第1章 8 三角函数的简单应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本高中数学讲义聚焦三角函数的简单应用这一核心知识点，系统梳理从周期现象观察到建立三角函数模型的完整步骤，包括阅读理解题意、收集整理数据、构建模型、求解及转译实际问题，衔接三角函数周期性等基础概念与生活、物理中的周期现象应用。 资料以惠灵顿气温、摩天轮运动、电流图象等实例为载体，通过“问题情境—数据建模—求解验证”流程，培养数学建模、数据分析及数学运算核心素养。课中助力教师引导学生抽象实际问题为数学模型，课后学生可借助例题解析与练习巩固，有效查漏补缺。

§8　三角函数的简单应用 学习目标 素养要求 1．体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型． 2．会用三角函数解决一些实际问题． 1．通过研究周期现象的实际问题，培养数学建模的核心素养． 2．通过三角函数模型的实际应用，提升数据分析、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化． (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． (2)三角函数模型的建立程序 如图所示： 题型一　生活中具有周期现象的建模问题 [例1]　当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表． x(月份) t(气温) x(月份) t(气温) 1 17.3 7 10. 06 2 17.9 8 9.5 3 17.3 9 10. 06 4 15.8 10 11.6 5 13.7 11 13.7 6 11.6 12 15.8 (1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿的月平均气温建立一个函数模型； (2)当平均气温不低于13.7 ℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间． 解：(1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线． 由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数， 依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t＝A cos (ωx＋φ)＋k来描述． 由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃， 则A＝＝4.2，k＝＝13.7. 显然＝12，故ω＝. 又x＝2时t取最大值，取ωx＋φ＝0， 得φ＝－ωx＝－×2＝－. 所以t＝4.2cos ＋13.7为惠灵顿市的常年气温模型函数式． (2)如图所示，作直线t＝13.7与函数图象交于两点，(5，13. 7)，(11，13.7). 这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7 ℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间． [反思感悟] 三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题． (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验． 如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 解：(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0， 由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝. 所以所求的函数关系式为y＝40.5－40cos (t≥0). (2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米， 由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－， 所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8. 所以t＝8时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟). 题型二　物理中具有周期现象的建模问题 [例2]　已知电流I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图： (1)根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解：(1)由图象可知A＝300， T＝2＝＝. ∴ω＝＝＝150π. ∴y＝300sin (150πt＋φ). ∵函数图象过， ∴0＝300sin ， ∴sin ＝0. 令－＋φ＝0，∴φ＝. ∴y＝300sin. (2)由题意T≤，即≤. ∴ω≥300π，∴ω的最小正整数值是943. [反思感悟] 利用三角函数模型处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝6sin . (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解：(1)周期T＝＝1(s). 列表： t 0 1 2πt＋ π 2π 2π＋ 6sin 3 6 0 －6 0 3 描点画图： (2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 学科网（北京）股份有限公司 $