第02讲 整式的乘法运算（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年北师大版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦整式的乘法运算核心知识点，系统梳理单项式×单项式（系数、同底数幂、单独字母运算逻辑）、单项式×多项式（乘法分配律完整应用）、多项式×多项式（逐项相乘合并同类项）的递进关系，构建从基础到综合的学习支架。 资料以“法则+步骤+题型”分层设计，通过航天模型零件面积计算等实例培养数学眼光，分解运算步骤强化符号处理等数学思维，结合“以形释数”图形面积解释发展数学语言。课中辅助分层教学，课后助力综合练习查漏补缺，提升应用意识。

第02讲 整式的乘法运算 考点1：单项式×单项式 考点2：单项式×多项式 考点3：多项式乘多项式 重点：（1）单项式 × 单项式：系数、同底数幂、单独字母的运算逻辑； （2）单项式 × 多项式：乘法分配律的完整应用（不遗漏任何一项）； （3）多项式 × 多项式：“逐项相乘→合并同类项”的核心流程。 难点：（1）符号运算：多项式中负项参与乘法时的符号判断 （2）漏乘项：多项式×多项式中，易忽略“第一个多项式的常数项×第二个多项式的常数项” （3）幂运算法则混淆 1.能复述单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式的核心法则，明确运算逻辑。 2.能准确完成不含复杂符号、单一字母的整式乘法运算 3.能结合幂的运算法则和同类项合并，完成两步以内的简单运算，结果格式规范 知识点1：单项式×单项式 1.法则 （1）把两个单项式的系数相乘作为积的系数； （2）把 相同字母的幂分别相乘（遵循同底数幂乘法法则）； （3）对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 2. 运算步骤（3 步走） （1）系数相乘：符号先确定（同号得正，异号得负），再算绝对值乘积； （2）同字母幂相乘：按同底数幂法则计算指数相加； （3）单独字母保留：直接写入结果 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】计算：（    ） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式2】长方形的长为，宽为，面积为（  ） A． B． C． D． 【变式3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例2】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【变式2】已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 知识点2：单项式×多项式 1. 法则（依据：乘法分配律） 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即： m(a+b+c)=ma+mb+mc（m为单项式，a、b、c为多项式的项）。 2. 运算步骤（4 步走） 分配：单项式分别乘多项式的每一项（包括常数项和负项）； 计算：每一步遵循 “单项式 × 单项式” 法则； 符号：注意多项式中负项的符号，相乘时符号要正确（负负得正，异号得负）； 合并：将所得的积中同类项合并（无同类项则直接保留）。 【题型3 单项式乘多项式及求值】 【典例3】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1) ； (2)； (3)． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【典例4】神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则单项式 ． 【变式2】图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据，则阴影部分的面积为（　　）（长度单位：m） A． B． C． D． 【变式3】已知，则单项式 ． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例5】要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【变式1】若，则的值为 ． 【变式2】若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【变式3】若的展开式中不含项，求a的值． 知识点3：多项式×多项式 1.法则（转化思想：多项式×多项式→单项式×多项式） 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（a、b为第一个多项式的项，m、n为第二个多项式的项）。 2. 运算步骤（5 步走） 逐项相乘：第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项（避免漏乘）； 计算：每一步遵循 “单项式×单项式”法则； 符号：注意各项的符号，尤其是负项相乘时的符号处理； 合并：找出所有同类项并合并（关键步骤，避免结果冗长）； 整理：按某一字母的降幂（或升幂）排列结果。 【题型6 计算多项式乘多项式】 【典例6】计算：． 【变式1】化简： 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： 【题型7 多项式乘多项式--化简求值】 【典例7】先化简．再求值：，其中． 【变式1】先化简后求值：，其中． 【变式2】化简求值：，其中，． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例8】若与的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 【变式1】已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为 ． 【变式2】若代数式展开后不含项，求的值是 ． 【变式3】若关于的多项式与的乘积中不含项，则常数的值为 ． 【题型9 多项式乘多项式与图形面积】 【典例9】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到． (1)写出图②所表示的数学等式： ； (2)利用（1）中所得的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)如图③，有若干张边长为和边长为的小正方形纸片，还有若干张长为、宽为的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：（画出示意图即可）． 【变式1】为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【变式2】如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)请用代数式表示图中两块空白地块的面积为_____平方米（结果写成最简形式）； (2)求文化广场的总面积（结果用含，的最简形式表示）； (3)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 【变式3】“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】 【典例10】观察下列等式： ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：； (3)利用（2）中的等式化简：． 【变式1】（1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 【变式2】观察下列等式： ； ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； (3)利用（2）中的等式化简：． 【变式3】观察以下等式： ．．． (1)按以上等式的规律填空：； (2)试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简：． 【题型11 整式乘法混合运算】 【典例11】计算： (1) (2)． 【变式1】计算：； 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 1．计算的值为（   ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 3．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．一块长方形劳动基地的长是，宽是，现在要扩建这块劳动基地，给它的长和宽各增加，扩建后劳动驻地的面积比原来增加了（    ） A． B． C． D． 5．若，则p、q的值是（   ） A．2， B．，15 C．2，15 D．， 6．小杰在计算时，发现结果中不含x的一次项，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 7．已知，，化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 8．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小曾在复习课堂笔记时发现有一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为内应填写（   ） A． B． C． D． 9．在下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 10．与我们现在学习联系最紧密的是二项式乘方展开式中的系数规律．如图所示，在杨辉三角形中各个乘方展开式中的系数有紧密联系，下列选项中属于展开式中各个项的系数的是（   ） A．1，5，8，8，5，1 B．1，5，10，10，5，1 C．1，5，12，12，5，1 D．1，5，14，14，5，1 11．计算： ． 12．定义一种新运算：．例如：，则的结果是 ． 13．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ．    14．计算： (1)； (2) 15．计算： (1)； (2)． 16．如图①，在某住房小区的建设中，为了改善业主的宜居环境，小区准备在一个长为、宽为的长方形草坪上修建两条宽度均为的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)若修建三条宽度均为的通道（如图②），剩余草坪的面积为多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 整式的乘法运算 考点1：单项式×单项式 考点2：单项式×多项式 考点3：多项式乘多项式 重点：（1）单项式 × 单项式：系数、同底数幂、单独字母的运算逻辑； （2）单项式 × 多项式：乘法分配律的完整应用（不遗漏任何一项）； （3）多项式 × 多项式：“逐项相乘→合并同类项”的核心流程。 难点：（1）符号运算：多项式中负项参与乘法时的符号判断 （2）漏乘项：多项式×多项式中，易忽略“第一个多项式的常数项×第二个多项式的常数项” （3）幂运算法则混淆 1.能复述单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式的核心法则，明确运算逻辑。 2.能准确完成不含复杂符号、单一字母的整式乘法运算 3.能结合幂的运算法则和同类项合并，完成两步以内的简单运算，结果格式规范 知识点1：单项式×单项式 1.法则 （1）把两个单项式的系数相乘作为积的系数； （2）把 相同字母的幂分别相乘（遵循同底数幂乘法法则）； （3）对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 2. 运算步骤（3 步走） （1）系数相乘：符号先确定（同号得正，异号得负），再算绝对值乘积； （2）同字母幂相乘：按同底数幂法则计算指数相加； （3）单独字母保留：直接写入结果 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．先计算系数的乘积，再分别计算同底数幂，最后将结果相乘得到最终答案． 【详解】解：原式 故选：D． 【变式1】计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，解题关键是掌握单项式乘以单项式法则． 直接利用单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2】长方形的长为，宽为，面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了计算单项式乘单项式，解题关键是掌握单项式乘单项式法则． 先列出算式，再利用单项式乘单项式法则计算． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴面积为， 故选：B． 【变式3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，先计算积的乘方和幂的乘方，再运用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例2】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，根据单项式乘单项式运算法则求解，得到关于m，n的方程，求出的值，代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式1】若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可． 【详解】解：×3xy＝＝， ∴a+1＝5，b+1＝6， 解得a＝4，b＝5， ∴ab＝4×5＝20， 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则． 【变式2】已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3】设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 知识点2：单项式×多项式 1. 法则（依据：乘法分配律） 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即： m(a+b+c)=ma+mb+mc（m为单项式，a、b、c为多项式的项）。 2. 运算步骤（4 步走） 分配：单项式分别乘多项式的每一项（包括常数项和负项）； 计算：每一步遵循 “单项式 × 单项式” 法则； 符号：注意多项式中负项的符号，相乘时符号要正确（负负得正，异号得负）； 合并：将所得的积中同类项合并（无同类项则直接保留）。 【题型3 单项式乘多项式及求值】 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、积的乘方、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （3）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （4）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，熟练掌握单项式乘以多项式运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式， （1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （3）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （4）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； 熟练掌握单项式乘多项式的法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式乘法混合运算，解题的关键是熟练整式乘法混合运算法则． （1）运用单项式与多项式相乘的法则求解即可； （2）运用单项式与多项式相乘的法则求解即可； （3）首先计算单项式与多项式相乘，然后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ． （3） ． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【典例4】神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用．根据零件的面积等于三角形的面积长方形的面积梯形的面积，即可求解． 【详解】解： ， 即图2中零件的面积为． 故选：A 【变式1】已知，则单项式 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，由即可求解，掌握单项式与多项式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴单项式， 故答案为：． 【变式2】图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据，则阴影部分的面积为（　　）（长度单位：m） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法的应用，将阴影部分分割成几个长方形，根据长方形面积公式求解即可． 【详解】解：阴影部分的面积 ， 故选：C． 【变式3】已知，则单项式 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，由即可求解，掌握单项式与多项式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴单项式， 故答案为：． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例5】要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 【变式1】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 【变式2】若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据得到，则，求出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键． 【变式3】若的展开式中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为0，即可得出答案． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ， 解得：． 【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 知识点3：多项式×多项式 1.法则（转化思想：多项式×多项式→单项式×多项式） 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（a、b为第一个多项式的项，m、n为第二个多项式的项）。 2. 运算步骤（5 步走） 逐项相乘：第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项（避免漏乘）； 计算：每一步遵循 “单项式×单项式”法则； 符号：注意各项的符号，尤其是负项相乘时的符号处理； 合并：找出所有同类项并合并（关键步骤，避免结果冗长）； 整理：按某一字母的降幂（或升幂）排列结果。 【题型6 计算多项式乘多项式】 【典例6】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是多项式的乘法计算，属于基础题型，明确整式的乘法以及合并同类项的计算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的计算法则将括号去掉，然后进行合并同类项即可得出答案． 【详解】解： ． 【变式1】化简： 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是：熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．根据多项式乘多项式的运算法则，即可求解． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键． （1）运用多项式乘以多项式的法则解题即可； （2）运用多项式乘以多项式的法则解题即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】先进行多项式乘以多项式及单项式乘以多项式，然后合并同类项化简即可得． 【详解】解：， ， ． 【点睛】题目主要考查整式的乘法，包括多项式乘以多项式及单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 【题型7 多项式乘多项式--化简求值】 【典例7】先化简．再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查的是整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，最后把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【变式1】先化简后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先将题目中的式子化简，然后将的值代入化简后的式子计算即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式2】化简求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式运算法则分别计算，然后合并同类项进行化简，最后把，代入计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，化简求值，先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例8】若与的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含x的一次项确定出m的值即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴ 解得：， 故答案为：． 【变式1】已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式中的无关型问题，代数求值，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 先展开两个多项式的乘积，根据不含二次项和常数项的条件列出方程，求解和的值，再计算． 【详解】解：， ∵乘积中不含的二次项，且常数项为， ∴且， 解得, ， ∴． 故答案为： 【变式2】若代数式展开后不含项，求的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘多项式，将多项式展开后，合并同类项，令项的系数为零，解方程求． 【详解】解：： ， 展开后不含项， ， 解得， 故答案为：2． 【变式3】若关于的多项式与的乘积中不含项，则常数的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，已知多项式乘积不含某项求字母的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理，再结合关于的多项式与的乘积中不含项，列式，解得，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵关于的多项式与的乘积中不含项， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型9 多项式乘多项式与图形面积】 【典例9】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到． (1)写出图②所表示的数学等式： ； (2)利用（1）中所得的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)如图③，有若干张边长为和边长为的小正方形纸片，还有若干张长为、宽为的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：（画出示意图即可）． 【答案】(1) (2) (3)作图见详解 【分析】本题考查等式的几何意义，涉及代数式求值，数形结合是解决问题的关键． （1）对于图形②，通过不同的方法计算图形的面积，即可得到数学等式； （2）由（1）中，将，代入计算即可得到答案； （3）由题中所给基本图形，结合数学等式：可知里面含有边长为的小正方形纸片3个、边长为的小正方形纸片2个，长为、宽为的长方形纸片7个，即可画出图形． 【详解】（1）解：如图所示： ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， 当，时，， ； （3）解：如图所示： 图中拼出的几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：． 【变式1】为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】(1)， ； (2)． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将，代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当，时， ． 【变式2】如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)请用代数式表示图中两块空白地块的面积为_____平方米（结果写成最简形式）； (2)求文化广场的总面积（结果用含，的最简形式表示）； (3)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1)； (2)文化广场的总面积平方米； (3)修建文化广场所需要的费用元． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式与图形面积，合并同类项，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用正方形面积即可求解； （）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （）把，代入求出面积，然后乘以即可求解． 【详解】（1）解：图中两块空白地块的面积为（平方米）， 故答案为：； （2）解： （平方米）， 答：文化广场的总面积平方米； （3）解：当，时， （平方米）， ∴修建文化广场所需要的费用（元）， 答：修建文化广场所需要的费用元． 【变式3】“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解． 【详解】（1）解：由图得 ； 故答案：； （2）解：由（1）可知： ，， ， 解得：． 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】 【典例10】观察下列等式： ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：； (3)利用（2）中的等式化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可总结规律，进而问题可求解； （3）利用以上规律可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为； （2）解：； ； …… ∴； 故答案为； （3）解： ． 【变式1】（1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究，解题的关键是明确题意，利用规律解答问题． （1）根据题目中的例题可以直接写出结果； （2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想； （3）利用（2）中的猜想进行变形即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） 【变式2】观察下列等式： ； ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； (3)利用（2）中的等式化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法运算和探究与表达规律． （1）根据上述式子，即可得出答案； （2）根据上述式子，即可得到规律； （3）利用结论，把看成，进行化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； 故答案为：； （2）解：由（1）得到规律． 故答案为：； （3）解： ． 【变式3】观察以下等式： ．．． (1)按以上等式的规律填空：； (2)试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的探究性题型，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式． （1）读懂题意，按照题中的规律填空； （2）利用多项式乘以多项式计算； （3）根据规律化简式子，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）解： 即． （3）解：依题意， ∴ ． 【题型11 整式乘法混合运算】 【典例11】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方进行计算，最后合并同类项，即可求解； （2）先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键．先运用多项式乘多项式、单项式乘多项式计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的混合运算： （1）先根据幂的乘方法则计算，再计算同底数幂相乘，即可求解； （2）先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项是法则计算，再合并，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 先根据平方差公式与完全平方公式化简，然后去括号，合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 1．计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则成为解题的关键． 直接运用单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 3．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，单项式乘以多项式和合并同类项，根据相关计算法则分解计算出每个选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意； B、，原式计算正确，不符合题意； C、，原式计算正确，不符合题意； D、，原式计算错误，符合题意； 故选：D． 4．一块长方形劳动基地的长是，宽是，现在要扩建这块劳动基地，给它的长和宽各增加，扩建后劳动驻地的面积比原来增加了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式混合运算的应用．先根据题意列出代数式，并进行正确地计算，即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选：C． 5．若，则p、q的值是（   ） A．2， B．，15 C．2，15 D．， 【答案】A 【分析】此题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 通过多项式乘以多项式展开左边并比较系数，即可得到p和q的值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较系数得：，. 故选：A 6．小杰在计算时，发现结果中不含x的一次项，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的乘法． 展开多项式后，令x一次项的系数为零，求解m即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含x的一次项， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．已知，，化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，多项式乘多项式．直接展开表达式 ，并代入已知条件和进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， 故选：B 8．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小曾在复习课堂笔记时发现有一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为内应填写（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式乘多项式．先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边 ． 右边， ∴□内应填写． 故选：A． 9．在下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘法与图形面积．根据题意列式表示出该阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分面积为：或， 故选：A． 10．与我们现在学习联系最紧密的是二项式乘方展开式中的系数规律．如图所示，在杨辉三角形中各个乘方展开式中的系数有紧密联系，下列选项中属于展开式中各个项的系数的是（   ） A．1，5，8，8，5，1 B．1，5，10，10，5，1 C．1，5，12，12，5，1 D．1，5，14，14，5，1 【答案】B 【分析】此题考查了整式的运算和规律探索，弄清“杨辉三角”中系数规律是解本题的关键．根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可． 【详解】解：根据图中系数规律，展开式中各个项的系数的是1，5，10，10，5，1， 故选：B． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题是单项式乘法运算，根据单项式乘法的法则，系数相乘，同底数幂相乘，底数不变，指数相加直接进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 12．定义一种新运算：．例如：，则的结果是 ． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为： 13．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ．    【答案】7 【分析】本题考查多项式乘多项式表示面积，计算长方形的面积并写成多项式的形式，其中项的系数即为答案． 【详解】解：，， ， 即， 故需要C类纸片的张数为：7， 故答案为：7． 14．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），先根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算； 对于（2），根据多项式乘以多项式法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．如图①，在某住房小区的建设中，为了改善业主的宜居环境，小区准备在一个长为、宽为的长方形草坪上修建两条宽度均为的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)若修建三条宽度均为的通道（如图②），剩余草坪的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题需要计算两条通道的面积,可通过长方形面积公式分别计算两条通道的面积,再减去重叠部分的面积. 【详解】解：（1） ． 故通道的面积共有． （2） ． 故剩余草坪的面积为． 【点睛】对于有多个通道的图形,计算剩余面积时,要清晰分析通道的数量、各通道的尺寸以及重叠部分的情况,通过 “总面积 - 通道总面积（调整重叠部分）” 来求解,关键是准确处理重叠区域的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $