重难点03 指数函数的定义与图像及其拓展运用（10种题型）高一数学沪教版2020必修第一册

重难点03 指数函数的定义与图像及其拓展运用 题型01 指数函数的判断 1.指数函数定义为形如的函数，核心特征：系数为1、底数是满足条件的常数、指数是单一自变量$x$。逐一排查：排除系数非1（如）、底数不合规（如）、指数含常数/系数（如）的函数，保留候选者。 2.对候选函数，重点验证底数：底数需严格满足，若含参数需明确参数范围。排除底数无效（如）的函数。同时确认定义域为全体实数，最终确定符合定义的指数函数，标注关键特征。 1．(24-25高一下·贵州六盘水·期末)下列图象中，有可能表示指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据指数函数的定义和性质来逐一分析选项. 【详解】指数函数的一般形式为（且），其具有以下性质： 定义域为，值域为 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减. 图象恒过点. 观察图像可知，D有可能是指数函数图象. 故选：D 2．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 3．(24-25高一上·湖南部分高中·月考)“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】当时，为指数函数； 当为指数函数时，即，只需； 所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件. 故选：C 4．(24-25高一上·广州白云区广州空港实验中学·期中)下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用指数函数的概念判断即可. 【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D. 答案：D. 5．(23-24高一上·宁夏吴忠秦宁中学·月考)给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的定义进行判断即可得解. 【详解】因为指数函数的形式为 且， 所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误. 故选：C. 6．(18-19高二下·陕西黄陵中学本部·期末)下列函数一定是指数函数的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义，逐项分析即可. 【详解】A：中指数是，所以不是指数函数，故错误； B：是幂函数，故错误； C：中底数前系数是，所以不是指数函数，故错误； D：属于指数函数，故正确. 故选D. 【点睛】指数函数和指数型函数：形如（且）的是指数函数，形如（且且且）的是指数型函数. 7．(20-21高一上·湖南邵阳邵阳县·期中)下列函数中，不能化为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据指数函数概念直接判断选择. 【详解】对于A，是指数函数； 对于B，不是指数函数； 对于C，是指数函数； 对于D，是指数函数． 故选：B. 8．下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号） ①；②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥；⑦． 【答案】③④ 【分析】根据指数函数的定义，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数； 对②：其指数为，不是，故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数； 对⑤：是幂函数，不是指数函数； 对⑥：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数； 对⑦：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是； 综上，是指数函数的只有③④. 故答案为：③④. 题型02 求指数函数解析式或函数值 1.由指数函数定义设解析式为）。根据已知条件代入：若过定点，求解）。若含单调性，结合$递减验证，确定解析式。 2.已知解析式求函数值时，直接代入自变量：用指数运算法则化简（如）；若自变量为负数，用）。若求自变量，转化为对数式（如得），确保计算合规。 9．(23-24高一下·湖南衡阳耒阳正源学校·月考)已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 10．已知正整数指数函数，则（    ） A．2 B．3 C．9 D．16 【答案】C 【分析】由函数是指数函数可求出，即可求出. 【详解】因为函数是指数函数，所以，则，所以，，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数概念的理解，属于基础题. 11．(19-20高一上·西藏拉萨那曲二高·期中)若指数函数的图象经过点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设函数解析式为且，根据图像过定点，求出解析式，即可得出结果. 【详解】设指数函数且， 因为的图象经过点， 所以，解得：，即， 因此. 故选：A 【点睛】本题主要考查由指数函数过定点求参数，以及求函数值的问题，熟记指数函数解析式即可，属于基础题型. 12．(18-19高一上·吉林舒兰第一高级中学校·期中)若指数函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设指数函数（且），将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，进而求出的值. 【详解】设指数函数（且），又由函数的图象经过点，则， 解得或（舍），即，所以， 故选B. 【点睛】本题考查指数函数解析式的求解，同时考查指数函数值的计算，解题的关键就是利用待定系数法求出指数函数的解析式，考查计算能力，属于基础题. 13．若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出解析式，将点代入，求出解析式. 【详解】设（且），则， 解得，故. 故选：D 14．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 15．若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设 且，根据函数过点求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设 且，则，解得或（舍去）， 所以，令，又，所以. 故选：B 16．(23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔满洲里远方中学·期末)已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数值求出，再求函数值即可. 【详解】， 故选：A. 题型03 求指数函数在区间内的值域 1.指数函数，直接取给定区间有效区间。判断单调性：时函数在时函数在的增减趋势。 2.根据单调性求端点函数值：递增时，；递减时，。若区间含无穷远，结合趋势（如）确定值域。 17．(24-25高二下·云南普通高中·期末)已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知函数得单调性求闭区间上的函数值域即可. 【详解】因为是增函数，所以当时，，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 18．(25-26高三上·山东德州·开学考)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知求指数函数的值域，再应用集合的交运算求结果. 【详解】因为，所以，则 . 故选：C 19．函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 20．(24-25高一下·云南曲靖云南煤炭第二中学·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合A、B，再根据集合交并补运算直接计算即可判断. 【详解】，， 则，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：D 21．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质化简集合，再根据集合的交运算即可求解. 【详解】根据题意可得，， 因此. 故选：A. 22．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性计算即可得出结果. 【详解】易知函数在区间上单调递减， 所以其最大值为. 故选：A 23．(24-25高一上·山东青岛第十九中学·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质可得，进而可求交集. 【详解】由题意可得，， 所以 . 故选：B. 24．(23-24高一上·安徽亳州利辛高级中学·期末)函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性即可得出答案。 【详解】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 题型04 根据指数函数的值域求参数 1.设含参指数函数为时递增，值域对应。将值域转化为关于参数的指数方程或不等式。 2.递增时解，得。若值域含无穷远，结合趋势列不等式（如，确保与单调性、定义域匹配，确定参数值或范围。 25．若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用指数函数性质计算即可得. 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. 26．(24-25高一下·广东衡水联考·月考)已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 27．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 28．(20-21高一·人教B版2019必修第二册综合测试（能力提升）-·)函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案. 【详解】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得. 综上所述，或. 故选：C. 29．(23-24高三上·陕西咸阳永寿县中学·)若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案. 【详解】①当时，单调递增， 故，解得； ②当时，单调递减， ，无解， 综上可知. 故选：B 30．(22-23高一上·广东茂名电白区·期末)若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性可得最大值和最小值，列方程可得结果. 【详解】∵在R上单调递增，∴在 上单调递增， ∴当x=2时，取得最小值为4；当x=a时，取得最大值为 ， ∴，解得：a=3. 故选：C. 31．(21-22高一·专题4.4指数函数-重难点题型检测-·)函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数为单调函数，根据已知条件构造方程，解方程可得答案． 【详解】∵函数f(x)＝ax(0＜a＜1)在区间[0，2]上为单调递减函数， ∴， ∵最大值比最小值大， ∴1﹣ ， 解得a 故选：A． 32．(21-22高三上·安徽十校联盟·)若函数的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】分类讨论的取值范围，结合单调性和值域求出，进而得解. 【详解】当时，为减函数，，解得，因为函数的定义域和值域都是，故，，解得，； 当，为增函数，，解得，不符合题意， 故，. 故选：D 题型05 根据函数是指数函数求参数 1.指数函数严格定义为）。设含参函数为给定形式（如无其他项，拆解所有参数需满足的条件。 2.解第一步列出的等式与不等式（如系数方程），得参数候选值。代入原函数验证：确保化简后为形式，无额外系数或项，底数符合要求。排除矛盾解，最终确定参数值或范围。 33．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 34．若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【详解】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 35．(22-23高一上·广东东莞第一中学·期中)若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 36．(23-24高二下·安徽·模拟)若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 37．(23-24高一上·青海西宁大通回族土族自治县第二完全中学·期中)函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 38．(23-24高一上·天津河西区·期末)若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 39．(23-24高一上·吉林长春长春外国语学校·期中)函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指数函数的知识求得正确答案. 【详解】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 40．若函数是指数函数，则（　　） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得. 故选：C. 题型06 求指数型复合函数的定义域 1.设指数型复合函数为。明确约束：①指数函数定义域为自身定义域（如分式分母不为0、偶次根式被开方数≥0、对数真数>0等），全面梳理所有限制条件。 2.根据内层函数的约束条件列不等式组，无需考虑外层指数函数对定义域的限制（因对任意实数的取值范围，用集合或区间表示结果。验证边界值：确保代入后内层有意义，最终确定复合函数定义域。 41．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 42．(23-24高一上·安徽江淮十校·期中)若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可. 【详解】解：函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为 故选：C 43．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项． 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 44．(23-24高一上·山东滨州北镇中学·)若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 45．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不等于，解出即可. 【详解】因为， 所以. 故选： 46．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶次方根的被开方数必须大于等于零，建立不等式可解. 【详解】由题意得 所以， 即， 又指数函数为上的单调减函数， 所以，解得. 故选：C. 47．(21-22高一上·广西河池八校·)设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的定义域，再令满足的定义域范围求出的范围即可得的定义域. 【详解】由即可得 所以的定义域为， 令，可得，所以函数的定义域为， 故选：A． 48．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由被开方数不小于0可得． 【详解】由，得，即． 故选：B 题型07 求指数型复合函数的值域 1.设指数型复合函数为的单调性、最值，求出为全体实数子集），此值域即为外层指数函数的自变量取值范围，明确核心取值边界。 2.根据底数的最值）；。若）确定，用区间表示结果并验证。 49．(24-25高三下·甘肃白银靖远县第四中学·月考)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数单调性即可求解. 【详解】易知为减函数， 所以. 所以函数的值域为， 故选：A 50．设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值. 【详解】由题意得，． ①当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． ②当时，，， ，，，， 故． ③当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． 综上所述，的值域为． 故选：B． 51．(25-26高三上·四川广安友谊中学·)函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数单调性得到值域. 【详解】，又在R上单调递减， 故，又，故值域为. 故选：A 52．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 53．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的值域为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数的值域为， 故选：A. 54．(24-25高一上·江苏常州·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【详解】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 55．(22-23高一上·山东德州·期末)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再结合指数函数的性质计算可得. 【详解】函数的定义域为，又当时，所以， 当时，所以， 所以函数的值域为. 故选：B 56．(18-19高一上·浙江台州联谊五校·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，先求出的取值范围，再根据指数函数的单调性求的值域即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减， ∵，∴， 故函数的值域为. 故选：C. 题型08 判断指数型复合函数图像形状 1.设指数型复合函数为。分析外层：时过（如一次函数、二次函数）的单调性、对称性，确定的取值范围和变化趋势，明确图像变形基础。 2.根据“内层定趋势，外层定增减”判断：若有最值，图像会出现“拐点”（如时），综合判断图像的增减区间、特殊点和整体形状。 57．(22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔讷河第二中学等3校·开学考)函数（且）的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性与、的特征，利用排除法判断即可. 【详解】当时，在定义域上单调递减，， ，所以，则A、B均不符合题意； 当时，在定义域上单调递增，， ，所以，故C符合题意，D不符合题意. 故选：C 58．(25-26高一上·浙江强基联盟·期中)函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性可排除B，D两项，再结合幂函数的定义域排除C项，即得答案. 【详解】因函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域恒大于零，故排除B，D两项； 而函数为幂函数，其定义域为，值域为，且开口向右，过点，故排除C项；而A项均符合. 故选：A. 59．(25-26高二上·广东广州大学附属中学、广州外国语学校、广州铁一中学等三校·期中)已知，且，则函数的图象一定经过（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】D 【分析】分类讨论，结合指数函数的图象与性质可得解. 【详解】当时，，所以图象一定过第二、三、四象限； 当时，，所以图象一定过第一、二、三象限， 综上可知，函数的图象一定经过第二、三象限. 故选：D 60．(18-19高二下·河南天一大联考·期末)函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 61．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 62．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，故可得正确的选项. 【详解】的定义域为，排除D； 因为 ，所以为偶函数， 图象关于y轴对称，排除C； 当时，，排除A． 故选：B. 63．当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 64．(24-25高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 题型09 指数型复合函数图象过定点问题 1.指数型复合函数为，指数函数。令内层函数为定点横坐标，明确定点横坐标的求解核心。 2.将。验证：无论（满足，用具体值代入可验证正确性。 65．(25-26高一上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)若函数（且）恒过定点P，则点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质求解. 【详解】当时，，所以函数恒过定点. 故选：A. 66．(25-26高一上·河北邢台质检联盟·期中)函数的图象恒过定点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数过定点的性质即得 【详解】令， 故的图象恒过定点． 故选：C. 67．(25-26高一上·广东广州第八十九中学·期中)函数且经过定点的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】令，得，所以函数过定点. 故选：B. 68．(25-26高一上·湖南长沙第一中学·期中)已知函数的图象恒过定点，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】令，即可求解与的值，再将代入解析式即可得的值，进而求解答案即可. 【详解】令，解得：，即； 当时，，所以， 综上可得：. 故选：C 69．(24-25高一下·云南昆明·期中)已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数过定点可得. 【详解】因为指数函数，所以，且，得. 所以函数. 因过定点，所以过定点. 故选：A. 70．已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据函数恒过定点求出n，再根据函数图象过求出m，从而得到答案． 【详解】由函数（，且）恒过定点，可得， ∵函数图象过点， ∴，解得， 故． 故选：C． 71．当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求的值和对应的函数值，即得图象所过的定点． 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 72．已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由指数函数的性质确定定点坐标，即可得. 【详解】令，得，此时， 所以定点P的坐标为，即，，所以. 故选：C 题型10 指数型复合函数图像应用 1.设函数为，从图像提取关键信息：①定点（如过）；②单调性（上升/下降定单调性关系）；③最值或边界趋势（定值域）。将图像特征转化为函数参数、单调性、定义域等性质条件。 2.根据转化的性质求解问题：求参数时用定点列方程、单调性定$a$范围；解不等式/比较大小时用单调性转化；求值域时结合图像边界。求解后反向验证：将结果代入函数，检查对应的图像特征（如定点、单调性）是否匹配，确保答案准确。 73．(25-26高一上·山东聊城·期中)若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】抓住与1大小，正负讨论，结合指数函数的图象求解. 【详解】若，，函数经过第三象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则不可能同时经过第一、二、四象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则经过第一、二、四象限，合题意； 若，，函数经过第二，四象限，不合题意； 若，，函数经过第二，三，四象限，不合题意； 综上，当，时，经过第一、二、四象限. 故选：D. 74．(25-26高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据取大函数的定义，取值判断ABD；分段推理判断C. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 当时，，当时，， 对于A，，而，A错误； 对于B，，而，B错误； 对于C，当时，，由，得， 函数在R上是增函数，则； 当时，由，得，则，C正确； 对于D，，而，D错误. 故选：C 75．函数的图象可以由函数的图象经过以下变换得到（    ） A．图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍 B．图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 C．函数的图象向右平移2个单位 D．函数的图象向左平移2个单位 【答案】C 【分析】根据函数平移的原则一一分析即可. 【详解】对A，图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍得，故A错误； 对B，图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得，即，故B错误； 对C，函数的图象向右平移2个单位得，故C正确； 对D，函数的图象向左平移2个单位得，故D错误. 故选：C. 76．(25-26高三上·湖北部分名校·月考)已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 77．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 78．已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 79．直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】画出的图象关于原点对称的图象，再判断其与函数 交点个数即可. 【详解】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数的图象关于原点对称的图象， 判断其与函数图象 交点个数即可， 如图所示： 当时，，当时，，且， 观察图象可得：它们有2个交点，故的“姊妹对点”有2个. 故选：B． 80．(24-25高一上·安徽舒城晓天中学·月考)设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】做直线，数形结合，可得的大小关系. 【详解】如图： 做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，，由图可知：. 故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点03 指数函数的定义与图像及其拓展运用 题型01 指数函数的判断 1.指数函数定义为形如的函数，核心特征：系数为1、底数是满足条件的常数、指数是单一自变量$x$。逐一排查：排除系数非1（如）、底数不合规（如）、指数含常数/系数（如）的函数，保留候选者。 2.对候选函数，重点验证底数：底数需严格满足，若含参数需明确参数范围。排除底数无效（如）的函数。同时确认定义域为全体实数，最终确定符合定义的指数函数，标注关键特征。 1．(24-25高一下·贵州六盘水·期末)下列图象中，有可能表示指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·湖南部分高中·月考)“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高一上·广州白云区广州空港实验中学·期中)下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·宁夏吴忠秦宁中学·月考)给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 6．(18-19高二下·陕西黄陵中学本部·期末)下列函数一定是指数函数的是 A． B． C． D． 7．(20-21高一上·湖南邵阳邵阳县·期中)下列函数中，不能化为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 8．下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号） ①；②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥；⑦． 题型02 求指数函数解析式或函数值 1.由指数函数定义设解析式为）。根据已知条件代入：若过定点，求解）。若含单调性，结合$递减验证，确定解析式。 2.已知解析式求函数值时，直接代入自变量：用指数运算法则化简（如）；若自变量为负数，用）。若求自变量，转化为对数式（如得），确保计算合规。 9．(23-24高一下·湖南衡阳耒阳正源学校·月考)已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 10．已知正整数指数函数，则（    ） A．2 B．3 C．9 D．16 11．(19-20高一上·西藏拉萨那曲二高·期中)若指数函数的图象经过点，则 A． B． C． D． 12．(18-19高一上·吉林舒兰第一高级中学校·期中)若指数函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 14．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 15．若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．(23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔满洲里远方中学·期末)已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 题型03 求指数函数在区间内的值域 1.指数函数，直接取给定区间有效区间。判断单调性：时函数在时函数在的增减趋势。 2.根据单调性求端点函数值：递增时，；递减时，。若区间含无穷远，结合趋势（如）确定值域。 17．(24-25高二下·云南普通高中·期末)已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．(25-26高三上·山东德州·开学考)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 19．函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 20．(24-25高一下·云南曲靖云南煤炭第二中学·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 21．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 22．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 23．(24-25高一上·山东青岛第十九中学·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 24．(23-24高一上·安徽亳州利辛高级中学·期末)函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 题型04 根据指数函数的值域求参数 1.设含参指数函数为时递增，值域对应。将值域转化为关于参数的指数方程或不等式。 2.递增时解，得。若值域含无穷远，结合趋势列不等式（如，确保与单调性、定义域匹配，确定参数值或范围。 25．若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 26．(24-25高一下·广东衡水联考·月考)已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．(20-21高一·人教B版2019必修第二册综合测试（能力提升）-·)函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 29．(23-24高三上·陕西咸阳永寿县中学·)若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（    ） A． B．2 C．3 D． 30．(22-23高一上·广东茂名电白区·期末)若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．(21-22高一·专题4.4指数函数-重难点题型检测-·)函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为(　　) A． B． C． D． 32．(21-22高三上·安徽十校联盟·)若函数的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．1 题型05 根据函数是指数函数求参数 1.指数函数严格定义为）。设含参函数为给定形式（如无其他项，拆解所有参数需满足的条件。 2.解第一步列出的等式与不等式（如系数方程），得参数候选值。代入原函数验证：确保化简后为形式，无额外系数或项，底数符合要求。排除矛盾解，最终确定参数值或范围。 33．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 34．若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．(22-23高一上·广东东莞第一中学·期中)若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 36．(23-24高二下·安徽·模拟)若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 37．(23-24高一上·青海西宁大通回族土族自治县第二完全中学·期中)函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 38．(23-24高一上·天津河西区·期末)若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 39．(23-24高一上·吉林长春长春外国语学校·期中)函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 40．若函数是指数函数，则（　　） A．或 B． C． D．且 题型06 求指数型复合函数的定义域 1.设指数型复合函数为。明确约束：①指数函数定义域为自身定义域（如分式分母不为0、偶次根式被开方数≥0、对数真数>0等），全面梳理所有限制条件。 2.根据内层函数的约束条件列不等式组，无需考虑外层指数函数对定义域的限制（因对任意实数的取值范围，用集合或区间表示结果。验证边界值：确保代入后内层有意义，最终确定复合函数定义域。 41．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 42．(23-24高一上·安徽江淮十校·期中)若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 43．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 44．(23-24高一上·山东滨州北镇中学·)若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 46．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 47．(21-22高一上·广西河池八校·)设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 48．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型07 求指数型复合函数的值域 1.设指数型复合函数为的单调性、最值，求出为全体实数子集），此值域即为外层指数函数的自变量取值范围，明确核心取值边界。 2.根据底数的最值）；。若）确定，用区间表示结果并验证。 49．(24-25高三下·甘肃白银靖远县第四中学·月考)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 50．设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）． A． B． C． D． 51．(25-26高三上·四川广安友谊中学·)函数的值域是（   ） A． B． C． D． 52．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 53．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 54．(24-25高一上·江苏常州·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 55．(22-23高一上·山东德州·期末)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 56．(18-19高一上·浙江台州联谊五校·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型08 判断指数型复合函数图像形状 1.设指数型复合函数为。分析外层：时过（如一次函数、二次函数）的单调性、对称性，确定的取值范围和变化趋势，明确图像变形基础。 2.根据“内层定趋势，外层定增减”判断：若有最值，图像会出现“拐点”（如时），综合判断图像的增减区间、特殊点和整体形状。 57．(22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔讷河第二中学等3校·开学考)函数（且）的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   58．(25-26高一上·浙江强基联盟·期中)函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 59．(25-26高二上·广东广州大学附属中学、广州外国语学校、广州铁一中学等三校·期中)已知，且，则函数的图象一定经过（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 60．(18-19高二下·河南天一大联考·期末)函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 61．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 62．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 63．当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 64．(24-25高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型09 指数型复合函数图象过定点问题 1.指数型复合函数为，指数函数。令内层函数为定点横坐标，明确定点横坐标的求解核心。 2.将。验证：无论（满足，用具体值代入可验证正确性。 65．(25-26高一上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)若函数（且）恒过定点P，则点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 66．(25-26高一上·河北邢台质检联盟·期中)函数的图象恒过定点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 67．(25-26高一上·广东广州第八十九中学·期中)函数且经过定点的坐标（   ） A． B． C． D． 68．(25-26高一上·湖南长沙第一中学·期中)已知函数的图象恒过定点，则（    ） A． B． C．0 D．2 69．(24-25高一下·云南昆明·期中)已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 70．已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 71．当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 72．已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 题型10 指数型复合函数图像应用 1.设函数为，从图像提取关键信息：①定点（如过）；②单调性（上升/下降定单调性关系）；③最值或边界趋势（定值域）。将图像特征转化为函数参数、单调性、定义域等性质条件。 2.根据转化的性质求解问题：求参数时用定点列方程、单调性定$a$范围；解不等式/比较大小时用单调性转化；求值域时结合图像边界。求解后反向验证：将结果代入函数，检查对应的图像特征（如定点、单调性）是否匹配，确保答案准确。 73．(25-26高一上·山东聊城·期中)若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 74．(25-26高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 75．函数的图象可以由函数的图象经过以下变换得到（    ） A．图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍 B．图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 C．函数的图象向右平移2个单位 D．函数的图象向左平移2个单位 76．(25-26高三上·湖北部分名校·月考)已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 77．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 78．已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 79．直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 80．(24-25高一上·安徽舒城晓天中学·月考)设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $