精品解析：黑龙江省大兴安岭地区漠河市两校联考2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年上学期八年级期末 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的乘除和加减运算，对每个选项进行计算判断结果的正误． 【详解】解： A选项：∵ ，满足题意要求； B选项：∵ ，不满足题意要求； C选项： ∵ ，不满足题意要求； D选项： ∵ ，不满足题意要求； 故选A． 2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断即可得答案． 【详解】A.不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C.是轴对称图形，故该选项符合题意， D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，进而即可得到答案． 【详解】解：设该三角形第三边的长是， ∴， ∴， ∴该三角形第三边的长不可能是2． 故选：A． 4. 下列从左到右的运算是因式分解的是（　　） A. 2x2﹣2x﹣1=2x（x﹣1）﹣1 B. 4a2+4a+1=（2a+1）2 C. （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D. x2+y2=（x+y）2﹣2xy 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项错误； B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项正确； C、是整式的乘法，故本选项错误； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 5. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 扩大9倍 D. 扩大27倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．将x和y同时扩大3倍后，计算新分式并与原分式比较，得出变化倍数，即可作答． 【详解】解：∵原分式为，x和y同时扩大3倍后， ∴新分式为， ∴新分式是原分式的3倍， 故分式的值扩大3倍， 故选：A 6. 若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 7. 如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键． 先利用矩形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以． 【详解】解：在长方形中， ∵，， ∴， 由作法得：平分， ∴． 故选：C． 8. 如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（ ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A. 4或12 B. 12或16 C. 4或16 D. 4或12或16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等． 故选：D． 9. 如图．在中，，，交的延长线于点，则的长为（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，由，得，根据三角形外角性质可得，最后通过所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 10. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，进而依据“”判定和全等得，，由此可对结论进行判断； 设与交于点，与交于点，根据三角形内角和定理得，由此可对结论进行判断； 根据，得，由此可对结论进行判断； 过点作交的延长线于点，证明和全等得，进而再证明和全等得；由此可对结论进行判断； 由和全等得，进而得，再由和全等得，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ，， 故结论正确； 设与交于点，与交于点，如图所示： 在中，， 在中，， ，，， ， ， 故结论正确； ， ， 在中，是边上的高， ， ， 故结论正确； 过点作交的延长线于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故结论正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是，共个， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引起的下呼吸道感染，主要表现为咳嗽、发热. 支原体是介于细菌和病毒之间的已知能独立生活的病原微生物中的最小者，大小约为0.0000002米，将0.0000002米用科学记数法表示为_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将0.0000002米用科学记数法表示为米， 故答案为：． 12. 如图，，使，则增加一个条件是_________．     【答案】（或或）（答案不唯一，写出一个即可） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：利用“”判定，可添加条件； 利用“” 判定，可添加条件或； 利用“” 判定，可添加条件； 故答案为：（或或）． 13. 使分式有意义的条件是_____． 【答案】x≠2 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得x-2≠0，再解即可． 【详解】由题意得：x﹣2≠0， 解得：x≠2， 故答案为：x≠2． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 14. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式的求值，涉及因式分解和完全平方公式的应用，掌握因式分解的方法以及完全平方公式的结构特征是解题关键．将已知等式分解因式可得，再利用完全平方公式求出，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ． ， ． 故答案为：． 15. 若（a，b 均不为0），则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：5． 16. 等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义，等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据题意进行分类讨论是解题关键．根据外角与相邻内角互补，求出其相邻内角为，再根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，判断该内角为顶角，即可得解． 【详解】解：等腰三角形的一个外角是，则其相邻内角为． 若该内角为底角，则两个底角均为，顶角为，不符合三角形内角和定理； 则该内角必为顶角，即顶角为． 故答案为：． 17. 在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______________度. 【答案】或 【解析】 【分析】当为直角三角形时，有两种情况或，依据三角形内角和定理，结合具体图形分类讨论求解即可. 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当时， ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴， ∴， 综上，则的度数为或； 故答案为或； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及数学的分类讨论思想，能够正确进行分类是解题的关键. 18. 如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为____ 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ， ， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：8． 19. 已知为等边三角形，，M在边所在直线上，点N在边所在直线上，且，若，则的长为______． 【答案】4或36##36或4 【解析】 【分析】分两种情形：①当点在的延长线上时，作于．②当点在的延长线上时，作于．分别求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ①如图，当点在的延长线上时，作于． 在中， ，，， ∴， ， ， ，， ， ． ②如图，当点在的延长线上时，作于， 在中， ，，， ∴， ， ， ，， ， ， 故答案为：4或36． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 20. 如图，已知中，，，，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……，如此作下去，则第n条线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意依据垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三角形所对应的邻边是斜边的一半得出，，进而总结规律即可得出第n条线段的长. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵垂直平分AC， ∴, ∴, ∴, 同理, ， 可得第n条线段的长为：或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查图形规律，熟练掌握垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三角形所对应的邻边是斜边的一半是解题的关键. 三、解答题（60分） 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，最后运算多项式除以单项式，即可作答． （2）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，最后运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 22. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）根据解分式方程的基本步骤进行计算即可． （2）根据解分式方程的基本步骤进行计算即可． 【小问1详解】 方程两边同乘以，得 解得，； 经检验，是原方程的解． 【小问2详解】 方程两边同乘以（y-1）（y+2），得 解得，； 经检验，不是原方程的解． 故原方程无解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分，对分子分母因式分解，再将除法化为乘法约分化简，最后代入计算求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的， （2）写出、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作； （2）、、； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，坐标与图形，割补法求面积，掌握轴对称的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据（1）的图形写出坐标即可； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积． 25. 已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； （3）如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】（1） 证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ； （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题解题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明，再结合全等三角形的性质推导线段关系与位置关系． （1）证明，可得，即可推出； （2）证，利用全等三角形的性质即可证明； （3）同（1）得，则，，得，再证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 猜想，，理由如下： ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ，，理由如下： 如图③所示： 同（1）得：， ，， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 26. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元． （1）篮球和足球的进价各是多少元？ （2）商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少卖出多少个？ （3）商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问商场有几种进货方案？ 【答案】（1）足球单价为90元，篮球单价为120元 （2）篮球最少要卖33个 （3）有3种方案 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设足球单价为元，则篮球单价为元，根据“用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等”，列分式方程求解即可； （2）设售出篮球个，则购买足球个，根据“获利超过1300元”列一元一次不等式，再结合整数解求解即可； （3）设购买篮球n个，则购买足球个，根据“不超过10350元”和“篮球不少于43个”，求出的取值范围，即可得解． 【小问1详解】 解：设足球单价为元，则篮球单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则， 答：足球单价为90元，篮球单价为120元； 【小问2详解】 解：设售出篮球个，则售出足球个， 由题意得：， 解得， 为整数， ∴m的最小整数值为33， 故篮球最少要卖33个； 【小问3详解】 解：设购买篮球n个，则购买足球个， 由题意得：， 解得：， ∵篮球不少于43个， ， 的取值可以为43、44、45， ∴有3种方案． 27. 如图，在平面直角坐标系中，满足 （1）求A、B两点的坐标； （2）的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； （3）在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）将用完全平方公式变形为，得出，即可求解； （2）由的平分线与的外角平分线AM交于点，可得出，再由三角形外角和定理，得 ,即，即可求解； （3）根据A、B、P构成等腰三角形，设点P坐标为当点B与点A为顶点时，就有两个点，由图形中的三角形的全等性求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解： ， ∴， ， ． 【小问2详解】 解：平分，平分， ， ， ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵是以为腰的等腰直角三角形 ∴当B点为等腰直角三角形的顶点，如图所示： ， ， ， ， 过点作于点C， ， ∵ ∴， ， 在和中 ， ，， ， ； 过点作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点在第二象限， ∴； 当A点为等腰直角三角形的顶点，如图所示： 同理证明出， ，， ， ； 同理证明出， ，， ， ∵点在第三象限， ； 故或或或 【点睛】本题考查了点的坐标，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，运用分类讨论思想时解题关键，属于较难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级期末 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 下列从左到右的运算是因式分解的是（　　） A. 2x2﹣2x﹣1=2x（x﹣1）﹣1 B. 4a2+4a+1=（2a+1）2 C. （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D. x2+y2=（x+y）2﹣2xy 5. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 扩大9倍 D. 扩大27倍 6. 若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7. 如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（     ） A. B. C. D. 8. 如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（ ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A. 4或12 B. 12或16 C. 4或16 D. 4或12或16 9. 如图．在中，，，交的延长线于点，则的长为（ ）     A. B. C. D. 10. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引起的下呼吸道感染，主要表现为咳嗽、发热. 支原体是介于细菌和病毒之间的已知能独立生活的病原微生物中的最小者，大小约为0.0000002米，将0.0000002米用科学记数法表示为_______米． 12. 如图，，使，则增加一个条件是_________．     13. 使分式有意义的条件是_____． 14. 若，，则的值为______． 15. 若（a，b 均不为0），则的值为______． 16. 等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是______． 17. 在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______________度. 18. 如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为____ 19. 已知为等边三角形，，M在边所在直线上，点N在边所在直线上，且，若，则的长为______． 20. 如图，已知中，，，，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……，如此作下去，则第n条线段的长为______． 三、解答题（60分） 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 22. 解分式方程： （1） （2） 23. 先化简，再求值：，其中． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的， （2）写出、、的坐标； （3）求的面积． 25. 已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； （3）如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 26. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元． （1）篮球和足球的进价各是多少元？ （2）商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少卖出多少个？ （3）商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问商场有几种进货方案？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，满足 （1）求A、B两点的坐标； （2）的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； （3）在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $