专题03 一元二次方程（6重点+20题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

专题03 一元二次方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：一元二次方程的概念 ◆1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ◆2、一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . ◆3、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． ◆4、一元二次方程的根：满足方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数x叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根. 知识点二 ：一元二次方程的解法 一、解一元二次方程---因式分解法 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 二、解一元二次方程---直接开平方法 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 三、解一元二次方程---配方法 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 4、 解一元二次方程---公式法 ◆1、对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它的实数根可以写成x的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、在解一元二次方程中，把方程化成一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），如果b2﹣4ac≥0，那么把a，b，c的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果b2﹣4ac＜0，那么原方程没有实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法． ◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点三 ：一元二次方程的判别式 ◆1、一般地，式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac． ◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0； 当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0； 当方程没有实数根时，Δ＜0. 知识点四 ：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） ◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． ◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2． ◆3、常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求：x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件． 知识点五 ：实数范围内二次三项式的因式分解 设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是x1，x2，由韦达定理可得：x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2．要将二次三项式ax2+bx+c因式分解，如果b2﹣4ac≥0 ，可以用求根公式求出方程的两个根x1和x2 ，然后得到 ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），但是如果b2﹣4ac＜0，那么在实数范围内就不能分解因式. 知识点六 ：列方程解应用题 (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 【注意】 （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 【题型1 一元二次方程的识别】 高妙技法 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【典例1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A： ，化简得 ，是一元一次方程，故该选项不合题意； B： 是整式方程，且最高次数为2，故该选项符合题意； C：含有 ，是分式方程，不是整式方程，故该选项不合题意； D： 中，若 则不是二次方程，故该选项不合题意． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·上海宝山·期末）下列方程中是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断每个选项即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故A符合题意； B．中时，不是一元二次方程，故B不符合题意； C．不是整式方程，故C不符合题意； D．的最高次数是3，故D不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列方程中是关于的一元二次方程的是（  ） A． B．其中、、是常数 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐项判断即可． 【详解】解：A．，是整式方程，只含一个未知数x，且最高次数为2，故是一元二次方程； B．，a、b、c为常数，但a可能为0，当时不是二次方程，故不一定是一元二次方程； C．，含有项，不是整式方程，故不是一元二次方程； D．，化简为，是一元一次方程，故不是一元二次方程， 故选：A． 【题型2 一元二次方程的一般形式】 高妙技法 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，准确运算是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，将方程化为一般形式后判断二次项系数和常数项的值即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数为5，常数项为， 故选：A． 【变式1】方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟记一元二次方程一般式的概念．将化为一般形式即可求解． 【详解】解：将化为一般形式为：， 由此可知：，，． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·月考）将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 【题型3 由一元二次方程的定义求参数】 高妙技法 1.由一元二次方程的定义求字母的取值范围，主要是根据二次的系数不为0得出字母的取值范围，有时要把方程先化为一般式. 2.根据一元二次方程的定义，利用未知数的最高次数是2和二次项系数不为0得出字母的值. 【典例1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得：且，再解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得， 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·上海黄浦·月考）关于的方程是一元二次方程．则需满足条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为，且二次项系数不为零． 【详解】解：由于方程是关于的一元二次方程，因此未知数的最高指数必须等于，即， 解得，所以或． 同时，二次项系数， 即．因此． 故答案为：． 【题型4 由一元二次方程的解求参数】 高妙技法 将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程并求解即可． 【典例1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，而，据此代入数值计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ，即， ∴ ， 故答案为：25． 【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）如果m是方程的一个根，则 ； 【答案】 【分析】该题考查了一元二次方程的解，由于是方程的一个根，代入方程可得，即．所求表达式可变形为，代入已知值计算即可． 【详解】解：因为是方程的一个根， 所以， 即． 则． 故答案为：． 【题型5 一元二次方程的解法---因式分解法】 高妙技法 因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程． 【典例1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）一元二次方程的解 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；观察方程两边均有公因式，采用因式分解法求解即可． 【详解】解： ， ， 或， 解得，； 故答案为：或． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的因式分解法，解题的关键是通过因式分解将方程转化为两个一次方程求解． 将看作一个整体，对原方程进行因式分解，进而求出方程的根． 【详解】解：， 提取公因式得：， 化简得：， 得：或， 解得：或． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解后，求解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解后，求解即可． 【详解】（1）解：原方程可化为． 因式分解，得， 即， 解得． （2）因式分解，得， 即， 解得． 【题型6 一元二次方程的解法---直角开平方法法】 高妙技法 左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚. 【典例1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程． 【详解】解：方程 两边开平方，得 ， 解得：，． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）配方法解方程时，将方程化为的形式，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程为解题的关键． 通过配方法将方程化为完全平方形式，与比较得出n的值即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， 则， 与对比，得． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程：： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 【题型7 一元二次方程的解法---配方法】 高妙技法 用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单. 【典例1】（2025八年级上·上海杨浦·专题练习）用配方法解一元二次方程，则方程变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．使用配方法将方程转化为完全平方形式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴两边加9得 ， 即， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，灵活运用完全平方公式进行配方是解题的关键． 先把二次项系数化为1，然后把常数项移到方程右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，最后利用开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 所以，． 【变式2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解一元二次方程． 根据配方法求解一元二次方程求解即可． 【详解】解： ∴， 解得，． 【题型8 一元二次方程的解法---公式法】 高妙技法 运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误． 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程等．先根据一元二次方程的定义确定m的值，再利用求根公式解方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得：， ∴方程为：， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得． 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键； （1）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （2）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴上述解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）解：原方程可变形为：， 方程中，，，，， ∴， ∴方程的解为, ． 【题型9 用适当的方法解一元二次方程】 高妙技法 选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程． 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）移项，得：， 配方，得 ， 解得：． （2）方程整理，得， 即， 解得． 【变式1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）解方程： (1) (2) (3)（用配方法） (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）将一元二次方程化为一般形式，再用因式分解法解一元二次方程即可； （3）用配方法解一元二次方程即可； （4）先将一元二次方程变为一般形式，再用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； （2）解：， 原方程可变为：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； （3）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 开平方得：， ∴； （4）解：， 变为一般形式得：， ，，， ， ∴， 即． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)用适当的方法解方程： (2)用适当的方法解方程： (3)用配方法解方程： (4)用公式法解方程： 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先整理，然后运用直接开平方法求解即可； （2）先整理，然后运用因式分解法求解即可； （3）运用配方法求解即可； （4）直接运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， 开方得， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （3）解：整理得， 配方得，即， 开方得， 所以，； （4）解：， ，，， ∴， ∴， ∴，． 【题型10 一元二次方程的解法---换元法】 高妙技法 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例1】81．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为 ． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式，因此采用换元法，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后再代回求解． 【详解】解：设，则原方程可化为． 展开得，即． 因式分解得，解得，． 当时，，即，解得，． 当时，，即，判别式，解得，即，． 经检验，所有解均满足原方程． 故答案为：，，，． 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 【题型11 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 高妙技法 ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 【典例1】（2025九年级下·上海·专题练习）以下一元二次方程中无实根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题关键． 由于一元二次方程无实根，则判别式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则，即方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．可化为， 则，即方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C．可化为，，即方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D.，，即方程无实根，符合题意． 故选D． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．通过计算每个方程的判别式或直接求解，判断实数根的个数，只有选项A的判别式大于0，有两个实数根，即可作答． 【详解】解：A、方程化为，∴ ，有两个实数根； B、方程，∴ ，无实数根； C、方程化为 ，∴，无实数根； D、方程，得，∵，∴无实数根， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）下列关于的方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式、解分式方程，利用一元二次方程的判别式判断根的情况是解题的关键．通过计算每个方程的判别式或解方程，判断方程是否有实数根，即可得出答案． 【详解】A、， ， ∴方程没有实数根，故此选项不符合题意； B、 去分母，得， 即， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原方程无解，故此选项不符合题意； C、 去分母，得， 整理得， ， ∴方程没有实数根，故此选项不符合题意； D、 ， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项符合题意； 故选：D． 【题型12 根据一元二次方程根的情况求参数】 高妙技法 用一元二次方程根的判别式求字母的值的解题步骤： （1）确定一元二次方程一般形式中a、b、c的值. （2）计算判别式，根据题设列方程； （3）解方程求出字母的值. 【典例1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及对含参方程的分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 方程可能为一次或二次方程，需分类讨论，最后合并结果． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 时，方程为二次方程，判别式 ， 解得 ； 综上， 时方程有实数根． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·上海静安·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况的关系是解题的关键． 由方程中有得；再根据题意可得判别式列不等式求得k的范围，再结合即可解答． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：， 又 ∵ 方程中有意义， ∴， ∴k的取值范围是． 故选： C． 【变式2】已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个异号的实数根结合二次项系数非0，即可得出，，解之即可得出结论． 本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0得出关于k的不等式是解题的关键． 【详解】由题意得，， 解得：． 由条件可知， 解得． 的取值范围为． 故选：A． 【题型3 由根与系数的关系求值】 高妙技法 （1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积. （2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值. 【典例1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再通过恒等式 计算所求值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，， 根据根与系数的关系，有： ， ， 则， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·月考）已知、是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】9 【分析】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式变形求解表达式即可． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则 ． 故答案为：9． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的两根是．则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及分式的化简求值．首先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将所求分式通分，利用代数恒等变形，代入已知值计算． 【详解】解：一元二次方程的两根为， 由根与系数的关系，得 其中， ∴原式 故答案为：． 【题型14 由根与系数的关系求参】 高妙技法 （1）利用根与系数的关系写出x1+x2和x1x2 的值； （2）将已知等式转化为含x1+x2和x1x2 的形式； （3）把x1+x2和x1x2 的值代入（2）中的等式，然后解方程即可． 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；设方程的两个根为r和，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k. 【详解】解：设方程的两个根为r和， ∴两根之和， ∴， ∴， ∴另一个根为， ∵两根之积， ∴. 故选：C. 【变式1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可． 【详解】解：由根与系数关系可得，， 代入得， 即 解得：， ∵原方程有实数根， ∴， 解得 因此不满足，舍去， 综上，， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出m． 【详解】（1）解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以a、b、c为边的三角形是等边三角形． （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 【题型15 根的判别是根与系数的关系的综合运用】 高妙技法 在解决一元二次方程相关问题时，综合运用根的判别式（Δ）和根与系数的关系（韦达定理）是关键策略，尤其适用于不解方程求值、判断根的性质、求参数范围及结合几何等场景． 【典例1】已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系，得到，再根据相反数的定义得到，即可求出的值． 【详解】（1）证明：， 其中，，， ， 无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根 （2）解：设方程的两个根为和， ， 该方程的两个实数根互为相反数， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系得到，，将变形为，代入后得到关于k的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）证明：， 其中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根分别为和， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 即k的值为或． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）阅读理法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， (1)已知方程的两根分别为，，求的值； (2)关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用根和系数的关系求出、的值，再利用完全平方公式和积的乘方的逆运算对代数式进行变形，最后把所得的值代入计算即可求解； （）利用根和系数的关系和相反数的定义求出的值，再代入方程进行检验即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． （2）解：设方程的两根分别为，， ∵方程的两个实数根互为相反数， ∴， ∴， 当时，方程为，方程无解，故不合，舍去； 当时，方程为，方程有解，符合题意； ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，相反数的定义，完全平方公式的变形运算，代数式求值，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【题型16 实数范围内分解因式】 高妙技法 ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）对二次三项式因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内因式分解． 令，用公式法解方程得，，得到，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ， ， 解得，， ． 故答案为： ． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·月考）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，掌握相关知识是解决问题的关键．将原式变形为，利用完全平方公式可得，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）在实数范围内进行因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 【题型17 一元二次方程与新定义问题】 高妙技法 把题目给出的 “新符号”“新运算”“新概念” 用一元二次方程表示出来，然后解方程即可解答. 【典例1】新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2020 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 【变式1】对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算： （1）根据题目已知定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 【变式2】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程（），满足，就把这个一元二次方程称为“波浪方程”． (1)判断方程是不是“波浪方程”： ；（填“是”或“不是”） (2)已知是关于的“波浪方程”，它有一个根是，则 ， ； (3)若一个“波浪方程”的两个根分别是，，求的值． 【答案】(1)是 (2)， (3)的值为7． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解二元一次方程组等知识，解题的关键是读懂题意，理解“波浪方程”的定义． （1）计算，知方程是“波浪方程”； （2）由是关于的“波浪方程”，它有一个根是，可得，即可解得答案； （3）由的两个根分别是，，得，，即，，而是“波浪方程”，有，再解出，，的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 方程是“波浪方程”； 故答案为：是； （2）解：是关于的“波浪方程”，它有一个根是， ， 解得， 故答案为：，； （3）解：的两个根分别是，， ，， ，， 是“波浪方程”， ， ， 解得， ，， ， 即的值为7． 【题型18一元二次方程的实际应用---增长率问题】 高妙技法 平均增长（降低）率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原有量是a，现有量是b,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x）2 ，即原有量×（1+增长百分率）2＝现有量．平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x为减低率） 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）某型号的笔记本电脑发售时每台售价13999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为9999元，设每次降价的百分率为x，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；熟记增长（下降）模型是解题的关键． 依据两次增长（下降）模型进行列方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得， ， 故选：C． 【变式1】某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为万个，该市通过两年建设，2024年底充电桩总数达到万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用：增长率问题，理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每年的增长率为，根据题意，2022年至2024年两年间充电桩数量从万增长到万，建立一元二次方程求解增长率，再按此增长率计算2025年的数量． 【详解】解：由题意，2022年充电桩数量为2.5万个，2024年达到3.6万个，设每年的增长率为， 两年间按相同增长率增长，可得方程：， 即， 解得：（负值舍去）； 即年增长率为20%； 2025年充电桩数量为2024年的基础上再增长一年，即：（万个）； 因此，2025年底充电桩总数预计达到万个； 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·广东梅州·期中）据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率为，根据年“五一”到年“五一”假期的游客人数，列出一元二次方程，解之取正值即可； （2）设房价定为元时，根据宾馆当天的利润为元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为，依题意有，       解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）设房价定为元时，店家才能实现每天利润元，依题意有： ，          解得，，           住宿单价需尽可能低， ， ， 答：房价应该定为元时，民宿当天的利润为元． 【题型19 一元二次方程的实际应用---图形问题】 高妙技法 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【典例1】期图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·月考）现准备用长的木板建一个面积为的长方形仓库，仓库的一边靠墙并在与墙垂直的一边留宽为的门． (1)当墙面足够长时，求仓库的长和宽； (2)在仓库一侧且离墙远处修一条小路，那么墙长至少为多少米，才能修建符合要求的仓库？ 【答案】(1)仓库的长和宽分别为和或和 (2)墙长至少为27米，才能修建符合要求的仓库 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）设垂直于墙的边长为，根据题意可得平行于墙的边长为，而仓库的面积为，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题； （2）根据仓库一侧且离墙远处修一条小路，解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为， ∵仓库的一边靠墙并在与墙垂直的一边留宽为的门， ∴平行于墙的边长为， 由题意得， 解得或， 当时，另一边长为； 当时，另一边长为， ∴仓库的长和宽分别为和或和； （2）解：∵小路离墙， ∴垂直于墙的宽， 故选择，对应的长为． ∴墙长至少为27米，才能修建符合要求的仓库． 【变式2】（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： (1)求鸡场的长和宽各为多少米？ (2)若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ 【答案】(1)长是米，宽是米 (2)至少为米 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，不等式的应用，利用长方形的面积得出等量关系建立方程解决问题． （1）设鸡场垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，根据面积为平方米，可列方程求解． （2）如果离墙9米开外准备修路，那么垂直于墙的边长就要小于9米，则只能取（1）中时，米这种情况，由此进一步分析得出答案即可． 【详解】（1）解：设养鸡场垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， 由题意得：， 即， 解得：或， 当时，，符合实际意义； 当时，，不符合实际意义，舍去． 答：养鸡场的长是米，宽是米； （2）解：如果离墙9米开外准备修路，那么垂直于墙的边长就要小于9米， 由（1）知即垂直墙的长度为米，平行于墙的长度为米， ∴米， 此时养鸡场的长至少为米． 【题型20 一元二次方程的实际应用--商品销售问题】 高妙技法 商品销售问题： 利润=售价－进价；利润率= ×100%； 售价=进价×（1+利润率）； 总利润=总售价－总进价=（售价－进价）×销售量 【典例1】某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价t元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； 【详解】解：设涨价t元， 根据题意，得：， ∴， 即， 解得：，， ∴（元）或（元）, 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【答案】(1)每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元 (2)当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用及一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元，根据用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同列方程解决即可； （2）设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，根据销量乘以每盒的利润等于1600元列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 元， 答：每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元； （2）解：设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，由题意得： ， 解得：， 当时，销量为盒盒，符合题意； 当时，销量为盒盒，不符合题意，舍去； 答：当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元． 【变式2】（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售衬衫获得的总利润＝每件衬衫的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：45； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件衬衫应降价10元． 一、选择题 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程，只含一个未知数，且最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程化简为，是一元二次方程，该选项符合题意； 、当时，方程为，是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 3．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列关于的方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式或简化方程，判断每个方程是否有实数根．二次方程有实数根当且仅当判别式． 【详解】解：A、，，此方程无实数根，不符合题意； B、，，此方程无实数根，不符合题意； C、，简化得 ，矛盾，无解，即此方程无实数根，不符合题意； D、，，此方程有实数根， 故此方程有实数根，符合题意． 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海普陀·期中）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程左边化为完全平方式，比较系数确定a和b的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得，， 故选：A． 5．（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 6．（25-26八年级上·上海·月考）已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设在方程中，，根据题意可得关于t的一元二次方程的两根分别为、1，则或，据此求解即可． 【详解】解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 7．某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为万个，该市通过两年建设，2024年底充电桩总数达到万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用：增长率问题，理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每年的增长率为，根据题意，2022年至2024年两年间充电桩数量从万增长到万，建立一元二次方程求解增长率，再按此增长率计算2025年的数量． 【详解】解：由题意，2022年充电桩数量为2.5万个，2024年达到3.6万个，设每年的增长率为， 两年间按相同增长率增长，可得方程：， 即， 解得：（负值舍去）； 即年增长率为20%； 2025年充电桩数量为2024年的基础上再增长一年，即：（万个）； 因此，2025年底充电桩总数预计达到万个； 故选：A． 8．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）关于的方程，下列说法中正确的有（   ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，根据判别式可判断①②；当时，方程变为，解方程即可判断③；把代入原方程，求出方程左边的值，看方程左右两边是否相等即可判断④． 【详解】解：①若，则该方程没有实数根，原说法正确； ②当时，则，若，则方程无实数根，原说法错误； ③当时，方程变为，即，解得或，原说法正确； ④当时，把代入原方程，方程左边，此时方程左右两边相等，故是原方程的解，原说法正确． 故选：C． 2、 填空题 9．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，形如为一元二次方程的一般式.通过移项合并即可求解． 【详解】解： 移项合并： 一次项系数为：． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海·月考）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，先把方程化成一般式，再根据一元二次方程的定义解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海宝山·月考）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．用直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ，． 故答案为：，． 13．（25-26八年级上·上海崇明·期中）若x、y为实数，且，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，换元法，平方的非负性，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为二次方程求解，根据非负性确定 的值，再求表达式的平方根即可． 【详解】解：设 ，则原方程化为 ，即 ． ， 得 或 ． 由于 ，故 ． ∴，其平方根为 ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知方程和方程的根完全相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程；由于两个方程的根完全相同，先求第一个方程的根，再代入第二个方程求参数，最后求和． 【详解】解：解方程 ，得 ，． 将 代入方程 ， 得 ， 即 ， ， ， 所以 ． 则第二个方程为 ， 两边乘以2，得 ． 解此方程，， 所以 ，． 因此 ， 故 ． 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 【答案】(1)③，配方出错； (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）根据配方法的步骤，进行作答即可． 【详解】（1）解：第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）解：， 移项，得， 将二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 所以， 即． 16．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）选择适当的方法解方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （3）把当成一个整体，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （4）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵ ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 17．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 【答案】（1）② （2） （3） 【分析】考查一元二次方程解法（因式分解、换元法）及降次思想．关键是因式分解降次、换元简化方程，易错点是漏项和忽略判别式． （1）解一元二次方程的基本思想是“降次”，选②． （2）提取公因式并因式分解，降次求解得三个根． （3）换元后解方程，结合判别式得． 【详解】（1）② （2）提取公因式x，得． ∴或， 方程，因式分解可得． ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为： （3）设，则． ， 解得，． 当时，，即， ，∴无实数根． 当时，，即，有实数根． 因为a是方程的根， ． 18．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米． (1)矩形的面积为， 求出的长； (2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)6米 (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确的识图，掌握矩形的面积公式，准确的列出方程，是解题的关键． （1）根据题意，求出的长，利用矩形的面积为长乘宽，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）同（1）列出方程，判断判别式的符号，即可得出结论． 【详解】（1）解：设矩形的一边长为， 则：， 由题意，得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； ， ∴的长为 6 米； （2）解：不能，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∴一元二次方程没有实数根， ∴矩形的面积不能为． 19．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 【答案】(1)四、五月份销售量平均增长率为； (2)商品降价5元时，商场获利2250元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． （1）设四、五月份销售量平均增长率为x，那么四月份的销量为，五月份销量为，根据题意列出方程求出x的值即可； （2）设商品降价m元，那么销量为件，每件的利润为元，利用销量每件商品的利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设四、五月份销售量平均增长率为， 则， 解得，（舍去） 答：四、五月份销售量平均增长率为． （2）解：设商品降价m元，则 解得，（舍去） 答：商品降价5元时，商场获利2250元． 20．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． (1)设方程的两个根为、，则 ， ； (2)设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； (3)已知，且及，求的值． 【答案】(1)； (2)3或 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，理解题意，是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）解关于的方程得出，，根据，得出或，求出结果即可； （3）将变形为，得出、可看作方程的两个根，从而得出，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵的两个根为、，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵关于的方程可变形为：， ∴，， 解得：，， ∵， ∴或， 解得：或． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴、可看作方程的两个根， ∴，， ∴ ， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：一元二次方程的概念 ◆1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ◆2、一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . ◆3、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． ◆4、一元二次方程的根：满足方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数x叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根. 知识点二 ：一元二次方程的解法 一、解一元二次方程---因式分解法 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 二、解一元二次方程---直接开平方法 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 三、解一元二次方程---配方法 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 4、 解一元二次方程---公式法 ◆1、对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它的实数根可以写成x的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、在解一元二次方程中，把方程化成一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），如果b2﹣4ac≥0，那么把a，b，c的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果b2﹣4ac＜0，那么原方程没有实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法． ◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点三 ：一元二次方程的判别式 ◆1、一般地，式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac． ◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0； 当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0； 当方程没有实数根时，Δ＜0. 知识点四 ：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） ◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． ◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2． ◆3、常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求：x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件． 知识点五 ：实数范围内二次三项式的因式分解 设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是x1，x2，由韦达定理可得：x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2．要将二次三项式ax2+bx+c因式分解，如果b2﹣4ac≥0 ，可以用求根公式求出方程的两个根x1和x2 ，然后得到 ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），但是如果b2﹣4ac＜0，那么在实数范围内就不能分解因式. 知识点六 ：列方程解应用题 (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 【注意】 （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 【题型1 一元二次方程的识别】 高妙技法 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【典例1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·上海宝山·期末）下列方程中是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列方程中是关于的一元二次方程的是（  ） A． B．其中、、是常数 C． D． 【题型2 一元二次方程的一般形式】 高妙技法 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【变式1】方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·月考）将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型3 由一元二次方程的定义求参数】 高妙技法 1.由一元二次方程的定义求字母的取值范围，主要是根据二次的系数不为0得出字母的取值范围，有时要把方程先化为一般式. 2.根据一元二次方程的定义，利用未知数的最高次数是2和二次项系数不为0得出字母的值. 【典例1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【变式2】（25-26八年级上·上海黄浦·月考）关于的方程是一元二次方程．则需满足条件是 ． 【题型4 由一元二次方程的解求参数】 高妙技法 将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程并求解即可． 【典例1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）如果m是方程的一个根，则 ； 【题型5 一元二次方程的解法---因式分解法】 高妙技法 因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程． 【典例1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）一元二次方程的解 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）方程的根是 ． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【题型6 一元二次方程的解法---直角开平方法法】 高妙技法 左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚. 【典例1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）方程的根是 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）配方法解方程时，将方程化为的形式，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程：： 【题型7 一元二次方程的解法---配方法】 高妙技法 用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单. 【典例1】（2025八年级上·上海杨浦·专题练习）用配方法解一元二次方程，则方程变形为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）配方法解方程： 【变式2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）用配方法解方程： 【题型8 一元二次方程的解法---公式法】 高妙技法 运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误． 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）解方程： 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 【题型9 用适当的方法解一元二次方程】 高妙技法 选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程． 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 【变式1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）解方程： (1) (2) (3)（用配方法） (4) 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)用适当的方法解方程： (2)用适当的方法解方程： (3)用配方法解方程： (4)用公式法解方程： 【题型10 一元二次方程的解法---换元法】 高妙技法 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【题型11 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 高妙技法 ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 【典例1】（2025九年级下·上海·专题练习）以下一元二次方程中无实根的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）下列关于的方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【题型12 根据一元二次方程根的情况求参数】 高妙技法 用一元二次方程根的判别式求字母的值的解题步骤： （1）确定一元二次方程一般形式中a、b、c的值. （2）计算判别式，根据题设列方程； （3）解方程求出字母的值. 【典例1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海静安·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型3 由根与系数的关系求值】 高妙技法 （1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积. （2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值. 【典例1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·月考）已知、是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的两根是．则 ． 【题型14 由根与系数的关系求参】 高妙技法 （1）利用根与系数的关系写出x1+x2和x1x2 的值； （2）将已知等式转化为含x1+x2和x1x2 的形式； （3）把x1+x2和x1x2 的值代入（2）中的等式，然后解方程即可． 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【变式2】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【题型15 根的判别是根与系数的关系的综合运用】 高妙技法 在解决一元二次方程相关问题时，综合运用根的判别式（Δ）和根与系数的关系（韦达定理）是关键策略，尤其适用于不解方程求值、判断根的性质、求参数范围及结合几何等场景． 【典例1】已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根满足，求k的值． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）阅读理法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， (1)已知方程的两根分别为，，求的值； (2)关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【题型16 实数范围内分解因式】 高妙技法 ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）对二次三项式因式分解： ． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·月考）在实数范围内分解因式： ． 【变式2】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）在实数范围内进行因式分解 ． 【题型17 一元二次方程与新定义问题】 高妙技法 把题目给出的 “新符号”“新运算”“新概念” 用一元二次方程表示出来，然后解方程即可解答. 【典例1】新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【变式1】对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程（），满足，就把这个一元二次方程称为“波浪方程”． (1)判断方程是不是“波浪方程”： ；（填“是”或“不是”） (2)已知是关于的“波浪方程”，它有一个根是，则 ， ； (3)若一个“波浪方程”的两个根分别是，，求的值． 【题型18一元二次方程的实际应用---增长率问题】 高妙技法 平均增长（降低）率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原有量是a，现有量是b,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x）2 ，即原有量×（1+增长百分率）2＝现有量．平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x为减低率） 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）某型号的笔记本电脑发售时每台售价13999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为9999元，设每次降价的百分率为x，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 【变式1】某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为万个，该市通过两年建设，2024年底充电桩总数达到万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东梅州·期中）据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 【题型19 一元二次方程的实际应用---图形问题】 高妙技法 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【典例1】期图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·月考）现准备用长的木板建一个面积为的长方形仓库，仓库的一边靠墙并在与墙垂直的一边留宽为的门． (1)当墙面足够长时，求仓库的长和宽； (2)在仓库一侧且离墙远处修一条小路，那么墙长至少为多少米，才能修建符合要求的仓库？ 【变式2】（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： (1)求鸡场的长和宽各为多少米？ (2)若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ 【题型20 一元二次方程的实际应用--商品销售问题】 高妙技法 商品销售问题： 利润=售价－进价；利润率= ×100%； 售价=进价×（1+利润率）； 总利润=总售价－总进价=（售价－进价）×销售量 【典例1】某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【变式2】（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 一、选择题 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列关于的方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海普陀·期中）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海·月考）已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 7．某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为万个，该市通过两年建设，2024年底充电桩总数达到万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）关于的方程，下列说法中正确的有（   ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题 9．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数是 ． 10．（25-26八年级上·上海·月考）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 11．（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ． 12．（25-26八年级上·上海宝山·月考）方程的解为 ． 13．（25-26八年级上·上海崇明·期中）若x、y为实数，且，则的平方根是 ． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知方程和方程的根完全相同，则 ． 三、解答题 15．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 16．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）选择适当的方法解方程． (1) (2) (3) (4) 17．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 18．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米． (1)矩形的面积为， 求出的长； (2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 19．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 20．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． (1)设方程的两个根为、，则 ， ； (2)设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； (3)已知，且及，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $