4.5.1 等腰三角形的性质定理 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

4.5 等腰三角形 【湘教版·八年级数学上册】 第1课时 等腰三角形的性质定理 新课导入 A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 等腰三角形具有一般三角形的性质 两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 等腰三角形还具有哪些特殊的性质呢？ 推进新课 剪出一个等腰三角形，折一折，使△ABC 的两腰重合. A C B D 折痕为 AD. 说一说你观察到了什么？ △ADB 与△ADC 有什么关系 图中的线段有哪些数量关系和位置关系？ 图中的角有哪些数量关系？ 在等腰△ABC 中，已知 AB = AC，AD是△ABC的中线，则∠B = ∠C 吗？∠BAD =∠CAD 吗？AD是△ABC的高线吗？ 由于AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，则BD = CD. 在△ABD和△ACD中， AB = AC， BD = CD， AD = AD， 所以△ABD≌△ACD（边边边）． 因此∠B =∠C，∠BAD = ∠CAD， ∠ADB =∠ADC = 90°. 即AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线. A C B D 重合的线段 角的关系 　 AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠B =∠C ∠BAD =∠CAD ∠ADB =∠ADC = 90° A C B D 你能发现等腰三角形的性质？ 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是AD. 点D是底边的中点，AD是底边的中线. 等腰三角形两底角相等. AD是顶角的角平分线. AD是底边上的高线. 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”） 点D是底边的中点，AD是底边的中线. 等腰三角形两底角相等. AD是顶角的角平分线. AD是底边上的高线. 必须是在同一个三角形中 符合语言： 如图，在△ABC中， 若AB=AC，则∠B=∠C. 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 符合语言： 如图，在△ABC中，AB=AC. （1）若∠BAD=∠CAD，则AD⊥BC， BD=CD； （2）若AD⊥BC，则∠BAD=∠CAD，BD=CD； （3）若BD=CD，则AD⊥BC，∠BAD=∠CAD. 底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”） 对腰上的高、中线、底角平分线一般不成立. 如图，在△ABC中，AB = AC，D为AB的中点，点E在AC上，且 BE = BC = AE. （1）求证：ED⊥AB； （2）求△ABC各角的度数. 解 （1）因为BE=AE，D为AB的中点， 所以ED是等腰△EAB的边AB上的中线， 从而ED⊥AB（三线合一）. 例题 1 如图，在△ABC中，AB = AC，D为AB的中点，点E在AC上，且 BE = BC = AE. （1）求证：ED⊥AB； （2）求△ABC各角的度数. （2）因为AB = AC，BE = BC = AE， 所以∠ABC =∠C， ∠C =∠1， ∠A =∠2（等边对等角）. 于是∠1=∠A +∠2 = 2∠A， 从而∠ABC = ∠C =∠1 = 2∠A. 例题 1 如图，在△ABC中，AB = AC，D为AB的中点，点E在AC上，且 BE = BC = AE. （1）求证：ED⊥AB； （2）求△ABC各角的度数. 又∠A +∠ABC +∠C = 180°， 于是∠A + 2∠A + 2∠A = 180°， 从而∠A = 36°， 因此∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72°. 例题 1 试一试 1. 如图，在△ABC 中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若∠BAC= 50°，求∠ADE的度数. AB=AC D为BC的中点 AD平分∠BAC ∠BAC= 50° ∠DAE= 25° DE⊥AC ∠ADE的度数 三线合一 解: ∵ AB = AC，D为BC的中点， ∴ ∠BAD =∠CAD. ∵∠BAC = 50°，∴∠DAC = 25°. ∵ DE⊥AC，∴∠ADE = 90°－ 25°= 65°. 试一试 1. 如图，在△ABC 中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若∠BAC= 50°，求∠ADE的度数. 2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且BD=DC.求证：∠ABD=∠ACD. AB=AC BD=DC 等边对等角 ∠ABC =∠ACB ∠DBC =∠DCB 角的和差 ∠ABD=∠ACD 试一试 2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且BD=DC.求证：∠ABD=∠ACD. 证明: ∵ AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵ BD=CD，∴∠DBC=∠DCB. ∴ ∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB 即∠ABD=∠ACD. 试一试 如图所示的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上. （1）AD与BC是否垂直，试说明理由. （2）这时BC处于水平位置，为什么？ （1）AD⊥BC.理由：因为AB=AC，AD是底边BC的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质可知，AD也是底边BC的高，所以AD⊥BC. （2）因为重锤自然下垂，即AD处于竖直的位置，又AD⊥BC，所以BC处于水平位置. 1. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD为BC边上的高，∠BAC = 49°， BC = 4，求∠BAD的度数及DC的长. 解：因为AB=AC，AD⊥BC（已知） 又因为∠BAC=49°，BC=4（已知） 随堂演练 【课本P130 练习 第1题】 所以∠BAD = ×49°= 24.5°，DC = ×4 = 2. 所以∠ABC = ∠BAC，DC = BC（等腰三角形“三线合一”的性质） 2. 如图，在△ABC中，AB = AD = DC，∠BAD = 30°， 求∠B 和∠C 的度数. 【课本P130 练习 第2题】 解：∵AB = AD = DC， ∴∠B = ∠ADB，∠DAC =∠C（等边对等角）， 又∵∠BAD = 30° ∴∠BAD +∠B + ∠ADB = 180° 得 ∠B = ∠ADB = 75° 又∵∠ADB = ∠DAC +∠C = 75° ∴∠C = 37.5° 等腰三角形的性质 课堂小结 课后作业 从课后习题中选取 完成练习册本课时的习题 $