精品解析：广东省汕头市潮阳区棉城中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

2025－2026学年度第一学期棉城中学高三级期中考试 数学科试题（满分150分） 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的计算和交集的运算可得结果. 【详解】由，又，所以. 故选：C. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，故. 故选：B. 3. 2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数（满分30分）分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 极差为8 B. 平均数为26 C. 众数为26 D. 分位数为27 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合极差、平均数、众数以及百分位数的定义逐项分析判断即可. 【详解】因为数据为22，24，26，26，28，30， 可知极差为，众数为26，故A，C正确； 平均数为，故B正确； 又因为，所以分位数为第5位数，即为28，故D错误； 故选：D. 4. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用任意角三角函数的定义求出和，再结合二倍角公式求解即可. 【详解】由题意得角的终边经过点， 结合任意角三角函数的定义得， ， 由二倍角公式得，故A正确. 故选：A 5. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出平行四边形的面积，再根据直接求解. 【详解】因为四边形是平行四边形，且，， 所以平行四边形面积 根据直观图与原图面积关系， 所以. 故选： 6. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的定义求解即可. 【详解】设的公差为，则，， 故. 故选：B. 7. 已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案. 【详解】法一：， 即； 法二 由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若，，，，， 则，，故. 故选：C. 8. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围 A. (0, ) B. C. D. （0,1） 【答案】D 【解析】 【分析】函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数的取值范围． 【详解】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知， 实数的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的零点，方程的根以及两函数的图象的交点个数之间的关系应用，意在考查数形结合和转化思想的应用，属于中档题． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数运算计算并判断A，C，D，应用指数运算计算并判断B. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项正确； 对于D：，D选项正确； 故选：ACD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的零点所在区间为 C. 函数与互为反函数 D. 函数与函数为同一函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数性质分别判断各选项. 【详解】A选项：函数，当时，取最小值为，所以函数的值域为； B选项：因为函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，且，，所以其零点所在区间为，B选项正确； C选项：，即，可得，所以函数与函数互为反函数，C选项正确； D选项：函数与函数的定义域均为，，，不为同一函数，D选项错误； 故选：ABC. 11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直证得线线垂直；等体积法计算三棱锥的体积；先计算三棱锥的外接球的半径，根据球的表面积公式计算即可；先找到平面的截面图形再计算截面周长. 【详解】对于A，，，， 平面，平面，平面， 又平面，，A正确； 对于B：三棱锥的体积，B错误； 对于C，三棱锥的外接球等价于正方体外接球，设其半径为， 其直径等于正方体体对角线长：， 则所求外接球的表面积为，C正确． 对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形， 为的中点（平行则四点共面），∴等腰梯形周长为，D正确． 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数则_____. 【答案】 【解析】 【分析】代入计算出，相加即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 13. 在的展开式中，含的项的系数是______（请用具体数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】求出展开式的通项，得到展开式中含的项，得到系数. 【详解】因为展开式的通项为， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为24， 故答案为：24 14. 若动点M到定点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹是什么?某学生认为：“平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.”由此判断动点的轨迹是抛物线.请问该学生的判断是否正确?_______（填“正确”或“错误”），点的轨迹方程是：_______. 【答案】 ①. 错误 ②. 【解析】 【分析】空一：由抛物线的定义可判断结论错误； 空二：法一：设点，由题意得方程，化简可求得轨迹方程；法二：数形结合法，作出图形可求得轨迹方程. 【详解】空一：抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹， 其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线.题设中“某学生”的解答依据忽视了“定直线不经过定点”这一关键点，因而导致错误. 空二： 法一：设点，由题意得：， 两边平方并整理得：， 即：，所以， 故点M的轨迹是一条直线，该直线方程为. 法二：作出图形可知，直线过点， 故可得点M的轨迹是一条经过且与垂直的一条， 直线.故M的轨迹为，化简，得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出. （2）利用正弦定理角化边，再利用已知求出三角形面积. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，得，而，且， 则，解得， 所以的面积. 16. 设函数． （1）判断函数奇偶性并证明； （2）用单调性定义证明：函数在上单调递增． 【答案】（1）为奇函数，证明如下. （2）证明如下. 【解析】 【分析】(1)用奇函数的性质证明即可. (2)用定义证明单调性即可. 【小问1详解】 为奇函数； 证明：由题意知的定义域关于原点对称， 且，故得证； 【小问2详解】 证明：设任意的， 则因为， 所以， 故函数在上单调递增 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面，则， 因为，即， 因为，平面，平面， 故平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式求解即可； 法二：利用等体积法求得D到平面距离为，在中，由余弦定理得，进而求出，利用等面积法求得为点到交线的距离，设平面与平面的夹角为，求出，进一步求出，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：平面，， 以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以、、、、， ，，，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：因为， 所以， 又，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为， 而，所以， 故，即D到平面距离为. 依题意，计算可得，在中，，，， 由余弦定理，得， 因为，所以， 又， 设为点D到交线的距离，则， 设平面与平面的夹角为， 所以，所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求关于的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为， （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为， 通过科目数记为随机变量； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ），7.5； （2）该考生更应报考乙高校，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据表格中的数据和平均数得到方程，求出； （ⅱ）利用公式求出，，并求出当时，，得到答案； （2），从而，求出的所有可能取值和对应的概率，得到数学期望，比较后得到答案. 【小问1详解】 （ⅰ）由表格数据可得，解得． （ⅱ）显然， 则 ， ， ． ．∴所求经验回归方程为． 当时，， ∴当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5； 【小问2详解】 该考生通过甲高校的考试科目数为，则． 则． 设该考生通过乙高校的考试科目数为，则的所有可能取值为． ， ， ， ． ． ∴该考生更应报考乙高校． 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 【解析】 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【小问1详解】 因为，， 所以，故的标准方程为· 【小问2详解】 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期棉城中学高三级期中考试 数学科试题（满分150分） 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数（满分30分）分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 极差为8 B. 平均数为26 C. 众数为26 D. 分位数为27 4. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围 A. (0, ) B. C. D. （0,1） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的零点所在区间为 C. 函数与互为反函数 D. 函数与函数为同一函数 11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数则_____. 13. 在的展开式中，含的项的系数是______（请用具体数字作答） 14. 若动点M到定点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹是什么?某学生认为：“平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.”由此判断动点的轨迹是抛物线.请问该学生的判断是否正确?_______（填“正确”或“错误”），点的轨迹方程是：_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 设函数． （1）判断函数奇偶性并证明； （2）用单调性定义证明：函数在上单调递增． 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求关于的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为， （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为， 通过科目数记为随机变量； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校． 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $