专题02 角的和与差及角平分线的五类综合题型（高效培优专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题02 角的和与差及角平分线问题的五类综合题型 目录 题型一：角的和与差的计算问题 1 题型二：角中单条角平分线的计算问题 5 题型三：角中双角平分线的计算问题 9 题型四：角中多条角平分线的计算问题 14 题型五：与余角、补角有关的计算问题 19 题型一：角的和与差的计算问题 1．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西晋城·月考）如图，已知，在内部引一条射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·吉林四平·期末）有两块直角三角板按如图所示放置．已知：，，则 °． 4．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，点是直线上一点，，是的平分线，且，则 °． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，平分，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 6．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，．射线是射线的反向延长线． (1)求射线的方向角； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的度数． 题型二：角中单条角平分线的计算问题 1．（25-26七年级上·河北保定·月考）如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点在直线上，射线平分．若，则的度数为 ． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 5．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：，． ① ， ② ． 点A，O，B在一条直线上， ③ ④ ． 平分， ⑤ ⑥ ． ⑦ ＝ ⑧ ． 6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 题型三：角中双角平分线的计算问题 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·月考）如图，是内的一条射线，、分别平分、，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·甘肃白银·月考）如图，点O在直线上，与互补，且，，分别为，的平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 4．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号） ． 5．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 6．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）如图，是内三条射线，平分，平分． (1)已知，，求的度数； (2)若与互余，求的度数． 题型四：角中多条角平分线的计算问题 1．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，则是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的有（） A．与互余 B． C．与互补 D． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，点A、C、B三点共线，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是内部的一条射线，分别平分，平分．下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号 ． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是 ，的大小是 ； ②直接写出的值． (2)再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 题型五：与余角、补角有关的计算问题 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）一个角的余角是，则这个角的补角是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）若的余角为，的补角为，，则有（ ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）一个角的余角是它补角的，则这个角的补角度数是 ． 4．（2025七年级上·浙江金华·专题练习）如图，O为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，．求的度数． 5．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，与互为补角，与互为余角，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 6．（25-26七年级上·浙江·期末）【概念学习】若的度数为的度数的倍，则规定是的倍角． 【初步探究】 （1）若，则的5倍角的度数为________； （2）如图①，是的平分线，是的平分线，若，请直接写出图中的所有3倍角； 【深入思考】 （3）如图②，若是的5倍角，是的3倍角，且和互为补角，求的度数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 角的和与差及角平分线问题的五类综合题型 目录 题型一：角的和与差的计算问题 1 题型二：角中单条角平分线的计算问题 5 题型三：角中双角平分线的计算问题 9 题型四：角中多条角平分线的计算问题 14 题型五：与余角、补角有关的计算问题 19 题型一：角的和与差的计算问题 1．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角，三角板中角度的计算，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． 先求出的度数，再求出的度数即可． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26七年级上·山西晋城·月考）如图，已知，在内部引一条射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的和差，角的度数的加减，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据角的和差及角的度数的加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级上·吉林四平·期末）有两块直角三角板按如图所示放置．已知：，，则 °． 【答案】54 【分析】本题考查了直角三角板中的角度计算，能够得到角度之间的关系是解题关键； 先通过算出，然后再通过即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 4．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，点是直线上一点，，是的平分线，且，则 °． 【答案】 【分析】本题考查余角，补角，角平分线的定义，解一元一次方程，解题的关键是灵活运用余角，补角，角平分线的定义，根据，设，则，求得，利用列方程，即可求解． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，平分，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，邻补角的含义，结合图形求解是解本题的关键． （1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据题意得出，确定，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：平分，且，， ． （2）解：， ， 又， ， ． 6．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，．射线是射线的反向延长线． (1)求射线的方向角； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)北偏东； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了方向角的计算、角的和差关系、角平分线的性质，熟练掌握方向角的定义及角的运算规则是解题的关键． （1）先算出的度数，结合，再确定相对于北的方向角． （2）先确定与成平角，再结合的度数求． （3）利用角平分线的性质求出，再结合的度数求． 【详解】（1）解：∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西， ∴， ∵， ∴， ∵射线的方向是北偏东， ∴射线的方向是北偏东即北偏东； （2）解：∵是的反向延长线， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 题型二：角中单条角平分线的计算问题 1．（25-26七年级上·河北保定·月考）如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的相关计算，角平分线定义，先根据，求出，根据角平分线定义得出，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的和差计算与角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质及角的和差关系是解题的关键． 先求出的度数，再利用角平分线的定义得到的度数，最后通过角的差计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ OD平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点在直线上，射线平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平角的性质和角平分线的定义，熟练掌握“平角为”及“角平分线将角分成两个相等的角”是解题的关键． 先利用平角的性质求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键． 由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：，． ① ， ② ． 点A，O，B在一条直线上， ③ ④ ． 平分， ⑤ ⑥ ． ⑦ ＝ ⑧ ． 【答案】，，，，，，， 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差关系，正确识图是解题的关键． 根据图形中角的和差关系和角平分线的定义，计算即可求解． 【详解】解：，． ， ， 点A，O，B在一条直线上， ， 平分， ， ． 故答案为：，，，，，，，． 6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平分线的性质． （1）根据余角性质得出，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线在直线的上方， ∴， ∴． 题型三：角中双角平分线的计算问题 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·月考）如图，是内的一条射线，、分别平分、，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，根据角平分线定义得出，求出，代入求出即可． 【详解】解：∵、分别平分、，，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级上·甘肃白银·月考）如图，点O在直线上，与互补，且，，分别为，的平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义、补角的定义、一元一次方程的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，利用角的和差得出，进而得到，再根据补角的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，分别为，的平分线， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意，由是直角，结合，可求得，再根据角平分线的意义得出，，再根据求解． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 4．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线以及角的比较和运算： ①根据判断； ②结合和判断； ③结合和判断； ④根据判断． 【详解】∵，分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ①正确． ∵， ∴． 又∵， ∴． ②正确． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ③错误． ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴． ④正确． 故答案为：①②④ 5．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）先根据，，求出，再根据角平分线定义得出，，从而求出，最后求出结果即可； （2）先根据，，求出，再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴ ； （2）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 6．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）如图，是内三条射线，平分，平分． (1)已知，，求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，即可求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义及角的和差得出，再根据与互余，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， 即， ∵与互余， ∴， 即， ∴． 题型四：角中多条角平分线的计算问题 1．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质与平角、直角的角度计算，解题的关键是利用角平分线的定义，结合平角、直角的度数推导各角的关系． 先根据平角和角平分线的性质求出的度数，再结合直角和角平分线的性质求出的度数，最后将与相加得到的度数． 【详解】解∶在直线上 平分，平分 平分，平分 故选D． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的有（） A．与互余 B． C．与互补 D． 【答案】ABCD 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，余角、补角的定义逐个进行判断，最后得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：平分，平分，平分， ，，， ，， ，，， ， ∴与互余，故和符合题意， ，， ， 与互补，故符合题意， ， ∴， ，即，故符合题意， 故选：ABCD． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，点A、C、B三点共线，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，由角平分线的定义得出， ， ，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出与不互补. 【详解】解：∵平分，平分，平分， ∴， ， ， ∵，， ∴，，， ∴，即，故①②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴与不互补，故④错误． 故答案为：①②③ 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是内部的一条射线，分别平分，平分．下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是角平分线的定义，难度适中，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键． 根据角平分线的定义以及再根据角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵分别平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ，故④正确． 故答案为：①②③④ 5．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是 ，的大小是 ； ②直接写出的值． (2)再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】本题考查角度和差，与角平分线有关的角度计算； （1）①由，得到，，再结合，求出和，接着根据角平分线求出和，最后根据计算即可； ②把①中的角度代入计算即可． （2）设，表示出和，再根据角平分线求出和，根据求出，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，； ②． 即的值是． （2）证明：设， ∴，， ∵平分， ∴； 又∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴一般情形，如图1，（1）中②的结论仍然成立． 题型五：与余角、补角有关的计算问题 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）一个角的余角是，则这个角的补角是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角，根据余角的定义求出这个角的度数，再根据补角的定义求解． 【详解】解：设这个角为α， ∵ α的余角是， ∴， ∴ α的补角． 故选：B． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）若的余角为，的补角为，，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的单位与角度制，与余角、补角有关的计算．通过计算每个角的度数，并转换为度分秒形式，然后比较大小，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵的余角为， ∴， ∵的补角为， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：A． 3．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）一个角的余角是它补角的，则这个角的补角度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查余角与补角的定义，熟练掌握余角与补角的定义是解题的关键，设这个角为，根据余角与补角的关系列出方程，求解得到角的度数，从而得到此角的补角的度数． 【详解】解：设这个角为，则余角为，补角为． 根据题意得：． 解方程得：． ∴此角的补角为：． 故答案为：． 4．（2025七年级上·浙江金华·专题练习）如图，O为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，．求的度数． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等角的余角相等得出，即可得出结果； （2）先求出，从而可得，再由平角的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ∵O为直线上一点，且， ∴，． ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 5．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，与互为补角，与互为余角，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角补角相关的计算，角平分线的应用，几何图形中的角度计算，数形结合是解题的关键． （1）根据题意得出，根据，得出，即可求出的度数； （2）根据，得出，根据角平分线的定义得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：与互为余角， ． ， ， ， ； （2）解：与互为补角， ． ， ． 平分， ， ． 6．（25-26七年级上·浙江·期末）【概念学习】若的度数为的度数的倍，则规定是的倍角． 【初步探究】 （1）若，则的5倍角的度数为________； （2）如图①，是的平分线，是的平分线，若，请直接写出图中的所有3倍角； 【深入思考】 （3）如图②，若是的5倍角，是的3倍角，且和互为补角，求的度数． 【答案】（1）；（2）和；（3） 【分析】本题考查了角度的运算、与角平分线有关的计算、补角，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据5倍角的定义可得的5倍角的度数为，计算角度的运算即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据角的和差求解即可得； （3）先求出，，再设，则，，，然后根据角的和差建立方程，解方程可得的值，最后根据求解即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴的5倍角的度数为 ． 故答案为：． （2）∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴图中的所有3倍角是和． （3）∵是的5倍角，是的3倍角， ∴，， 设，则，， ∵和互为补角， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $