第6章 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

 

3．2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)

 

[自主梳理]

知识点一　基本事实4和(等角)定理

[问题1]　 观察长方体ABCD­A1B1C1D1，显然AB∥CD, CD∥C1D1，则AB与C1D1有何位置关系？

答：AB∥C1D1.

[问题2]　如图，在四棱柱ABCD­A′B′C′D′中，底面ABCD为菱形，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

答：∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠A′B′C′＝180°.

►知识填空

1．基本事实4(公理4)

 

2．(等角)定理

如果空间中两个角的两条边分别对应__平行__，那么这两个角__相等或互补__．

知识点二　异面直线

►知识填空

1．异面直线

(1)定义：不同在__任何一个平面内(不共面)__的两条直线．

(2)画法：

2．两条直线的位置关系

3．异面直线所成的角(或夹角)

如图，已知两条异面直线a，b过空间任一点O作直线a′__∥__a，b′__∥__b，这时a′，b′__共面__，我们把a′与b′，所成的__不大于90°__的角称为异面直线a，b所成的角(或夹角).

若两条异面直线a，b所成的角是__直角__，则称这两条直线互相垂直，记作：__a⊥b__．

[自主检验]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线.(　　)

(2)两直线垂直，则这两条直线一定相交．(　　)

(3)两直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b(　　)

A．共面　　　　　　　 B．平行

C．异面    D．平行或异面

答案：D

3．在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是(　　)

A．SB    B．SC

C．BC    D．AB

答案：C

4．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝__________．

答案：135°

题型一　空间两条直线位置关系的判定

[例1]　(1)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是(　　)

A．6　　　　　　 B．4

C．5    D．8

(2)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是(　　)

A．异面    B．相交或平行

C．平行或异面    D．相交、平行或异面

解析：

(1)结合异面直线的定义可知，与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1，共4条．

(2)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中：①AA1与DC异面，与B1C1异面，此时DC与B1C1异面；②AA1与DC异面，与BC异面，此时DC与BC相交；③AA1与DC异面，与D1C1异面，此时DC与D1C1平行．

答案：(1)B　(2)D

[反思感悟]

1．判断空间中两条直线位置关系的思路

(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．

(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．