专题03 角平分线的性质与判定6大题型（专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题03 角平分线的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、角平分线的性质（常考点） 1 题型二、角平分线的证明 9 题型三、角平分线的判定定理的理解 12 题型四、根据角平分线的判定定理求解 15 题型五、角平分线的性质与判定综合（重点） 21 题型六、与角平分线的性质与判定有关的多结论问题（难点） 35 B综合攻坚・能力跃升 题型一、角平分线的性质（常考点） 1．如图，在中，，平分，于E，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，据此得到的长，进而由可求出的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，平分，交于点，边上有一点，连接，则与的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并准确识图判断出、都不是点到、的距离是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到、的距离相等，、都不是点到、的距离，大小不确定． 【详解】解：∵平分， ∴点到、的距离相等， ∵不是点到的距离， 又∵点是上一点，也不是点到的距离， ∴、的大小不确定． 故选：D． 3．如图，在中，，的平分线交于点D，若，则的面积是（    ） A．30 B．15 C．20 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于点，根据勾股定理得出，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选： B． 4．如图，中，，用尺规作图法作出射线交于点D，，P为直线上一动点，则取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据垂线段最短确定何时取值最小，然后根据角平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：当时，取值最小， 根据尺规作图可知，平分，且， ∴此时，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知点O为的两条角平分线的交点，过点O作，垂足为D，且．若的面积是34，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据角平分线的性质得到点O到各边的距离为4，利用三角形面积公式得到，然后计算出即可． 【详解】解：作，，连接，垂足分别为、， ∵点O为的两条角平分线的交点，， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的周长为17， 故答案为：17． 6．如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点D到的距离为2， 故答案为：2． 7．如图，在中，，I为各内角平分线的交点，过点I作的垂线，垂足为H，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，能根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出是解题的关键． 作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得出，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，作于E，于F，连接， ∵I为各内角平分线的交点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：2 8．如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为． (1)与是否相等，请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键。 （1）根据角平分线的性质得到，则； （2）如图所示，连接，根据推出，再由的周长是40，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵O为，的平分线的交点，，，， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得， ∵， ∴ ， ∵的周长是40， ∴， ∴． 9．如图，在中，，平分交BC于D．若．求的面积． 【答案】15 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解． 【详解】解：过点作于，如图所示： 平分交于，， ， ， ． 10．如图，在中， (1)过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明） (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，熟知角平分线的性质及其尺规作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）过点D作于H，则，再根据列式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，过点D作于H， ∵平分，，， ∴， ∴ ． 题型二、角平分线的证明 11．如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 证明，可得，再由角平分线的判定定理即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 12．如图，在中，，，，垂足分别为、，且．试说明平分．    【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质．证明，得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 即平分． 13．如图，，垂足分别为，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案. 【详解】证明：， ． 在和中， ， ． ， ∴平分． 14．证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，结合于点C，于点D，得出，再证明，即可作答． 【详解】证明：∵于点C，于点D， ∴ 在和中， ． 15．如图，C是内一点，于点A，于点B，连接AB，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的判定定理，等腰三角形等角对等边．掌握在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题关键．根据“等角对等边”得出，再结合角平分线的判定定理即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点A，于点B， ∴C在的角平分线上， ∴平分． 题型三、角平分线的判定定理的理解 16．如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，且某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，即可作答． 【详解】解：设便民服务站所在的位置是点， 点到、的距离相等， 点在的平分线上， 同理，点也在、的平分线上， 点是三个角的平分线的交点， 这个便民服务站应该修在三个角的平分线的交点， 故选：B． 17．在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据“角内一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上”判断即可． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴，，均为的角平分线， 故选：B． 18．下列说法错误的是（    ） A．到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 在角的内部,到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上，故选项错误，符合题意； B. 角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确，不符合题意； C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，故选项正确，不符合题意； D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故选项正确，不符合题意； 故选：A 19．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（   ） A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．角平分线的定义 D．角平分线是对称轴 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的判定．根据角平分线的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：点P到的两边距离相等， ∴点P在的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）， 即平分． 故选：A 20．如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（   ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．是的平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角两边相等的点在角的角平分线上，进行判断即可． 【详解】解：∵点到，的距离相等， ∴点在的平分线上，在的平分线上，在角平分线上， ∴是的平分线的交点； 故选D． 21．已知，将两个完全一样的三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且另一组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A．的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中线上 D．AB边的中线上 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据角平分线的判定定理“在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上”可推出在的平分线上，即可得到答案． 【详解】解：如图， ， 点在的平分线上． 故选：A 题型四、根据角平分线的判定定理求解 22．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽，进而得到平分，得到，即可． 【详解】解：由图和题意，得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽， ∴平分， ∴； 故选：B． 23．如图，为内部的一点，连接，过点分别作于点，于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理等知识点． 根据题意得到平分，，进而求解即可． 【详解】∵，，且，， ∴平分，， ∴． 故选：C． 24．如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、．已知，，且．则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，根据角平分线的判定定理得到点P在的平分线上，根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理求出，设、、分别为x、、，利用求出，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用代数求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得 ， 设、、分别为x、、， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，角平分线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25．如下图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”这样说的依据是 ． 【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【分析】根据角的内部到角两边的距离相等的点在这个角平分线上，可得平分． 【详解】 解：如图，过点P作，，垂足分别为和， 两把完全相同的长方形直尺宽度相同， ， 平分． 故答案为：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，熟知角平分线的性质是解题的关键． 26．如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)10 【分析】本题考查的是角平分线的性质及判定、含30度角的直角三角形的性质． （1）过点P作于D，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论； （2）先证明平分，求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出结论． 【详解】（1）解：过点P作于D，如图所示． ∵和的角平分线相交于点P，且，， ∴，， ∴． （2）解：∵，，， ∴平分． ∵， ∴． ∵， ∴． 27．在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是角平分线的判定、直角三角形的性质，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理求出，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 在中，，， ∴． 28．如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，中垂线的性质以及角平分线的判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先根据中垂线的性质得到，可证，从而得到，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上即可证明； （2）易证，得到，再根据线段之间的关系即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ，为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）解：在和中， ， ， ， ，，， ， 即， 解得． 题型五、角平分线的性质与判定综合（重点） 29．如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及角平分线的判定， （1）设交于点G，先证明，进而得出，即可证明结论； （2）作于P，于Q，由全等得出，即可证明结论； 【详解】（1）解：结论：，理由如下：         如图，设交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，                                 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，作于P，于Q， ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∵于P，于Q， ∴平分． 30．课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质定理： （1）过点G作，垂足分别为H，M，N，根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）过点P作，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得，再由角平分线的判定定理可得平分，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 过点G作，垂足分别为H，M，N， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即点G到三边的距离相等； （2）解：如图，过点P作，垂足分别为点E，F， ∵分别是的一个内角及一个外角的平分线，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点作于， 于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质． （1）证明，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：于，于， ， 即和均为直角三角形， ，， ， ， 又，， 平分； （2）解：，， 且，， ， ， 又，， ， 32．如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再根据角平分线的判定定理，得出答案即可； （2）先判定，得出，再根据，求得的面积为，进而得到的长． 【详解】（1）证明：过点作于，如图所示： ∵与中，， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∵， ∴点A在的角平分线上， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形面积的计算，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 33．在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在线段上，其余条件不变，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，，再利用证明，可得到，则； （2）过点C作于H，于K，证明，得到，则可证明平分，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，点是射线上一点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点C作于H，于K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． 34．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，，垂足分别为E，F，相交于点D，得，，而，即可根据“”证明； （2）由（1）知，得，由可得出平分． （3）由，，求得，由平分，可得． 【详解】（1）证明：∵，，垂足分别为E，F，相交于点D， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴， 又 ∴平分． （3）解：∵， ∴， 由（2）知，平分． ∴， ∴的度数是． 35．在中，，，点是射线上一点，连接，过点B作于点F直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段上时，求证：平分： (3)如图3，在（2）的条件下，若，的面积为16，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意易得，然后根据直角三角形的性质可得，进而可证，最后问题可求证； （2）过点C分别作于点H，于点K，根据题意易证，则有．然后根据角平分线的判定定理可求证； （3）过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M．同（1）（2）问，，由题意易证，则有，然后根据等积法可进行求解． 【详解】（1）证明：如图1， ∵点D是射线上一点，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，， 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图2，过点C分别作于点H，于点K， ∴． 同（1），． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴点C在的平分线上， 即平分． （3）解：如图3，过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M． 同（1）（2）问，． ∵D是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 36．人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】本题考查了图形折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等）、角平分线的性质与判定、直角三角形的面积公式及面积法的应用，解题的关键是利用折叠性质转化线段与角的关系，借助角平分线性质构造相等的距离，结合面积法建立等式求解． （1）①根据折叠性质得，推出、；将的面积拆分为与的面积和，代入面积公式后，利用整体代入计算，即． ②过点作的垂线，利用折叠性质（）得垂线，再由平分得垂线，从而推出；根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角平分线上），证明平分． （2）过点作的垂线，结合（1）②的结论及折叠性质（），得；将的面积拆分为、、的面积和，代入面积公式建立等式，代入数值求解． 【详解】（1）①由题可知， ， ∴ ． ②如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点F，S，M， 由题可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点G，N，连接， 由题可知，， ∴，由②可知， ∴， ∵， ∴ ， 即 ， 解得 ． 题型六、与角平分线的性质与判定有关的多结论问题（难点） 37．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键． 根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断②正确；作于，于，则，根据证明，得出，根据角平分线的判定定理得出平分，即可判断④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴，， 由三角形的外角性质得：， ∴，②正确； 作于，于，如图 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，平分， 假设， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选D． 38．如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法；根据证明，即可判断①；根据，，且，得出平分，即可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据，即可等量代换得到，结合即可判断③；通过证明，得出，则，即可得出，即可判断④． 【详解】解： ， 在和中， ， ， ，故正确； 且， 平分，故正确； ∵， ， 又， ， 而， 结论错误； 在和中， ， ， ， ， ， 即，故正确； 综上所述，正确的有①②④． 故选：B． 39．如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，根据题意先判定是的角平分线；进而证明，得出②④正确，根据三角形的外角的性质得出可得是等边三角形进而判断③． 【详解】解：是等边三角形，，，且， 在的平分线上，故①正确； 由①可知，， ， ，故④正确， ， ，故②正确； ， ，， ，故③正确； 故答案为：①②③④． 40．如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，⑤平分，其中结论正确的有 ．（写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确；没有理由能判断平分． 【详解】解：①∵， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ②如图1，设与交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， ，结论②正确； ③假设， ， ∴， ∴， ∵， ∴，根据已知条件无法得出这个结论， 即假设不成立，结论③错误； ④如图2，过点作于点，于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，，且点在的内部， ∴平分，结论④正确； 没有理由能判断平分，结论⑤错误． 综上，结论正确的有①②④， 故答案为：①②④． 41．如图，C为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有 ．（选填序号） 【答案】①②③⑤⑥ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、角平分线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．由等边三角形的性质可得，，，从而可根据得到，结合全等三角形的性质可判断①的正误；由可得，结合、可得到，结合全等三角形的性质可判断③的正误；由全等三角形的性质可得到，结合可知为等边三角形，因此，结合平行线的判定可判断②的正误；④没有条件证出，得出④错误；⑤，⑤正确；即可得出结论． 根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出，根据角平分线的判定定理可判断⑥其正误；根据题意无法证明与全等，据此可判断⑦的正误． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，结论①正确． ， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，结论③正确； 又， 为等边三角形， ， ，结论②正确． ， ， ， 结论⑤正确． 没有条件证出，④错误； 过点作于，于， ， ，， ， ， 平分， 故⑥正确，符合题意； ，，， 不能说明与全等， ， 故⑦错误，不符合题意 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤⑥． 故答案为：①②③⑤⑥． 42．如图，的内角与外角的平分线相交于点，为的延长线上一点，，交于点，交于点，连结、．给出下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】结合角平分线定义和三角形外角性质可证①正确；由角平分线的性质得，再由角平分线判定可知平分，则可证，②不正确；由三线合一定理可证③正确；由及平分可证④正确． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， 即，， ，故①正确； 如答图，过点作于点，于点，于点， 平分，平分， ， 平分， ，故②不正确； ，平分， 垂直平分，故③正确； ， ， 平分， ， ，故④正确． 综上，正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线定义、外角性质、角平分线的判定与性质、三线合一定理、平行线性质，解题关键是熟练掌握角平分线的判定与性质． 1．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 2．（2025·江苏·三模）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是对称轴 【答案】A 【分析】根据在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，由此即可得到答案． 本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线性质定理的逆定理． 【详解】解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 故选： 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D． 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 4．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键． 由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出符合题意；利用全等三角形的对应边相等即可得到，符合题意；利用全等三角形的对应角相等得到，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出符合题意；运用全等三角形的判定与性质，角平分线的判定得出符合题意，运用外角性质以及全等三角形的对应角相等进行分析，得出④不符合题意，即可得出结论． 【详解】解：和都为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故符合题意； ∵， ， 故符合题意； ∵， ， 又， ∴ ， 故符合题意， 作于P，于，如图所示； 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故符合题意； 则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 只有时，即，则， ∵， ∴， 分析题干，不一定相等，不一定相等， ∵，， 故不一定等于． 故不符合题意 故选：C． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 6．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，勾股定理的应用，根据角平分线性质得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出答案． 【详解】解：， ，， 是的角平分线，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 过点作，垂足分别为点，连接，根据角平分线的性质得出，利用直角三角形全等得出相等边，然后根据三角形的周长得出，最后利用作差法求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足分别为点，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的面积为， 五边形的面积为， ∴的面积为， 故答案为：6． 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，平分，交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握判定的方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质推出，进而求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，利用，即可证明； （2）由，可得，继而求得； （3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ； （3）证明：过点C作于M，于N， ， ，， 平分 10．（24-25八年级上·四川·期末）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接． (1)求证：； (2)求，的度数； (3)探索，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，见解析． 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明是解本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理求出，进而得到，作，全等三角形的性质，推出，得到平分，求出； （3）由全等三角形的性质可得，由“”可证，由全等三角形的性质得出，证明△是等边三角形，可得，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：△与△都是等边三角形， ，，， ， 在△与△中， ， ， ； （2）解： ， ， ， ∴； ∴， 作， ∵，， ∴， ∴平分， ， （3）解：， 证明：如图，在线段上截取，连接， ， ， 在△与△中， ， ， ，， ， △是等边三角形， ， ， ． 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点求证：． 请写出完整的证明过程：．．． (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图，在中，，平分，于点，点在上，，若，，则的长为_________． (3)【拓展】如图，在中，平分交于点，于点，若，，，，则的面积______． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)9． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和角平分线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，通过（1）中证明角平分线的性质定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由此证明，即可证明； （2）同（1）法可得：，得到，，再证明，得到，根据线段之间的关系推出，即：，则； （3）过点作，交于点，由角平分线的定义和性质得到，，再证明，得到，据此利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， ，， ， 又， ， ； （2）解：， ， 平分，， 同（1）法可得：， ，， ∵， ， 又，， ， ， ，， ，即：， ； 故答案为：； （3）过点作，交于点， 平分交于点，， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：． 12．（2025·吉林·模拟预测）【教材回顾】 证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图1，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， _______， 同理_______． _______， 点P在的平分线上． 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O． 求证：①点O在的平分线上： ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．    【答案】（1）；；；（2）①见解析；②见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的性质定理，等量代换，角平分线的判定定理解答即可． （2）①过点O作，，，，垂足分别为点E，点F，点G，点H，根据角的平分线性质定理和判定定理解答即可． 根据角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质解答即可； （3）根据前面的证明解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， ， 同理． ， 点P在的平分线上， 故答案为：；；． （2）解：①过点O作，，， 垂足分别为点E，点F，点G，点H，    ∵，，的平分线相交于点O． ∴，，， ∴， ∴点O在的平分线上， 故四边形四个内角的角平分线交于一点． 证明：根据前面的证明，得， ∵， ∴， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∴． 故四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． （3）解：根据四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． 故即可． 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 角平分线的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、角平分线的性质（常考点） 1 题型二、角平分线的证明 3 题型三、角平分线的判定定理的理解 4 题型四、根据角平分线的判定定理求解 6 题型五、角平分线的性质与判定综合（重点） 8 题型六、与角平分线的性质与判定有关的多结论问题（难点） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、角平分线的性质（常考点） 1．如图，在中，，平分，于E，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，平分，交于点，边上有一点，连接，则与的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 3．如图，在中，，的平分线交于点D，若，则的面积是（    ） A．30 B．15 C．20 D．2 4．如图，中，，用尺规作图法作出射线交于点D，，P为直线上一动点，则取值范围是 ． 5．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知点O为的两条角平分线的交点，过点O作，垂足为D，且．若的面积是34，则的周长为 ． 6．如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为 ． 7．如图，在中，，I为各内角平分线的交点，过点I作的垂线，垂足为H，若，则的长为 ． 8．如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为． (1)与是否相等，请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 9．如图，在中，，平分交BC于D．若．求的面积． 10．如图，在中， (1)过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明） (2)若，求的面积． 题型二、角平分线的证明 11．如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 12．如图，在中，，，，垂足分别为、，且．试说明平分．    13．如图，，垂足分别为，．求证：平分． 14．证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 15．如图，C是内一点，于点A，于点B，连接AB，．求证：平分． 题型三、角平分线的判定定理的理解 16．如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 17．在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 18．下列说法错误的是（    ） A．到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 19．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（   ） A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．角平分线的定义 D．角平分线是对称轴 20．如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（   ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．是的平分线的交点 21．已知，将两个完全一样的三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且另一组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A．的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中线上 D．AB边的中线上 题型四、根据角平分线的判定定理求解 22．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，为内部的一点，连接，过点分别作于点，于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、．已知，，且．则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C． D． 25．如下图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”这样说的依据是 ． 26．如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，连接，求的长． 27．在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 28．如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 题型五、角平分线的性质与判定综合（重点） 29．如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 30．课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 31．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点作于， 于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 32．如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 33．在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在线段上，其余条件不变，求证：． 34．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求的度数． 35．在中，，，点是射线上一点，连接，过点B作于点F直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段上时，求证：平分： (3)如图3，在（2）的条件下，若，的面积为16，求的长． 36．人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 题型六、与角平分线的性质与判定有关的多结论问题（难点） 37．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 38．如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 39．如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 ．（填序号） 40．如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，⑤平分，其中结论正确的有 ．（写序号） 41．如图，C为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有 ．（选填序号） 42．如图，的内角与外角的平分线相交于点，为的延长线上一点，，交于点，交于点，连结、．给出下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的是 ．（填序号） 1．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2025·江苏·三模）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是对称轴 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 6．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为点．若，则 ． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，平分，交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 10．（24-25八年级上·四川·期末）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接． (1)求证：； (2)求，的度数； (3)探索，，之间的数量关系，并说明理由． 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点求证：． 请写出完整的证明过程：．．． (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图，在中，，平分，于点，点在上，，若，，则的长为_________． (3)【拓展】如图，在中，平分交于点，于点，若，，，，则的面积______． 12．（2025·吉林·模拟预测）【教材回顾】 证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图1，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， _______， 同理_______． _______， 点P在的平分线上． 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O． 求证：①点O在的平分线上： ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．    1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $