第04讲 整式的除法（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年北师大版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦整式的除法核心知识点，系统梳理单项式除以单项式（系数相除、同底数幂相除、单独字母保留）和多项式除以单项式（分配律应用）的运算法则，构建“法则理解-基础运算-混合运算-化简求值”的递进学习支架。 资料以“重点突出、难点突破”为设计亮点，通过典例与变式分层训练提升运算能力，结合科学记数法应用、几何面积计算等实际情境培养模型意识。配套图表辅助直观理解，课中助力教师高效授课，课后便于学生查漏补缺，强化知识迁移能力。

第04讲 整式的除法 考点1：单项式除以单项式 考点2：多项式除以单项式 考点3：整式乘除混合运算 考点4：化简求值 重点： 1.单项式除以单项式 2.多项式除以单项式 3.整式乘除混合运算 难点： 1.含负系数/负指数的除法运算 2.化简求值（含复杂代入） 3.多项式除以单项式的漏项问题 4.含参数的整式除法问题 1.理解并熟记单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，明确运算本质是“转化为基础运算”（同底数幂除法、系数除法）。 2.能熟练运用法则进行纯除法运算，以及整式乘除混合运算，做到步骤规范、结果准确。 3.能结合整式除法解决化简求值、式子变形、含参数问题等综合题型，提升知识迁移能力 知识点1：单项式除以单项式 ①系数相除：结果的系数=被除式系数÷除式系数（约分，注意符号）； ②同底数幂相除：（a=0，m,n为正整数，m>n）； ③单独字母：被除式中独有的字母，连同指数保留在商中 【题型1 计算单项式除以单项式】 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了单项式除以单项式和积的乘方的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解； （2）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解； （3）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】先根据幂的运算法则计算出，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算，最后利用单项式除以单项式的运算法则即可解答．本题考查了幂的运算法则，单项式乘以单项式的运算法则，单项式除以单项式的运算法则，牢记相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可； （2）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可； 【详解】（1）解：； （2）． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．据此进行逐一计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式法则，掌握法则是解题的关键． 知识点2：多项式除以单项式 1. 法则：用多项式的每一项分别除以单项式 2. 再把所得的商相加 3. 注意符号分配 即分配律，即(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m（m≠0） 【题型2 多项式除以单项式】 【典例2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，直接按照多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解： ； 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】根据整式的除法运算法则即可求解，本题主要考查整式的除法运算，解题的关键是理解并运用整式除法法则． 【详解】解： ． 【变式3】 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的除法法则：用多项式的每一项分别除以这个单项式，即可进行计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的除法法则：用多项式的每一项分别除以这个单项式． 【题型3 用科学记数法表示数的除法】 【典例3】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 【变式1】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 【变式2】2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 【变式3】据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 【题型4 整式四则混合运算】 【典例4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算同底数幂的乘法和幂的乘方、积的乘方，再进行合并即可； （2）先计算多项式乘以多项式，多项式除以单项式，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 对于（1），根据同底数幂相乘法则计算，同时根据幂的乘方法则计算，再合并同类项； 对于（2），根据多项式乘以单项式计算，同时根据同底数幂相除计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ． 【变式2】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算和整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则和整式乘法法则． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则分别计算名项，再合并同类项； （2）先利用单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式、多项式乘多项式法则以及整式除法法则． （1）先利用平方差公式展开，再进行整式的乘法运算，最后合并同类项； （2）先运用多项式乘多项式法则展开，再进行整式除法运算，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型5 整式的混合运算】 【典例5】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算幂的乘方、积的乘方，然后计算单项式乘以单项式，再合并同类项； （2）先计算多项式乘以多项式以及多项式除以单项式，再合并同类项； （3）先由平方差公式、单项式乘以多项式法则以及完全平方公式计算，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 【变式1】计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)2xz (2)12x-40 (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算和乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）先算单项式乘以单项式和积的乘方，再计算单项式除以单项式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算整式的加减法即可； （3）逆用积的乘方公式计算，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式的展开形式是解题关键． （1）先展开完全平方、多项式乘法，再算多项式除以单项式，最后去括号，合并同类项； （2）先算单项式乘多项式，用平方差公式展开多项式乘法，再展开完全平方，最后去括号，合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式混合运算法则，进行化简，然后再代入数据，进行计算即可． 【详解】解： ， 将，代入中，得原式 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的除法运算，解题的关键是掌握单项式除法的运算法则，分别对系数和同底数幂进行运算． 根据单项式除法法则，将系数相除，同底数幂分别相除，再把结果相乘，计算得出结果后匹配选项． 【详解】解：，对应选项A． 故选：A． 2．下列计算正确的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除、合并同类项、积的乘方，按照运算法则逐项计算即可得出答案． 【详解】解：，故选项A运算错误； ，故选项B运算正确； ，故选项C运算错误； ，故选项D运算错误； 故选B． 3．若，则括号里应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式的乘法与除法运算．根据乘法的意义列式计算，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴若，则括号里应填的单项式是， 故选：A． 4．数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：，那么空格中的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式，多项式除以单项式，根据题意，用积除以，进行求解即可． 【详解】解：， ∴空格中的一项是； 故选C． 5．小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如，则“█”所表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴“█”所表示的式子是， 故选：B． 6．已知一个三角形的面积是，一条边长为，则这条边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形面积公式，面积=底高，已知面积和底边长，利用整式的混合运算可求出对应的高． 【详解】解：∵三角形的面积为，一边长为， ∴设对应的高为，则有， ∴， ∴这条边上的高为， 故选：C． 7．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，解决本题的关键是正确使用运算法则并计算． 运用法则将多项式的每一项分别除以单项式，再结合同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为 ． 9．已知长方形的面积为且一边长为4a，则该长方形的周长为 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，理解题意是关键．根据长方形面积公式求出另一边长，再根据周长公式计算周长． 【详解】解：另一边长为， 周长为． 故答案为：． 10．在一次晚会上，有这样一个节目，主持人小明亮出了A、B、C三张卡片，上面分别写有，其中有两张卡片上的单项式相除，所得的商为．这两张卡片是 和 ，作为被除式的卡片是 ． 【答案】 C A C 【分析】本题考查了单项式的除法，准确的计算是解决本题的关键． 通过计算两两单项式相除，发现C除以A的商为，符合条件，进而即可判断． 【详解】解：∵ ， 故商为2ab³c， ∴这两张卡片是C和A，作为被除式的卡片是C， 故答案为：C；A；C． 11．四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了完全平方公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确弄清新定义的运算规则是解题的关键． 按规定的运算可得关于x的方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 化简得， 解得． 故答案为∶ ． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，多项式除以单项式，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘所得结果作为积的因式解答即可； （2）先将括号内的每个单项式分别除以，然后根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．先化简，再求值： 其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键． 先进行完全平方公式和平方差公式的计算，再合并同类项进行化简，将，代入求值即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 14．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式， (1)求所捂的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）设所捂的多项式为A，将乘法转化为除法，由多项式除以单项式法则算即可； （2）将x、y的值代入多项式计算即可． 【详解】（1）解：设所捂的多项式为A， 则 ， ∴所捂的多项式是； （2）解：， ． 15．如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式和多项式除以单项式，整式的运算的无关型问题，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）理由同底数幂的乘法法则求解即可； （2）①根据完全平方公式和多项式除以单项式法则求解即可； ②根据题意列出算式化简，然后根据输出的结果中不含的一次项得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）①∵ ∴ ∴； ②∵，， ∴ ∵输出的结果中不含的一次项， ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 整式的除法 考点1：单项式除以单项式 考点2：多项式除以单项式 考点3：整式乘除混合运算 考点4：化简求值 重点： 1.单项式除以单项式 2.多项式除以单项式 3.整式乘除混合运算 难点： 1.含负系数/负指数的除法运算 2.化简求值（含复杂代入） 3.多项式除以单项式的漏项问题 4.含参数的整式除法问题 1.理解并熟记单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，明确运算本质是“转化为基础运算”（同底数幂除法、系数除法）。 2.能熟练运用法则进行纯除法运算，以及整式乘除混合运算，做到步骤规范、结果准确。 3.能结合整式除法解决化简求值、式子变形、含参数问题等综合题型，提升知识迁移能力 知识点1：单项式除以单项式 ①系数相除：结果的系数=被除式系数÷除式系数（约分，注意符号）； ②同底数幂相除：（a=0，m,n为正整数，m>n）； ③单独字母：被除式中独有的字母，连同指数保留在商中 【题型1 计算单项式除以单项式】 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算：． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点2：多项式除以单项式 1. 法则：用多项式的每一项分别除以单项式 2. 再把所得的商相加 3. 注意符号分配 即分配律，即(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m（m≠0） 【题型2 多项式除以单项式】 【典例2】计算：． 【变式1】计算： 【变式2】计算：． 【变式3】 【题型3 用科学记数法表示数的除法】 【典例3】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 【变式1】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 【变式2】2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是 ． 【变式3】据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【题型4 整式四则混合运算】 【典例4】计算： (1) (2) 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2) 【变式3】计算： (1)； (2)． 【题型5 整式的混合运算】 【典例5】计算： (1) (2) (2) 【变式1】计算下列各式： (1) (2) (3) 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B．2 C． D． 3．若，则括号里应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 4．数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：，那么空格中的一项是（    ） A． B． C． D． 5．小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如，则“█”所表示的式子是（   ） A． B． C． D． 6．已知一个三角形的面积是，一条边长为，则这条边上的高为（    ） A． B． C． D． 7．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（   ） A． B． C． D． 8．计算： ． 9．已知长方形的面积为且一边长为4a，则该长方形的周长为 10．在一次晚会上，有这样一个节目，主持人小明亮出了A、B、C三张卡片，上面分别写有，其中有两张卡片上的单项式相除，所得的商为．这两张卡片是 和 ，作为被除式的卡片是 ． 11．四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若，则 ． 12．计算： (1) (2) 13．先化简，再求值： 其中，． 14．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式， (1)求所捂的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 15．如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $