专题01 利用勾股定理求最短路径问题的四种模型（高效培优专项训练）数学湘教版2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01利用勾股定理求最短路径问题的四种模型 题型归纳 目录 题型一：圆柱中的最短路径模型 ..1 题型二：长方体中的最短路径模型 6 题型三：阶梯中的最短路径模型.12 题型四：将军饮马与最短路径模型.17 题型专练 题型一：圆柱中的最短路径模型 1.(25-26八年级上贵州贵阳·期中)如图，圆柱形玻璃杯，高为4cm,底面周长为6cm,在杯内的点A处 有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点B处，则蚂蚁到达蜂蜜A的最短距离为() A.4cm B.5cm C.9cm D.10cm 2.(25-26八年级上广东佛山期末)如图，圆柱底面周长为20，高为12，AB是底面圆的直径，点C是 B的中点.现有一只蚂蚁从点C爬到上顶点D,则蚂蚁所走的最短路径为() A.2√6i B.13 C.17 D.22 3.(25-26八年级上山东枣庄·月考)中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代 木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生，如图所示， 每根木柱有雕龙的部分的柱身高AC长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立 柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的C点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为一· 1/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上·陕西渭南期中)如图所示，己知圆柱的一个底面周长为36，高AB=5,点P在圆柱上 底面的圆周上，点B距点P在上底面圆周上的圃线长度为上底面圆周长的 ,AC为下底面圆的直径，小虫 在圆柱外侧面爬行，从点A处爬到点P处，然后再从点P处爬到点C处，则小虫爬行的最短路程为 B 5.(25-26八年级上·陕西宝鸡·期中)如图，圆柱的高为13cm,底面周长为10cm,在圆柱的下底面点A处 有一只蚂蚁，它想吃到离上底面1cm的点B处的食物，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？ B 6.(25-26八年级上·贵州贵阳·期中)如图，圆柱的高为14cm,底面圆周长为24cm,在圆柱下底面的点A处 有一只妈蚁，它想吃到与点A相对、离下底面9m的点C处（圆柱外表面）的食物. B (I)蚂蚁不能从下底面通过时，求妈蚁从点A爬到C点时的最短路径： (②)另一只蚂蚁在点B处，求蚂蚁从点B爬到C点时的最短路径， 题型二：长方体中的最短路径模型 1.(25-26八年级上陕西咸阳期中)如图，长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm,D是BC边的中点， 在长方体下底面的点A处有一只妈蚁，它想吃到上底面点D处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的 最短路程为() 2/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A.12cm B.14cm C.√221cm D.15cm 2.(25-26八年级上·山西运城期中)一座长方体建筑，其底面为正方形ABCD,现已知AB=30m, AA'=50m,欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点！处，则最短距离为() m. D B A.80 B.100 C.120 D.130 3.(25-26八年级上四川达州期中)如图，长方体盒子的体积是432立方厘米，它的长、宽、高的比是 1:1:2.若经过盒子4个侧面从A缠一条金线到A,则所需金线的最小长度是一 A 4.(25-26八年级上·四川成都·期中)如图，一只蚂蚊从底面为边长4.5cm的正方形，高是12cm的长方体纸 箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是cm. B 5.(25-26八年级上·安徽宿州月考)如图，长方体的长、宽、高分别为2,4,3，A,D为长方体的两个 顶点. D 3 3/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求点A到点D之间的距离； (②)若一只蚂蚁从长方体表面的点A爬到点D,求爬行的最短路程 6.(25-26八年级上广东清远·月考)如图，一个体积为27cm3的正方体容器内，外表面点A位置上有一只 蜘蛛，外表面点B上有一只蚊子. B (1)正方体的棱长为 cm: (②)如果蜘蛛想吃到蚊子，求蜘蛛至少要爬行多少厘米 (3)现有一支6cm长的竹签，这支竹签能全部放进正方体容器内部吗？请说明理由. 题型三：阶梯中的最短路径模型 1.(25-26七年级上全国·期中)如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：Cm),一 只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点B,其爬行的最短线路的长度是() B 40 20 50 A.100cm B.120cm C.130cm D.150cm 2.(23-24八年级下·河南洛阳·期中)如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm,15cm 和10cm,A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只妈蚁，想去B点吃可口的食物，则妈蚊沿台阶 爬行到B点的最短距离是() B A.25cm B.125cm C.100cm D.10cm 3.(24-25八年级下·全国月考)如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的 最短路程是」 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上四川达州月考)如图，A和B是一个三级台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想 到点B处去吃可口的食物.若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8,3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬 行的最短路程为 5.(25-26八年级上·福建漳州·期中)如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖ABCD为长方形， AD=8分米，AB=6分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点A爬过管道到达C,需要走 的最短路程 D B 6.(25-26八年级上北京·课后作业)【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级 台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点.老师让同学们探究： 如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到B点的最短路程是多少？ 20 图① 图② 图③ 图④ 【探究】 (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15 的长方形，连结AB,经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点B的最短路程AB的长为 【应用】 (2)如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从点A出发沿着玻 璃杯的侧面到点B,求妈蚁爬行的最短距离. 【拓展】 (3)如图④，圆柱形玻璃杯高9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时， 一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1c,且与峰蜜相对的点B处，则妈蚁外壁B处到内壁A处所爬行的最短 路程是 cm.(杯壁厚度不计) 题型四：将军饮马与最短路径模型 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26八年级上·湖北襄阳月考)如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周 长为16cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm的点A处，则蚂蚊吃到饭粒需爬行的最短路径是() 蚂蚁A B A.20cm B.208cm C.10cm D.√292cm 2.(25-26八年级上·安徽宿州期中)如图，一圆柱形玻璃杯的高为7cm,底面周长为16cm(玻璃杯壁厚不 计)，在玻璃杯内壁离杯底2.5cm的点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿1.5cm与 蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁吃到峰蜜的最短路程为() B A.10cm B.11cm C.5v2cm D.4v3cm 3.(24-25八年级上·贵州贵阳·月考)现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为8cm ,高为10cm,在杯子内壁离容器底部2.5cm的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子 外壁，离容器上沿2.5cm的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 cm】 4.(25-26八年级上·广东深圳·期中)如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm,底面周长为16cm,在杯内壁离 杯底4cm的点B处有一滴峰蜜，此时，一只妈蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm且与峰蜜相对的点A处， 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm,(杯壁厚度不计) 5.(25-26八年级上江苏扬州·期中)如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD, 连接AC、EC,已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)则AC的长为 (用含x的代数式表示)，CE的长为 (用含x的代数式表示)： (2)当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值； (3)根据(2)中的规律和结论，则代数式V2+4+V12-x)2+9的最小值为 (④)仿照上面的方法，则代数式V4-x)2+9-V2+4(x是任意实数)的最大值为 6.(25-26八年级上·福建福州期中)在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题 牧民饮马和造 桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型 解决最短路径问题. 【理解模型】 小路， ·B A D B 小路 图1 图2 图3 图4 图5 (1)如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边1饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使 所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线1的对称点B,连接AB',与直线1交于点C,此时牧民到河边C处饮马，所走的 路程最短。 证明：如图3，在直线1上另取任一点C,连接AC',BC',B'C',根据轴对称性质，得CB=CB',CB= ①， .AC+CB=AC+CB'=AB',AC'+C'B=AC'+C'B', :AB'<AC'+CB'(②) ∴AC+CB<AC'+CB,即AC+CB最短路径. 【应用模型】 (2)如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，☑，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A,现计划在区 域内修建三条步道，连通古迹A,小路4，马，步道与小路，马的连接点分别为C,D,那么点C,D的位 置应建在何处，才能使所建的步道总长度(AC+CD+AD)最短？请在图4中画出C,D两点与所建步道的 7/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 最短路线。 (要求：保留画图痕迹，写出结论) 【迁移延伸】 (3)如图5，某景区内有一块三角形ABC草坪，∠C=90°，LA=60°，AC=50m,BC=50V3m,点D 为边AB的中点，小明从A点出发，先到边BC上某一点E,再到D点，最后回到A点，如何确定BC上点 E的位置，才能使所走的路径AE+ED+DA)最短？并求出最短路径的长 8/8 专题01 利用勾股定理求最短路径问题的四种模型 目录 题型一：圆柱中的最短路径模型 1 题型二：长方体中的最短路径模型 6 题型三：阶梯中的最短路径模型 12 题型四：将军饮马与最短路径模型 17 题型一：圆柱中的最短路径模型 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将玻璃杯侧面展开，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将玻璃杯侧面展开如图所示： 由题意可得：，，， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点C是的中点．现有一只蚂蚁从点C爬到上顶点D，则蚂蚁所走的最短路径为（ ） A．2 B．13 C．17 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题． 画出展开图，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵圆柱底面周长为20，高为12， ∴，， 根据勾股定理可得． 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 【答案】5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：5米． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，化曲面为平面，正确画出图形是解题关键﹒根据题意画出图形，得到，，先求出，，根据勾股定理即可求出小虫爬行的最短路程为﹒ 【详解】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 5．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面的点处的食物，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最短距离为线段，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解:将题中的圆柱沿着点所在的母线剪开，其展开图为一个矩形，如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段， 由题可知为直角三角形，，， ， 在中， ， ， 故蚂蚁需爬行的最短距离为． 6．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立体图形的平面展开图与最短路径问题，勾股定理，根据题意正确展开立体图形是解题关键． （1）圆柱的侧面展开图是矩形，用勾股定理计算即可； （2）题干没有规定不能从底面通过，因此可以有两种路径，分别按不同的方式展开，计算出结果后比较大小，得到答案． 【详解】（1）解：（1）将圆柱的侧面展开，如图所示： 连接AC，AC即为蚂蚁爬行的最短路程． ∵，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁爬行的最短路径是． （2）解：路径一：连接，即为蚂蚁爬行的一条路径． 如图所示： ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁沿此路径爬行的路程是． 路径二：把圆柱按如图方式展开， 此时，蚂蚁由到点所爬行的距离为， ∵是圆柱上底面圆直径，底面圆周长为， ∴， ∴， 此时，蚂蚁沿此路径爬行的路程是， 比较两条路径的大小： ， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 综上所述，选择路径二，蚂蚁爬行的最短路径是． 题型二：长方体中的最短路径模型 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示： 则， ∴ 当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示： ∴, ∵ ∴ 即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为， 故选：C 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（   ）m． A．80 B．100 C．120 D．130 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，几何体的展开图认识，将长方体展开得出，，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，正确将长方体展开是解此题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开： ∵底面是正方形，，， ∴，， ∴， ∴从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，行走的最短距离相当于直角三角形的斜边的长， ∵， ∴最短距离为， 故选：D． 3．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是．若经过盒子4个侧面从A缠一条金线到，则所需金线的最小长度是 ． 【答案】厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用，长方体的体积以及侧面展开图． 根据长方体体积的计算方法求出长方体的长、宽、高，再将4个侧面展开后由勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设这个长方体的长为，则宽为，高为，由题意得，， 解得， 即长方体的长为，宽为，高为， 将图2的四个侧面展开后如图所示， 此时， 所需金线的最小长度为（厘米）． 故答案为：厘米． 4．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图-最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图1所示展开时： 此时； 如图2所示展开时： 此时， 它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 6．（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，一个体积为的正方体容器内，外表面点A位置上有一只蜘蛛，外表面点B上有一只蚊子． (1)正方体的棱长为_____； (2)如果蜘蛛想吃到蚊子，求蜘蛛至少要爬行多少厘米． (3)现有一支长的竹签，这支竹签能全部放进正方体容器内部吗？请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)一支长的竹签不能全部放进正方体容器内部，理由见解析 【分析】本题主要考查了一个数的立方根，勾股定理等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据正方体体积计算公式求解即可； （2）将正方体沿着其一条棱所在的直线展开，根据两点之间线段最短，再结合勾股定理求解即可； （3）根据题意找到能放进正方体内的竹签的最长的长度的情形，运用两次勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该正方体的棱长为； 故答案为：3 （2）解：如图所示，将正方体沿着其一条棱所在的直线展开， 由两点之间线段最短可得，线段为蜘蛛爬行的最短路线． 在中，，， ∴， ∴蜘蛛爬行的最短路径为； （3）解：一支长的竹签不能全部放进正方体容器内部，理由如下： 如图所示，在中， ，， ∴ 在中，，， ∴ ∴能放进正方体内的竹签的最大长度为， ∵， ∴， ∴一支长的竹签不能全部放进正方体容器内部． 题型三：阶梯中的最短路径模型 1．（25-26七年级上·全国·期中）如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面展开的最短路径问题．先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将台阶展开成平面图形，根据两点之间，线段最短得到最短路线，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：将台阶展开成平面图形，如图所示， 在中，，， ， 即一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是． 故选：C． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 【详解】解：展开图为： 则，， 在中， ， ∴蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是. 故选：B． 3．（24-25八年级下·全国·月考）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理应用，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故答案为：15． 4．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程． 【答案】分米 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，管道底面展开得到的长方形的长等于管道底面周长，求出长方形的长和宽，根据勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：由题意可知，将管道底面展开得到的长方形的长，相当于是管道底面周长， 则长为（分米）；宽为8分米， 因此最短路径为（分米）， 答：需要走的最短路程为分米． 6．（25-26八年级上·北京·课后作业）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 题型四：将军饮马与最短路径模型 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交的延长线于D，    则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，， 在中，． 故选B． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，一圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆柱的最短路径问题，运用侧面展开与勾股定理思想，关键是将圆柱侧面展开为长方形，利用对称点转化为线段最短问题，易错点是展开后对应线段的长度计算错误； 思路是将圆柱侧面沿母线展开为长方形，作点关于展开图上边的对称点，连接对称点与，利用勾股定理计算这条线段的长度（即最短路程）． 【详解】 解：如图，将玻璃杯的侧面展开一半，作点关于直线的对称点，连接，则的长即为蚂蚁从玻璃杯外壁处到玻璃杯内壁处的最短路程．过点作交的延长线于点． 由题意，知（），（）． 在中，由勾股定理得（），所以蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为． 故选A． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·月考）现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将圆柱体水晶杯侧面展开，作A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图是圆柱体水晶杯侧面展开图的一半， 作A关于的对称点，连接，交于点F，连接，则，， 作交的延长线于点D，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴即为最短距离， ∵底面周长为， ∴， ∵高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，化为最简二次根式等知识点．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，    由题意可得：，，， ∴， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 6．（25-26八年级上·福建福州·期中）在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 【答案】（1）①，②两点之间，线段最短，（2）作图见解析，（3）作图见解析，最短路径的长为 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的三边关系，最短路径问题的转化思想及垂直平分线的性质． （1）因为点B与关于直线l对称，所以直线l是的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，；在中，根据三角形两边的和大于第三边，有，据此数学依据填空即可； （2）分别过点A作关于小路和小路的对称点，，连接，此时与小路和小路的交点分别为C和D，依次连接，和，此时点C，D即为所确定的点，步道总长度即为所建的最短路线； （3）画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短．根据三角形内角和定理求得的度数，再通过含特殊直角三角形的性质求得，根据已知条件推出，利用轴对称的性质推出，，利用“”证明得出，最后通过已知条件进而推出的长度即可． 【详解】解：（1）①在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得，. ②由可知，用到的数学依据为三角形两边的和大于第三边． 故答案为：，三角形两边的和大于第三边． （2）如图所示，点C，D即为所确定的点． ∴此时步道总长度即为所建的最短路线． （3）如图所示，画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短． ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∵点D为边的中点，即， ∴， ∵点A，关于的对称， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即最短路径的长为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $