第14讲 一元一次不等式组的解法及应用（4知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第14讲 一元一次不等式组的解法及应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点2：解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点3：一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点4：一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【题型1 一元一次不等式组的定义】 例1．（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 求一元一次不等式组的解集】 例3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 例4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 变式1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解一元一次不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 变式2．（25-26九年级上·重庆·月考）解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得____________， 解不等式②得____________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 例5．（2025·甘肃武威·一模）不等式组的整数解 ． 例6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的最大整数解是 变式1．（24-25七年级下·河北保定·期末）求不等式组所有整数解的和 ． 变式2．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）解不等式组，并求出该不等式组的整数解． 【题型4 解一元一次不等式组中错解复原问题】 例7．（24-25八年级下·河南郑州·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ∴．第二步 由②，得，第三步 ∴．第四步 故原不等式组的解集为．第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程． 例8．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式：． 解：．……第一步 ．……第二步 ．……第三步 ．……第四步 ．……第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据_______进行变形的； ②第______步出现错误，这一步错误的原因是_______； 任务二：请写出该不等式的正确解集为_______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 变式1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 变式2．（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)第______步出现错误，错误的原因是______； (2)该不等式的正确解集为：______， 在下面的数轴上表示这个解集； (3)直接写出不等式组的解集． 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 例9．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 例10．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 变式1．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 变式2．（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【题型6 一元一次不等式组和方程组结合的问题】 例11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 例12．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 变式1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为 ． 变式2．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ． 【题型7 列一元一次不等式组】 例13．（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 例14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 【题型8 用一元一次不等式组解决实际问题】 例15．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）某市园林局计划采购A，B两种树苗绿化城市，已知采购300棵A种树苗和200棵B种树苗需要39000元，一棵A种树苗比一棵B种树苗贵30元． (1)求每棵A种树苗、B种树苗各多少元． (2)若该园林局计划采购这两种树苗共3000棵，且A种树苗的数量不少于B种树苗数量的一半，采购总费用不超过228000元，则共有几种方案？ (3)在（2）的条件下，采用哪种方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 例16．（24-25七年级下·云南普洱·期末）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 变式2．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）不等式组的整数解有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江台州·月考）若点在第四象限，则a的取值范围为 ． 7．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）三角形的三边分别是，，，则的取值范围 ． 8．（2025·湖南·模拟预测）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围为 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·重庆江北·月考）求不等式组：的所有整数解的和． 12．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 15．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 16．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 一元一次不等式组的解法及应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点2：解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点3：一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点4：一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【题型1 一元一次不等式组的定义】 例1．（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 例2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 【题型2 求一元一次不等式组的解集】 例3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集． 分别解两个不等式，然后找出它们的公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因此，不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示如下： 例4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 故此不等式组的解集在数轴上表示为： 变式1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解一元一次不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示出来. 分别解两不等式，得到不等式组的解集，进而在数轴上表示即可. 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为 在数轴上表示如图所示： 变式2．（25-26九年级上·重庆·月考）解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得____________， 解不等式②得____________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【答案】，，，3和4；图见解析 【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，准确的计算是解决本题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可． 【详解】解：① 解得； ② 解得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为3，4， 故答案为：，，，3和4． 不等式组的解集表示数轴如下， 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 例5．（2025·甘肃武威·一模）不等式组的整数解 ． 【答案】0，1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定，解题的关键是正确求解每个一元一次不等式的解集，再通过找两个解集的公共部分得到不等式组的解集，进而找出整数解． 先解第一个不等式，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；再解第二个不等式，同样通过移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；然后找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后在该解集中筛选出所有整数，得到不等式组的整数解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 则不等式组的解集为， 其中的整数为0、1． 故答案为：0，1． 例6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的最大整数解是 【答案】2 【分析】本题考查了求不等式组的整数解．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解”的原则求出其公共解集，最后求其最大整数解即可． 【详解】解：， 解得：， 解得：， 则不等式组的解集是：． 则最大整数解是2． 故答案为：2． 变式1．（24-25七年级下·河北保定·期末）求不等式组所有整数解的和 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查求不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．根据不等式的性质分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组解集，结合解集取整数，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴不等式组整数解是， ∴， 故答案为：6． 变式2．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）解不等式组，并求出该不等式组的整数解． 【答案】，整数解为，，0，1，2 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定，确定不等式组的解集是解题关键． 分步骤求解每个不等式，再确定公共解集，最后找出整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴该不等式的整数解为，，0，1，2． 答：，整数解为，，0，1，2． 【题型4 解一元一次不等式组中错解复原问题】 例7．（24-25八年级下·河南郑州·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ∴．第二步 由②，得，第三步 ∴．第四步 故原不等式组的解集为．第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，第一步，去括号时未知数x没有乘以2；第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变．正确过程见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误， 第一步，去括号时未知数x没有乘以2； 第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变． 正确过程如下：由①得， 所以， 所以， 由②得， 所以， 所以不等式组的解集为． 例8．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式：． 解：．……第一步 ．……第二步 ．……第三步 ．……第四步 ．……第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据_______进行变形的； ②第______步出现错误，这一步错误的原因是_______； 任务二：请写出该不等式的正确解集为_______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）①不等式的性质2，②五，不等式的两边都除以，不等号的方向没有改变；；解不等式移项时，注意变号；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集． （1）任务一：①②根据不等式的基本性质即可求解； 任务二：先去分母、去括号、移项，合并同类项，再系数化为即可求解； 任务三：解不等式去分母时，注意不要漏乘不含分母的项；移项时，注意变号；去括号时要注意，括号前若是负号，括号内各项要变号等． （2）先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：任务一：①不等式的性质2； ②五，不等式的两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：； 任务三：解不等式移项时，注意变号（答案不唯一）； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 将解集在数轴上表示出来如图所示． ． 变式1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解不等式①得， ， 解不等式②得，， ，     ，        ， 则不等式组的解集为， 数轴上表示为： 变式2．（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)第______步出现错误，错误的原因是______； (2)该不等式的正确解集为：______， 在下面的数轴上表示这个解集； (3)直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)五，不等式两边除以时，不等号的方向没改变 (2)，画图见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）根据不等式的性质判断求解即可； （2）根据不等式的性质可得解集，再画图即可； （3）先分别求解两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：∵第五步中，不等式两边都除以，不等式的方向没有改变， ∴第五步出现错误；错误原因是：不等式的方向没有改变； （2）解：该不等式的正确解集为； 在数轴上表示其解集如下： ； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：. 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 例9．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 例10．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，先解不等式组，得到解集，再根据有个整数解的条件，确定参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为 不等式组有4个整数解，且 整数解为，，，， ， 解得， 故答案为：． 变式1．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中的两个不等式，再根据解集为确定的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵数使关于的不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 【题型6 一元一次不等式组和方程组结合的问题】 例11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 例12．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键． 先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的结合，通过将两个方程相加，可以得到的表达式．利用题目给出的条件，建立关于的不等式，进而求解的取值范围． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加： ， 将方程两边同时除以4： ， ， ． 故答案为：． 【题型7 列一元一次不等式组】 例13．（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 例14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 【题型8 用一元一次不等式组解决实际问题】 例15．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）某市园林局计划采购A，B两种树苗绿化城市，已知采购300棵A种树苗和200棵B种树苗需要39000元，一棵A种树苗比一棵B种树苗贵30元． (1)求每棵A种树苗、B种树苗各多少元． (2)若该园林局计划采购这两种树苗共3000棵，且A种树苗的数量不少于B种树苗数量的一半，采购总费用不超过228000元，则共有几种方案？ (3)在（2）的条件下，采用哪种方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)A种树苗每棵90元，B种树苗每棵60元 (2)共有601种方案 (3)采用A种树苗1000棵、B种树苗2000棵的方案可使总费用最低，最低费用是210000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，解决最值问题． （1）设每棵A种树苗x元，每棵B种树苗y元，根据“采购300棵A种树苗和200棵B种树苗需要39000元，一棵A种树苗比一棵B种树苗贵30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购A种树苗m棵，则采购B种树苗棵，根据“A种树苗的数量不少于B种树苗数量的一半，采购总费用不超过228000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出采购方案的个数； （3）设采购的总费用为w元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每棵A种树苗x元，每棵B种树苗y元， 依题意，得：， 解得：． 答：每棵A种树苗90元，每棵B种树苗60元． （2）解：设采购A种树苗m棵，则采购B种树苗棵， 依题意，得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴（种）． 答：共有601种采购方案． （3）解：设采购的总费用为w元， 依题意，得：． ∵， ∴w的值随m值的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为210000． 答：当采购A种树苗1000棵、B种树苗2000棵时，总费用最低，最低费用为210000元． 例16．（24-25七年级下·云南普洱·期末）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元 (2)最多可以采购B种机器人20个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据题意列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴最大为20． 答：最多可以采购种机器人20个． 变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 变式2．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； B．该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确； C．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误． 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）不等式组的整数解有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的整数解，即可解答． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为，共 4 个． 故选：B． 3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及将不等式解集表示在数轴上，熟练掌握找一元一次不等式组的解集的规律是解题的关键． 先分别求出不等式的解集，再利用找一元一次不等式组的解集的规律求解，最后把解集表示在数轴上，即可解题． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：D． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的方法，以及根据整数解的个数确定参数取值范围的思路是解题的关键． 先解不等式组得到解集，再根据只有2个整数解确定整数解为0和1，从而推导a的取值范围． 【详解】解：解不等式组： ∵ 且 ∴解集为． ∵解集只有2个整数解，且， ∴整数解为和． 为确保只有这两个整数解： 在解集中，∴； 不在解集中，∴． ∴． 故选 C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江台州·月考）若点在第四象限，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征，列不等式组求解． 根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，列出不等式组求解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴且， 解得且， 故． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）三角形的三边分别是，，，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系及不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边．据此列出不等式组并求解． 【详解】解：∵三角形的三边分别是，，， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 8．（2025·湖南·模拟预测）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 先解每个不等式，再根据不等式组无解的条件，即两个解集的交集为空集，确定a的取值范围即可． 【详解】解：， ： 解得， ： 解得， ∵不等式组无解， ∴ 解得， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 先解不等式组，得到解集为 ，该解集恰有3个整数解，即整数解为 ，因此， 必须大于 1（以确保 被包含），且小于或等于 2（以确保 不被包含）． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ； 所以不等式组的解集为 ， 由于解集恰有3个整数解，即整数解为， 因此需满足 ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·重庆江北·月考）求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集，然后求出所有整数解，再求和即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的所有整数解为，，． ∴所有整数解的和为． 12．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集，解题的关键是会解一元一次不等式，先分别求出两个一元一次不等式的解集，再将两个不等式的解在数轴上表示出来，公共区域为解集． 【详解】 ； ； ∴不等式组的解集为：． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用加减消元法，解得，即可作答． （2）由，且根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论代入可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， 综上所述：，； （2）解：由（1）得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 15．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 16．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“智惠方程”是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； （2）解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是  ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $