精品解析：天津市小站第一中学2025-2026学年高一上学期第三次月考数学试题

小站一中2025-2026学年第一学期高一年级第三次月考数学试卷 一、选择题 1. （ ）． A. B. C. D. 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 将弧度化成角度为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 若a，b，c满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点所在的区间可能是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 二、填空题 9. 已知函数是幂函数，若，则__________． 10. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 11. 函数的定义域为__________. 12. 已知，则__________． 13. 已知函数（），函数y取得最小值为__________. 14. 设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数是______． 三、解答题 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知角终边上一点的坐标为，其中．求的值； （2）已知，求①； ②求. 17. 已知函数是定义在上的函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并用定义法证明； 18. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求的定义域并判断其奇偶性. 19. 已知函数且的图象经过点，函数的图象经过点. （1）求的值； （2）解不等式. 20. 已知实数满足不等式. （1）求实数的取值范围； （2）求不等式的解集A； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小站一中2025-2026学年第一学期高一年级第三次月考数学试卷 一、选择题 1. （ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式即可得. 【详解】. 故选：B. 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法求命题的否定即可得解. 【详解】由题可得是，. 故选：B 3. 将弧度化成角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由弧度制与角度制的转化，即可得到结果. 【详解】， 故选：C. 4. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性和奇偶性的定义，判定各选项中的函数是否满足条件即可. 【详解】对于A中，函数在定义域内既是奇函数又是增函数，A正确； 对于B中，函数是定义域内的非奇非偶函数，B错误； 对于C中，函数是定义域内的奇函数，在和上为增函数，C错误； 对于D中，函数是定义域内的非奇非偶函数，D错误. 故选：A. 5. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要注意集合A与B中的元素是什么，根据集合运算求解即可. 【详解】集合A中，元素是，即求函数的值域，易知； 集合B中，元素是，即求函数的定义域，所以>0，所以<2， ，. 故选：A 6. 已知a，b，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：根据不等式的性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项BC：例如，满足，则，，故BC错误； 对于选项D：若，则，可得，故D正确； 故选：D. 7. 若a，b，c满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值分析判断. 【详解】，，， 所以. 故选：A. 8. 函数的零点所在的区间可能是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的单调性，利用零点存在定理求解. 【详解】因为， 所以，又函数图象连续且在单调递增， 所以函数的零点所在的区间是，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题. 二、填空题 9. 已知函数是幂函数，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，结合，即可求解． 【详解】根据题意，设，由，得， 故， ． 故答案为：． 10. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为. 故答案为：. 11. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数与分式、根式的定义域求解即可. 【详解】由题意，，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 12. 已知，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】将指数式变为对数式，求出的值，然后利用换底公式即可求解． 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为：1． 13. 已知函数（），函数y取得最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数y取得最小值为6. 故答案为：6. 14. 设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】由函数单调性结合函数奇偶性和零点存在定理得是函数的一个零点、函数在上只有一个零点，在上也只有一个零点即可得解. 【详解】因为函数和在上均为增函数， 所以函数在上单调递增， 又函数是定义在R上的奇函数，所以即是函数的一个零点， 且函数在上单调递增， 又， 所以， 所以由零点存在定理得函数在上只有一个零点，在上也只有一个零点. 综上，函数的零点个数为3. 故答案为：3. 三、解答题 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集、补集、并集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到，解得即可. 【小问1详解】 当时，又， 所以，或， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 显然，即， 所以，解得，即实数的取值范围为. 16. （1）已知角终边上一点的坐标为，其中．求的值； （2）已知，求①； ②求. 【答案】（1），； （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）利用正余弦的齐次式的解法计算求解. 【详解】（1）角终边上一点的坐标为，其中， 则， 所以，. （2）因为，所以 ①； ② . 17. 已知函数是定义在上的函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并用定义法证明； 【答案】（1） 函数f（x）为奇函数 证明如下：函数f（x）的定义域为， . 所以函数f（x）为奇函数. （2） f（x）在上为单调递增函数 证明如下： 设－1＜x1＜x2＜1， 则. 因为－1＜x1＜x2＜1，， 所以， 则. 故f（x）在上为单调递增函数. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断和证明即可； （2）根据单调性的定义判断和证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求的定义域并判断其奇偶性. 【答案】（1）3 （2），奇函数 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式化简得，求解即可； （2）解分式不等式求得的定义域，再利用奇函数定义判断即可. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点， 由题意知，即，解得. 【小问2详解】 由（1）得，， 由得，解得，所以的定义域为， 因为的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数. 19. 已知函数且的图象经过点，函数的图象经过点. （1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入且求出的值，将点代入，求出的值，进而得到的值； （2）将转化为，根据对数函数单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数且的图象经过点. 所以， 所以 函数的图象经过点， 所以，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 转化为， 即得出， 所以， 即不等式的解集为：. 20. 已知实数满足不等式. （1）求实数的取值范围； （2）求不等式的解集A； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由指数函数单调性性质即可求解； （2）由对数函数的单调性即可求解； （3）令，将题设不等式恒成立问题转化成一元二次不等式恒成立问题即可求解. 【小问1详解】 因为函数在上单调递减， 又，所以， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知函数为增函数，又， 所以. 所以不等式的解集. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 令，则， 所以在上恒成立， 所以当时，当且仅当即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $