专题01 函数的概念、性质及应用（专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01 函数的概念、性质及应用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数的定义域 1 题型二、函数的值域 4 题型三、函数解析式的求解 6 题型四、函数奇偶性的证明与应用 9 题型五、函数单调性的证明与应用 11 题型六、函数单调性与奇偶性的综合应用（重点） 12 题型七、二分法求函数的零点 16 题型八、函数零点的应用（难点） 题型九、反函数的性质 B综合攻坚・能力跃升 题型一、函数的定义域 1．（25-26高一上·上海宝山·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据0次方的底数不为0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得， 则其定义域为. 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 3．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用具体函数的定义域求解即可. 【详解】由题意：，解得：， 所以函数的定义域为. 故答案为： 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质得出，再结合对数复合函数定义域求解. 【详解】函数的定义域是，所以，所以， 所以函数的定义域是， 则函数满足且且不是3， 则函数的定义域为. 故答案为：. 5．已知函数的定义域为，则的定义域为 【答案】 【分析】由题设结合抽象函数，根式与分式的意义列出关于x的不等式计算即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用抽象函数定义域的求解方法可得答案. 【详解】因为函数的定义域为区间，所以， 令，解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海松江·期末）函数 的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数函数定义域及根式求解即可. 【详解】因为函数 ， 所以,解得， 函数定义域为. 故答案为：. 题型二、函数的值域 8．函数的值域是 . 【答案】且 【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域. 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 9．（24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 10．若函数的值域为，则实数a的值为 ． 【答案】2 【分析】分离常数得出，根据，即可得出该函数值域为，从而得出a的值． 【详解】由， ∵，∴， 又该函数的值域为， ∴． 故答案为：2． 11．函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】采用换元法，令，将问题转化为二次函数最大值的求解问题，由二次函数最值求法可求得结果. 【详解】令，则，， 令， 当时，，即. 故答案为：. 12．若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 【答案】5 【分析】由题意得，解方程组可得的值. 【详解】函数的对称轴方程为， 所以函数在上为减函数， 又函数在上的值域也为， 则，即， 由①得：，代入②得：，解得：（舍），． 把代入得：． 故答案为：5． 13．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案. 【详解】由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 题型三、函数解析式的求解 15．已知函数，，则 . 【答案】 【分析】求出函数、的定义域，将函数、解析式相加即可得解. 【详解】函数、的定义域均为， 因此，. 故答案为：. 16．已知函数，则 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，进而求出的定义域，求出的解析式，即可得出结论. 【详解】，定义域均为， ，定义域为， 的定义域为， . 故答案为： 17．若函数，，则 【答案】 【分析】分别求得函数的定义域，再结合，即可求得函数的解析式，得到答案. 【详解】由题意，函数的定义域为， 函数满足，解得且， 即函数的定义域为 所以. 故答案为： 18．（24-25高一上·上海·月考）已知，若，则 . 【答案】/ 【分析】首先求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，解得. 故答案为： 19．已知，求 . 【答案】/ 【分析】利用换元法可求得函数的解析式. 【详解】对于，令，则，且， 所以，，故. 故答案为：. 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 21.求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用代入法求解析式即可； （2）解法一利用配凑法，解法二利用换元法求解析式； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）用代入法，因为， 所以； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 题型四、函数奇偶性的证明与应用 22．已知是偶函数，则 ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义直接列式求解即可. 【详解】因为为偶函数， 所以， 所以，所以恒成立，即恒成立， 又，所以，解得，经检验满足题意. 故答案为： 23．（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】分奇函数和偶函数两种情况来进行求解的值，即可得到结果. 【详解】若函数为奇函数，则，即，解得； 若函数为偶函数，则，即，解得， 故函数不是奇函数也不是偶函数时，的取值范围为. 故答案为： 24．（24-25高一上·上海·月考）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数解析式和奇偶性可得，，从而由可得，综合可得的解析式． 【详解】函数为奇函数，则， 为偶函数，则， 因为①，则， 所以②， 则由①-②可得. 故答案为：． 25．（24-25高一上·上海·月考）已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时， . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质求的解析式，从而得解. 【详解】因为当时，， 所以当时，则，则， 又函数是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 26．（24-25高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为 ① ② ③      ④ 【答案】①②④ 【分析】利用偶函数的定义逐一判断即得. 【详解】对于①，函数的定义域为， ，①是； 对于②，函数中，，解得， ，，②是； 对于③，中，，而，，③不是； 对于④，中，，当时，， ；当时，，， 因此，④是. 故答案为：①②④ 27．已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求解即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，则， 因为函数为奇函数，则，即，解得， 所以，， 当时，，，，满足，合乎题意， 所以，若函数为奇函数，则. 故答案为：. 28．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，且，则 ． 【答案】 【分析】构造偶函数函数，把问题转化为，结合条件即可求解． 【详解】，得 构造函数，定义域为R． 因为． 所以函数是偶函数， 所以，所以，从而， 又，因此. 故答案为：． 题型五、函数单调性的证明与应用 29．已知二次函数满足：. (1)求的解析式； (2)判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由待定系数法，即可代入化简求解， （2）由函数单调性的定义即可求证. 【详解】（1）是二次函数，设， , 所以，，则， 又，则, 故. （2）在上单调递减. 证明：， 因为，则， 所以，，则，即. 所以，在上单调递减. 30．下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 【答案】C 【分析】分别判断出，，和的单调性，即可判断． 【详解】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误； 对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误； 对于C：在是增函数，在是减函数， ，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确； 对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数； 设定义域为，取， 则， 当时，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递减， 同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误， 故选：C． 31．已知函数 是 上的增函数，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】分段函数在R上是增函数，需满足每一段递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值. 【详解】因为在R上是增函数， 所以时，单调递增，则； 时，单调递增，则； 且在处，左段函数值不大于右段函数值， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 32．已知函数在定义域上单调递减，则的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】先求出的定义域；再由复合函数的单调性可求出的单调递减区间. 【详解】∵的定义域为，∴，即，解得． 故函数的定义域为． 令，则． 当时，单调递减，则单调递增； 当时，单调递增，则单调递减． 故的单调递减区间为． 故答案为： . 33．已知函数则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】分析函数在不同区间的单调性，再根据单调性求解不等式即可. 【详解】由函数 可得当时，递增，当时，递增；且时函数连续， 故函数在上递增， 则不等式，等价于，即， 解得或， 即原不等式的解集为. 故答案为：. 34．（24-25高一上·上海·月考）已知函数，当时，的最大值为6，则实数 【答案】0或1 【分析】根据二次函数的性质，求得其对称轴，由对称轴与区间中点的位置进行分类讨论，建立方程，可得答案. 【详解】由二次函数，则其对称轴为直线， 当时，的最大值为， 分解因式可得，解得或，故取； 当时，的最大值为， 分解因式可得，解得或，故取. 综上所述，或. 故答案为：或. 35．（24-25高一上·上海浦东新·月考）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求得结果. 【详解】由题意知函数定义域为或， 令是二次函数，对称轴为，在上单调递增， 由复合函数单调性可知，在上严格增，则. 故答案为： 题型六、函数单调性与奇偶性的综合应用 36．（24-25高一上·上海金山·月考）若函数是定义在R上的偶函数，在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由奇偶性得单调性，再根据的正负分类讨论求解． 【详解】函数是R上的偶函数，在上是严格减函数，则在上是严格增函数， ，不等式化为：或，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 37．（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数，若关于x的不等式对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再将函数不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立的问题即可. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数． 当时，， 任取，且， 可得 ， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数在上是增函数． 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围． 故答案为：． 38．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知，若对任意的xR，恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】先分析函数的奇偶性与单调性，将转化为，利用单调性解不等式转化为恒成立，求解参数的取值范围即可. 【详解】由于，所以是上的奇函数， 当时，单调递增，由奇函数可知，在上单调递增， ， 由，所以， 所以恒成立，即， 当时，显然不满足题意； 所以，解得. 故实数的取值范围是. 39．已知函数是定义域为的偶函数，且，若对任意的、，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，由偶函数的性质得出，分、两种情况解不等式即可得其解集. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且，则， 对任意的、，且，都有成立， 不妨设，则，即， 所以函数在上为增函数，故该函数在上为减函数， 当时，由得，解得； 当时，由得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 40．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为 ． 【答案】 【分析】设，根据可得函数在上为减函数，再结合条件可得，即求. 【详解】根据题意，设， 若是定义在上的奇函数，即， 则有，则函数为偶函数， 若对任意的两个不相等的正数， 假设，有， 必有，则函数在上为减函数， 又由，则，若，即， 必有且，解可得或即不等式的解集为． 故答案为：． 41．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得或， 故答案为：. 42．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知定义在上的的函数满足：，对于任意均有，则不等式的解集为 【答案】 【分析】构造函数，通过条件证明为定义在上的奇函数，且在上单调递减，从而根据函数的单调性求解不等式. 【详解】设，则的定义域为，，， 所以，为奇函数，且， 因为， 当时，， 所以，所以， 即，所以在上单调递减， 当时，， 所以，所以， 即，所以在上单调递减， 综上，在上单调递减， 又因为为定义在上的奇函数，所以在上单调递减， 变形为， 即，所以，所以解集为. 故答案为：. 题型七、二分法求函数的零点 43．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是 ． ①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0； ③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0. 【答案】①② 【分析】由二分法的定义可得解. 【详解】由二分法的定义可知，函数必须连续，且区间端点的函数值需异号，故①②正确. 44．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则= ． 【答案】 【分析】根据二分法，计算函数值的正负即可作答. 【详解】由于，， 故，故零点位于 因此， 故答案为： 45．（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 【答案】 【分析】根据二分法的求解过程写出下一个，即可得得解. 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 46．（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式分三大类讨论；当时，再按区间端点处函数值是否为及符号分类讨论可得. 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，符合题意； 当时，，零点为，，不符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ①若，解得， 此时，故零点为0或3，不符合题意； ②若，， 此时，零点为2或，，符合题意； ③若，解得， 由零点存在性定理可知，函数在有零点，符合题意； ④若，要使函数在有零点，则， 联立，又，即或， 故解得； ⑤若，由二次函数图象可知， 有两个零点，且一个在区间内，另一个在内，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 47．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为 （精确到0.1） 【答案】 【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间， 结合题设要求，可得方程的一个近似解为. 故答案为：. 48．利用二分法计算函数在区间的零点，第一次操作后确认在内有零点，那么第二次操作后确认在区间 内有零点. 【答案】 【分析】利用二分法的定义即可求解. 【详解】由题意可知，取区间的中点， ， ， 所以， 所以第二次操作后确认在区间内有零点. 题型八、函数零点的应用（难点） 49．已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据的解析式，作出的图象，由题意得图象与图象有四个不同的交点，根据二次函数的对称性，可得，根据对数的性质，可得，分析可得的范围，代入所求，化简整理，即可得答案. 【详解】当时，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为有四个不同的解， 所以图象与图象有四个不同的交点，如图所示 根据二次函数的对称性可得，即， 又， 所以，解得， 又，所以， 当时，，解得，所以， 则所求， 因为在单调递减，则最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 50．设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. 【答案】 【分析】由已知求出函数的周期为，结合，可得，再，求出的范围，即可得解. 【详解】∵是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴， 又是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴， ∴，∴， 即的周期为. 又易知，∴， ∴，， 即，的一个零点恰为． ∵，令，解得， 又，所以， 所以在区间至少有个零点． 故答案为： 51．（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据方程解与函数零点的关系，结合函数零点存在性定理解不等式即可求解. 【详解】因为关于x的方程有负根，所以有负根. 根据单调性的性质可知：函数的定义域为，且在和上单调递增. 当时，在上单调递增，当时，，，， 根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得； 当时，，若时，，，则恒成立，函数在上无零点； 当时，在和上单调递增， 当时，，，，故函数在上无零点； 当时，时，，，， 根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得. 综上，a的取值范围是. 故答案为：. 52．已知函数，若方程有2个根，则的范围是 ． 【答案】 【分析】利用函数在时的单调性，进而可得函数在时的值域，再利用二次函数的性质可得函数时的值域，即得函数的值域，然后作出函数图象，结合函数图象即可求出参数的取值范围； 【详解】因为， 当时，由单调递增， ∴在上单调递增， ∴当时，， 当时，所以， 综上，函数的值域为， 作出函数的图象与直线如图所示：    函数有2个零点，即与有2个交点， 所以，即. 故答案为：. 53．函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据新定义，作出的图象，再求出图象关于原点对称的图象对应的函数解析式，由交点个数并结合图象列式求解 【详解】根据新定义，作出的图象如下： 由的图象上恰有3对点关于原点对称，得函数图象关于原点对称的图 象与的图象有3个交点，由，得，则， 因此函数的图象与的图象恰有3个交点， 当时，函数的图象与的图象只有2个交点，不符合题意， 则，即，解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 54．若的值域为，则至多有 个零点. 【答案】 【分析】根据得到的表示，然后分类讨论的可取值，由此可确定出结果. 【详解】令，则或，且， 若，则， 若，则， 所以的零点只能从集合中选取，故的零点至多有个， 故答案为：. 55．（25-26高一上·上海·月考）设，已知关于x的方程存在四个实数根，且，则 【答案】4 【分析】记，将问题转化为已知关于的方程，且，求的值.然后利用韦达定理求解可得. 【详解】记，则问题转化为： 已知关于的方程，且，求的值. 由得， 或， 不妨设前者的两根为，后者的两根为， 则由韦达定理得，， 所以，即，解得， 所以. 故答案为：4 题型九、反函数的性质 56．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 . 【答案】； 【分析】理解原函数在指定定义域下的性质，然后基于此求解其反函数即可. 【详解】，其图象是开口向上的抛物线， 对称轴为 ，所以在上单调递减， 所以， 当时，；即当趋向于时，趋向于， 因此，函数的值域为. 令，求解方程，得， 因为原函数的定义域为， 因此当时，解在定义域内，而不在定义域内， 故只取. 将和互换，得到反函数为，其定义域为. 故答案为：. 57．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用反函数与原函数的关系求出，再结合函数的单调性求解不等式. 【详解】由函数的图象经过点，得函数的图象过点， 则，解得，即， 而函数都是R上的增函数， 因此函数在R上单调递增，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 58．（24-25高一上·上海·期末）若函数的反函数是，则 . 【答案】0 【分析】根据反函数性质解方程即可得出结果. 【详解】令可得，即， 解得； 即在函数的图象上，由反函数性质可得在函数的图象上， 因此可得. 故答案为：0 59．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数是上奇函数且单调的，其反函数，则 ． 【答案】0 【分析】由奇函数在处有定义， 可得. 【详解】因为函数是上的奇函数， 所以， 则有， 又是单调函数，其反函数为， 所以. 故答案为：. 60．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是 、 ． 【答案】 －9 【分析】根据反函数的定义即可求解. 【详解】因为直线与直线关于直线对称， 所以函数与互为反函数， 又的反函数为， 所以，． 故答案为：；. 1．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由函数的定义域列出不等式，然后解分式不等式即可求得函数定义域. 【详解】， ∴， ∴， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海·期中）已知，求 ． 【答案】2 【分析】由题意令后直接代入可得. 【详解】. 故答案为：2. 3．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知为实数，且函数，是偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用二次函数的对称性可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为二次函数，是偶函数，则，解得. 故答案为：. 4．已知是一次函数，且，求的解析式 ． 【答案】或 【分析】设，得到，对照系数，得到方程组，求出答案. 【详解】设，则， 故，所以， 解得或， 故或. 故答案为：或. 5．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知函数在区间上是严格减函数且函数值不恒为负，则由整数构成的集合为 . 【答案】 【分析】变形函数式，由减函数及在上的最大值不小于0求出的范围即可. 【详解】函数， 由函数在区间上是严格减函数，得，解得， 由函数值不恒为负，得，解得，因此，而， 所以整数构成的集合为. 故答案为： 6．若函数存在最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分，，三种情况讨论，分析函数的单调性，由条件列不等式，可求t的取值范围. 【详解】当时，， 若时，；若时，， 故当时，函数的最小值为0； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数不存在最小值； 当时，函数在上单调递减，此时， 若且时，， 因为函数存在最小值，则，解得， 所以； 若且时，函数在上单调递增， 则， 因为函数存在最小值，则，即，该不等式无解； 综上，实数t的取值范围是， 故答案是：. 7．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出的最小值为3，的最大值为.由题可知，的最小值大于的最大值，由此求得实数的取值范围. 【详解】因为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为3. 因为，所以的最大值为. 若对任意和任意，都有恒成立，则，即. 解得. 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海·月考）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数形结合，可知外函数要有三个零点，再利用二次方程根的分布可确定参数范围. 【详解】作出函数的图象如下： 令，则可化为， 依题意，要使函数恰好有六个零点， 则方程在内有两个不同的实数根， 解得：，解得． 实数的取值范围为． 故答案为：． 9．（25-26高一上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求参数范围，即可得. 【详解】由题意，在上恒成立，显然时不等式恒成立， 当时，情况如下： 若，此时不等式为在上不恒成立， 若，则，可得.， 综上，. 故选：D 10．（25-26高三上·上海·期中）有下面三个命题： 命题1：若是周期函数，则是周期函数； 命题2：已知定义在上的函数，若对任意的，均有，则函数为偶函数； 命题3：已知定义在上的偶函数在上严格增，则存在函数在上严格减. 则真命题有（   ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】可举反例，令，显然函数不是周期函数,可判断了A选项；由，可知，可判断B；函数在单调递减，进而可得在上严格减，从而判断得出结论. 【详解】对于命题1，可举反例，，显然函数不是周期函数，但是周期函数，故命题1是假命题； 对于命题2，由，可知，故，即函数为偶函数，故命题2是真命题； 对于命题3，例如，则为偶函数且在上严格增， 则，则为上的奇函数， 先考虑时，， 由于函数为上的单调递减函数， 所以函数在单调递减，进而可得在上严格减，故命题3真命题， 综上，命题1为假命题，命题2和命题3为真命题， 故选：C. 11．（25-26高一上·上海·期中）已知函数.函数的定义域为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，判断函数的单调性并证明. 【答案】(1) (2)函数单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式求函数的值域； （2）利用函数单调性的定义判断函数的单调性. 【详解】（1）当时，函数. 因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）当时，，函数在上单调递增. 证明：设是上任意两个实数，且， 则 因为，所以，又，所以，， 所以，即，， 所以函数在上单调递增. 12．（25-26高一上·上海·期中）设，记． (1)若是上的奇函数，求a的值； (2)若，解关于x的不等式； (3)若满足不等式的x的最大值为0，求a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用奇函数的性质求参数值即可； （2）根据已知，不等式等价于且，求解集； （3）由题设有，从而有，再应用分类讨论，结合不等式性质及反证思想求参数值. 【详解】（1）因是R上的奇函数，故，得， 所以的定义域R， 对任意，， 即是R上的奇函数，故； （2）当时，， 所以等价于且， 所以且，则或或， 所以； （3）由题意，必有，故， 若，则，且，矛盾， 若，设，，则， 从而，矛盾， 当时，对任意，． 综上，. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的概念、性质及应用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数的定义域 1 题型二、函数的值域 4 题型三、函数解析式的求解 6 题型四、函数奇偶性的证明与应用 9 题型五、函数单调性的证明与应用 11 题型六、函数单调性与奇偶性的综合应用（重点） 12 题型七、二分法求函数的零点 16 题型八、函数零点的应用（难点） 题型九、反函数的性质 B综合攻坚・能力跃升 题型一、函数的定义域 1．（25-26高一上·上海宝山·期中）函数的定义域是 . 2．（25-26高一上·上海·期中）函数的定义域是 . 3．函数的定义域为 . 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 5．已知函数的定义域为，则的定义域为 6．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 7．（24-25高一上·上海松江·期末）函数 的定义域是 . 题型二、函数的值域 8．函数的值域是 . 9．（24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 10．若函数的值域为，则实数a的值为 ． 11．函数的最大值为 ． 12．若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 13．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 14．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 题型三、函数解析式的求解 15．已知函数，，则 . 16．已知函数，则 . 17．若函数，，则 18．（24-25高一上·上海·月考）已知，若，则 . 19．已知，求 . 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 21.求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 题型四、函数奇偶性的证明与应用 22．已知是偶函数，则 ． 23．（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是 . 24．（24-25高一上·上海·月考）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 25．（24-25高一上·上海·月考）已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时， . 26．（24-25高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为 ① ② ③      ④ 27．已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 . 28．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，且，则 ． 题型五、函数单调性的证明与应用 29．已知二次函数满足：. (1)求的解析式； (2)判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明. 30．下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 31．已知函数 是 上的增函数，则 的取值范围是 . 32．已知函数在定义域上单调递减，则的单调递减区间是 ． 33．已知函数则不等式的解集是 . 34．（24-25高一上·上海·月考）已知函数，当时，的最大值为6，则实数 35．（24-25高一上·上海浦东新·月考）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 题型六、函数单调性与奇偶性的综合应用 36．（24-25高一上·上海金山·月考）若函数是定义在R上的偶函数，在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为 ． 37．（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数，若关于x的不等式对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 38．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知，若对任意的xR，恒成立，则实数的取值范围是 39．已知函数是定义域为的偶函数，且，若对任意的、，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 40．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为 ． 41．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 42．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知定义在上的的函数满足：，对于任意均有，则不等式的解集为 题型七、二分法求函数的零点 43．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是 ． ①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0； ③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0. 44．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则= ． 45．（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 46．（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 . 47．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为 （精确到0.1） 48．利用二分法计算函数在区间的零点，第一次操作后确认在内有零点，那么第二次操作后确认在区间 内有零点. 题型八、函数零点的应用（难点） 49．已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为 . 50．设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. 51．（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是 . 52．已知函数，若方程有2个根，则的范围是 ． 53．函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是 ． 54．若的值域为，则至多有 个零点. 55．（25-26高一上·上海·月考）设，已知关于x的方程存在四个实数根，且，则 题型九、反函数的性质 56．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 . 57．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 . 58．（24-25高一上·上海·期末）若函数的反函数是，则 . 59．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数是上奇函数且单调的，其反函数，则 ． 60．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是 、 ． 1．函数的定义域是 . 2．（25-26高一上·上海·期中）已知，求 ． 3．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知为实数，且函数，是偶函数，则 . 4．已知是一次函数，且，求的解析式 ． 5．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知函数在区间上是严格减函数且函数值不恒为负，则由整数构成的集合为 . 6．若函数存在最小值，则实数的取值范围为 ． 7．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是 ． 8．（25-26高三上·上海·月考）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 ． 9．（25-26高一上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（25-26高三上·上海·期中）有下面三个命题： 命题1：若是周期函数，则是周期函数； 命题2：已知定义在上的函数，若对任意的，均有，则函数为偶函数； 命题3：已知定义在上的偶函数在上严格增，则存在函数在上严格减. 则真命题有（   ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 11．（25-26高一上·上海·期中）已知函数.函数的定义域为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，判断函数的单调性并证明. 12．（25-26高一上·上海·期中）设，记． (1)若是上的奇函数，求a的值； (2)若，解关于x的不等式； (3)若满足不等式的x的最大值为0，求a的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $