第2章 3.2 向量的数乘与向量共线的关系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“向量的数乘与向量共线的关系”核心知识点，衔接向量数乘运算，系统梳理共线向量基本定理（非零向量b，a∥b的充要条件是存在唯一实数λ使a=λb）及直线方向向量概念，为向量几何应用搭建基础学习支架。 该资料以问题驱动自主梳理（如通过问题引导发现数乘向量与共线关系）培养数学眼光，结合推理证明（如例1证三点共线）提升数学思维，用向量语言论证几何问题（如例2证梯形中位线）强化数学语言。课中例题与反思助力教师教学，课后检验与小结帮助学生查漏补缺。

3．2　向量的数乘与向量共线的关系 学习目标 素养要求 1．掌握共线向量基本定理，并能解决有关平行、点共线等问题． 2．理解直线的方向向量的概念，并能进行简单应用． 1．通过共线向量基本定理的应用，提升数学运算的核心素养． 2．通过直线的方向向量的简单应用，培养直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点　共线向量基本定理、直线的方向向量 [问题1]　 若a是非零向量，则λa与a有什么关系？如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa是否成立？ 答：λa与a是共线向量；如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa一定成立． [问题2]　能否用向量来刻画直线呢？ 答：能．需知一个点和一个非零向量a． ►知识填空 1．共线(平行)向量基本定理 给定一个__非零__向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是__存在唯一一个实数λ，使a＝λb__． 2．直线的方向向量 如图．通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量． [自主检验] 1．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________． 解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|. ∵|a|＝3，|b|＝5， ∴|λ|＝，即λ＝±. 答案：± 2．若＝3，则直线AB与直线CD的位置关系为________． 答案：重合或平行 3．点R在线段PQ上，且＝，设＝λ(λ∈R)，则λ＝________． 答案：－ 4．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．B，C，D　　　　　　　 B．A，B，C C．A，B，D D．A，C，D 答案：C 题型一　向量平行及三点共线问题 [例1]　设a，b是不共线的两个非零向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． 解：(1)证明：∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2， ∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线． (2)∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. [反思感悟] (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________． 解析：∵＝e1＋2e2， ＝＋ ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2， ∴， 共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线． 答案：A，B，D 题型二　用共线向量基本定理证明几何问题 [例2]　如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，用向量法证明EF∥AB，EF＝(AB＋DC). 证明：延长EF到点M，使得FM＝EF，连接CM，BM，EC，EB得▱ECMB， 由平行四边形法则得＝＝(＋). 因为AB∥DC， 所以，共线且同向，根据向量共线定理知，存在正实数λ，使＝λ. 由三角形法则得＝＋，＝＋， 且＋＝0. 所以＝(＋)＝(＋＋＋) ＝(＋)＝， 所以∥. 因为，，没有公共点， 所以EF∥DC∥AB， 又||＝＝(||＋||)， 所以EF＝(AB＋DC)，所以结论得证． [反思感悟] 首先结合图形与所求证的问题，将几何条件向向量条件转化，再充分利用向量的线性运算与共线向量基本定理求证． 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB ，BC, CD，DA的中点，证明：四边形EFGH为平行四边形． 证明：连接BD，则＝－＝－ ＝(－)＝. 同理＝，∴＝， 即EH∥FG且EH＝FG， 故四边形EFGH为平行四边形． [课堂小结] 1．关于共线向量基本定理的说明 (1)定理中，向量b为非零向量，即定理不包含0与0共线的情况． (2)条件b≠0是必须的．否则当b＝0，a≠0时，虽然b与a共线，但不存在实数λ，使得a＝λb；当b＝0，a＝0时，λ可以是任意实数． (3)要证明向量a，b共线，只需证明存在实数λ，使得a＝λb即可． (4)若b＝λa(λ∈R)，则a与b共线． 2．重要结论 设O点是直线AB外一点 (1)P，A，B三点共线⇔∃x，y∈R，使＝x＋y且x＋y＝1. (2)P点是线段AB中点⇔＝(＋). 学科网（北京）股份有限公司 $