第2章 5.1 向量的数量积（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦向量的数量积核心知识点，从物理中力的做功问题引入，系统梳理数量积的定义（|a||b|cosθ）、投影向量与投影数量的几何意义，以及运算律（交换律、数乘结合律、加法分配律）和性质（如a·b=0⇔a⊥b），构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以问题情境驱动教学，通过力做功实例抽象出数量积概念，培养数学抽象素养。题型涵盖求数量积、投影、模长及夹角问题，结合运算律应用提升数学运算能力。课中教师可依托例题讲解方法，课后学生通过自主检验和反思感悟巩固知识，有效查漏补缺。

§5　从力的做功到向量的数量积 5．1　向量的数量积 学习目标 素养要求 1．了解向量数量积的物理意义． 2．掌握向量的数量积、投影的定义，理解数量积的几何意义． 3．会用数量积的运算律和性质，解决模长、夹角、投影数量等问题． 1．通过向量数量积、投影的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过数量积的运算律、性质的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　向量的数量积的定义 [问题]　 如图，在力F的作用下，木块在水平方向上移动了5 m，若F＝3 N. (1)则力F做的功是多少？ (2)力做功的大小与哪些量有关？ 答：(1)3×5×cos 30°＝(J). (2)与力的大小、位移的大小及它们的夹角有关． ►知识填空 向量数量积的定义 条件 非零向量a与b，a与b的夹角为θ. 结论 数量__|a||b|cos_θ__叫向量a与b的数量积．(或内积) 记法 向量a与b的数量积记作 __a·b__，即__a·b＝|a||b|cos_θ__． 规定 零向量与任一向量的数量积为__0__． 知识点二　投影及数量积的几何意义 [问题]　 在平面直角坐标系中 (1)过点A(1，1)，点B(3，2)向x轴引垂线，垂足分别为A1，B1，则向量在x轴方向上的投影向量及投影数量分别是什么？ 答：；||＝2. (2)过点C(－1，1)向x轴引垂线，垂足为C1则向量在x轴上的投影向量及投影数量分别是什么？二者有什么联系？ 答：向量，||；投影向量是一个向量，而投影的数量与投影的长度和向量与的夹角有关．当〈，〉为钝角时，向量在x轴上的投影的数量为－||. ►知识填空 1．投影向量、投影数量 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′得到a在b上的投影γ＝，γ称为投影向量．__|a|cos_〈a，b〉__称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为__a·__． 2．向量数量积a·b的几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量__|a|cos_θ__的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量__|b|cos_θ__的乘积． 知识点三　数量积的运算性质 ►知识填空 1．数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ： (1)交换律：a·b＝__b·a__； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝__(λa)·b___＝__a·(λb)__； (3)关于加法的分配律：(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__． 2．数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝__e·a__＝__|a|_cos_〈a，e〉__； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔__a⊥b__； (3)a·a＝__|a|2__即|a|＝____； (4)cos 〈a，b〉＝__(|a||b|≠0)__； (5)|a·b|≤__|a||b|__，当且仅当a∥b时等号成立． [自主检验] 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　) A．3　　　　　　　　 B．－3 C．－3 D．3 解析：选B　由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120° ＝×2×＝－3.故选B. 2．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　 B．3　　　C．2　　 D．0 答案：B 3．若|a|＝8，|b|＝4，〈a·b〉＝120°，则b在a上的投影的数量为__________，a在b上投影的数量为__________． 答案：－2　－4 4．在边长为2的等边三角形ABC中，·的值为__________. 答案：－2 题型一　求两向量的数量积 [例1]　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解：(1)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. [反思感悟] 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b). 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18， a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27. 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18， a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9. ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°. ∴a·b＝0，a·(a＋b)＝a2＝9. ③当a与b的夹角是60°时， 有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9. a·(a＋b)＝a2＋a·b＝18. 题型二　投影向量与投影数量 [例2]　已知向量a，b，c，其中|a|＝3，|b|＝4，a与c夹角θ＝120°，b与c的夹角γ＝45°. (1)若|c|＝1，求a在c方向上的投影向量； (2)求a＋b在c方向上的投影数量． 解：(1)|c|＝1，∴c为单位向量， ∴a在c方向上的投影向量为|a|·cos 120°·c＝3×c＝－c. (2)(a＋b)·＝a·＋b·＝|a|cos θ＋|b|cos γ ＝3cos 120°＋4cos 45°＝－＋2. [反思感悟] (1)投影向量的求法 ①向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos θe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定． ②向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos θ. (2)投影数量：a在b方向上的投影数量为|a|cos 〈a，b〉＝a·. 已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b方向上的投影向量和投影数量． 解：∵a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝＝＝， ∴a在b方向上的投影向量为|a|cos θ·＝12××b＝b，a在b方向上的投影数量为＝＝3. 题型三　向量模的有关计算 [例3]　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． (2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________． 解析：(1)|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2 ＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12， ∴|a＋2b|＝2. (2)因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10， 故4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2|b|－6＝0， 解得|b|＝或|b|＝－3(舍去). 答案：(1)2　(2) [反思感悟] 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，求|a|2＋|b|2＋|c|2的值． 解：由a⊥b，得a·b＝0. 由a＋b＋c＝0，得c＝－(a＋b). 又(a－b)⊥c，∴(a－b)·c＝0，(a－b)·(a＋b)＝0， ∴a2－b2＝0，|a|＝|b|＝1， ∴|c|2＝[－(a＋b)]2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝2， ∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝1＋1＋2＝4. 题型四　向量的夹角与垂直问题 [例4]　(1)已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为________________． (2)已知非零向量m，n满足4|m| ＝3|n|，cos 〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4　　　　　　　 B．－4 C． D．－ 解析：由|a－2b|＝|a＋b|，得(a－2b)2＝(a＋b)2， 所以a·b＝b2， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝. (2)法一：由n⊥(tm＋n)可得 n·(tm＋n)＝0， 即tm·n＋n2＝0， 所以t＝－＝－ ＝－＝－3×＝－3×＝－4. 法二：由4|m|＝3|n|， 可设|m|＝3k，|n|＝4k(k>0)， 又n⊥(tm＋n)， 所以n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n ＝t|m|·|n|·cos 〈m，n〉＋|n|2 ＝t×3k×4k×＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0， 所以t＝－4. 答案：(1)　(2)B [反思感悟] (1)求向量夹角题应用数量积的变形公式cos θ＝，一般要求两个整体a·b，|a| |b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组． (2)非零向量a⊥b⇔a·b＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握． 设两个向量e1 ，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为__________． 答案：∪ [课堂小结] 1．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 2．a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分另叫做b在a方向上的投影数量和a在b方向上的投影数量，要结合图形严格区分． 3．在实数中，若ab＝0，则a＝0或b＝0或a，b同时为0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0或a，b同时为0，因为其中cos θ有可能为0. 4．在实数中，若ab＝bc，b≠0，则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0⇒/ a＝c. 学科网（北京）股份有限公司 $