第07讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型（5知识点+9大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第07讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 知识点2：三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 知识点3：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 知识点4：三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 【题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型】 例1．如图，在中，，与是的两条角平分线，与交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义求出，进而得到，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵是的两条角平分线， ∴， ∴， ∴． 例2．如图1，点A、B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的角平分线，延长线交于点G． (1)若，则 ； 若，则 ； (2)若．请求出的度数；（用含n的代数式表示） (3)如图2，若，过C作直线与交F．若时，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用． （1）根据三角形的内角和求出的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到的度数； （2）根据（1）中的结论即可求出答案； （3）根据角平分线的性质，平行线的性质得到，利用外角的性质得到，由此得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是和的角平分线， ∴， 当， ， 当， ， 故答案为：，； （2）由（1）知， ∵， ∴， ∴； （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵时，， ∴． 变式1．的两条角平分线、相交于点 I． (1)如图1： ①若求 的度数； ②若直接写出 °(用含β的式子表示)； (2)如图2，连接， 平分，作分别交、于点D、E．你发现与一定相等的角有 ； 与一定相等的角有 ． 【答案】(1)①；② (2)，；， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． （1）①先求出，然后根据角平分线的定义求出，，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可； ②先求出，然后根据角平分线的定义求出，，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线定义得出，根据垂线定义得出，根据解析（1）得出，根据三角形外角性质得出，，得出；根据，，即可得出． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知，， 根据三角形外角的性质可知：， ， ∴； 根据解析（1）可知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 变式2．模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 【题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型】 例3．如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的相关计算，由角平分线的定义得到，，结合题意可求得的度数，根据外角性质即可得到结果． 【详解】解：如图， 的角平分线和的外角平分线交于点P， ，， ， ，， 是的外角， ， 故选：A． 例4．如图，在中，分别是与的角平分线，点D在的延长线上，则 ． 【答案】/18度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的性质及角平分线的定义，根据点D在的延长线上，得到，由角平分线的定义可得，根据三角形外角的性质即可求的度数． 【详解】解：点D在的延长线上， 是的一个外角， ， 分别是与的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 变式1．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可． （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可． 【详解】（1）解：如图2，是等边三角形，，， 平分，平分．，， ，； 如图3，是等腰三角形，，，， 平分，平分．，， ，；故答案为，，； （2）解：成立，如图1，在中，， 在中，，（1） 平分，平分，，， 又，，（2） 由（1）（2），，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键． 变式2．特例感知 （1）如图1，是的平分线，是外角的角平分线． ①若，则________； ②判断与的数量关系，并说明理由． 类比迁移 （2）如图2，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，，的平分线与的平分线交于点（为正整数）．设，则________． 拓展应用 （3）如图3，在中，是的外角，的三等分线与的三等分线交于点．若，，请直接写出的度数．（用含、的式子表示） 【答案】（1）①；；（2）；（3）或或或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理； （1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形的外角的性质可得，，进而得出； （2）根据三角形的外角性质可得，，根据角平分线的定义可得，，整理得到，同理可得，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出即可得答案． （3）分情况讨论，根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可； 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 当时， 故答案为：． ②， 理由如下， ∵平分， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ （2）是的外角，是的外角， ，， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， 同理可得， ， ， 同理：， ． 故答案为： （3）如图所示， ∵， ∴ ∵的三等分线与的三等分线交于点 ∴ ∴； ∵ ∴； ∵ ∴； ∵ ∴； 综上所述，或或或 【题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型】 例5．如图，点P是的外角和的角平分线的交点，若，则    【答案】/61度 【分析】根据三角形内角和公式可得，再根据角平分线定义可得，再运用三角形内角和定理即可解答； 【详解】， 又， ， ， 又分别是外角和的角平分线， ， ； 故答案为：． 例6．如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则 ．    【答案】/90度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】该题主要考查了角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是理解题意． 根据角平分线得出，根据三角形外角的性质即可得，再根据内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：．    变式1．如图，在中，分别是的平分线，分别是的角平分线． (1)若，则________， ________； (2)当变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)不变，见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，邻补角等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，邻补角是解题的关键． （1）由题意得，，则，，，，； （2）同理（1），，则，，，则，，由，作答即可． 【详解】（1）解：∵分别是的平分线，分别是的角平分线，∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：当变化时，的值不变，理由如下； 同理（1）， ，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当变化时，的值不变． 变式2．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识． （1）先求出，进而求出，即可求出； （2）先求出，进而求出，即可求出； （3）延长至点，利用外角平分线和内角平分线性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：，， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）解：如图③，延长至点， ，为的外角的角平分线， 是的外角的角平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， 即． 【题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型】 例7．如图，是的角平分线，是线段延长线上一点，于点，当时，的度数为 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可． 【详解】解：设，则， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 例8．在中，，，是的角平分线．    （1）如图1，若是的高，则的度数为 ． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ． 【答案】 /10度 /30度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出是解本题的关键． （1）首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线概念得到，然后由三角形外角的性质得到，进而求解即可； （2）首先由角平分线的概念得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴ ∴； （2）∵是的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：；． 变式1．在中，是边上的高． (1)如图1，若是边上的中线，，求的长． (2)如图2，若是的角平分线，时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的三线，三角形的面积公式，三角形的内角和定理： （1）三角形的面积求出的长，中线求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）三角形的内角和定理求出的度数，的度数，角平分线求出的度数，利用角的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 变式2．已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可知，然后由“直角三角形两锐角互余”可得，进而可得，即可获得答案；（2）结合（1）可得结论； （3）结合，易得，再证明，由“两直线平行，同位角相等”可得，即可获得答案； （4）证明，由“两直线平行，内错角相等”可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，的平分线，相交于点F，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，正确理解和应用“三角形的内角和等于”是解题的关键．由，求得，因为，的平分线，相交于点F，所以，，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：在中，， ∴， ，的平分线，相交于点F， ，， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，是的平分线，是的外角的平分线，是的外角的平分线，以下结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据等腰三角形的判定及角的关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，， ∵是的外角的平分线，， ∴， 由于题干并未给出，所以无法得到，也就无法得到； 故选D． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，在中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线性质、三角形外角定理和三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由题意得，，利用三角形外角定理得求得，即可求得答案． 【详解】解：，分别平分，， ，． ， ． ． ， ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽·月考）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 5．（25-26八年级上·湖北恩施·月考）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线和角平分线、三角形的内角和定理及外角的性质、同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高线、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键． ①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故①符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故②符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴．故③符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴．故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，等腰中，，三角形的内外角的角平分线交于点，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，角平分线的定义；根据题意得出三角形的外角性质得出，即可得出，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 三角形的内角的角平分线为， ， 平分外角， ， 在中，由三角形的外角性质，得， ， ， ； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，由，则，故有，再根据垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，作的平分线与的延长线交于点，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点，与交于点M，与交于点Q， 平分，平分，平分， ，，， ， ． ，， ，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，…，以此类推，则 （用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形外角性质与角平分线规律探究，涉及知识点：三角形外角定理、角平分线的角的数量关系．解题方法是先推导与的关系，再归纳出递推规律；解题关键是利用外角定理建立角的等式，易错点是规律归纳时指数的对应关系．解题思路：先求，再推导，归纳出． 【详解】解：，， ， ， 而， ， ∴， 以此类推得，；， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为 ． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ． 【答案】 80° 10° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的平分线定义解答即可． （2）根据三角形内角和定理，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵BO平分，CO平分， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是的两外角平分线的交点， ∴，， ∴ . ∵BO平分，CD平分外角， ∴，. ∵，， ∴ ， ∴. 三、解答题 11．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，． (1)求的度数； (2)若平分，是的高线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线、高，解题的关键是利用角平分线和高的定义； （1）利用三角形内角和定理及，建立等式求解； （2）利用角平分线和高的定义得出，，再由三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）在中，， ． ， ． ． （2）平分， ． 是的高线， ． ． 12．（2026七年级下·全国·专题练习）在中，已知． (1)如图（1），角平分线和相交于点M，求的度数． (2)如图（2），外角平分线和相交于点N，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，则，再根据角平分线的定义得，则，得，即可求解； （2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到． 【详解】（1）解：， ， ∵平分 平分， ， ， ， ， ， 当时，； （2）解：， ∵平分 平分， ， ， ∵， ， ∵， ， 即． 当时，． 13．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 14．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质和三角形外角的性质是解题的关键； （1）根据是边上的高，得，利用角平分线的性质求出 ，再利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）利用角平分线的性质表示出，然后利用高线的性质得出，再利用三角形内角和即可得出答案； （3）根据题意画出的平分线，与交于D点。画出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F，然后根据高线的性质及角平分线的性质和三角形外角的性质解答即可 【详解】解：（1）是边上的高线， ， 是的角平分线，， ， 又， ； （2）解为的角平分线， ， 是边上的高， ， ； （3）如图：作出的平分线，与交于D点．作出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F， 证明：在中，， ， 又平分， ， ． 又平分， ， ， ， ， ， ． 16．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）（1）在中，，图1，是两内角平分线的夹角；图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1，______；如图2，______；如图3，______； （2）如图4所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，，求的度数． 【答案】（1），，；（2）． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）如图1，由角平分线的定义得出，，再结合三角形的内角和定理得出计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分线的定义得出，，由邻补角结合三角形内角和定理求出，从而得到，再运用三角形内角和定理求解即可； （2）由题意得出，，，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再由三角形内角和定理得出，即可得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：（1）如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 如图2： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 如图3， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴． 故答案为：，，． （2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第07讲解题技巧专题：三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 8内容导航— 预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：浏 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 心知识点1：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1)两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 ∠P=90°+1∠4 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P;结论： 证明：∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P, ∠PBc-ABc,∠PcB-iAcB 1 1 ∠P=180°.（∠PBC+∠PCB)=1800.2(∠ABC+∠ACB)=180°.2(180°-∠A)=90°+2∠A。 2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB,两条角平分线相交于点P;结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：a职、CP平分∠AC、∠DB,片P8C=分AC,∠PCB=分<DC6 1 1 .∠P=180°.（∠PBC+∠PCB）=180°.2（∠ABC+∠DCB)=180°.2(360°.∠4.D)) (∠A+∠D)。即：2∠P=∠A+∠D 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,两条角平分线相交于点P;结论： 2∠P=∠A+∠B+∠E-180° ∠PCD=∠BCD∠PDC= 二∠CDE 证明：，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,∴. 1 1 .∠P=180°.（∠PCD+∠PDC)=180°.2（∠BCD+∠CDE)=180°.2(540°-∠A-∠D- ∠E)=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P-∠A+∠D+∠E-180°。 ☑知识点2：三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 D 图1 图2 1)一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P;结论： 证明：：Br、CP平分∠ABC、∠ACn,:∠PBc=∠ABC,∠PCD=)∠ACD 2 1 ∴.∠P=∠PCD-∠PBC2(∠ACD-∠ABC)=2∠A。 2)一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，∠A=a,∠ABC、∠ACD的平分线相交于点P,∠PBC,∠PCD的平分线相交于点B, ∠RBC,∠BCD的平分线相交于点…以此类推；结论：∠P的度数是2 ∠PBC= 1 证明：，BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD,. 2 ACD ∠ABC∠PCD=L 1 1 1 11 ∠R=∠PCD-∠PBC-2(∠4CD-∠ABC)-2∠A-20.月理：∠P,=2∠P2a ，∠Pn=2n ☑知识点3：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H /● h A E B ME 图1 图2 图3 1)两外角平分线的夹角模型 ∠0=90°-1 ∠A 条件：如图1，在△ABC中，BO,CO是△ABC的外角平分线；结论： 2 ∠OBC= 证明：BO、CO平分∠CBE、∠BCF,∴ ∠EBC∠OCB= 1 1 ∴.∠O=180°.（∠OBC+∠OCB)=180°.2（∠EBC+∠BCF)=180°.2（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A) 1 =180.2(180°+∠A)=90°+2∠A。 2)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D;结论：AD平分 ∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC, ,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角， ∴.DH=DM,DH=DN,.DM=DN,∴AD平分∠CAD。, ☑知识点4：三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 1)条件：如图1，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，结论： ∠DAE=∠C-∠B) 2)条件：如图2，F为△ABC的角平分线AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D,结论： ∠DFA=(C-∠B) B 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 D证明：：E平分∠B1C,:∠EC=<BAC ∠BAC=1s0-∠B-∠C,片2Ec-w-2B-∠g=0B4c ∠E4D=E4C-∠DA0=0-B-←c-(90-∠0∠C-∠A 2)证明：如图，过A作AG1BC于G,由(2)可知： ∠EAG=c-∠B) AG⊥BC,∠AGB=90°，FD⊥BC,.∠FDC=90°，∴∠AGD=∠FDC,FD∥AG, ∠AFD=∠E46,∠AFD-C-∠B) 02 练题型强知识 【题型1三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型】 例1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD与BE是△ABC的两条角平分线，AD与BE交于点O,求 ∠AOB的度数. C B 例2.如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO 的角平分线，BC延长线交OM于点G N B G M G M 图1 图2 (1)若∠MON=80°，则∠4CG=_°： 若∠MON=100°，则∠ACG=_°： (2)若∠ACG=n°.请求出∠MON的度数；（用含n的代数式表示） (3)如图2，若∠MON=70°，过C作直线与AB交F.若CF∥OA时，求∠BGO-∠ACF的度数. 变式1.△ABC的两条角平分线BI、CI相交于点I. 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1： ①若∠BAC=80°，求∠BIC的度数： ②若∠BAC=B,直接写出∠B1C=_(用含B的式子表示)： (2如图2，连接A,A平分∠BAC,作DE⊥A1分别交AB、AC于点D、E.你发现与∠B1C一定相等 的角有」 与∠DIB一定相等的角有」 变式2.模型认识：我们学过三角形的内角和等于180°，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两 部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动， 如图①，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， B 图① 图② 解决问题：（①）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，则∠BPC=:(直接写出答案) (2)若∠BAC=100°，求出∠BPC的度数： 拓展延伸：(3)如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，直接写出 ∠BPC与∠A+∠D的数量关系. 【题型2三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型】 例3.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P:若 ∠ACB=65°，则∠BPC的度数为() A A.25° B.50° C.65° D.70 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例4.如图，在△ABC中，∠A=36°，BE、CE分别是∠ABC与∠ACD的角平分线，点D在BC的延长线上， 则∠E=· 变式1.问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC,CD平分 ∠ACE.试探究∠D与∠A的数量关系. E B 图1 图1 图3 (I)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=: 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A=100°，其余条件不变，则∠D=:这两个图中，与∠A 度数的比是 一；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在(1)中获得的∠D与∠A的关系是 否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由 变式2.特例感知 (1)如图1，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC外角的角平分线. D C 图1 ①若∠A=50°，则∠P= ②判断∠P与∠A的数量关系，并说明理由. 类比迁移 (2)如图2，∠A,CD是△A,BC的外角，∠ABC的平分线与∠A,CD的平分线交于点A,∠ABC的平分线 与∠ACD的平分线交于点A,.,∠A-BC的平分线与∠AnCD的平分线交于点A,(n为正整数).设 ∠A=0,则∠An=· 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A2 D C 图2 拓展应用 (3)如图3，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三等分线与∠ACD的三等分线交于点P,若 ∠A=a,∠B=B(a>),请直接写出∠P的度数.（用含a、B的式子表示） C 图3 【题型3三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型】 例5.如图，点P是△ABC的外角∠CBE和∠BCF的角平分线的交点，若∠A=58°，则∠P=一 例6.如图，已知△ABC,∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC的外角角平分线与 ∠ACB的外角角平分线交于点E,则∠A-∠D+∠E=一· B 变式1.如图，在△ABC中，BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线，BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的 角平分线. 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)若∠A=30°，则∠BDC=」 _°，∠BPC= (2)当∠A变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由. 变式2.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. E B B M 0 2 图① 图② 图③ (1)若∠A=60°，则∠BPC的度数是_： (2)如图②，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点2，试探索∠Q,∠A之间的数量关系. (3)如图③，延长线段BP,QC交于点E,试探索∠E,∠A之间的数量关系 【题型4三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型】 例7.如图，OC是△ABC的角平分线，P是线段AB延长线上一点，P)⊥OC于点Q,当 ∠ABC-∠BAC=42°时，∠APQ的度数为 A O B 例8.在△ABC中，∠A=40°，∠C=60°，BD是△ABC的角平分线. 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B DE /H G 图1 图2 (1)如图1，若BE是△ABC的高，则∠DBE的度数为一· (2)如图2，若BF是△ABD的角平分线，G是BF延长线上一点，过点G作GH⊥AC于点H,则∠G的 度数为一 变式1.在△ABC中，AE是边BC上的高. B D E D E 图1 图2 (1)如图1，若AD是边BC上的中线，S△Bc=7.5cm2,AE=3cm,DE=0.8cm,求CE的长. (2如图2，若AD是△ABC的角平分线，∠C=66,∠B=38°时，求∠DAE的度数. 变式2.已知：在△ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC交BC于点E. E D EG DC B D ① ② ③ (1)如图①，AD1BC于点D,若∠C=60°，∠B=30°，求∠DAE的度数： (2)如图①，AD L BC于点D,若∠B=,∠C=B,求∠DAE的度数（用含C,B的式子表示）： (3)如图②，在△ABC中，AD L BC于点D,F是AE上的任意一点（不与点A,E重合），过点F作 FG⊥BC于点G,且∠B=30°，∠C=80°，请你运用(2)中的结论求出∠EFG的度数： 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)在(3)的条件下，若点F在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则∠EFG的度数会发生改变吗？ 说明理由. 03串知识识框架 知识点1：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 知识点2：三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 三角形中的倒角模型之双角 平分线和高线模型 知识点3：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 知识点4：三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26七年级上山东淄博·期中)如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点 F,∠A=60°，则∠BFC等于() E B A.100° B.110° C.120° D.150° 2.(25-26八年级上·河南周口·期中)如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,BD是∠ABC的平分线，AD 是△ABC的外角∠EAC的平分线，CD是△ABC的外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是（) 10/15