第2章 4.1 平面向量基本定理（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本高中数学讲义聚焦平面向量基本定理这一核心知识点，通过问题“平面内任一向量能否用两不共线向量表示”引入，系统梳理定理内容（两不共线向量为基，唯一线性表示）、基与正交基概念，构建从概念理解到应用的学习支架。 资料以问题驱动培养数学抽象素养，通过梯形、三角形等实例提升直观想象，设置理解、表示、应用分层题型。课中助力教师高效授课，课后学生可通过自主检验与变式训练查漏补缺，强化知识应用能力。

§4　平面向量基本定理及坐标表示 4．1　平面向量基本定理 学习目标 素养要求 1．理解平面向量基本定理，了解向量的基、正交基的含义． 2．会用平面向量基本定理解决相关问题． 1．通过学习平面向量基本定理及基、正交基、正交分解的含义．主要培养数学抽象的核心素养． 2．通过平面向量基本定理的应用，提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点　平面向量基本定理 [问题]　 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？ 答：能，依据是数乘向量和平行四边形法则． ►知识填空 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1和e2是同一平面内两个__不共线__的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在__唯一__的一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__． (2)基：我们把不共线的向量e1和e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__基__，记为__{e1，e2}__． 2．正交分解 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为__正交基__．在正交基下向量的线性表示称为__正交分解__．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为__标准正交基__． [点睛] 平面向量基本定理的理解 (1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2的选取不唯一，即一个平面可以有多组基． (2)平面内的任一向量a都可以沿基{e1，e2}进行分解． (3)基{e1，e2}确定后．实数λ1，λ2是唯一确定的． [自主检验] 1．(多选)设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为表示该平面内所有向量的基的是(　　) A．与　　　　　 B．与 C．与 D．与 解析：选AC　易知与不共线，与不共线， 故与，与可作为基． 2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，在基{b，c}下，等于(　　) A．b＋c B．c－b C．b－c D．b＋c 解析：选A　∵＝2， ∴－＝2(－)， ∴－c＝2(b－)， ∴＝c＋b.故选A． 3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 答案：A 4．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为________． 答案：6 题型一　对平面向量基本定理的理解 [例1]　(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，能作为基的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 解析：选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线， ∴不能作为基； 选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基． 答案：ACD [反思感悟] 两个向量是否能构成基，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来． 已知向量{a，b}是一组基，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________． 解析：因为{a，b}是一组基， 所以a与b不共线， 由平面向量基本定理得 所以所以x－y＝3. 答案：3 题型二　用一组基表示向量 [例2]　如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b.试用a，b表示，. 解：因为DC∥AB，AB＝ 2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以＝＝a，＝＝＝b. ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a． [反思感悟] 用基表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基表示向量的唯一性求解． 1．本例中条件不变，取BC的中点G，用a，b表示. 解：＝＋＋＝－b＋a＋b＝a－b. 所以＝＋＝＋ ＝b＋a－b＝a＋b. 2．已知e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，a＝e1＋e2，b＝3e1－e2，c＝5e1＋e2，试用向量a和b表示c. 解：由题意，可知a，b不共线， ∴可设c＝λa＋μb， 则λa＋μb＝λ(e1＋e2)＋μ(3e1－e2) ＝(λ＋3μ)e1＋(λ－μ)e2. ∵e1，e2不共线，c＝5e1＋e2， ∴解得 ∴c＝2a＋b. 题型三　平面向量基本定理的应用 [例3]　如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________. 解析：∵＝， ∴＝，即＝4， 又＝m＋， ∴＝m＋. ∵B，P，N三点共线， ∴m＋＝1，即m＝1－＝. 答案： [反思感悟] 若直接利用基表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得． 如图，在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________． 解析：设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a＋b， 又∵＝a＋b， ∴＝(＋)， 即λ＝μ＝， ∴λ＋μ＝. 答案： [课堂小结] 1．基具备两个主要特征 (1)基是两个不共线向量． (2)基的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基的条件． 2．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当基，将问题中涉及的向量向基化归，使问题得以解决． 学科网（北京）股份有限公司 $