第2章 4.2 平面向量及运算的坐标表示（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦平面向量坐标表示及运算这一核心知识点，先通过标准正交基引入向量坐标概念，再系统梳理加减、数乘的坐标运算规则及向量坐标与端点坐标关系，最后落脚于向量平行的坐标条件，构建从概念到运算再到应用的学习支架。 资料以问题驱动自主梳理，如通过单位向量表示推导坐标定义，结合题型示例（如向量平行求参数）与反思感悟，培养数学运算和逻辑推理素养。课中辅助教师系统授课，课后自主检验与题型练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

4．2　平面向量及运算的坐标表示 学习目标 素养要求 1．理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量运算的坐标表示． 2．掌握向量平行的坐标表示，并能解决有关平行、点共线等问题． 1．通过平面向量的坐标运算，提升数学运算的核心素养． 2．通过向量平行的坐标表示的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　平面向量的坐标表示 [问题]　 如图，已知i，j分别是x，y轴上的单位向量，|a|＝r，∠AOx＝θ， (1)试用i，j表示a； (2)点A在坐标系中的坐标是什么？ 答：(1)a＝r cos θ·i＋r sin θ·j. (2)(r cos θ，r sin θ) ►知识填空 1．基 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为__标准正交基__． 2．坐标：对于坐标平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标． 3．坐标表示：a＝(x，y). [点睛] 对符号(x，y)的认识 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，又表示向量的方向． 知识点二　平面向量运算的坐标表示 [问题]　 在基{i.j)下，a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j(x1，x2，y1，y2∈R). (1)计算a＋b，a－b，2a； (2)若{i，j}是标准正交基，则a＋b，a－b，2a的坐标是什么？ 答：(1)a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，2a＝2x1i＋2y1j. (2) (x1＋x2，y1＋y2)，(x1－x2，y1－y2)，(2x1, 2y1). ►知识填空 平面向量运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 向量 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 向量 数乘 λa＝(λx1，λy1) 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标． 知识点三　平面向量平行的坐标表示 [问题1]　 若a，b都是非零向量，且a∥b，则a与b有何关系？ 答：a＝λb(λ∈R). [问题2]　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，a∥b，它们的坐标应满足什么条件？ 答：(λ∈R). ►知识填空 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a∥b(b≠0)⇔__x1y2－x2y1＝0__． [自主检验] 1．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且点A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为(　　) A．2i＋3j　　　　　　　 B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j 答案：C 2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于(　　) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 解析：选A　∵3a－2b＋c＝0， ∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12). 3．已知点A(1，1)，B(4，2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：B 4．若向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a与b共线且方向相同． 答案：2 题型一　向量的坐标运算 [例1]　(1)已知A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若＝2＋3，求点M的坐标； (2)已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和D(－2，3)，求，－2的坐标． 解：(1)由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)， 得＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， ＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)， 所以＝2＋3 ＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3) ＝(－14，－19). 设点M的坐标为(x，y)， 则＝(x－3，y－4). 由向量相等坐标相同可得 解得 所以点M的坐标为(－11，－15). (2)由题意得＝(2，4)，＝(1，3)，＝(－5，1). ∴－2＝(11，1). [反思感悟] 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 1．已知向量＝ (3, －2) ，＝(－5, －1)，则向量的坐标是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．(8，1) 解析：＝(－) ＝[(－5，－1)－(3，－2)] ＝(－8，1)＝. 答案：A 2．已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求，，＋，－，2＋. 解：∵A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)， ∴＝(7－4，5－6)＝(3，－1)， ＝(1－4，8－6)＝(－3，2)， ＋＝(3，－1)＋(－3，2)＝(0，1)， －＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)， 2＋＝2(3，－1)＋(－3，2)＝. 题型二　根据向量平行的坐标表示求参数 [例2]　(1)已知向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，且(a＋b)∥(a－b)，则m＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．5 C．1或－5 D．－5 (2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 解析：(1)向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，且(a＋b)∥(a－b)， 所以a＋b＝(m＋5，m＋5)，a－b＝(－m－1，m－3)， 所以(m＋5)(m－3)－(－m－1)(m＋5)＝0， 即(m＋5)(m－1)＝0. 解得m＝1或m＝－5. (2)由题意知ka＋b＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0， 解得k＝－. 这时ka＋b＝＝－(a－3b). 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 答案：(1)C　(2)k＝－　反向 [反思感悟] 根据向量共线求参数值的方法 根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用向量共线定理a＝λb列方程组求解，二是利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． 1．若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________． 解析：∵a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b， ∴sin α－3cos α＝0，即tan α＝， 又0<α<，故α＝. 答案： 2. 已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________． 解析：＝－＝(1－k，2k－2)， ＝－＝(1－2k，－3)， 由题意可知∥， 所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0， 解得k＝－(k＝1不合题意，舍去). 答案：－ 题型三　向量坐标运算的应用 [例3]　 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； (2)D，M，B三点共线． 证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 令||＝1，则||＝1，||＝2. 因为CE⊥AB，而AD＝DC. 所以四边形AECD为正方形． 所以可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0). (1)因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， ＝ (0，1)－(1，0)＝(－1，1)， 所以＝，所以∥，即∥. (2)因为M为EC的中点，所以M， 所以＝(－1，1)－＝， ＝(1，0)－＝. 所以＝－，所以∥. 又MD与MB共点于M，所以D，M，B三点共线． [反思感悟] 利用向量坐标法解决有关平行、点共线等问题的基本思路：先建立恰当的平面直角坐标系，将有关点坐标化、线段向量化，通过向量的坐标运算使问题得到解决． 已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点． 解：当平行四边形为ABCD时，设D(x，y)， 由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)， 且＝，得D(2，2). 当平行四边形为ACDB时，设D(x，y)， 由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且＝， 得D(4，6). 当平行四边形为ACBD时，设D(x，y)， 由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且＝， 得D(－6，0)， 故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0). [课堂小结] 1．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化． 2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时＝(xB－xA，yB－yA). 3．向量共线的坐标表示的应用 (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行． (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值．要注意方程思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $