第1章 6.1,6.2 探究ω对y＝sinωx的图象的影响&探究φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质，从y=sin x出发，通过探究ω对周期及横坐标伸缩的影响、φ对左右平移的影响，构建“问题链-知识填空-题型应用”的学习支架，系统梳理图象变换关系。 以“五点法”作图为核心，通过问题驱动（如周期关系、变换步骤推导）培养直观想象，结合平移伸缩变换逻辑推理。题型示例与自主检验结合，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固，提升知识应用能力。

§6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 6．1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 6．2　探究φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 学习目标 素养要求 1．了解ω，φ对y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响． 2．掌握y＝sin x与y＝sin (ωx＋φ)图象间的变换关系． 1．通过“五点法”作函数图象，提升直观想象的核心素养． 2．通过函数图象间的变换关系，培养逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　探究ω的取值对y＝sin ωx的图象的影响 [问题1]　 函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？ 答：2π；π；4π. [问题2]　当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？ 答：当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍． [问题3]　函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？ 答：可以，只要将y＝sin x图象横坐标“伸”或“缩”，纵坐标不变即可得到． ►知识填空 1．周期 一般地，对于ω>0，有sin ωx＝sin (ωx＋2π)＝sin ω. 根据周期函数的定义，T＝是函数y＝sin ωx的最小正周期． 2．ω对函数y＝sin ωx的图象的影响 函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的__横__坐标缩短到原来的____(当ω>1时)或__伸长__(当0<ω<1时)到原来的(__纵坐标__不变)得到的． 3．频率 通常称周期的倒数＝为__频率__． 知识点二　探究φ的取值对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 [问题]　 在同一平面直角坐标系中，用“五点法”作出函数y＝sin 与y＝sin 的图象，从表中所列变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析，y＝sin (x＋φ)的图象与y＝sin x的图象之间有什么关系？ 答：y＝sin (x＋φ)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过左右平移|φ|个单位得到． ►知识填空 1．φ对函数y＝sin (x＋φ)，x∈R的图象的影响 函数y＝sin (x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点向__左__(φ>0)或向__右__(φ<0)平移__|φ|__个单位长度得到的． 2．ω对函数y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响 函数y＝sin (ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点向__左__(φ>0)或向__右__(φ<0)平移____个单位长度得到的． 3．初相、相位 在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为__初相__，ωx＋φ为__相位__． [自主检验] 1．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　) A．2　　　　　　　　 B． C．4 D． 答案：B 2．要得到y＝sin 的图象，只要将函数y＝sin 的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：C 3．把函数y＝sin x，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(　　) A．y＝sin ，x∈R B．y＝sin ，x∈R C．y＝sin ，x∈R D．y＝sin ，x∈R 答案：C 4．函数y＝sin 的周期是__________，初相是__________，相位是________，最小值是________． 答案：　－　3x－　－1 题型一　利用“五点法”画三角函数的图象 [例1]　(1)利用“五点法”画出函数y＝sin 在长度为一个周期的闭区间上的简图： (2)说明该函数的图象是由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的． 解：(1)函数的周期为＝4π. 列表，描点并画图． x＋ 0 π 2π x － y 0 1 0 －1 0 (2)把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 的图象．或把y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin x的图象，再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin ，即y＝sin 的图象． [反思感悟] 用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) 图象的步骤 第一步：列表．　　　　　　　　　 ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象. 用“五点法”画出函数y＝sin (x∈R)的图象． 解：令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表： X 0 π 2π x y 0 1 0 －1 0 描点画图： 因为函数的周期为π， 所以将函数在上的图象向左、向右每次平移π个单位，即得y＝sin (x∈R)的图象． 题型二　三角函数图象的平移变换 [例2]　要得到函数y＝sin 的图象，只需要将函数y＝sin 4x的图象(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：因为y＝sin ＝sin ， 所以只需要将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位，故选B. 答案：B [反思感悟] 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位． 1．本例中函数y＝sin 变为y＝cos ，其他不变，则答案应选择哪一个？(　　) 解析：∵y＝cos ＝cos ＝sin ＝sin ＝sin ， 所以只需将y＝sin 4x的图象向左平移个单位．故选A． 答案：A 2．将函数y＝－sin ＋1向左平移后，再向下平移一个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为________________________． 答案：g(x)＝sin 题型三　三角函数图象的伸缩变换 [例3]　把函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，所得函数的解析式记为g(x). (1)求g(x)； (2)求函数g(x)的单调递减区间； (3)求g(x)取最小值时自变量x的集合． 解析：(1)法一：把函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin 的图象，即函数解析式为y＝sin ，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得g(x)＝sin 的图象，故g(x)＝sin . 法二：设f(x)＝sin ，把f(x)的图象向左平移个单位得到y＝f，再把y＝f图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，可得g(x)＝f. ∵f(x)＝sin ， ∴g(x)＝f ＝sin ＝sin . 故g(x)＝sin . (2)∵g(x)＝sin ，令t＝＋， 则y＝sin t的单调递减区间是，k∈Z 由2kπ＋≤＋≤2kπ＋， 得－≤x≤＋，k∈Z. 即函数g(x)的递减区间是，k∈Z. (3)由＋＝2kπ－，k∈Z， 即x＝－，k∈Z时，g(x)取到最小值， 此时x的集合为. [反思感悟] 1．三角函数图象伸缩变换的方法 y＝f(x)＝sin (ωx＋φ)y＝f＝sin . 即由y＝sin (ω1x＋φ)得到y＝sin (ω2x＋φ)的图象，应将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变． 2．由y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)研究函数的单调性、最值等，把ωx＋φ看作一个整体，结合正弦函数的性质来完成． 将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，然后再将整个图象沿x轴向右平移个单位，得到的曲线与y＝sin x的图象相同，则函数y＝f(x)的周期为________，最大值为________． 答案：4π　1 [课堂小结] 由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象，其变化途径有两条 (1)y＝sin xy＝sin (x＋φ)y＝sin (ωx＋φ). (2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin ＝sin (ωx＋φ). [提醒] 两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同 (1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位． (2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意． 学科网（北京）股份有限公司 $