第6章 6.3 球的表面积与体积（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

6．3　球的表面积与体积

 

[自主梳理]

知识点　球的表面积和体积

[问题1]　 球也是旋转体，它是由什么平面图形旋转得到的？

答：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体．

[问题2]　用任一平面去截球，截面是什么？

答：圆面．

►知识填空

1．球的大、小圆，直线与球相切

(1)球面被经过__球心__的平面截得的圆称为球的大圆，被__不经过球心__的平面截得的圆称为球的小圆．

(2)与圆和直线相切类似，当直线与球有__唯一__交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的__切点__．并且过球外一点的所有切线的切线长都__相等__．

2．半径为R的球的表面积S球面＝__4πR2__，体积为V球＝__πR3__．

3.球的截面特征

(1)用一个平面去截球，截面是圆面．截线是⊙O′.

(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面，即OO′⊥α.

(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截线圆的半径r，有下面的关系r＝ .

[自主检验]

1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为(　　)

A．1∶9　　　　　　　 B．1∶27

C．1∶3    D．1∶1

答案：A

2．若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的(　　)

A．3倍    B．9倍

C．27倍    D．3倍

答案：D

3．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________．

答案：12π

4．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．

答案：

题型一　球的表面积和体积

[例1]　(1)若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是(　　)

A．1∶2∶3　　　　　 B．1∶∶

C．1∶2∶3    D．1∶4∶7

(2)用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)

A．    B．

C．8π    D．

(3)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是__________cm.

解析：(1)因为三个球的表面积之比是1∶2∶3，

即r∶r∶r＝1∶2∶3.所以r1∶r2∶r3＝1∶∶，

所以V1∶V2∶V3＝1∶2∶3.

(2)设球的半径为R，则截面圆的半径为，