280r0+m=0,白以上解有mn=径所以A8=8-m-发-4 -17 9.【答案】AC(选对一项给3分) 【解析】因为51=2+i,52=1-2i,故1=521=V5,51-52=1+3i,1-+2= |3-i=V10,-2=(2+i(1+2i)=5i,三2=(2-i01-2i)=-5i,故=12≠2， 综上，A,C正确，B,D错误 10.【答案】ABD(选对一项给2分，选对两项给4分) 【解析】根据题意可知F的坐标为1,0)，因为A(二，2)，故1PP-1A≤41= 6 9 当且仅当P,A,F共线时等号成立，此时P(学3)，故A正确：设P在C的准线上的射 影为H,因为B(3,3),故|PF|+|PB|=|PH|+|PB|≥|BH|,当且仅当B,P,H共 立此时P公)，BHE4,故B正确；APB1≤AB1 且仅当P,B,A共线时等号成立，故C错误： 由A,B选项可知A+1PB1=-0PF-AD+0PF1+PBD≥-13+4=，当且仅 6 6 9 当P的坐标为（学3）时等号成立，故D正确 11.【答案】BC(选对一项给3分) 【解析】设f(x)=2x3-3x2+3,则f'(x)=6.x2-6x,令f'(x)=0,则x=0或x=1,当x<0 或x>1时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当0<x<1时，f'(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x) 的极大值是f(0)=3,极小值是fI)=2.故直线y=2与C有2个公共点，直线y=3与C 也有2个公共点，放A错误：设g6=)+-b=2-3+ -b+3, 数学参考答案第2页（共8页） 则g0)=6x-6x-}6x为≥0,86的单调适增，且当x→0时了)→-0， 3 当x→+o时，f(x)→+∞，故g(x)有且仅有一个零点，即所有斜率为-二的直线都与C有 且仅有一个公共点，故B正确：由上可知直线y=与C有3个公共点，设它们的横坐标分 3 3 别为x,5,5,则2x-5-,-)=f)-2故有5+名+5=2且 9 52+x253+5=0,所以+号+号=（化+x2+5)2-2(55+x,5+5)=三，故C正确： 4 因为f()=f0=2,故D错误 12.【答案】0.85 【解析】因为X(单位：cm)服从正态分布N(175,o2),且P(170<X<180)=0.7, 放P(X>170)=1--P170<X<1801=085. 13.【答案】√2-1 【解析】设x=√2cos0(0≤0≤π)， 则f()=V2cos02-2c0s2g-2c0s20=sim20-c0s20-1=V2sin(20-孕)-1，故当 29-年受时，即9=爱时，的取得城大位V万-1 8 14.【答案】32W3元 【解析】连接AC交EF于点Q,把△BCE,△AEF,△DCF折 起后构成的三棱锥P-CEF如图1所示，其中△PEF是边长为2的 图1 正三角形，PC=4,P9=V3,C9=3V3,设O,为△PEF的 P O, 外心，则Q在2上，且OQ-9,设0为△c27的外心， G. 02 则O,在C9上，故过O且垂直于P9的直线与过O,且垂直于 C2的直线的交点即为球心，设该点为O,如图2所示.另设OO, 图2 交C9于点G,在△CEF中，EO,=CO2,EQ=1, 故VBO-1+E0,=C0=35,故B0,=145 ,00,=13 ,在△CP0中，由余弦 定厘得cs∠00p-写，放G05号3，o0-13535_645,又 3x7=7 97 63 数学参考答案第3页（共8页） cs∠00，=cas∠C0p=),所以tam∠0o0,=4y5.枚o0,-645x7-8V6】 7 634V29, 球半径R=0C=D0;+CO;=2W5,枚球的体积为4-325元. 3 15.（13分) 【解析】(1)因为2 acosC+2 ccosA=a+c,且A,B,C是△ABC的内角， 故由正弦定理得2 sin AcosC+2 sin C cosA=sinA+sinC, …3分 进一步有2 sin A cosC+2 sin Ccos A=2sim(A+C)=2sinB=$inA+sinC, …5分 再由正弦定理有2b=a+c. …6分 (2)由余弦定理有a2=b2+c2-2 bc cosA. …8分 因为A=2红，a=7,且由1)知2b=a+c 故c=2b-7,49=b2+(2b-7刀2-2b(2b-)-(号，整理有b2-5b=0, 解得b=5或b=0(不合题意，舍去)，故c=2b-7=3. …10分 所以由三角形而积公式有3c号加mA-方5x3x5_155 …13分 2 24 16.(15分) 【解析】(1)如图，连接AC交AC于点F,连接EF, 7 因为AACC是平行四边形，故F为A,C的中点，又 B DE=EC,故EF为△A,CD的中位线，所以 EF∥AD. …4分 因为EFc平面ACE,AD丈平面AC,E,所以 AD∥平面AC,E: …6分 (2)设AC的中点为O,因为底面ABC是等边三角形，侧面AACC是菱形，∠A1AC=60°， 且平面AACC⊥平面ABC,连接OB,OA,则OB⊥AC,又AO⊥AC,且平面AACC∩ 平面ABC=AC,故AO⊥平面ABC.以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OC的方 向为y轴正方向，OA的方向为二轴正方向建立空间坐标系.设AB=2,则由几何关系可知 数学参考答案第4页（共8页） 400,40.2,904=0l.40-295 正-5 …9分 设平面AAD的法向量为m=(,1,),平面A4E的法向量为=（化2，y2,二2），则有 23.4 +3=0 3 及}3 -七2+，y2=0, 3 y+V31=0, y2+V32=0. 不妨取51，x2=1,则m=(L-2,"=03{ …12分 故cos(m,= m.n …14分 -n 31 31 58 44×1+2525 44 7W58 358 故二面角D-AA1-E的正弦值为1 …15分 58 58 17.(15分) [1 =1, 【解析】(1)由题意得 a2=1, 解得 …2分 4 9 1b2=3 (a2 62s1, 所以C的离心率e=Va+B =2 …5分 a (2)方法1：假设存在满足条件的点B,且设I为直线BM. 当1垂直于x轴时，B(2,-3),△ABM的面积为3，满足题意. …6分 当1不垂直于x轴时，设直线l的方程为y-3=k(x-2). 由r-y得gke+2k2k-3-2k-》-3=0 3 …8分 y=c-2k+3 由△>0，得k≠2.设B(xg),则x2=2(2h-3》-2=2k2-6k+6 k2-3 k2-3 因此MB1=+1x,-2引=+k.61-2,又4到1的距离为-3 ,故△ABM的 1k2-3 V1+k2 数学参考答案第5页（共8页） 面积为MBd=3到K-k+6 …11分 k2-3 所以3+63，故太2-5k+6=及3或2-5k+6=-2+3,解得长-号或及-1酸 |k2-31 又必6，收言号 时，=7，再由1：y-3=x-2)得y2=12 故B712:同理，当k=1时，B-10):当k=2时，B-2-3) …14分 综上，所有满足要求的点B的坐标为(2，-3)，(7,12)，（←1,0），(-2，-3). …15分 方法2：根据题意有|AM=V(2-1)2+(3-0)2=V10, …6分 直线AM的方程为y=3x-3. …7分 假设存在满足条件的点B,设点B到直线AM的距离为d,若△ABM的面积为3，则 2d1AM=3,故d=6 …8分 V10 设过B且平行于直线AM的直线为1：y=3x+b,则d-1b+3-6 V10√10 ,故b=3或 b=-9 …10分 当b=3时，1：y=3x+3,与C的方程联立有x2+3x+2=0, 解得x=-1,x2=-2,代入1的方程得B(-1,0)或B(-2,-3): …12分 当b=-9时，1：y=3x-9,与C的方程联立有x2-9x+14=0, 解得x=2,x4=7,代入1的方程得B(2,-3)或B(7,12). …14分 综上，所有满足要求的点B的坐标为(-1,0)，(-2，-3)，(2，-3)，(7,12) …15分 18.(17分) 【解析】(1)根据题意有f()=e-】2x …1分 当x≥0时，fw)=esm2r≥c°) 2>0: …2分 2 数学参考答案第6页（共8页） 当-T<x<0时，-元<2x<0,sin2x<0,故f(x)=e- sin 2x >0, …3分 所以四在（三网单调道增 …4分 2设86的0e+co2x；,则g0。m2x1. …6分 设h(x)=g'(x),则h'(x)=e-cos2x,当x>0时，h()≥e-l>0,h(x)单调递增，故 g'(x)=h()>h(O)=0,故g(d)单调递增， …8分 故当x>0时，g(x)>g(0)=0,即f(d>x. …9分 (3)因为点(S,t)关于直线y=x的对称点为(t,s),且在y=f(x)上，故f()=5.…10分 由(1)可知f(x)在(0，+w)单调递增，且由（2)可知5<f(s), 故f(s)<f(f(s)<…<f(f(…f(s))=f(f(…f(ft)》). …12分 2025个f 2026个f 由f0=5可知，f≥等价于四>f@ 设p(=f四-c+cos2-5（x>0,则pm)--1e_2rn2x+os2x+ xx4x4x】 4x2 4x2 设k(x)=4(x-1)e-2xsin2x-cos2x+5,则当x>0时，K(x)=4x(e-cos2x)>0, 故当x>0时，k(x)单调递增，k(x)>k(0)=0, 所以当x>0时，p()=9>0,p(单调递增 …15分 4x2 s- 又由上及(2)可知，s=f()>t>0,所以p(s)>p(t),即f(s)> 综上， <f<fff0》. …17分 2026个f 19.(17分) 【解析】(1)编号为10和20的选手都在A组的概率P=C5C …2分 9 …3分 38 (2)设B组选手的编号分别为b1,b2,…,bm,因为编号为m和2m的选手都在A组， 故b1,b2,…,bnm,2m-b1,2m-b2,…,2m-bn这2m个数的值只能取1,2，…，2m-1 数学参考答案第7页（共8页） 这2m-1个值，故它们中必有两个数相等。 …6分 因为b1,b,…,bn互不相等，所以2m-b,2m-b2,…,2m-bn也互不相等，故一定 存在b=2-b,其中i,j∈{L,2,,m心，又因为b≠m,b,≠m,故存在i≠j,使得b+b,=2m, 即在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于2m …8分 (3)设晋级且没有退赛的选手共有n人，他们组成集合M={a1,a2,·,an},其中a表 示选手的编号，i=1,2,…,n,且a1<a2<…<an, 9m ≤n≤m. …10分 10 假设M中不存在4个元素满足其中2个元素之差等于另2个元素之差. …11分 (i)当n为奇数时，考虑两组差： {a2-a1,a4-a3,,am-1-am-2}和{a3-a2,a5-a4,,am-am-1}. 根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数，故 (a,-a1)+(a4-a)++(a1-a-)≥1+2++n1_n2-1 28 (a-a)+(a-a)++(a-a-i)≥1+2++n1-n2-1 2 81 两式相加有2m≥a.≥a.-a1+1=∑(a1-a,)+1≥m+3 n-1 …13分 4 (ii)当n为偶数时，考虑两组差： {a2-a1,a4-a3,…,am-an-1}和{a3-a2,a5-a4,,an-1-an-2}. 根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数，故 (a:-a1)+(a-a)++(a。-a-1)≥1+2++”-n2+2n 2 8 (a,-a2)+(a-a)++(a1-a-2)≥1+2++n-2-n2-2u 2 8 两式相加有2m≥a.≥a,-a1+1-∑(a1-a)+1≥m+4 n-1 …15分 4 2<”十3，即心>8m3时，M中一定存在4个元素满足其中2个元素之 另2个元素之差，也等价于其中2个元素之和等于另2个元素之和. …16分 又因为当m≥10时， 9”>V8-3,故n>√8m-3,所以在晋级且没有退赛的选手中 1 总能找出4人，使得其中2人的编号之和等于另外2人的编号之和. …17分 数学参考答案第8页（共8页）