专题02 解题技巧专题：利用等腰三角形“三线合一”作辅助线（高效培优专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题02 解题技巧专题：利用等腰三角形“三线合一”作辅助线 目录 题型一：等腰三角形中底边有中点时，连中线 1 题型二：等腰三角形中底边无中点时，作高 7 题型三：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 15 题型一：等腰三角形中底边有中点时，连中线 1．（24-25八年级下·广西钦州·月考）如图，在中，点在边上，，，分别为，的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握相关性质是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ， 在中，是的中点， ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)不变， 【分析】（）连接，证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵，，是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：四边形面积不会发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积不会发生变化，面积为． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，点D是上一点，于点E，若点D是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直的定义，先根据等腰三角形的性质得出，，再得出，根据垂直的定义得出，进而得出，即可得出结论 【详解】证明：如图，连接， ∵，点D是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，是边上的中点，交直线于点，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求画图． (1)在图1中，过点作边上的高； (2)在图2中，过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的高，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交于点O，连接，延长交于点F，由，是边上的中点，可知，又由，则，则线段即为所求； （2）延长交的延长线于点O，连接，延长交于点G，作直线，由题意可得垂直平分，得出，利用等边对等角和角度和差易证，可证明，得出，则可得，则，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，直线即为所求． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在四边形中，，M为的中点，连接并延长交的延长线于点E，点F在边上，且． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，结合中点的意义，选择适当判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的锐角互余性质解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26八年级上·江苏·月考）已知在中，，D为的中点． (1)如图，E、F分别是上的动点，且，求证：为等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积不变．见解析 (3)仍为等腰直角三角形．见解析 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大． （1）连接，可通过证和全等来求本题的结论． （2）可将四边形的面积分成和的面积和求解，由（1）证得和全等，因此四边形的面积可转化为的面积，由此得证． （3）与（1）题的思路和解法一样． 【详解】（1）证明：连接 ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形； （2）解：四边形面积不变． 理由：∵由（1）可知， ∴， 而， ∵D为的中点， ∴， ∵面积不变， ∴不会发生变化； （3）解：仍为等腰直角三角形． 理由：连接， ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形． 题型二：等腰三角形中底边无中点时，作高 1．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，，则的面积为（   ） A．10 B．16 C．20 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了三角形面积的计算，利用全等求高是解答本题的关键．作，垂足为E，作，交的延长线于点F，先根据等腰三角形的性质得，再证明，得，即可求的面积． 【详解】解：由题意，作，垂足为E，作，交的延长线于点F，如图： 是等腰三角形的中线， ， 的面积为：． 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：画出图形，写出已知、求证，并证明） 已知：如图，在中，______． 求证：______． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确画出图形、写出已知和求证是解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证；证明：连接，根据等腰三角形的性质以及证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】已知：如图，在中，，是的中点，于，于． 求证：． 证明：连接， ，是中点， 为的平分线（三线合一的性质）， 又，， ∴， ∵， ， ． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】见解析； 【分析】本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，是边长为4的等边三角形，是的中点，分别是边上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题关键，连结，过点D作交于点M，再作交于点N．结合等边三角形性质证明，得出，进一步证明，即可得出结论． 【详解】证明：连结，过点D作交于点M，再作交于点N． 是等边三角形，D为的中点， 是的平分线，， ． 又， ， ． 在和中， ， ， ． 在与中， ， ， ． 6．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，点为延长线上一点，且． (1)若，则求和的度数； (2)求证：； (3)若，，．请直接写出的面积为__________．（用含的式子表示） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（）根据等腰三角形的 性质可得，即得，进而可得，又由等腰直角三角形的性质得，进而得到，即可求解； （）分别过点作，，垂足分别为点，可证，得到，再证明，得到，，进而得到，即得，即得到，即可求证； （）根据解答即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点作，，垂足分别为点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 题型三：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 1．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理求出，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质得出，则是的垂直平分线，连接，则，根据等边对等角求出，进而求出，根据等角对等边得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又点为中点， ∴， ∴是的垂直平分线， 连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：6． 2．（25-26八年级上·重庆江津·期中）如图，已知等腰的周长是65，腰，腰的垂直平分线交于点D，求的周长． 【答案】40． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是根据线段垂直平分线的性质得出线段相等． 先根据等腰三角形性质求出，再由周长求出；接着利用线段垂直平分线的性质得；最后将的周长转化为，从而计算出结果． 【详解】解：∵等腰的腰， ∴，2分 ∵等腰的周长是65， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴的周长 ． 3．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵在等腰中，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在等腰中，是边上的中线，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)试判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质； （1）连接．由垂直平分，得到，由是边上的中线，得到垂直平分，得到； （2）由得到，，再由，得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接． 垂直平分， ， 是边上的中线， 垂直平分，平分， 又点在线段上， ， 即：； （2）解：，平分， ，， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·广西南宁·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点． 求证：． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接． 如图3，当点在点上方，若，请直接写出____________（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N，证得，进而得．在中、、，同理∶；进而得，在中，由，得，再根据等量代换即可解答． 【详解】（1）证明∶∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）证明∶∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3）解：如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴ ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∴ ∴， 同理∶， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，“那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． (3)在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)作图见解析； (3)或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形． （1）证明，，从而得出结论； （2）是腰时，，；是底时，，，可画出图形； （3）分为，及三种情形，画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条等腰分割线； （2）解：如图当是腰时，， ∴，， ∴， ∴， ∴此时都是等腰三角形； 如图，当是底时，，， ∴，， ∴， ∴此时都是等腰三角形； （3）解：如图2， 当，时，则， ∴， ∴是等边三角形， ∴当时，是等边三角形，即此时； 如图3， 当，时，则， ∴； 如图4， 当，时，则， ∴； 综上所述：的度数为或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02解题技巧专题：利用等腰三角形“三线合一”作辅助线 题型归纳 目录 题型一：等腰三角形中底边有中点时，连中线.… ..1 题型二：等腰三角形中底边无中点时，作高… 7 题型三：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形.… .15 题型专练 题型一：等腰三角形中底边有中点时，连中线 1.(24-25八年级下广西钦州月考)如图，在ABC中，点D在边BC上，AB=AD,E,F分别为AC, BD的中点，连接EF,若AC=I0,则EF的长为() B FD A.5 B.7 C.8 D.10 2.(24-25七年级上山东泰安期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6cm,若0是BC的中点， 动点M在AB上移动，动点N在AC上移动，且AN=BM, M (1)证明：OM=ON; (②)四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON的面积. 3.(25-26八年级上湖北武汉·期中)如图，在ABC中，AC=BC,点D是AB上一点，DE⊥BC于点E, 若点D是AB的中点，求证：∠BDE=∠ACB。 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D BE 4.(25-26八年级上江西宜春·期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，BE⊥AC交直 线AC于点E,请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求画图. E B D 图1 图2 (I)在图1中，过点C作AB边上的高CF: (2)在图2中，过点E作BC的平行线EG. 5.(24-25七年级下，湖南长沙·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,M为AB的中点，连接DM并 延长交CB的延长线于点E,点F在边BC上，且∠ADE=∠EDF. M E B F (I)求证：△ADM≌△BEM; (2)连接FM,若LE=30°，求∠EFM的度数. 6.(25-26八年级上江苏月考)己知在ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为BC的中点. B D (I)如图，E、F分别是AB,AC上的动点，且BE=AF,求证：△DEF为等腰直角三角形： (②)在(1)的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为AB,CA延长线上的点，仍有BE=AF,其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三 角形？证明你的结论， 题型二：等腰三角形中底边无中点时，作高 2/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26八年级上四川南充期中)如图，AC=AB=BD,AB1BD,BC=10,则△BCD的面积为() D A.10 B.16 C.20 D.25 2.(25-26八年级上·湖北孝感期中)证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”.（要求：画出 图形，写出己知、求证，并证明) B 己知：如图，在ABC中， 求证： 3.(23-24八年级上黑龙江哈尔滨期中)如图，点D,E在ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE,求证： BD=CE. B D 4.(24-25八年级上·江苏南通·期末)如图，锐角ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE,AD⊥BC于 点D,AD与EC交于点G. A D (1)求证△AEG为等腰三角形： (2)若GD=5,G为CE中点，求AG的长. 5.(25-26八年级上·全国随堂练习)如图，ABC是边长为4的等边三角形，D是BC的中点，E、F分别 是AB、AC边上的点，且∠EDF=120°.求证：DE=DF. 3/6 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E D A 6.(25-26八年级上江苏扬州月考)如图，ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，△ABD为等腰三角形， AD=AB=BC,点E为DB延长线上一点，且∠BAD=2∠CAE. D B E (1)若∠CAE=15°，则求∠CBE和∠AEB的度数； (2)求证：AE⊥CE; (3)若AE=a,BE=b,CE=c,请直接写出ABC的面积为 ·（用含，b,c的式子表示) 题型三：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 1.(25-26八年级上辽宁营口期中)如图，在等腰ABC中，∠BAC=45°，AB=AC,AD1BC, BE⊥AC,AD,BE交于点F,点H为AB中点.连接DH交AD于点G,若DG=3,则AF=一 H B D 2.(25-26八年级上·重庆江津·期中)如图，已知等腰ABC的周长是65，腰AC=25,腰AB的垂直平分 线MN交AC于点D,求△BCD的周长. D B 3.(25-26八年级上青海西宁期中)如图，在等腰ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线PQ交AB于点 D,交AC于点E. 4/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：△ABE是等腰三角形； (2)若LA=36°，求LEBC 4.(24-25七年级下陕西汉中期末)如图，在等腰ABC中，AB=AC,∠BAC=68°，AD是BC边上的中线， 线段AC的垂直平分线EF交AD于点F,交AC于点E,连接BF. B D (1)试判断线段AF与BF的数量关系，并说明理由； (2)求∠FBD的度数. 5.(25-26八年级上·广西南宁.期中)【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的 线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系. (1)如图1，在ABC中，AB=AC,点D为BC中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. 求证：DE=DF, A B 图 图2 图3 【变式再探】 (2)如图2，在ABC中，AB=AC,△CFA和△BEA分别为等边三角形，CF与BE相交于点G,连接 AG并延长，交BC于点D,求证：点D为BC中点. 【类比深探】 (3)在ABC中，AB=AC,点D为BC中点，∠ABC=30°，点F为直线AD上一动点，点E为射线CA上 一动点（点E不与点A,C重合），FB=FE,连接BE. 5/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图3，当点F在点A上方，若AC=m,AE=n,请直接写出DF= (用含m,n的代数式表示) 6.(25-26八年级上·浙江宁波·月考)如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，“那么这种分割叫 做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线.如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为 ABC的等腰分割线。 D 图1 图2 C B B 图3 备用图 (I)如图2，ABC中，∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线ED交AC于点D,交BC于点E.求证：AE是 ABC的一条等腰分割线. (2)如图3，在ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请你用两种不同的方法完成ABC的等腰分割， 并在图中标注底角的度数. (3)在ABC中，AD为ABC的等腰分割线，AD=BD,∠C=30°，请你直接写出所有可能∠B的度数. 6/6